null第四节 直线上开集闭集的构造第四节 直线上开集闭集的构造第二章 点集一 直线上的开集构造
一 直线上的开集构造
定理:直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。注: n(n>1)维欧氏空间中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并,但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并.二 直线上的闭集构造二 直线上的闭集构造定理:直线上的闭集或是全直线,或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.注: 直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;
但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。推论: 直线上完备集就是没有相邻接的余区间的闭集.三 Cantor集三 Cantor集对[0,1]区间三等分,去掉中间一个开区间,
然后对留下的两个闭区间三等分,各自去掉中间一个开区间,
此过程一直进行下去,最后留下的点即为Cantor集null⑵Cantor集的性质⑵Cantor集的性质c. P没有内点c. P没有内点d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点从而x为P的聚点,当然不为孤立点。数的进位制简介数的进位制简介十进制小数 相应于 对[0,1]十等分
二进制小数 相应于 对[0,1]二等分
三进制小数 相应于 对[0,1]三等分
说明:对应[0,1]十等分的端点有两种表示,如
0.2000000…
0.1999999… (十进制小数)e. P的势为 (利用二进制,三进制证明)e. P的势为 (利用二进制,三进制证明)证明思路:把[0,1]区间中的点都写成三进制小数,
则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点
的全体,从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全
体,作对应注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.