2011秋-随机过程（第一章）下载_PPT模板_50

首页 > 2011秋-随机过程（第一章）

is_067184

暂无简介

2011秋-随机过程（第一章）null随机过程随机过程马春光machunguang@hrbeu.edu.cn 哈尔滨工程大学课程信息课程信息学时 32学时；4学时/周。课程性质考试课考核方式闭卷，笔试教材和主要参考书目课程信息课程信息主要教材随机过程．张卓奎, 陈慧婵．西安电子科技大学出版社，2003 参考书目随机过程同步学习辅导．张卓奎, 陈慧婵．西安电子科技大学出版社，2004 Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis. Introduction to Probability. MIT Le...

null随机过程随机过程马春光machunguang@hrbeu.edu.cn 哈尔滨工程大学课程信息课程信息学时 32学时；4学时/周。课程性质考试课考核方式闭卷，笔试教材和主要参考书目课程信息课程信息主要教材随机过程．张卓奎, 陈慧婵．西安电子科技大学出版社，2003 参考书目随机过程同步学习辅导．张卓奎, 陈慧婵．西安电子科技大学出版社，2004 Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis. Introduction to Probability. MIT Lecture Notes. 第1章概率论基础第1章概率论基础1.1 概率空间 1.2 随机变量及分布 1.3 随机变量的数字特征 1.4 随机变量的特征函数 1.5 n维正态随机变量 1.6 条件数学期望第1章概率论基础第1章概率论基础1.1 概率空间 1.2 随机变量及分布 1.3 随机变量的数字特征 1.4 随机变量的特征函数 1.5 n维正态随机变量 1.6 条件数学期望 1.1 概率空间1.1 概率空间样本空间一个试验（experiment）所有可能出现的结果的全体称为样本空间（sample space），记为Ω. 样本点试验的一个结果称为样本点（sample），记为ω，即Ω = {ω}. 随机事件样本空间的某个子集称为随机事件，简称为事件（event）.1.1 概率空间1.1 概率空间定义1.1.1 设Ω是样本空间，F 是Ω的某些子集构成的集合，如果 (1)Ω∈ F (2)若A∈ F 则Ā ∈ F（对差运算封闭） (3)若A∈ F ,n=1,2,…，则 F （对并运算封闭）那么称 F 为一事件域，也称F 为σ域显然，如果 F 是一事件域，那么 (1) Ø∈ F ； (2) 若A,B∈ F ，则A-B∈ F ； (3) 若An ∈ F ，n=1,2,…则 F . 1.1 概率空间1.1 概率空间定义1.1.2 设Ω是样本空间，F 是一事件域，定义在F 上的实值函数P(∙)，如果满足 (1) （Nonnegativity，非负性）对F 中的任意事件A，P(A)≥0 ； (2) （Normalization，归一性） P(Ω)=1 ； (3) （Additivity，可加性）对F 中任意事件An，n =1,2,…，AiAj=Ø, i≠j, i,j =1,2,… ，有那么，称P是二元组 (Ω, F ) 上的概率（Probability），称P(A)为事件A的概率，称三元组 (Ω, F, P) 为概率空间（Probability Space）.1.1 概率空间1.1 概率空间概率空间（ Ω , F , P ）1.1 概率空间1.1 概率空间概率的性质 1.1 概率空间1.1 概率空间一列事件An∈F ，n=1,2,…，称为单调递增的事件列，如果An An+1,n=1,2,…。一列事件 An∈F ，n=1,2,…，称为单调递减的事件列，如果An An+1,n=1,2,…。定理1.1.1 设An∈F ，n=1,2,… (1)若An，n=1,2,…，是单调递增的事件列，则 (2)若An，n=1,2,…，是单调递减的事件列，则1.1 概率空间定义1.1.3 设(Ω, F ,P)为一概率空间， A,B∈ F 且P(A)>0，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。不难验证，条件概率P(∙|A)符合定义1.1.2中的三个条件， (1) F ，P(B|A)≥0； (2) P(Ω|A)=1； (3) 设Bn∈F ，n =1,2,…，Bi Bj = Ø, i≠j, i,j =1,2,…，则 1.1 概率空间1.1 概率空间1.1 概率空间定理1.1.2 设(Ω, F ,P)是一概率空间，有： (1) (乘法公式) 若Ai∈F ，i=1,2,…,n，且 P(A1A2…An)>0，则 1.1 概率空间1.1 概率空间(2) (全概率公式) 设B∈F , Ai∈ F ，P(Ai)>0,i=1,2,…，且 Ai Aj=Ø, i≠j, i,j=1,2,… ，，则 1.1 概率空间1.1 概率空间(3) (贝叶斯(Bayes)公式) 设B∈F ,P(B)>0, Ai∈ F ，P(Ai)>0,i=1,2,…,且Ai Aj=Ø, i≠j, i=1,2,…, 1.1 概率空间1.1 概率空间定义1.1.4 设(Ω, F ,P)为一概率空间, Ai∈F ， i=1,2,…,n,如果对于任意的k(1证明

住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问

，设F(x)，x∈R是单调不减、右连续的函数，并且，则必存在概率空间(Ω, F ,P) 及其上的一个随机变量 X 使得 X 以F(x)为其分布函数。1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布随机变量有两种类型：离散型和连续型随机变量随机变量 X 的可能取值为有限（finite）个或可列无限个(countably infinite)，则称 X 为离散型随机变量（discrete r.v.）. 离散型随机变量 X 的分布可用分布律（Probability Mass Function，PMF）来描述，即 P(X = xi )= pi ，i=1,2,… 这时，X的分布函数为 1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负可积函数 f(x)，使得则称 X 为连续型随机变量（Continuous r.v.）， f(x)为连续型随机变量 X 的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）. 1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布定义1.2.2 设(Ω, F ,P)为一概率空间，定义在Ω上的n元实函数如果则称X=(X1,X2,…，Xn)为n维随机变量或n维随机向量. 称为X的联合分布函数（Joint CDFs）.1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布设X是n维随机变量，则X的联合分布函数具有下列性质 (1)F(x1,x2,…，xn)对任一xi(i=1,2,…,n)是单调不减函数; (2)F(x1,x2,…，xn)对任一xi(i=1,2,…,n)是右连续函数； (3) (4)设xi≤yi,i=1,2,…,n,则 1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布若n维随机变量X的可能取值为有限对或可列无限对，则称n维随机变量X为离散型n维随机变量. 离散型n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的分布可用联合分布律来描述，即 P(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn) 其中xi∈Ii, Ii是离散集,i=1,2,…,n这时X的联合分布函数为 1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布设n维随机变量X的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn)，如果存在非负可积函数f(x)=f(x1,x2,…,xn),x∈Rn使得则称X为连续型n维随机变量， f(x1,x2,…,xn),称为连续型n 维随机变量X的联合概率密度函数。1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布保留k(1≤k0的y的取值的公共部分。 1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布若g(x)不是严格单调的可微函数，则将g(x)在其定义域分成若干个单调分支，在每个单调分支上应用(1)的结果得Y=g(X)概率密度函数为其中I 是在每个单调分支上按照(1)确定的y的取值的公共部分. 1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布例1.2.1 设，试求Y的概率密度函数fY(y)。解由于y=tan x，故其反函数h(y)=arctan y, 并且因此Y的概率密度函数 1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布例1.2.2 设X~N(0,1)，求Y=X2的概率密度函数fY(y) 解由于y=x2有两个单调分支，其反函数分别为并且因而Y=X2的概率密度函数为 1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布例1.2.3 设(X,Y)为二维随机变量，其中X,Y相互独立并且都服从正态分布N(0,σ2),记Z为(X,Y) 的模,Θ为(X,Y)的辅角，求(Z,Θ)的联合概率密度函数及边缘概率密度函数。1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布解由于 X,Y 相互独立，因此又因为方程组有唯一解(反函数)1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布所以(Z,Θ)的联合概率密度函数为 1.2 随机变量及其分布1.2 随机变量及其分布故从Z,Θ的概率密度函数可以看出，Z服从

参数

转速和进给参数表a 氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物 pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应

为σ的Rayleigh分布，Θ服从区间上的均匀分布，并且 g(z,ө)=gZ(z)gΘ(ө)所以Z和Θ是相互独立的第1章概率论基础第1章概率论基础1.1 概率空间 1.2 随机变量及分布 1.3 随机变量的数字特征 1.4 随机变量的特征函数 1.5 n维正态随机变量 1.6 条件数学期望 1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征定义1.3.1 设f(x),g(x)是定义在[a,b]上的两个有界函数， a=x00,DY>0,则称为随机变量X,Y的相关系数。若ρXY=0则称X,Y不相关1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征根据定理1.3.1，若X的分布函数为F(x)则当X是离散型随机变量是，其分布律为 P(X=xi)=pi, i=1,2,… 则当X是连续型随机变量时，其概率密度为f(x)，则 1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征根据定理1.3.2，若(X,Y)的联合分布函数为F(x,y) 则当(X,Y)是离散型随机变量时，其联合分布律为 P(X=xi,Y=yi)=pij, i,j=1,2,… 则当(X,Y)是连续型随机变量时，其联合概率密度为f(x,y) 则1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征随机变量的数学期望和方差具有下列5个性质 (1) 设a,b是任意的常数，则E(aX+bY)=aEX+bEY; (2) 设X,Y相互独立，则EXY=EXEY; (3) 设a,b是任意的常数，X,Y相互独立，则 D(aX+bY)=a2DX+b2DY (4) 设E|X|2<+∞, E|Y|2<+∞则(EXY)2≤EX2+EY2; (5) 设Xn≥0,n=1,2,…,则称不等式(EXY)2≤EX2+EY2为Schwarz不等式。1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征例1.3.1 设X是随机变量，若E|X|r<+∞ ，r>0则称EXr 为随机变量的r阶，设随机变量X的r阶矩存在，则证明设X的分布函数为F(X),则即称不等式为马尔科夫不等式1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征特别地，在马尔科夫不等式中令r=2，将X换成X-EX 可得重要的Chebyshv不等式. 定理1.3.3 设X是随机变量，则DX=0的充要条件是P(X=C)=1（C是常数）。1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征对于多个随机变量，方差和协方差之间具有下列重要的性质。设X1,X2,…,Xn是n个随机变量，则例1.3.2 (Montmort配对问题) n个人将自己的帽子放在一起，充分混合后每人随机地取出一顶帽子，试求出选中自己帽子的人数的均值和方差.1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征解设X

表

关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf 视力表打印pdf 用图表说话 pdf

示选中自己帽子的人数，令第i个人选中自己的帽子否则 i=1,2,…,n,则又从而1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征所以由得而当i≠j时1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征所以 1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征定义1.3.7 设X=(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量，则称为n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的均值向量。称 n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵1.3 随机变量的数字特征1.3 随机变量的数字特征定理1.3.4 设B是n维随机变量的协方差矩阵，则B是非负定矩阵. 证明由于对任意的n个实数t1,t2,…,tn二次型即二次型是非负定的，因而矩阵B非负定.第1章概率论基础第1章概率论基础1.1 概率空间 1.2 随机变量及分布 1.3 随机变量的数字特征 1.4 随机变量的特征函数 1.5 n维正态随机变量 1.6 条件数学期望1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数定义1.4.1 设(Ω, F ,P)是一概率空间，X,Y都是F 的实值变量，则称为复随机变量。复随机变量Z是取复值的随机变量，它的数学期望定义为若X是实值随机变量，则ejtX应是复随机变量。 1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数定义1.4.2 设X是(实)随机变量，其分布函数为F(x)则称为随机变量X的特征函数. 由于ejtX =costX，+jsintX,因此X的特征函数也可以表示为 1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数当X是离散型随机变量时，其分布律为 P(X=xi)=pi,i=1,2,… 则当X是连续型随机变量时，其概率密度函数为f(x)则由于因此随机变量X的特征函数ψ(t)总存在。1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数例1.4.1 设X服从单点分布，即P(X=c)=1,其中c为常数，则X的特征函数例1.4.2 设X~B(n,p)即 k=0,1,2,…,n,00则X的特征函数例1.4.4 设X服从区间[a,b]上的均匀分布，即X的概率密度函数为则X的特征函数 1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数例1.4.5 设X~N(μ,σ2)，即X的概率密度函数为则X的特征函数 1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数特别的，若X~N(0,1) ，则特征函数例1.4.6 设X服从参数为λ(λ>0)的指数分布，即X的概率密度函数为则X的特征函数 1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数φ(t)具有下列7条性质 (1) (2) 其中表示的共轭； (3) 设随机变量Y=aX+b，其中a,b是常数，则其中分别表示随机变量X,Y的特征函数了。 (4) 在(﹣∞,+∞)上一致连续。1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数 (5)设随机变量X,Y相互独立，又Z=X+Y，则此式表明两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于各自特征函数的乘积。 (6) 是非负定的，即对于任意的正整数n，任意复数 z1,z2,…,zn和任意实数t1,t2,…,tn,有 1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数 (7) 设随机变量X的n阶原点矩存在，则存在k(k≤n)阶导数，且例1.4.7 设X~π(λ),求EX,EX2,DX. 解由于X~π(λ),因而故1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数例1.4.8 设X~N(0,σ2),求EXn 解因为所以从而 1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数在连续概率分布的情况下，特征函数因此f(t)应当是的反演，根据积分理论，在绝对可积的条件下，即的条件下有反演公式且反演是唯一的. 1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数定理1.4.1 设随机变量X的分布函数为F(x)，特征函数为，则对F(x)的连续点x1,x2，有定理1.4.2 随机变量X的分布函数F(x)被它的特征函数惟一地确定。由此定理可见，随机变量的概率分布函数与特征函数是一一对应的。1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数例1.4.9 设X1,X2,…,Xn相互独立，且Xk~π(λk),k=1,2,…,n试用特征函数证明证明由于X1,X2,…,Xn相互独立， Xk~π(λk),k=1,2,…,n 故从而所以1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数例1.4.10 设X1,X2,…,Xn相互独立，且Xk~N(μk,σk2), k=1,2,…,n, 试用特征函数求随机变量的概率分布解由于X1,X2,…,Xn相互独立,且Xk~N(μk,σk2), k=1,2,…,n 故从而所以1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数定理1.4.3(Bochner-Khintchine定理) 设φ(t)满足φ(0)=1 ,且在﹣∞0 .1.4 随机变量的特征函数1.4 随机变量的特征函数若X是连续型的非负值随机变量，其概率密度函数为f(x), 则称为f(x)的Laplace变换，记为 f(x)称为的Laplace反变换，它们相互唯一确定第1章概率论基础第1章概率论基础1.1 概率空间 1.2 随机变量及分布 1.3 随机变量的数字特征 1.4 随机变量的特征函数 1.5 n维正态随机变量 1.6 条件数学期望1.5 n维正态随机变量1.5 n维正态随机变量在概率论中，若(X1,X2)~N( ),则二维正态随机变量(X1,X2)的联合概率密度函数为其中， ρ为随机变量X1,X2的相关系数。1.5 n维正态随机变量1.5 n维正态随机变量下面用向量和矩阵的形式来表示二维正态分布的联合概率密度函数.为此，令 x=(x1,x2)， μ=(μ1μ2) , 于是 1.5 n维正态随机变量1.5 n维正态随机变量所以 =(x-μ)B-1(x-μ)T 于是1.5 n维正态随机变量1.5 n维正态随机变量定义1.5.1 设X=(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量，如果其联合概率密度函数为其中则称X=(X1,X2,…,Xn)服从μ为均值向量、B为协方差矩阵的n维正态分布，记为X~N(μ, B).1.5 n维正态随机变量1.5 n维正态随机变量定理1.5.1 设X~N(μ,B),则存在n阶正交矩阵A，使得 Y=(Y1,Y2,…,Yn)=(X-μ)AT 是n维独立正态随机变量，即Y1,Y2,…,Yn相互，且Yk~N(0,dk),其中dk>0是B的特征值，k=1,2,…,n。定理1.5.2 设X~N(μ,B) ，则X的特征函数 1.5 n维正态随机变量1.5 n维正态随机变量定理1.5.3 设X=(X1,X2,…,Xn)~N(μ,B) (1) 若l1,l2,….ln是常数，则服从一维正态分布其中，μk=EXk, k=1,2,…,n. (2) 若m0，且若对于任意实数x ,极限存在，则称此极限为(X,Y)关于X在条件Y=y下的条件分布函数，记为P(X≤x|Y=y)或是FX|Y(x|y)1.6 条件数学期望1.6 条件数学期望设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，联合概率密度函数为 f(x,y)，若在点(x,y)处 f(x,y)连续，边缘概率密度函数fY(y)连续，且fY(y)>0，则有 1.6 条件数学期望1.6 条件数学期望即所以(X,Y)关于X在条件Y=y下的条件概率密度函数为类似地，条件分布的概念完全可推广到n维随机变量的情形1.6 条件数学期望1.6 条件数学期望定义1.6.3 设(X,Y)是二维随机变量， FX|Y(x|y) , FY|X(y|x)分别是X和Y的条件分布函数，则称为X在条件Y=y 下的条件数学期望.称为Y在条件X=x 下的条件数学期望. 由于E(X|y)是随机变量Y 可能取值y的函数，因此E(X|Y)是随机变量Y的函数，称为X在条件Y下的条件数学期望；类似地，称随机变量X的函数E(Y|X) 为Y在条X下的条件数学期望.1.6 条件数学期望1.6 条件数学期望若X,Y是离散型随机变量，其可能取值分别是x1,x2,… 和 y1,y2,…，则若X,Y是连续型随机变量，则 1.6 条件数学期望1.6 条件数学期望定义1.6.4 设X=(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量，为Xi的条件分布函数,则称为Xi在条件X1=x1,…,Xi-1=xi-1,Xi+1=xi+1,…,Xn=xn下的条件数学期望. 称E(Xi|X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn)为Xi在条件X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn下的条件数学期望。1.6 条件数学期望1.6 条件数学期望定理1.6.1 E(E(Xi|X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn))=EXi 定理1.6.2 设X1,X2,…,Xn相互独立，则 E(Xi|X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn)=EXi 定理1.6.3 设X=(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量， g(x1,…,xi-1,xi+1,…,xn)是连续函数，则 E(Xig(X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn)| X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn) = g(X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn) E(Xi|X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn)1.6 条件数学期望1.6 条件数学期望定理1.6.4 设X=(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量，k

本文档为【2011秋-随机过程（第一章）】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。

2011秋-随机过程（第一章）

热门搜索

历史搜索