均值已知的条件下方差的统计推断

均值已知的条件下方差的统计推断Ξ 张圣梅　杨桂元 (安徽财经大统计与应用学院, 蚌埠　233401) 摘　要　充分利用总体的信息, 讨论了正态总体均值 Λ已知的条件下, 方差 Ρ2 的统计推断问题. 关键词　统计推断　统计量　区间估计　假设检验 The Statist ica l Inference of Var iance in the Case of Known M ean Zhang Shengm ei Yang Gu iyuan (Schoo l of Stat ist ics and A pp lied M athem atics of A nhui U niversity F inance and Econom ics,Bengbu, 233401) Abstract　T he info rm ation rela ted to the popu lat in, how ever shou ld be m ade further use of in th is thesis, som e aspects are discussed conoern ing the m ak ing of the sta t ist ics inference of variance Ρ2 in the occeasion that the m ean Λof no rm al distribu tion is know n. Keywords　sta t ist ical inference　sta t ist ic　est im ate by a in terval　hypo thesis test ing 　　 1　总体均值与方差的点估计 对于总体随机变量X , 如果其数学期望 E (X ) = Λ, 方差V a r (X ) = Ρ2. 从总体X 中抽取样本X 1, X 2, ⋯, X n , 在总体均值 Λ、方差 Ρ2 均未知的条件下, Λ, Ρ2 的无偏 估计量分别为样本均值和样本方差 (修正) , 即: 　　　　　　　 Λ∧= X{ ∑n i= 1 X i, 　　Ρ∧= S 2 = 1 n - 1∑ n i= 1 (X i - X{ ) 2 然而, 在总体均值 Λ已知的条件下, 不需要对总体的均值进行估计, 而且 Ρ2 的无偏估计量 应为: Ρ∧= S 20 = 1 n ∑ n i= 1 (X i - Λ) 2 笔者认为, 在统计推断中应遵循的原则是: 当总体的未知时, 我们应该想法用样本的 函数 (统计量) 来估计总体的参数; 而当总体的某些参数已知时, 应该设法利用它, 因为它所提 供的是总体的信息. 当我们对总体的参数进行估计时, 利用总体的有关信息当然比利用样本的 信息更可靠. 第 25 卷第 3 期 2005 年 9 月 　　　　 数学理论与应用 M A TH EM A T ICAL TH EORY AND A PPL ICA T ION S 　　　　　　 　　V o l. 25 N o. 3　　Sep. 2005 Ξ 李柏年教授推荐 　收稿日期: 2005 年 3 月 17 日 2　正态总体参数估计量的分布 设总体X 服从正态分布, 即X ～ N (Λ, Ρ2). X 1, X 2, ⋯, X n 来自总体X 的样本, X{ , S 2 分别为 样本均值与样本方差, 则 　　　　　　　X{ ～ N Λ, Ρ2 n (1) 　　　　　　　 (n - 1)S 2Ρ2 = ∑ni= 1 (X i - X{ ) 2Ρ2 ～ ς 2 (n - 1) (2) 　　　　　　　 nS 2 0Ρ2 = ∑ni= 1 (X i - Λ) 2Ρ2 ～ ς2 (n) (3) 并且X{ 与 S 2 相互独立. 在对正态总体的方差 Ρ2 进行统计推断的过程中, 大多数教材只讨论在总体均值未知的条 件下对总体方差 (单总体、两总体) 的统计推断问题, 而总体均值已知的条件下对总体方差 (单 总体、两总体) 的统计推断问题没有提到, 使得学生在学习这部分时感到很不理解. 在正 态总体参数的统计推断中, 既然允许在总体方差已知和未知两条件下分别讨论对总体均值进 行统计推断, 那么为什么不讨论在总体均值已知和未知两种场合下对总体方差的统计推断呢? 这个问题一直未能引起数理统计学教学的重视. 本文就专门对这个问题展开讨论. 3　正态总体均值已知的条件下方差的置信区间 311　正态总体N (Λ, Ρ2) , 当 Λ已知的条件下, Ρ2 的 1 - Α置信区间 先考虑 Ρ2 的无偏估计量 S 20 = 1 n Λ∧ (X i - Λ) 2, 由于要对 Ρ2 进行区间估计, 根据 (3) 式, 　　　　　　　 nS 2 0Ρ2 = ∑ni= 1 (X i - Λ) 2Ρ2 ～ ς2 (n) , 那么对于给定的 Α(0 < Α< 1) 和 ς2 分布的上侧分位数, 有 　　　　　　　P ς21- Α2 (n) Φ ∑ni= 1 (X i - Λ) 2Ρ2 ～ ς2Α2 (n) = 1 - Α 所以, Ρ2 的置信度 1 - Α的置信区间应为: 　　　　　　　 ∑ n i= 1 (X i - Λ) 2ς2Α2 (n) , ∑ni= 1 (X i - Λ) 2ς 21- Α2 (n) 312　两个正态总体X ～ N (Λ1, Ρ21) , Y～ N (Λ2, Ρ22) , 从X , Y 中分别抽取两个独立的样本 X 1, X 2, ⋯, X n 和 Y 1, Y 2, ⋯Y m , 在 Λ1, Λ2 已知的条件下, 求Ρ21Ρ22 的 1 - Α置信区间.Ρ21, Ρ22 的无偏估计量分别为 1 n ∑ n i= 1 (X i - Λ) 2, 1 m ∑ n i= 1 (y j - Λ2) 2, 根据 (3) 式, 　　　　　　　 ∑ n i= 1 (X i - Λ) 2Ρ21 ～ ς2 (n) , ∑ni= 1 (y j - Λ2) 2Ρ22 ～ ς2 (m ) , 且这两个随机变量相互 99　第 3 期　　　　　　　　　　　均值已知的条件下方差的统计推断 独立. 那么, 　　　　　　　 ∑ n i= 1 (X i - Λ) 2 nΡ21 ∑ m j = 1 (y j - Λ2) 2 m Ρ22 = m ∑ni= 1 (X i - Λ) 2n∑mj= 1 (y j - Λ2) 2 õ Ρ22Ρ21～ F (n ,m ) , 因此 　　　　　　　P F 1- Α2 (n ,m ) Φ m ∑ni= 1 (X i - Λ) 2 n∑ m j= 1 (y j - Λ2) 2 õ Ρ22Ρ21 Φ F Α2 (n ,m ) = 1 - Α 所以, Ρ21Ρ22 的 1 - Α的置信区间为: 　　　　　　　 m ∑ n i= 1 (X i - Λ) 2 n∑ m j= 1 (y j - Λ2) 2 õ 1F Α2 (n ,m ) , m ∑ni= 1 (X i - Λ) 2n∑m j= 1 (y j - Λ2) 2 õ 1F 1- Α2 (n ,m ) 4　正态总体均值已知的条件下方差的假设检验 与区间估计的原理相同, 我们可以得到在正态总体均值已知的条件下, 总体方差的假设检 验的拒绝域. 这里只给出双边检验的拒绝域, 单边检验的拒绝域读者不难推出. 单正态总体 Λ已知时: H 0: Ρ2 = Ρ20, H 1: Ρ2 ≠ Ρ20 选择检验统计量: ς2 = nS 20Ρ20 = ∑ni= 1 (X i - Λ) 2Ρ20 , 当H 0 成立时, ς2～ ς2 (n) 对于显著性水平 Α(0 < Α< 1) , 拒绝域:W = ς2 Φ ς 21- Α2 (n) ∪ ς 2 Ε ς2Α2 (n) 两个正态总体 Λ1, Λ2 已知时: H 0∶Ρ21 = Ρ22, H 1∶Ρ21 ≠ Ρ22 选择检验统计量 F = m ∑ n i= 1 (X i - Λ) 2 n∑ m j= 1 (y j - Λ2) 2 , 当H 0 成立时, F～ F (n ,m ) 对于显著性水平 Α(0 < Α< 1) , 拒绝域:W = F Φ F 1- Α2 (n ,m ) ∪ F Ε F Α2 (n ,m ) . 参考文献 [1 ]　茆诗松, 周纪芗 1 概率论与数理统计 (第二版) [M ]1 北京: 中国统计出版社, 20001 [2 ]　杨桂元 1 概率论与数量统计[M ]1 成都: 电子科技大学出版社, 2002121 001 数学理论与应用　　　　　　　　　　　　　　　　　第 25 卷