幽游白书拓扑学

    《幽游白书》中人类世界、灵界以及魔界的空间位置关系是一个令（一小部分）人感兴趣的问题。下面我将从漫画中的描述出发对这一问题做出我自己的推论。     首先毫无疑问人类世界的空间是一个三维流形。另一方面从浦饭与其他妖怪的打斗等等来看，魔界也是三维的。仙水打开的连接人类世界与魔界的洞是二维的。雷禅在回忆中描述，上古的时候魔界与人类世界是表里相通，妖怪可以自由来往。从这些我们推测，魔界与人类世界的交叉是二维的，而这样的二维面覆盖了整个人类世界。我们知道，在四维空间中的两个三维子流形的横断的（transversal）交叉总是二维的。因此这暗示了一个四维的“全空间（total space）”的存在。另一个重要线索来自小阎王的描述：魔界是非常广阔的，分为许多层，灵界所管理的只是第一层的一半。这个描述给出了非常丰富的信息，我们之后还会不时地引用。“魔界分为许多层”这句话已经非常明显的说明了，全空间是一个纤维丛，每根纤维是三维的，这就是一层魔界。（请不要被小阎王做这个描述时所画的示意图所误导，在那个图上一层层的魔界被画成摞在一起的一层层面饼的样子，仿佛魔界是二维的；但我们要记住这只是为了向浦饭这种没大脑的人做说明所画的示意图。）4-3=1，所以底空间是一维的，在这里我们做一个数学上的假设，即假设全空间是连通、紧致、没有边界的流形。于是立即得出底空间是圆周S1。我们把这按照惯常的记号画成下面的图：     关于灵界所处的位置则十分微妙。仙水等人要去魔界，需要花时间打开一个洞，再由桑原的次元刀划开结界等等的大费周张，但牡丹在人类世界与灵界之间来往，只要坐在一根扫把上飞飞就到了（我不知道那根东西是什么，你要说是 Nimbus 2000 我也不反对），而且人死了灵魂自然就会去灵界。这都说明了灵界与人类世界在某种意义上是相通的。另一方面灵界又绝不是人类世界的一部分；这种若即若离的关系，以及语言上莫名其妙的谐音都说明了——灵界是一种临界现象。我在这里不打算深入说明Bott-Morse理论中临界子流形的概念，只画一个下面这样的示意图：     一个平放的面包圈T2=S1xS1，它的高度函数不是一个Morse函数，但是是一个Bott-Morse函数，Morse理论中临界点的概念在Bott-Morse理论中推广为临界子流形，即是图中与上下两个平面相切的圆周。     回到我们原来的问题，在这里我们大胆地推测：图一中的投射p限制在人类世界流形W上是不平滑的，并且临界子流形是（允许存在的最高维）二维的。这个二维的临界子流形，即是灵界与人类世界的交界。现在假设这个二维临界子流形是一个种数（genus）为g的曲面（有g个洞的面包圈），记为Σg，应用Bott-Morse理论，我们知道W是一个以Σg为纤维、底空间S1的纤维丛，它在全空间E中的位置如下图所示：     概括地说，p的纤维（魔界）p-1(x)在x≠x0时都与W（人类世界）横断相交，唯独p-1(x0)与W相切于一个种数g的二维面，这个二维面即是灵界与人类世界的交界。那么灵界到底在哪儿？注意小阎王所说：“灵界管理的只是（魔界）第一层的一半”。很显然这里p-1(x0)就是所谓的“魔界第一层”，它的“一半”即是灵界。     这个“一半”是十分地显眼，为什么正好是一半？我简直是迫不及待地想起了著名的Heegaard Splitting，简单地说这个理论是这样的：取两个种数同为g的handle-bodies（有g个洞的实心面包圈），它们的表面都是种数g的曲面，把这两个面粘起来就得到一个连通紧致有向无边的三维流形，反之任何一个连通紧致有向无边的三维流形都可以像这样分解为两个种数同为g的handle-bodies。下图示意了怎样把两个实心面包圈A和B粘起来形成S3，即我们的三维欧几里得空间加上一个无穷远点。（这也是拓扑学入门时常常让初学者想破脑袋的一个例子，我当年就是如此……）     于是答案很明了了：p的每一根纤维（每一层魔界）都有一个种数g的Heegaard Splitting，特别在p-1(x0)处，这个分解的其中一个handle-body归灵界管理，并且这个handle-body的表面与W（人类世界）相切，是为灵界于人类世界的分界。