第五节 广义积分

null第四节 广义积分第四节 广义积分基本问题：（1）积分区间 [ a , b ] 为有限区间；（2）f (x) 连续，或有界且间断点的个数为有限个。（1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间；（2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。null（一）无穷限的广义积分(1) 设 f (x) 在 [ a , +  ) 上连续，则对任意的 存在，记为如果极限存在就称该极限值为 f (x) 在 [ a , +  ) 上的广义积分记为此时就称广义积分存在或收敛。若上述极限不存在，就称该广义积分不存在或发散。null（2）类似地我们可以定义广义积分：（3）对于在(   , +  ) 上，定义：通常取 c = 0 .以上反常积分统称为无穷限的广义积分。null记号约定：设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则即类似地null广义积分 的计算分两步：（1）计算正常积分：（2）求极限：例1：求广义积分解：null若采用约定记号，则上述求解过程可简化如下：null例2：试确定积分 在 p 取什么值时 收敛，取什么值时发散（a >0）。解（1）当 p  1 时（I）当 p >1 时，则 null（II）当 p < 1 时，则null收敛发散null（2）当 p = 1 时，则发散…110yx p = 1 p > 1 p < 1解结论：（1）当 p > 1 时，广义 积分收敛。（2）当 p  1 时，广义 积分发散。null例3：计算解：课堂练习：P247，1 (1，5)nullnull例4：计算 方法一：两个不同类型函数乘积的广义积分， 可考虑用分部积分法。不讲null其中，null×思考题：指出下面解题过程的错误不存在或发散null 方法二：先换元，消去反三角函数令则正常积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分nullnull定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.null例1 计算广义积分解null证null例3 计算广义积分解故原广义积分发散.null例4：计算解：×因为被积函数是一个广义积分，因此当 x  0 时无界，所以积分发散。发散同理也发散null例5 计算广义积分解No三、小结三、小结无界函数的广义积分（瑕积分）无穷限的广义积分（注意：不能忽略内部的瑕点）作业：1（3，7）二、 无界函数的积分二、 无界函数的积分例如：特点：被积函数在积分区间上无界。定义：如果函数 f (x) 在点 a 的任何邻域内都无界， 则称点 a 为 f (x) 的瑕点（又称为无界间断点）null定义：（1）设 f (x) 在 ( a , b ] 上连续，点 a 为 f (x) 的 瑕点，则对任意的 a < t < b, f (x) 在 [ t , b ] 上连续，因此积分如果极限就称该极限值为f (x) 在 ( a , b ] 上的广义积分或瑕积分存在并称广义积分如果就称广义积分发散。存在或收敛，记为null记号约定：设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则null（2）设 f (x) 在 [ a , b ）上连续，点 b 为 f (x) 的 瑕点，则对任意的 a < t < b, f (x) 在 [ a , t ] 上连续，因此积分如果极限就称该极限值为f (x) 在 [ a , b ) 上的广义积分或瑕积分存在并称广义积分如果就称广义积分发散。存在或收敛，记为null记号约定：设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则null（3）设 f (x) 在 [ a , b ]上除点 c 外连续，a < c < b , 点 c 为 f (x) 的瑕点，如果下列两个瑕积分此时称广义积分否则，就称广义积分存在或收敛，都存在，则定义f (x) 在 [ a , b] 上的广义积分或瑕积分为发散。广义积分广义积分同时收敛。收敛null例1 计算广义积分解null例1 计算广义积分解a0yxtnull例2：计算积分解：因为所以被积函数 ln x 当时无界，所以是一个广义积分。null例3：计算解：×因为被积函数是一个广义积分，因此当 x  0 时无界，所以积分发散。发散同理也发散null例4：计算解：这是一个以 1 为瑕点的广义积分nullnull例5：广义积分解（1）当 q  1 时（I）当 q < 1 时，则 当 q < 1 时收敛，当 q  1 时发散。收敛null（I）当 q > 1 时，则 发散null例5：证明广义积分解（2）当 q = 1 时当 q < 1 时收敛，当 q  1 时发散。发散结论：（1）当 q < 1 时，广义积分收敛。（2）当 q  1 时，广义积分发散。null例6：求广义积分解：令null第五章作业第四节：广义积分习题5 5: 1(3, 7)