数学基础讲义

电磁学讲义——Mathematical Preliminaries 电磁学，顾名思义是研究电现象和磁现象的学科。做为近代物理学的一 个重要分支，电磁学和力学、热力学、光学等学科共同支撑着经典物理学 的大厦。因此，在国内外几乎所有物理学专业及相关专业的本科课程设计 中，电磁学都是大一的一门非常重要的专业必修课。在我们学校，电磁学 安排在大一第二学期，和力学一起成为各位在大学期间最早接触的物理课 程。这样的安排其实并不完美。因为电磁学需要用到较多的各位还没接触 到的数学工具，包括（但不限于）多元函数微积分、矢量张量分析、复变 函数、微分积分方程等等。这些知识的不足必然会对学习电磁学造成一定 的障碍。因此，很多时候大家觉得学电磁学难，其实难的不是物理，而是 数学。 本讲义的目的，是希望利用尽量少的时间，尽量多的弥补一下各位数学 上的不足，从而为学习电磁学铺平一些道路。在这里我将简单的介绍多元 函数微积分、矢量微分算符、以及曲面微分和积分。我的目的只有一个， 就是让各位在最短的时间内会用这些工具理解和处理物理问题。因此，本 讲义决不是数学课，在这里不强调定义和证明，只强调理解和应用。举例 来说，在这里你们学不到如何证明一个函数是否可导是否可积，只能学到 如何把一个可导的函数“导”出来，把一个可积的函数“积”出来。从这 个角度来说，这里讲的数学完全是功利性的数学，没有任何美可言。对数 学真正有兴趣的同学，可以去参考任何一本古典分析的经典教程。 在开始之前，我特别需要强调的是，本讲义的很多内容是原封不动照抄 李忠和周建莹两位老师著的《高等数学》（北京大学出版社，2004）。由 于抄的地方太多，我就不打引号表明引用了。各位如果在文中发现相同或 相似的部分，所有的版权都归属于李、周二位老师。我只是把他们的话摘 抄出来再编排一下。因此，如果有看讲义看不懂的地方，也欢迎大家参考 原著。 1 1 矢量的基本运算 矢量（vector，也称向量）的概念大家在第一学期的数学课程中已经接 触过了。下面，我们简单介绍一下矢量运算法则。由于本课程所接触到的 矢量大多是三维矢量，下面我们以三维矢量为例讨论。 设 ~A和 ~B均为三维矢量 ~A = (Ax; Ay; Az) = Axn^x + Ayn^y + Azn^z; ~B = (Bx; By; Bz) = Bxn^x +Byn^y +Bzn^z; 其中Ai和Bi为相应矢量在i = x; y; z方向的分量，n^i为i方向的单位矢量（也 有的中记为e^i）。另设c为一个标量（即一个数）。他们之间的运算满足 如下法则 两个矢量相加、相减 ~A� ~B = (Ax �Bx) n^x + (Ay �By) n^y + (Az �Bz) n^z; 两个矢量相加，即对应的分量相加。 一个矢量和一个标量相乘 c ~A = cAxn^x + cAyn^y + cAzn^z; 即标量和矢量的各个分量分别相乘。 两个矢量点乘 ~A � ~B = AxBx + AyBy + AzBz: 即两个矢量的对应分量相乘再相加。 两个矢量叉乘 ~A� ~B = (Axn^x + Ayn^y + Azn^z)� (Bxn^x +Byn^y +Bzn^z) = AxBx (n^x � n^x) + AxBy (n^x � n^y) + AxBz (n^x � n^z) +AyBx (n^y � n^x) + AyBy (n^y � n^y) + AyBz (n^y � n^z) +AzBx (n^z � n^x) + AzBy (n^z � n^y) + AzBz (n^z � n^z) = (AyBz � AzBy) n^x + (AzBx � AxBz) n^y + (AxBy � AyBx) n^z 在上式的推导过程中，我们用了如下矢量叉乘法则 n^x � n^x = n^y � n^y = n^z � n^z = 0; n^x � n^y = �n^y � n^x = n^z; n^y � n^z = �n^z � n^y = n^x; n^z � n^x = �n^x � n^z = n^y: 2 Homework 1.1 设 ~A、 ~B和~C均为三维矢量。证明如下等式成立 ~A � ~B = ~B � ~A ~A� ~B = � ~B � ~A ~A � � ~B � ~C � = ~C � � ~A� ~B � = ~B � � ~C � ~A � 3 2 多元函数的微分 多元函数就是含有多个自变量的函数。这个概念很容易理解。例如，长 方形的面积就是长和宽两个变量的函数 S(a; b) = a� b: 长方体的体积是长、宽、高三个变量的函数 V (a; b; h) = a� b� h: 类似的多元函数还可以举出无数的例子。 2.1 偏导数 由于多元函数包含多个自变量，我们原来熟悉的单变量函数导数的概 念就不能直接用了。但是，我们注意到，如果一个多元函数中的N个自变 量，只有一个在发生变化，而其他N � 1个被固定，这时这个函数就退化为 一个单变量函数。比如，我们把长方体的长和宽固定为a0和b0，只有高度 可以变化，那么长方体的体积就从一个三元函数V (a; b; h)变成了一个一元 函数V1(h)。 V (a = a0; b = b0; h) � V1(h): 对于V1(h)，由于它已经是一个单变量函数，我们自然可以定义它的导数 V 01＝ dV1 dh : 我们把V 01，称做三元函数V (a; b; h)的偏导数（partial derivative）， 记为 Vx � @V @h : 公式中的@一般读作partial，取偏导数的前一个单词。 注意在定义偏导 数的时候，我们固定了a = a0和b = b0。显然，这样定义出来的偏导数 和a及b的具体取值是有关的。因此，偏导数有时也写为 Vh(a0; b0; h0); @V (a0; b0; h0) @h ; @V @h ���� (a0;b0;h0) ; Vhj(a0;b0;h0): 4 Example 2.1 求函数V (a; b; h) = abh对a, b, h的偏导数。 @V @a = @ @a (abh) = bh: @V @b = @ @a (abh) = ah: @V @h = @ @a (abh) = ab: Example 2.2 求函数f(x; y; z) = p x2 + y2 + z2对x的偏导数。 @f @x = 1 2 � 1p x2 + y2 + z2 � 2x = xp x2 + y2 + z2 : Example 2.3 求函数g(x; y; �) = x cos(2�) + y sin �对�的偏导数。 @g @� = x� [� sin(2�)]� 2 + y � cos � = �2x sin(2�) + y cos �: 2.2 偏导数的几何意义 偏导数的几何意义，也完全可以由单变量函数的几何意义类比得到。 在这里，我们以最简单的二元函数做为例子。考虑一个二元函数f(x; y)， 由解析几何的知识，我们知道这样一个函数一般定义了空间中的一个曲 面（假设这个二元函数的性质足够好，处处连续处处可导）。而如果我们 固定x = x0，所得到的单变量函数f1(y) � f(x = x0; y)对应于这个曲面 上的一条曲线。这个单变量函数的导数df1/dy，也即原来二元函数的偏导 数@f(x0; y)/@y，代表了该曲面在y方向上的斜率。同理，f(x; y)对x的偏导 数代表了该曲面在x方向上的斜率。 2.3 高阶偏导数 在定义了偏导数之后，我们还可以仿照单变量函数高阶导数的概念，定 义多元函数的高阶偏导数。比如对一个二元函数f(x; y)，我们在定义一阶 偏导数之后 @f @x ; @f @y ; 还可以定义二阶偏导数 @2f @x2 � @ @x � @f @x � ; @2f @y2 � @ @y � @f @y � : 5 以及 @2f @x@y � @ @y � @f @x � ; @2f @y@x � @ @x � @f @y � : 根据李忠、周建莹两位老师的书，对于混合偏导数的记法有个通常的习 惯，即@2f/@x@y表示函数先对x求导再对y求导。这个习惯在数学界是不是 通用我不知道，在物理界并不是所有人都知道的。所幸，物理界用到的大 部分函数，求导顺序是可以交换的，即 @ @y � @f @x � = @ @x � @f @y � : 在这种情况下，自然没必要追究顺序问题。但如果遇到求导顺序不能交 换的时候，我个人的意见还是应该用最明确的方法写出来，而不要依赖 于“习惯”。至于求导顺序何时可以交换，其本质等同于两个极限何时 能交换顺序的问题，涉及到“一致收敛”的概念，远远超出了本讲义的范 围，有兴趣的同学可以参考随便一本《实变函数》或者《实分析》。 Example 2.4 求函数f(x; y) = yexy的二阶偏导数。 @f @x = y2exy; @f @y = exy + xyexy; @2f @x2 = y3exy; @2f @y2 = 2xexy + x2yexy; @ @x @f @y = 2yexy + xy2exy; @ @y @f @x = 2yexy + xy2exy; Example 2.5 设f(x; y)＝ln p x2 + y2，求@2f/@x2和@2f/@y2。证明@2f/@x2+ @2f/@y2 = 0。 @2f @x2 = @ @x 1p x2 + y2 � 1 2 1p x2 + y2 � 2x ! = @ @x � x x2 + y2 � = 1 x2 + y2 � 2x 2 (x2 + y2)2 = y2 � x2 x2 + y2 ; @2f @y2 = @ @y � y x2 + y2 � = x2 � y2 x2 + y2 : 6 将两个二阶偏微分的表达式相加，即可证明 @2f @x2 + @2f @y2 = 0: 上面的方程称为二维空间的拉普拉斯(Laplace)方程，题设中的函数f(x; y)是 拉普拉斯方程的一个解。 Homework 2.1 证明函数f(x; y; z) = 1 x2+y2+z2 满足三维拉普拉斯方程 @2f @x2 + @2f @y2 + @2f @z2 = 0: Homework 2.2 证明函数f(x; y; z; t) = 1 x2+y2+z2�c2t2满足如下方程 @2f @x2 + @2f @y2 + @2f @z2 � 1 c2 @2f @t2 = 0: 2.4 全微分 多元函数的全微分，也是对单变量函数全微分的一个推广。再次以二元 函数f(x; y)为例，当自变量发生改变x! x+ �x，y ! y + �y，函数值的改 变为 �f = f(x+ �x; y + �y)� f(x; y): 在已知函数f(x; y)表达式的情况下，这个增量是很容易计算的。 Example 2.6 设函数f(x; y) = xy2，求它在点(x0; y0)处的全增量。 �f = y20�x+ 2x0y0�y + x0�y 2 + 2y0�x�y + �x�y 2: 考察上面的全增量表达式，注意除了前面两项是�x与�y的线性函数外， 后面三项是�x与�y的二次以上的多项式。当�x，�y很小时，后三项比前两 项要小得多。因此，可用前面两项近似代替�f，即有 �f � y20�x+ 2x0y0�y; 即�f可用�x和�y的一个线性函数近似代替。 考察上面�f的线性近似表达式，我们注意到�x前面的系数为y20，恰恰 是原函数f(x; y)对x的偏导数，而�y前面的系数为2x0y0，是原函数f(x; y)对 y的偏导数。事实上，这个关系是具有普遍性的。对于一个可微二元函 数f(x; y)，其全微分df具有以下形式 df = @f(x; y) @x dx+ @f(x; y) @y dy: 7 更一般的，对于一个可微N元函数f(x1; x2; : : : ; xN)，其全微分可以写为 df = @f(x1; x2; : : : ; xN) @x1 dx1 + @f(x1; x2; : : : ; xN) @x2 dx2 + � � �+ @f(x1; x2; : : : ; xN) @xN dxN = NX i=1 @f(x1; x2; : : : ; xN) @xi dxi: 2.5 复合函数微分法 设函数u(x; y)和v(x; y)在点(x; y)处对x，y的偏导数存在，又设函数f(u; v)在 相应的点(u; v)的偏导数存在且连续，则复合函数f(u(x; y); v(x; y))在点(x; y)处 对x，y的偏导数也存在，且有公式 @f @x = @f @u � @u @x + @f @v � @v @x : @f @y = @f @u � @u @y + @f @v � @v @y : 这两个公式称为求复合函数偏导数的锁链法则或链法则。 在上述讨论中，中间变量u，v和自变量x，y都是两个。其实链法则不 限于这种情况。比如自变量只有一个x时， @f(u; v) @x = @f @u � @u @x + @f @v � @v @x = @f @u u0(x) + @f @v v0(x): 再比如中间变量有三个f = (u; v; w)，自变量有两个x，y，链法则变成 @f @x = @f @u � @u @x + @f @v � @v @x + @f @w � @w @x ; @f @y = @f @u � @u @y + @f @v � @v @y + @f @w � @w @y ; 将链法则推广到M个中间变量（u1; u2; : : : ; uM）和N个自变量（x1; x2; : : : ; xN） 的情况也是非常自然的。这时，函数有N个一阶偏导数，且每一个一阶偏 导数为M项之和 @f @xi = @f @u1 � @u1 @xi + @f @u2 � @u2 @xi + � � �+ @f @uM � @uM @xi = MX j=1 @f @uj � @uj @xi : 8 Example 2.7 设三变量函数f(u; v; w)，其中u = ex，v = xy，w = y sin x。求@f/@x及@f/@y。 直接应用链法则，我们有 @f @x = @f @u � ex + @f @v � y + @f @w � y cos x; @f @y = @f @u � 0 + @f @v � x+ @f @w � sin x: 2.6 方向导数和梯度 在节2.2中，我们了解到，偏导数@f/@x与@f/@y实际上就是函数沿着x 和y方向的变化率。无论是x还是y方向，只是两个特殊的方向而已，有时我 们还需要考虑沿着其他方向函数值的变化率。从这一目的出发，我们下面 引入方向导数的概念。 考虑一个二元函数f(x; y)，假设它处处连续且处处可微。这样的二 元函数定义了空间中的一个曲面S，曲面上每个点的坐标值为(x; y; z = f(x; y))。下面，我们通过曲面上的某一点(x0; y0; z0 = f(x0; y0))，沿给定方 向~`＝(cos�; sin�)做一条直线L，其中�为该方向矢量和x轴之间的夹角。 当我们沿直线L有一个小位移dl，即自变量发生如下改变 (x0; y0)! (x0 + �l cos�; y0 + �l sin�); 这时，函数值的改变量可以近似为函数的全微分 �f = f(x0 + �l cos�; y0 + �l sin�)� f(x0; y0) � @f @x dx+ @f @y dy = � @f @x cos�+ @f @y sin� � �l: 我们将上式中最后一行中括号中的部分，定义为函数f(x; y)的方向偏导 数，记为 @f @~` � @f @x cos�+ @f @y sin�; 其中�为~`与x轴的夹角。 Example 2.8 求函数f(x; y) = x3y在点(1; 2)处沿从点P0(1; 2)到点P1(1 +p 3; 3)的方向的方向导数。 9 首先计算f在(1; 2)点的偏导数 @f @x ���� (1;2) = 3x2y ���� (1;2) = 6; @f @x ���� (1;2) = x3 ���� (1;2) = 2: 其次计算给定方向的方向余弦。因为~` = P0P1 = ( p 3; 1)，因此P0P1和x轴 的夹角为�/6。于是，我们得到沿该方向的方向导数为 @f @~` = 6� cos � 6 + 1� sin � 6 = 3 p 3 + 1 2 : 从上面的讨论我们可以发现，这样定义的方向导数，其物理意义即为 自变量沿~`方向发生变化时，函数值随之变化的斜率。举一个生活中的例 子，比如我们从山脚下往山顶攀登，走不同的路登山的难度也不同，有 的路平缓一些，有的路陡峭一些。如果用数学语言表述这件事，我们可 以将山上每一点的海拔高度看作是地图上经纬度坐标的一个二元函数z = h(x; y)，其中z表示海拔，x表示经度，y表示纬度。沿不同的道路上山，对 应着h(x; y)沿不同的方向发生变化，其方向导数也不一样：方向导数大的 方向，对应的路就陡峭一些，方向导数小的方向，对应的路就平缓一些； 方向导数是正的方向，对应着上山的路，方向导数是负的方向，对应着下 山的路。 接下来，我们会很自然地提出一个问题：在所有上山的路当中，一般来 讲会存在一个最陡峭的方向。换句话说，即海拔分布函数h(x; y)变化最快 的方向。那么我们如何来找到这样一个方向呢？要回答这个问题，我们不 妨把方向导数的定义重写为以下形式 @f @~` � @f @x cos�+ @f @y sin� = � @f @x ; @f @y � � (cos�; sin�) : 如果我们引入矢量~g = (@f/@x; @f/@y)，上式可表示为两个矢量点乘的形 式。 @f @~` = ~g � ~`: 对于确定的自变量(x0; y0)，矢量~g为一固定矢量。但~`是随方向的变化而变 化的。我们将上式再改写成如下形式 @f @~` = j~gjj~`j cos �; 10 其中j~gj表示矢量~g的模，j~`j = 1是单位矢量的模长，�为矢量~g与~`的夹角。 从这一表达式我们可以很容易看出，当� = 0，即两个矢量相互平行 时，cos � = 1，方向导数@f/@~`达到最大值j~gj；当� = �/2或3�/2，即两个 矢量相互垂直时，cos � = 0，方向导数@f/@~` = 0；当� = �，即两个矢量 相互反平行时，cos � = �1，方向导数@f/@~`达到负值的最大值�j~gj。由此 可见，~g = (@f/@x; @f/@y)这个矢量很特殊，沿着它的方向时方向导数达到 最大。 我们将上述特殊的矢量~g定义为函数f(x; y)的梯度（gradient），在物 理学教材和文献中一般记为 ~g = � @f @x ; @f @y � = rf: 这里的符号r，读音为“nabla”，也称为矢量微分算符。二维矢量微分算 符的定义是 r = � @ @x ; @ @y � 将它作用在一个二元函数f(x; y)上，即得到该函数的梯度。如上所述，得 到的梯度是一个二维矢量。 矢量微分算符还可以很自然地推广到高维空间。考虑一个有N个自变 量的函数f(x1; x2; : : : ; xN)，将矢量微分算符作用在这个函数上，将得到一 个N维矢量，也即该函数的梯度。 rf(x1; x2; : : : ; xN) = � @f @x1 ; @f @x2 ; : : : ; @f @xN � Homework 2.3证明下面梯度运算的法则和公式。注意梯度算符为矢量算 符，因此下面等式均为矢量等式，即等式两边都是矢量。 (1) r(f � g) = rf �rg; (2) r(f � g) = frg + grf ; (3) r � f g � = 1 g2 (grf � frg) ; v 6= 0; (4) r [h(f; g)] = @h @f rf + @h @g rg:其中f有连续的一阶偏导数。 11 由于矢量微分算符作用在一个函数上之后，得到的是一个矢量，因此在 手写公式时，有些人（比如我）会习惯在算符上加一个箭头（~r），以强 调它是矢量算符。在印刷出的公式中，有时也会用黑体做类似的强调。这 些符号都表示同一个意思。 2.7 标量场的梯度以及矢量场的散度和旋度 在电磁学和其他物理学课程中，经常会遇到物理量随空间分布的情况， 即物理量是空间坐标(x; y; z)的函数。这种物理量随空间的分布，在现代 物理学中被称为“场”。如果物理量是一个标量，其在空间的分布是一 个标量场。例如温度是一个标量，温度在空间的分布即为一个标量场， 空间中的每一个坐标都对应着一个温度值，由标量函数T (x; y; z)表示。再 比如电势也是一个标量，电势在空间的分布也是一个标量场，由标量函 数U(x; y; z)表示。 如果物理量是一个矢量，其在空间的分布是一个矢量场。例如电场强 度 ~E是一个矢量，其在空间的分布就是一个矢量场 ~E(x; y; z)，该矢量场由 三个分量组成(Ex(x; y; z); Ey(x; y; z); Ez(x; y; z))，每个分量各自是一个标 量场，代表了电场强度在x，y，z三个方向上的分量。 在上一小节中，我们知道矢量微分算符作用在一个标量函数上，将得到 该标量函数的梯度。对于有三个自变量的标量函数，其梯度是一个三维矢 量。矢量微分算符同样可以作用在矢量场上，且作用方式分为点乘和叉乘 两种方式。设 ~E(x; y; z)为一个矢量场，把矢量微分算符以点乘的方式作用 在 ~E上，将得到一个标量，称为 ~E(x; y; z)的散度（divergence）。记为 r � ~E(x; y; z) = � @ @x ; @ @y ; @ @z � � (Ex(x; y; z); Ey(x; y; z); Ez(x; y; z)) = @Ex(x; y; z) @x + @Ey(x; y; z) @y + @Ez(x; y; z) @z : 把矢量微分算符以叉乘的方式作用在 ~E上，将得到一个矢量，称为 ~E的 旋度（curl）。记为 r� ~E(x; y; z) = � @ @x ; @ @y ; @ @z � � (Ex(x; y; z); Ey(x; y; z); Ez(x; y; z)) = � @Ez @y � @Ey @z ; @Ex @z � @Ez @x ; @Ey @x � @Ex @y � 12 把矢量微分算符以点乘的形式作用在一个标量场f的梯度上，将得到另 一个标量场。 r � r ~E(x; y; z) = � @ @x ; @ @y ; @ @z � � � @ @x ; @ @y ; @ @z � f(x; y; z) = @2f(x; y; z) @x2 + @2f(x; y; z) @y2 + @2f(x; y; z) @z2 : 在物理文献中，通常用�表示两个矢量微分算符的点乘r � r，称为拉普拉 斯算符。即 �f(x; y; z) = @2f(x; y; z) @x2 + @2f(x; y; z) @y2 + @2f(x; y; z) @z2 : 采用这样的记号，前面提到的拉普拉斯方程可以表示为 �f(x; y; z) = 0: Homework 2.4 证明散度运算有以下基本规则 r � (c ~E) = cr � ~E; c为常数; r � � ~E1 � ~E2 � = r � ~E1 �r � ~E2; r � � f ~E � = f � r � ~E � + ~E � rf; f为标量函数; Homework 2.5 证明旋度运算有以下基本规则 r� (c ~E) = cr� ~E; c为常数; r� � ~E1 � ~E2 � = r� ~E1 �r� ~E2; r� � f ~E � = f � r� ~E � +rf � ~E; f为标量函数; Homework 2.6 证明如下公式 r � � ~E � ~F � = ~F � � r� ~E � � ~E � � r� ~F � ; r� (rf) = 0; f为标量函数; r � � r� ~E � = 0; 13 3 多重积分 多重积分的概念是一元函数的定积分概念向多元函数情况的推广。在电 磁学课程和未来的物理学学习中，多重积分是一项基本的计算技能，必须 熟练掌握应用。本课程中常用的多重积分有两种：二重积分与三重积分。 下面我们简单介绍这两种积分的概念和计算方法。我们再次强调，本讲义 的目的不在于系统地学习多元函数分析，因此，我们将忽略所有证明，而 仅仅从实用的角度出发讲述最基本的内容。除此之外，我们还假设所有的 函数都具有足够好的性质，使得我们可以不用担忧是否可积等问题。 3.1 二重积分 我们知道，一元函数的定积分是通过“分割、近似代替、求和、取极 限”的步骤来定义的。关于二元函数的重积分也是通过类似的步骤定义 的。 设函数f(x; y)在一个由有限条光滑曲线围成的区域D上有定义。然后 我们将区域D分割为若干互不重叠的小面积元Di。当这些小面积元的面 积��i共同趋向于0时，我们将如下和数 nX i=1 f(xi; yi)��i 的极限定义为函数f(x; y)在D上的二重积分。其中(xi; yi)为小面元��i上的 一点。我们将二重积分记为ZZ D f(x; y)d�; 或 ZZ D f(x; y)dxdy: 这里D称做积分区域，而f(x; y)称做被积函数。 在这里需要强调的是，上 述和式的极限与区域D的分割及中间点(xi; yi)的选择无关。这一点与一元 函数的定积分的情况是一致的。 根据定义，我们立即推出ZZ D d� = ZZ D dxdy = D的面积: Example 3.1 设D是一个平面的薄板，在一点(x; y) 2 D的面密度为�(x; y)。 那么，二重积分 ZZ D �(x; y)d� 是薄板的质量。事实上，若对区域D进行一个分割：fD1; D2; : : : ; Dng，那 么Di的质量近似于 �(xi; yi)��i; 14 其中(xi; yi) 2 Di，��i为Di的面积。于是整个薄板的质量就近似于 nX i=1 �(xi; yi)��i: 当这种分割无限加细时，其极限则必定是薄板的质量。 与定积分类似，可以证明二重积分有下列性质（再重复一次，我们假设 本讲义中所涉及的函数都是可积的）： 常数因子可以提到积分号之外ZZ D kf(x; y)d� = k ZZ D f(x; y)d� （k为常数）。 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和ZZ D [f(x; y)� g(x; y)] d� = ZZ D f(x; y)d� � ZZ D g(x; y)d�: 积分对区域的可加性 若区域D可分解为两个互不重叠的区域D1与D2， 且f在D1与D2上均可积，则ZZ D f(x; y)d� = ZZ D1 f(x; y)d� + ZZ D2 f(x; y)d�: 积分保持不等号的性质 若函数f及g在D上满足不等式 f(x; y) � g(x; y);对D上的任一点(x; y); 则 ZZ D f(x; y)d� � ZZ D g(x; y)d�: 特别地，由于�jf(x; y)j � f(x; y) � jf(x; y)j，故由上式可推出����ZZ D f(x; y)dx ���� � ZZ D jf(x; y)jd�: 15 3.2 二重积分的计算 计算二重积分的基本方法是将二重积分的计算转化为计算两个定积分。 这种方法学名叫计算累次积分，用通俗的语言，就是把二重积分化为两个 一重积分，先积一个，再积另一个。在本课程中，我们通常遇到的情况是 在直角坐标系下和极坐标系下的二重积分，下面分别进行讨论。 3.2.1 直角坐标系下的计算公式 设函数f(x; y)在闭区域D上连续，其中D由直线x = a，x = b(a < b)， 及曲线y = �1(x)，y = �2(x)（�1(x) � �2(x)，当a � x � b时）围成。这 时f(x; y)的二重积分可表成如下的镶嵌在一起的两个定积分ZZ D f(x; y)dxdy = Z b a "Z �2(x) �1(x) f(x; y)dy # dx: 上式右端括号内的积分是关于y的定积分，其中x视作常量，其上限与下限 也依赖于x。整个内层积分是x的一个函数，而外层积分是关于这个函数的 定积分。或者说，我们将二重积分化为两个一重积分，先积掉自变量y，再 积掉自变量x。一般情况下，我们会省略掉上式右端的括号，而直接将累次 积分写为ZZ D f(x; y)dxdy = Z b a "Z �2(x) �1(x) f(x; y)dy # dx = Z b a dx Z �2(x) �1(x) f(x; y)dy: Example 3.2 求二重积分 I = ZZ D y (1 + x2 + y2)3/2 dxdy; 其中D = f(x; y)j0 � x � 1; 0 � y � 1g. 将二重积分改写为累次积分的形式 I = Z 1 0 dx Z 1 0 y (1 + x2 + y2)3/2 dy = Z 1 0 " �1 (1 + x2 + y2)1/2 ����1 0 # dx = Z 1 0 � 1 (1 + x2)1/2 � 1 (2 + x2)1/2 � dx = h ln � x+ p 1 + x2 � � ln � x+ p 2 + x2 �i ����1 0 = ln 2 + p 3 1 + p 3 : 16 Example 3.3 求二重积分 I = ZZ D (x3 + xy)dxdy; 其中D是f(x; y)j0 � x � 1; x � y � 3xg. 首先，画出区域D的图。然后，确定累次积分中外层积分（对x的积 分）的上限与下限。显然，在我们这个题目中，对x的上限为1，下限为0。 最后来确定内层积分的上限与下限。对于任意给定的x 2 [0; 1]，在D内的 点(x; y)的坐标y的变化范围是x � y � 3x。这样，内层积分（对y的积分） 的上限为3x，而其下限为x。总之，我们有 I = Z 1 0 dx Z 3x x (x3 + xy)dy = Z 1 0 " x3(3x� x) + x 2 y2 ����3x x # dx = Z 1 0 h 2x4 + x 2 � 9x2 � x2�i dx = 7 5 : 在使用累次积分计算二重积分时，外层积分的上限与上限总是常数；无 论是外层积分还是内层积分，上限总是大于或等于下限。此外，将二重积 分化为累次积分时，积分的次序会影响积分的繁易。有时甚至会出现更极 端的情况，即在一种积分次序下，无法求积分，而换一种积分次序，就轻 而易举的解决了。 Example 3.4 求累次积分 I = Z a 0 dx Z a x ey 2 dy: 由于ey2的原函数不是初等函数，故R a x ey 2 dy无法求积分。但是，I可看 成是一个二重积分RR D ey 2 dxdy，其中D = f(x; y)j0 � x � a; x � y � ag。 现在我们改成先对x积分，这时有 I = ZZ D ey 2 dxdy = Z a 0 dy Z y 0 ey 2 dx = Z a 0 ey 2 x ����y 0 dy = Z a 0 ey 2 ydy = 1 2 ey 2 ����a 0 = 1 2 � ea 2 � 1 � : 17 Example 3.5 求旋转抛物面z = 1 � (x2 + y2)与坐标平面z = 0所围的体 积V。 根据积分区域及被积函数的对称性，我们有 V = 4 ZZ D � 1� (x2 + y2)� d�; 其中D是下列区域： D = f(x; y)jx � 0; y � 0; x2 + y2 � 1g: 这样 V = � � 4 ZZ D (x2 + y2)d� = � � 4 Z 1 0 dx Z p1�x2 0 (x2 + y2)dy = � � 4 Z 1 0 x2 p 1� x2dx� 4 3 Z 1 0 �p 1� x2 �3 dx = � 2 : Homework 3.1 计算下列二重积分 I = ZZ D ydxdy;其中D由y = 0及y = sin x（0 � x � �）所围。 I = ZZ D xy2dxdy;D由x = 1及y2 = 4x所围。 I = ZZ D ex/ydxdy;D由y2 = x，x = 0，y = 1所围。 I = ZZ D (x2 + y)dxdy;D由y = x2，y2 = x所围。 I = ZZ D y2 p 1� x2d�;D = f(x; y)jx2 + y2 � 1g: 3.2.2 在极坐标下的计算公式 对某些区域和被积函数而言，使用极坐标计算二重积分可能会带来方 便。在极坐标下，我们有ZZ D f(x; y)d� = ZZ D f(r cos �; r sin �)rdrd�; 18 其中r = p x2 + y2，cos � = x/r，sin � = y/r。 注意，在这里我们实际上 用rdrd�做为小微元，用扇形面元代替长方形面元重新对区域进行了分割。 对于一个可积二元函数，这样做是不会影响最后结果的。 Example 3.6 求二重积分 I = ZZ D dxdy (a2 + x2 + y2)3/2 ; 其中D = f(x; y)j0 � x � a; 0 � y � ag. 本题的积分区域虽然比较简单，但从被积函数的形式看，用直角坐标求 积分比较麻烦，还是用极坐标较方便。由于在�的不同范围内，D的边界曲 线的方程不同，所以要分成两项： I = Z �/4 0 d� Z a cos � 0 rdr (a2 + r2)3/2 + Z �/2 �/4 d� Z a sin � 0 rdr (a2 + r2)3/2 = Z �/4 0 � 1 a � cos � a p 1 + cos2 � � d� + Z �/2 �/4 1 a � sin � a p 1 + sin2 � ! d� = � 6a Example 3.7 求RR D e�x 2�y2d�，其中D为圆x2 + y2 � a2在第一象限的部 分。 用极坐标，D的边界曲线方程为 r = a (0 � � � �/2) ; 于是 ZZ D e�x 2�y2d� = Z �/2 0 d� Z a 0 e�r 2 rdr = � 2 � � �1 2 e�r 2 � ����a 0 = � 4 � 1� e�a2 � : 这个题目要用直角坐标计算会遇到很大困难，它充分显示了极坐标变换给 我们带来的方便。另外，这个例题还导致了一个很重要的积分公式Z +1 0 e�x 2 dx = p � 2 : 这个积分通常称为高斯积分，在物理学、统计学和工程等很多领域都有广 泛的应用。 19 Homework 3.2 利用极坐标计算下列累次积分 I = Z 1 0 dx Z p1�x2 0 � x2 + y2 � dy: I = Z 0 �1 dx Z 0 �p1�x2 2 1 + p x2 + y2 dy: I = Z R 0 dx Z pR2�x2 0 ln(1 + x2 + y2)dy: Homework 3.3 求心脏线r = a(1 + cos �)（a > 0, 0 � �2�）所围区域之 面积。 3.3 三重积分的概念和应用 三重积分是关于三元函数的积分。在计算密度分布不均匀的空间物体的 质量、物体的质心以及绕某一轴的转动惯量等问题时，都需要用到三重积 分的概念。类比于二重积分，三重积分也由如下和数的极限定义 nX i f(xi; yi; zi)�Vi: 其中�Vi为这个三元函数定义域 上的一种分割，(xi; yi; zi)为小体元�Vi上 的一点。在这些小体元的体积共同趋于零的极限下，上面和数趋于一个极 限值，记为 ZZZ f(x; y; z)dV; 或 ZZZ f(x; y; z)dxdydz; 其中f(x; y; z)称为被积函数， 称为积分区域，dV称为体元。 由三重积分的定义不难看出，若一物体占有空间位置 ，又其体密度 为�(x; y; z)，则该物体的质量M可表为�(x; y; z)的三重积分： M = ZZZ �(x; y; z)dV; 另外，还很容易看出三重积分 V = ZZZ dV 恰好就是区域 的体积。 三重积分的基本性质与二重积分的性质完全类 似，比如，关于被积函数的线性性质，关于积分区域的可加性，等等，对 三重积分而言都是成立的。 20 3.3.1 在直角坐标系下的计算 二重积分可以化成一个累次积分，即叠合在一起的两个关于一元函数的 定积分。三重积分也可以类似地这样做，化为叠合在一起的三个关于一元 函数的定积分。事实上，对于更高重的积分，一般也是化为若干个叠合在 一起的一元函数的定积分，分开一重一重的计算。 Example 3.8 求三重积分 I = ZZZ e�z 2 dxdydz; 其中 由曲面z = x2 + y2及平面z = 1围成。 将三重积分拆成累次积分的形式 I = Z 1 0 dz ZZ x2+y2�z e�z 2 dxdy = Z 1 0 �ze�z 2 dz = �� 2 e�z 2 ����1 0 = � 2 � 1� e�1� : Example 3.9 求半径为R的球体的体积。 球体的体积可以由如下三重积分表示 I = ZZZ dV = ZZZ x2+y2+z2�R2 dxdydz = Z R �R dx Z pR2�x2 �pR2�x2 dy Z pR2�x2�y2 � p R2�x2�y2 dz = Z R �R dx Z pR2�x2 �pR2�x2 2 p R2 � x2 � y2dy = � Z R �R � R2 � x2� dx = 4�R3 3 : Homework 3.3 证明椭球的体积为4�abc/3，其中椭球的方程为 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 � 1; (a > 0; b > 0; c > 0): 21 3.3.2 在柱坐标下的计算公式 我们已经知道，有时利用极坐标来计算某些二重积分较为简便。对于三 重积分，有时我们可用柱坐标或球坐标来简化计算。 我们先介绍空间点的柱坐标。 设P (x; y; z)为空间中的一点，并设P在z = 0平面上的投影P1的极坐标 为(�; �)，则数组(�; �; z)就称为点P的柱坐标。�，�，z的取值范围分别为 0 � � < +1; 0 � � < 2�; �1 < z < +1: 同一点的直角坐标(x; y; z)与柱坐标(�; �; z)间的关系为： x = � cos �; y = � sin �; z = z: 在柱坐标下，三重积分的体元变为扇柱形，体积为 dV = �d�d�dz: 因此，三重积分在柱坐标下的计算公式是ZZZ f(x; y; z)dV = ZZZ f(� cos �; � sin �; z)�d�d�dz: Example 3.10 在柱坐标下求半径为R的球体的体积。 球体的体积由如下三重积分表示ZZZ x2+y2+z2�R2 dV = Z R �R dz Z 2� 0 d� Z pR2�z2 0 �d� = � Z R �R � R2 � z2� dz = 4�R3 3 : 3.3.3 在球坐标下的计算公式 我们先介绍空间点的球坐标。 设P (x; y; z)为空间中的一点，P到原点的距离记作r，矢量 ~OP与z轴正 向的夹角记作�（0 � � � �），P在z = 0平面上的投影点P1的极角记 22 作�（0 � � < 2�），则数组(r; �; �)与点P有一一对应的关系，我们称(r; �; �)为 点P的球坐标。同一点的直角坐标与球坐标之间有下列关系 x = r sin � cos�; y = r sin � sin�; z = r cos �: 在球坐标下，三重积分的体元变为球壳元，体积为 dV = r2 sin �drd�d�: 因此，三重积分在球坐标下的计算公式是ZZZ f(x; y; z)dV = ZZZ f(r sin � cos�; r sin � sin�; r cos�)r2 sin �drd�d�: Example 3.11 在球坐标下求半径为R的球体的体积。 球体的体积由如下三重积分表示ZZZ x2+y2+z2�R2 dV = Z 2� 0 d� Z � 0 sin �d� Z R 0 r2dr = 4�R3 3 : Example 3.12 在半径为R的球内 = f(x; y; z)jx2 + y2 + z2 � R2g计算 如下三重积分： I = ZZZ y2dV: 在球坐标下，该积分可以写为 I = Z 2� 0 d� Z � 0 sin �d� Z R 0 r2drr2 sin2 � sin2 � = Z 2� 0 sin2 �d� Z � 0 sin3 �d� Z R 0 r4dr = 4�R5 15 : 23 Homework 3.4 计算下列三重积分 I = ZZZ (z + z2)dV; 其中 为单位球x2 + y2 + z2 � 1; I = ZZZ (x2 � y2 � z2)dV; : x2 + y2 + z2 � a2: I = ZZZ dVp x2 + y2 + (z � 2)2 ; : x 2 + y2 + z2 � 1: I = ZZZ (x+ 1)(y + 1)dV; : x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 � 1: 24 4 曲线积分和曲面积分 在本章中，我们简单介绍曲线积分和曲面积分的概念，以及场论中常 用的两个定理：高斯定理和斯托克斯定理。这些内容在电磁学中都有非常 广泛的应用。由于时间所限，而且本课程也不是数学课，我们仅仅点到为 止，目的也是希望大家在今后遇到这些知识的时候不那么生疏。 4.1 曲线积分 所谓曲线积分，是指一个多元函数沿一条曲线段的积分。根据被积函数 是标量还是矢量，曲线积分又分为第一型曲线积分（标量积分）和第二型 曲线积分（矢量积分）。 4.1.1 第一型曲线积分 第一型曲线积分是对标量函数沿曲线段的积分。设函数f(x; y; z)在分段 光滑的曲线段L上有定义，我们将L分为n段小线元，第i段的弧长记作�si， 在第i段上任取一点(xi; yi; zi)。当这些小线元的长度共同趋于零时，我们可 以定义函数f沿L的第一型曲线积分Z L f(x; y; z)ds � lim nX i=1 f(xi; yi; zi)�si: Example 4.1 设有一条不均匀的细线L，端点为A和B。该细线上每一 点的线密度为�(x; y; z)。求细线的质量和弧长。 这是一个非常典型的第一型曲线积分的例子。根据定义，可知该细线的 质量为 M = Z L �(x; y; z)ds: 曲线L的弧长为 ` = Z L 1 � ds: 4.1.2 第二型曲线积分 第二型曲线积分是对矢量函数沿曲线段的积分。设矢量函数~f(x; y; z) � (fx(x; y; z); fy(x; y; z); fz(x; y; z))在分段光滑的曲线段L上有定义，即每个 25 分量在L上有定义。按L的方向顺序用分点 A = A0(x0; y0; z0); A1(x1; y1; z1); A2(x2; y2; z2); � � � ; An(xn; yn; zn) = B 将曲线L分成n个有向小线段Ai�1Ai（i = 1; � � � ; n），Ai�1Ai的弧长记作�si。 当这些小线元的长度共同趋于零时，我们可以定义函数~f沿L的第二型曲线 积分 Z AB ~f � d~r � lim nX i=1 [fx�xi + fy�yi + fz�zi] : 这里�xi = xi � xi�1, �yi = yi � yi�1, �zi = zi � zi�1。 Example 4.2 设有一条光滑曲线L，并且给定了L的一个走向，其起点 为A，终点为B。现有一质点沿L移动，它在点(x; y; z) 2 L所受的力为 ~F (x; y; z) = (Fx(x; y; z); Fy(x; y; z); Fz(x; y; z)) : 求该质点沿L自A移动到B时外力~F所做的功。 这是一个非常典型的第二型曲线积分的例子。根据定义，可知外力所做 的功为 W = Z AB ~F � d~r: 4.2 曲面积分 和曲线积分类似，一个函数也可以在一个曲面上进行积分，称之为曲面 积分。与曲线积分类似，曲面积分也有第一型和第二型之分。第一型曲面 积分一般是对标量函数进行积分，与曲面的拓扑结构无关，而第二型曲面 积分则与曲面的具体形状有关。 4.2.1 第一型曲面积分 设函数f(x; y; z)在光滑的曲面S上有定义。我们把S任意分成n个互不 重叠的小片�Si。当这些小块的面积同时趋于零时，我们定义函数f在曲 面S上的第一型曲面积分为ZZ S f(s; y; z)dS � lim nX i=1 f(xi; yi; zi)�Si 其中(xi; yi; zi)为小块�Si上的一点。 26 Example 4.3 设有一个光滑曲面S，其上任一点(x; y; z)处的面密度为�(x; y; z)， 函数�(x; y; z)在S上连续。求曲面S的质量和面积。 根据定义，曲面S的质量M