第一节 数学期望

null第四章 随机变量的数字特征第四章 随机变量的数字特征第一节 数学期望第二节 方差第三节 协方差与相关系数第一节 数学期望第一节 数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 二维随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质null 如果知道了随机变量 X 的概率分布,那么 X 的全部概率特征也就知道了. 然而,在实际问中,概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中,人们并不需要知道随机变量的一切概率性质,只要知道它的某些数字特征就够了, 例如分布的中心位置、分散程度等等. 因此,在对随机变量的研究中,确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中,最常用的是:数学期望、方差、协方差和相关系数null一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：例1: 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？我们先观察小张100天的生产情况若统计100天, 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;可以得到这100天中 每天的平均废品数为(假定小张每天至多出现三件废品)这个数能否作为 X的平均值呢？null可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为:(假定小张每天至多出三件废品) 一般来说, 若统计n天 ,这是以频率为权的加权平均null 当N很大时, 频率接近于概率, 所以我们在求废品数 X 的平均值时, 用概率代替频率, 得平均值为:这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 .这是以频率为权的加权平均null2. 定义: 设X是离散型随机变量, 它的分布律是: P{X=xk}=pk , k=1,2,…请注意: 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和. 数学期望简称期望, 又称为均值。若级数绝对收敛,则称级数即:的和为随机变量X的数学期望, 记为 E(X),(expectation or mean)null例1:null1)0-1分布 b(1, p) 的数学期望E(X) = p2) 二项分布 b(n, p) 的数学期望例2: 三个重要的离散型 r.v. 的期望null3)泊松分布null一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望. 例3: 按规定, 某车站每天8:00~9:00和 9:00~10:00 都恰有一辆客车到站, 但到站时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立。 其规律为： nullnullnullnull定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分:绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:请注意: 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.二、连续型随机变量的数学期望null1) 均匀分布 U(a, b)例4: 三个重要的连续型 r.v. 的期望2) 指数分布 E(λ)null3) 正态分布 N(, 2)null三、二维随机变量的数学期望则：1. 设二维离散型随机变量 (X, Y) 的联合分布律为：2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则：null解:例5: 设(X, Y)的联合密度为:求 E(X).null四、随机变量的函数的数学期望1. 问题的提出：设已知随机变量X的分布, 我们需要计算的是X的某个函数 g(X)的期望, 那么应该如何计算呢？一种方法是, 因为 g(X) 也是随机变量, 它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了 g(X) 的分布, 就可以按照期望的定义把 E[g(X)] 计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布,一般是比较复杂的 .null(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f (x), 若2. 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数)null3. 上述定理还可以推广到两个或两个以上 随机变量的函数的情况。null例6null例7null五、数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);(诸Xi相互独立时)反之不然: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立null X~b(n,p), 若设则: X= X1+X2+…+Xn= npi=1,2，…，n因为: P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.例8 求二项分布的数学期望(简便方法)null例10: 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车, 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X). (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立)null按题意本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于 随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.作业作业习题4-1 2,3,5,6, 9,11,12