2.3 开集,闭集,完备集

null第三节 开集,闭集,完备集第三节 开集,闭集,完备集第二章 点集null1：开集与闭集的定义一 开集与闭集 null: 1) nullnullnull2: 开集与闭集的对偶性nulla. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n), Rn中只有空集和Rn既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1)3: 开集,闭集的性质1）开集的性质2）闭集的性质2）闭集的性质a.空集，Rn为闭集； b.任意多个闭集之交仍为闭集； c.有限个闭集之并仍为闭集。 注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]null二 完备集，疏朗集1：自密集与完备集注： 自密集就是没有孤立点的集合例： 全体有理数组成的集合是自密集.注： 完备集就是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集null2：疏朗集例： 全体正整数组成的集合就是疏朗集null⑴Bolzano-Weierstrass定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点. 点列{a1 , a2 , a3 , a4 ,…} a1 = (a11, a12, a13, … ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, … , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, … ,a3n) … …三 R中有关紧性的两个结论⑵ Heine-Borel有限覆盖定理⑵ Heine-Borel有限覆盖定理 设F为有界闭集，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在有限个开集U1 ，U2， … ,Un，它同样覆盖F