高等数学典型例题

第一章 函数及其图形 例1： A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1}     注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的，都采用直接法。 例2：函数 的定义域为（ ）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知 即要有x>0、x≠1与 同时成立，从而其定义域为 ，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（ ） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。   B中的函数是相同的。因为 对一切实数x都成立，故应选B。   C中的两个函数是不同的。因为 的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。   D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。 例4：设 解：在 令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 例5： f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数 是（ ）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数 解：由于 ，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由 ，可得 ，从而有 。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（ ）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 Ｄ．奇偶性不确定 解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。 例 8：函数 的反函数是（ ）。 A． 　　  B． 　 C． 　  D． 解： 于是， 是所给函数的反函数，即应选C。 例 9：下列函数能复合成一个函数的是（ ）。 　A． 　　B． 　C． 　　D． 解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f (u)的定义域内，不能复合。在(D)中，u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域 ，也不能复合。只有(C)中 的定义域内，可以复合成一个函数，故应选C。 例 10：函数 可以看成哪些简单函数复合而成： 解： ，三个简单函数复合而成。 第二章 极限与连续 例1：下列数列中，收敛的数列是（ ） A. B. C. D. 解：（A）中数列为0，1，0，1，……其下标为奇数的项均为0，而下标为偶数的项均为1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。 由于 ，故（B）中数列发散。 由于正弦函数是一个周期为 的周期函数，当 时， 并不能无限趋近于一个确定的值，因而（C）中数列也发散。 由于 ，故（D）中数列收敛。 例2：设 ，则a=( ) A.0 B.1 C.3 D.1/3 解：假设 =0，则所给极限为 ，其分子趋于∞，而分母趋于有限值3，所以极限为∞，不是1/5，因而≠0。 当≠0时，所给极限为 ，故应选C。 一般地，如果有理函数 ，其中 、 分别为n的k次、l次多项式，那么，当 时， 当k=l时，f (n)的极限为 、 的最高次项的系数之比； 当kl时，f (n)的极限为∞。 对于当x→∞（或+∞，－∞）时x的有理分式函数 的极限，也有类似的结果。 例3. A. 0 B. 1 C. π D.　n 解 利用重要极限   ，故应选C。 注：第一重要极限 的本质是 ，这里的 可以想象为一个空的筐子，里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个填入的内容要相同）。 类似地，第二重要极限 可以看作是 ，其中可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式。 例4. 求 解法 1 解法 2 解法 3 例5. A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 1/4 解：由于 ,故应选D。 例6. 解 : 注意 本题属于“∞-∞”型，是个未定式，不能简单地认为它等于0或认为是∞，对于此类问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。 例7. 当x→0时， 的（ ）。 A. 同阶无穷小量 B. 高阶无穷小量 C. 低价无穷小量 D. 较低阶的无穷小量   解：由于 可知 是x的同阶无穷小量，所以应选A。 例8. 当 等价的无穷小量是( ) A. B. C. D. 解：由于 可知 的高阶无穷小量，同时 等价的无穷小量，所以选D。 例9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是( ) A. B. C. D. 解：由于 所以应选A. 例10．要使函数 在x=0处连续，f(0)应该补充定义的数值是( ) A.1/2 B.2 C.1 D.0 解： 要使函数f(x)在x=0处连续，必须有 因此要令f(0)=1. 故应选C。 例11．设 求k，使f(x)连续。 解：由于函数f(x)在（-∞，0）和（0，+∞）两区间内均由初等函数表示，而且在这两个区间内均有定义，因此在这两个区间内是连续的。函数是否连续取决于它在x=0处是否连续。要让f(x)在x=0处连续，必须 由于 = 又由 可知 例12．证明方程 在区间（1，2）内必有一根。 证：令 ，由于f（x）是初等函数，它在区间（-∞，+∞） 上连续，另外f（1）=-1<1 ，f（2）=13>0， f（x）在[1，2]上连续，故由零点 存在定理知，存在 在区间（1,2）内必有 一个根. 第三章 导数和微分  例1：讨论函数 例2： 例3：分段函数 处是否连续？是否可导？为什么？     例4：     例5： 例6：  例7： 例8： 例9： 例10： 例11：证明曲线xy=1 (x>0，y>0)上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是一个常数. 例12： 例13： 第四章 中值定理与导数应用 例1：下列各函数中，在区间[-1，1]上满足罗尔定理所有条件的是( ) 例2： 例3： 例4： 例5： 例6：下列极限中能用罗必达法则的有( ) 例7： 例8： 列表 即(-∞,-2)及(0,+∞)为递增区间，（-2，-1）及（-1，0）为递减区间；当x=-2时取极大值f(-2)=-4，当x=0时取极小值f(0)=0 例9：讨论曲线 y=x4-2x3+1的凹向与拐点 解：yˊ=4x3-6x2 y″=12x2-12x=12x(x-1) 当x=0,x=1时 y″=0 x=0与x=1把定义域（-∞，+∞）分成三个区间， 列表 即(-∞,0)及(1,+∞)上凹；（0，1）下凹，两个拐点（0，1）和（1，0） 例10： 例11： 例12： 例13：某种商品需求函数为 ，求当P=4时的需求弹性。 例14： 第五章 积 分  例1：若h(x)是g(x)的一个原函数，则下列表达式中正确的一个是（ ）。          解：因为各备选答案中的右端均含有积分常数C，故只须验证各备选答案中右端的导数是否等于其左端积分的被积函数。事实上，由于g(x)未必可导，故可知（A）、（D）不正确；由题意h(x)是g(x)的一个原函数，即h'(x)=g(x)，故（B）正确而（C）不正确，因此，应选（B）。 例2： 例3： 例4： 例5： 例6： 例7： 例8： 例9： 例10： 例11： (图8-1) 例12： 例13： 例14： 例15： 例16： 例17： 例18： 例19： 例20： 例21： 例22： 试判断下列广义积分的敛散性。 例23： 试判断下列广义积分的敛散性。 例24： 例25： 例26： 例27： 例28： 第六章 无穷级数 例1： 例2： 例3： 例4： 例5： 例6： 根据极限形式的比较审敛法，可知（B）中级数是收敛的； INCLUDEPICTURE "http://student.zjzk.cn/course_ware/gs1/htm/dxlt/test6/dxlt_633.gif" \* MERGEFORMATINET 例7：  例8： 第一步，根据级数收敛必要性粗略观察是否有 若有,则得出级数 发散结论，否则进行下一步。 例9：判断交错级数 的敛散性，若收敛 ，指出是条件收敛还是绝对收敛。 例10： 例11： 例12： 例13： 例14： 第七章 多元函数微积分 例1．下列平面方程中，过点（1，1，-1）的方程是（ ） （A） x+y+Z=0 （B）x+y+Z=1 （C）x+y-Z=1 （D）x+y-Z=0 解：判断一个点是否在平面上，只需将点的坐标代入，看看是否满足相应的平面方程即可。易见应选（B）。 例2．指出下列平面的特殊位置 （1）x+2z=1； （2）x-2y=0； （3）x-2y+3z=0； （4）z-5=0. 解：设平面方程为  Ax+By+Cz+D=0 （1）方程中y的系数为B=0，故该平面平行于oy轴（垂直于zox平面）； （2）方程中z的系数C=0且D=0，故平面过oz轴； （3）方程中常数D=0，故该平面过原点； （4）方程中x的系数A=0 且y的系数B=0，故该平面垂直于oz轴（平行于xoy平面）。 例3．求过点（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。 解：平行于yoz平面即垂直于ox轴，故可设所求平面方程为Ax+D=0，将已知点（3，2，1）的坐标代入上式，得D=-3A，从而所求方程为x-3=0。 注意：在求平面方程时，Ax+By+Cz+D=0中的四个待定常数不是完全独立的，计算时可用其中的一个表示其余的三个，然后通过化简得出所求结果。 例4．求点M（2，-3，1）分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。 解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即（2，-3，-1），关于Oy轴的对称点是第一，第三分量变号，即（-2，-3，-1），关于原点的对称点是三个分量都变号即（-2，3，-1）。 例5．求平面3x+2y-z-6=0分别在三条坐标轴上的截距。 解：将平面方程化为截距式方程，得   因此该平面在Ox轴、Oy轴和Oz轴上的截距依次为2、3、和-6。 例6．求球面 的球心坐标和半径。 解：对方程进行配方，化为一般形式的球面方程       从而球心坐标为（3，-1，0），半径为 。 例7．下列方程在空间直角坐标系中，表示施转抛物面的方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 解： 只能x=y=z=0，它表示空间直角坐标系中的原点。 是一次方程，D=0表示过原点的一个平面。 即 表示绕z轴旋转张口朝z轴负方向的旋转抛物面。 表示双曲抛物面（马鞍面）故应选（C） 例8．函数 的定义域是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 解:由函数的表达式知函数的定义域为 即 ，故应选（C）。 例9．设 （A） （B） （C） （D） 解：由题设,故应选（A）。 例10．设 在点 处偏导数存在，则 （A） （B） （C） （D） 解：根据偏导数的定义，有 故应选（C）。 例11．设 证明 证明：   于是 左 注意，本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数：   两边取对数 代入左端即可得结论。 例12．设 其中f为可微函数，则 (A) (B) (C) (D) 故应选（D）。 例13．设 因此， 例14．设 例15．设z=z(x,y)是由方程 确定的函数，求 注意：在求隐函数的偏导数时，其结果中可以有变量度z的出现，结果表达式也常常不是惟一的，如本例用 代入两个偏导还可以表示成   例16．设 （A） （B） （C） （D） 解1：变量之间的关系图为 故应选（A） 注意：这里解法2经过代入后变成了一个一元函数求导问题，简洁明了。 例17．      证明：设 变量之间的关系为 例18．求函数 的极值。 解：函数 的定义域为 全平面 ， 得驻点 例19．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位分别为10万元和9万元，若生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本 ，又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量各为多少？ 例20．计算二重积分 解：作积分区域D的草图，如图7-1 (图7-1) 例21. 求 解：作积分区域D的草图，如图7-2 (图7-2) 例22. 计算二重积分 解： 积分区域D是一个圆环:内半径为 用极坐标系计算。 注意：当积分区域是圆及其部分，被积函数又比较容易化成极坐标时，应考虑使用在极坐标系之下积分。 本例关于 和关于r的积分上下限均是常数，同时被积函数可以分离，这时二重积分可化成两个定积分的乘积。 例23. 计算 其中 解法1： 即圆心在（0,a）半径为a的圆。又 ,因此是右半半圆（如图7-3）。 (图7-3) 用极坐标系计算。 解法2：用直角坐标系计算，先对x后对y积分右半圆的方程为 第八章 微分方程初步 例1．微分方程 的阶是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解：由于微分方程的阶是指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，这里最高是y"因此，所给方程是二阶微分方程，故应选（B） 例2．方程 满足初始条件 的特解是 ( ) A. B. C. D. 解：四个选择支中，满足 的是（A）（B）和（C），因此可将（D）排除在外。对（A） 代入原方程，等号不成立，对（B） 代入原方程，等号成立，即 是原方程满足 的特解。 故应选（B） 例3．已知微分方程 。 （1）验证 （C为任意常数）是该方程的通解； （2）求出方程满足初始条件 的特解。 解：（1）由于 ，所以 ，将两式代入原方程，得 ，两端恒等，根据微分方程解的定义知 为原方程的解。又由于原方程是一阶微分方程， 中含有一个任意常数C，故 是原方程的通解。 （2）将 代入通解，得C=2，因而 是原方程满足初始条件 的特解。 例4．求 满足初始条件y（0）=0的特解。 解：易见，所给方程为可分离变量的方程，分离变量后得 两端积分得 记 ，注意到 也是方程的解，令C为任意常数，则所给方程的通解为 。 由初始条件y（0）=0，代入通解中得C=1，于是所求特解为 。 注意 为了运算方便，可将两端积分后方程式中的ln|y+1|写成ln(y+1)，只要记住最后得到的任意常数可正可负即可。另外，也可以将式中的任意常数 写为lnC，最终C是任意常数。 例5．求微分方程 的通解。 解：原方程可改写成 它是一个齐次方程。 令 即y=xu，从而 代入原方程得 整理得可分离变量的方程 两端积分，得ln(u+5)=lnx+lnc，即u+5=Cx，以 代入，即得 为原方程的通解。 注意 对于齐次方程，我们是用变量代换 将其变换为可分离变量的方程然后求解的。 例6．求微分方程 的通解。 解法1：将原方程变形，得 为一阶线性非齐次方程，用

公式

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法求解。此处 有 为所求通解。 解法2：用常数变易法，方程 相应的一阶线性齐次方程为 分离变量得 两边积分 一阶线性齐次方程通解为 用常数变易法，把C改成 设原一阶线性非齐次方程的解为 那么 代入原方程 积分u（x）=-cosx+c. 因此，一阶线性非齐次方程的通解为 . 解法3：将原方程变形为 也就是 即有xy=-cosx+C， 所以，原方程的通解为 . 注意：这里给出了三种解法，建议考生熟练掌握第一种解法，比较简洁，操作性强。 例7．求微分方程 满足初始条件 的特解. 解：将原方程变形为 是一阶线性非齐方程， ,用公式法， 因此 这是一阶线性非齐方程的通解。 将 代入，得c=1-e，故所求特解为 注意，这里用直接代公式的方法解方程，有兴趣的考生可以参照上例，用其他两种方法求解。 例8．求微分方程 满足 的特解。 解：将原方程变形为 它是一个右端不显含x的可降阶方程。 令 代入原方程得 先分离变量再两端积分，得 。 将初始条件 代入上式，有 . 所以， ，结合条件 可得 ，先分离变量再积分，得 ， 由 代入上式解得 。于是，原方程的特解为 。 注意：这是二阶微分方程的问题，为使计算简化，在解题过程中及时利用初始条件确定了任意常数 的值，考生在今后解题过程中也要注意应用这种方法。 例9．求下列二阶常系数微分方程的解。 解：（1）该方程的特征方程为 其特征根为 。 所以，该方程的通解为 。 （2）该方程的特征方程为 其特征根为 。 所以，该方程的通解为 。 （3）该方程的特征方程为 其特征根为 。 所以，该方程的通解为 。 （4）该方程的特征方程为 其特征根为一对共轭复根 。 所以，该方程的通解是 。 （5）该方程的特征方程为 有一对共轭复根 。 所以，该方程的通解为 。 例10．设有微分方程 ，试根据下列不同的f(x)，设出其相应特解 的形式。 解：方程对应的齐次方程的特征方程为 其特征根为 。 （1）由于λ=2是特征方程的单根，n=1，故应设特解为 （2）由于λ=1也是特征方程的单根，n=3，故应设特解为 （3）由于λ=3不是特征方程的根，n=3，故应设特解为 （4）由于λ=0不是特征方程的根，n=2，故应设特解为 例11．设有微分方程 ，试根据下列不同的f(x)，设出其相应特解 的形式。 解：方程对应的齐次方程的特征方程为 有两个相同的实根 。 (1)由于λ=3也是特征方程的重根，n=1，故应设特解为 而由于λ=2、5、0均不是特征方程的根，类似于上例，应设特解为 例12．设有微分方程 ，试根据下列不同的f(x)，设出其相应特解 的形式。 解：与非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为 该方程有一对共轭复根 。 （1）由于λ=1不是特征方程的根，n=0，故应设特解为 （2）由于λ=2i不是特征方程的根，n=0，故应设特解为 （3）由于λ=2+3i是特征方程的单根，n=0，故应设特解为 （4）由于λ=1+3i不是特征方程的根，n=1，故应设特解为 。