伊藤引理

莊益源‧中正大學財務金融學系 1 布朗運動、伊藤引理 與股價之動態行為分析 1 介紹 本份講義探討股票價格的行為，以及如何運用數學的模型來描繪它的機率分 配。股票的價格行為有幾個基本的特徵： 第一，股價具有馬可夫的特性，也就是說投資人如果想要預測股價的下一期走 勢，他(她)所需要的只是目前的股價資訊即可。因此股價未來的走勢預 測是目前股價的函式，但與過去歷史價格無關。這個要求主要是配合(弱 勢)效率市場的假設亦即，歷史價格的訊息已經充分的反應在當前的價 格上。 第二，股價下一期的預期增量(increment)必須與當前的股價有關。例如考慮 $10股價與$100股價的兩支股票，$10的股票與$100元的股票下一期 的漲跌幅很顯然是不一樣的。以漲跌幅 5%為例，前者為$0.5，後者為 $5；當前股價越高，以金錢為單位的漲跌幅越大。 第三，股價下一期的預期增量(increment)雖然與當前的股價有關，但又有許 多雜訊，很難預測。這表示如果我們假設增量來自於同一機率分配，則必 須是獨立的。 第四，股價下一期的預期報酬必須與當前的股價無關。譬如說，某公司的股票經 股票分割之後，由$100變成$50元，由於還是同一家公司的股票，所以 預期報酬應該也是相同的。即使是不同公司的股價，預期報酬也必須與股 價無關，否則違反效率市場的假設。 第五，假設股價的預期報酬來自於同一機率分配，則必須是獨立的，否則也與效 率市場的假設相衝突。 第六，股票的價格必須是為正，這給投資人總是帶來些許的希望。如果描述股價 的模型允許股價有負數的機率存在，對投資人而言，在情感上是一種傷害。 甚麼樣的模型可以用來描繪以上關於股價行為的基本特徵？是由布朗運動 版權所有 敬請尊重 莊益源‧中正大學財務金融學系 2 (Brownian Motion) 所延伸出來的幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion, GBM)。 布朗運動是一個連續的隨機過程(stochastic process)，此現象最早是 由英國的植物學家布朗觀察到在水中或汽油中的分子呈現非常不規則的運動而 發現的(發表於 1828)。而最早有關於布朗運動的解釋是由愛因斯坦於 1905提 出。然而有關於布朗運動隨機過程方面的明確定義，是由美國的韋納於 1918年 起一系列的文章所陳述。布朗運動大部分的理論來自於韋納的供獻，因此布朗運 動又通稱為韋納過程(Wiener Process)。1951 日本學者伊藤氏根據布朗運 動，進一步建立了許多連續時間的隨機過程，稱為伊藤過程(Ito processes) 或是隨機微分方程(stochastic differential equations)。與古典微積 分所處理的平滑(smooth)函式所不一樣的地方，在於布朗運動的軌跡是非常不 規則的，而這一套數學是以伊藤氏所推導的引理為基礎，通稱為隨機微積分或是 伊藤微積分(Ito’s calculus)，財金界常常稱之為伊藤引理(Ito’s Lemma)。10年後，其他的數學家才開始研究伊藤引理，隨機微積分受到了重視， 開始應用在生物、統計、化學、物理、工程與財務金融上的領域。 在財金的文獻上，法國的 Bachelier 在 1900 利用算數布朗運動 (Arithmetic Brownian Motion,ABM)來研究選擇權的訂價模型。 Samuelson 在 1960年代進一步將算數布朗運動以幾何布朗運動來取代，後續 的學者的研究都是以此為股票或資產的隨機過程，將它用來做為描繪財金市場的 不確定性，並且因為它是一個連續的隨機過程，適合應用在沒有跳躍的情況下。 隨機微積分最早則是由 Merton 引進，應用於連續時間的模型上；接著 Black and Scholes(1973)將伊藤引理應用在選擇權的訂價模型上，迄今，每一個 財務工程與風險管理領域的學習者，都應該了解隨機微積分的基本原則，否則就 與這個領域嚴重脫節。 當然我們不須要是數學家，但是要了解股價的行為以及選擇權等衍生性商品 的訂價理論，一些數學的技巧是必須要具備的。本份講義的目的，即是提供關於 股價模型的基本知識。 莊益源‧中正大學財務金融學系 3 2 布朗運動  布朗運動的定義 假設 w(t)表示一個隨機過程，w(0) = 0。如果 w(t)是一個布朗運動， 則必須符合以下三個性質：  獨立的增量(independent increments)：若 s t, w(t) w(s) 是 獨立的，並且，w(t) w(s) ~ (0, st  )。  穩定的增量(stationary increments)：若 s t，w(t) w(s) 與 w(t s)的機率分配是一樣的。  連續性：w(t) 在任何時間點 t 上是連續的。  w(t)、w2(t)之性質 我們將以不連續的隨機漫步的方式來介紹布朗運動。定義w(t)為一時段 t之變量，即： w(t) = w(t+t) w(t) w(t)也稱為雜訊(white noise)或是布朗運動增量。因為 w(t)是布朗運動， 因此w(t)必須具備以下兩個特性： (1) w(t) ~ (0, t ) (2) 取任何兩個時段，它們的w 是獨立的。 w(t)、w(t)2在統計上有很特殊的性質。w(t)是常態分配，其變異數與t 成正比，雖然w(t)是一個隨機項(stochastic term)，但若我們取平方， 則w(t)2可視為確定項(deterministic term)。這似乎是一個謎，但卻是 一個非常重要的性質雜訊的平方是可以預測的！ 莊益源‧中正大學財務金融學系 4 (1) w(t)之平均值、變異數與標準差： E[w(t)] = 0 Var[w(t)] = t s.d. of w(t) = t <解析> 以上的特性，來自於布朗運動的定義。# (2) w2(t)之平均值、變異數： E[w(t)2 ]= t Var[w(t)2] = 0 w(t)2 = t <解析> 因為 Var[w(t)] = E[w(t)2] E2[w(t)] = t E[w(t)2] = t Var[w(t)2] = E[w(t)4] E2[w(t)2] = 3t2 t2 = 0 由於標準常態分配的第 4動差是 3 (即峰態)且t2 = 0。由於 Var[w(t)2] = 0，這表示w(t)2 是一個確定項(deterministic)，有沒有加上期望值的符 號都無所謂。# 莊益源‧中正大學財務金融學系 5 例題：令t = 0.001，則w(t) ~ (0, 001.0 )。我們可以模擬w(t)與 w(t)2的過程： 這裡我們看到雖然w(t)的變動很大，但是w(t)2幾乎是確定的，這是與一般 的數學不一樣的地方。 (3) w(t)t之平均值、變異數： E[w(t)t]= 0 Var[w(t)t] = 0 w(t)t = 0 <解析> E[w(t)t]= tE[w(t)]= 0 Var[w(t)t] = t2Var[w(t)] = 0 因此我們也可以將w(t)t視為確定項，可以把期望值的符號去掉。 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 w 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 w2 莊益源‧中正大學財務金融學系 6  乘法規則 由於布朗運動是連續的隨機過程，我們可以定義當 t  0 時，dw(t) 為雜訊連續時間的表示法： dw(t)  dtt im   [w(t+t) w(t)] 綜合以上的分析，我們可以整理出布朗運動的乘法規則：  w(T)的分配為何 ? 考慮一段時間並令 N = t T  ，亦即，我們將 T的時段細分為 N個區間：0, t, 2t,…, Nt。則： w(T) = w(0) +     1N 0i )ti(w = w(0) + w(t) + w(2t) + …+ w((N1)t) 所有的增量都是 iid (0, t ) 因為增量都是獨立相同的常態分配，我們可以推測 w(T)的性質： 平均值： E[w(T)] = 0 變異數： Var[w(T)] = T 標準差： Std[w(T)] = T  w t w t 0 t 0 0  dw dt dw dt 0 dt 0 0 莊益源‧中正大學財務金融學系 7 例題：t = 0.5; w(t + t) = w(t) + w(t) = w(t) + (0, t ) 時間 w(T) 增量 ~ (0, 5.0 ) 0 w(0.0) = 0 w(0.0) = 0.4972 0.5 w(0.5) = w(0.0) + w(0.0) = 0.4972 w(0.5) = 0.7488 1.0 w(1.0) = w(0.5) + w(0.5) = 1.2460 w(1.0) = 0.5023 1.5 w(1.5) = w(1.0) + w(1.0) = 0.7437 w(1.5) = 0.1642 2.0 w(2.0) = w(1.5) + w(1.5) = 0.5795 w(2.0) = 0.2118 2.5 w(2.5) = w(2.0) + w(2.0) = 0.3677 例題：下圖我們可看到，當t  0 時，布朗運動的軌跡是非常的不規則的， 主要的原因是因為增量是獨立的。 0 640 1280 1920 2560 -1 -0.5 0 0.5 1 0 80 160 240 320 -1 -0.5 0 0.5 1 0 20 40 60 80 -1 -0.5 0 0.5 1 0 5 10 15 20 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 莊益源‧中正大學財務金融學系 8 關於布朗運動軌跡的複雜程度，有數學家對它的路徑有以下的形容：「如果你(妳) 在二維的空間裏，觀看一段的時間，它會寫出你(妳)的名字，再東看看西看看， 你(妳)也可以看到其他人的名字，以及莎士比亞的作品，幾本小說，當然了， 還有許多的塗鴉」。  布朗運動 w(t) 是不可微的 考慮一個連續的函式 f(t)，則在一般的微積分裏，微分的定義為： t )t(f)tt(flimf 0tt    或表示成 f(t + t) f(t) + ft t 然而布朗運動的路徑並非是平滑的，在任何的時間點上卻是不可微的。我們簡單 的說明如下： 考慮布朗運動的微分： t )t(w)tt(w   ，則 t )t(w   ~        t 1,0 。當 t0時， 此常態分配會發散而不存在。 <解析> 因為w(t)為常態分配，所以w(t)/t也是常態分配。E[w(t)/t] = 0， Var[w(t)/t] =t2Var[w(t)] =t2t =t1，故標準差為 1/ t 。 # 既然布朗運動是不可微的，為甚麼在財金經濟的領域要研究應用它呢？一般 的平滑函式，因為是可微的，我們只要知道 ft(斜率)，就可以預測 f的下一步 f(t + t)。而布朗運動的軌跡非常的不規則，是不可微的，找不到斜率，也 無法預測。因為布朗運動有這樣的特性，正好可以應用在股票的模型上。由於資 產的價格可以寫成布朗運動的函式，這表示資產價格也有不可預測的成分在裏 面，並且它的軌跡也是非常的不規則的。 莊益源‧中正大學財務金融學系 9  布朗運動的條件機率分配 若 s t,，則給定 w(s)之下，w(t) ~ (w(s), st  )。 <解析> 這來自於布朗運動的定義。從這個性質可以看出布朗運動的馬可夫性。布朗運 動未來機率的分配僅僅與目前的值有關，而與過去的路徑軌跡無關。因此目前的 值，就是未來的最佳預測值。#  兩個布朗運過程 考量慮兩個不確定因子的來源，可以由兩個布朗運動的過程來表示： -5 0 5 10 15 -5 0 5 -5 0 5 10 -8 -6 -4 -2 0 2 -5 0 5 10 -5 0 5 10 15 20 -5 0 5 -5 0 5 10 15 莊益源‧中正大學財務金融學系 10 當然，一般而言，兩個不確定因子它們之間是有相關的，假設的相關係數為 ， 則乘法的規則如下：  dw1 dw2 dt dw1 dt dt 0 dw2 dt dt 0 dt 0 0 0 莊益源‧中正大學財務金融學系 11 3 伊藤過程與伊藤引理  伊藤過程 標準的布朗運動在應用上是有些限制的，它的延伸稱為伊藤過程，而伊藤過 程通常以隨機微分方程(SDE)的形式來表示，一般的寫法如下： 伊藤過程：dx = (x,t)dt + (x,t)dw 其中 (x,t)稱為漂移參數(drift coefficient)，(x,t)稱為擴散參數 (diffusion coefficient)。 以上的隨機微分方程式表示，隨著不可預測訊息的揭露，x下一瞬間增量為 dx。這個增量來自於兩個部分。第一部分是確定項，第二部分是隨機項，由於 這部份的增量來自於布朗運動增量，而我們知道布朗運動是不可微的，因此 x 的瞬間增量的方向基本上也是不可預測。 例題：請問 dx與 dx2之分配為何？ <解析> 在給定 x 之初始值下，dx ~ iid [(x,t)dt , (x,t) dt ]，換句話 說，dx可以看做是常態分配。此外， dx2 = [(x,t)dt + (x,t)dw]2 = [(x,t)dt]2 + 2(x,t)(x,t)dwdt + [(x,t)dw]2 = (x,t)2dt 因此，dx2則是一個確定項。# 莊益源‧中正大學財務金融學系 12  算數布朗運動與幾何布朗運動 算數布朗運動與幾何布朗運動則是伊藤過程的特例： ABM: dx = dt + dw, (x,t) = ; (x,t) =  GBM: dx = xdt + xdw (x,t) = X; (x,t) = x 這裡我們看到算數布朗運動並不適合用來描述股價的行為，第一，增量與目前的 價值無關；之前我們分析過，這是不合理的現象。其次，因為增量的不確定性完 全來自於 dw，這反應在 dx 上可能導致股價有可能是負的。如果以報酬的角度 來看，ABM可以寫成 dx/x = x1dt + x1dw，其中 dx/x是瞬間的百分比 變量，但它與 x1有關，股價越低，報酬越大，反之，則越小，這不符合效率市 場的假設。幾何布朗運動則是當前財務金額領域描述股價行為的基準，它沒有以 上的缺點。例如，假設公司破產，股價 x為 0，這會使得瞬間增量 ds也是 0， 因此股價不可能低於 0，這是 GBM的下界，其他的性質以後我們將一一的介紹。  伊藤引理 伊藤過程在時間上是連續的，但卻是不可微的，因為它是布朗運動的函式， 而我們知道布朗運動是不可微的，因此要處理這個難題，必須使應用所謂的隨機 微積分，而其中最重要的是伊藤引理，這又稱為隨機微積分的基本定理。在財務 工程的應用上，伊藤引理就是衍生性商品的同義複詞。你(妳)給我標的物的隨 機微分方程(SDE)，我就告訴你(妳)衍生性商品的隨機微分方程： 給定標的物的隨機方程式 伊藤引理可以推導衍生物的隨機方程式 因此伊藤引理可以說是研究衍生性金融商品訂價模型的基石，這些後續的發展與 應用，也非伊藤式原先所能想像的到。伊藤引理雖然有數學上嚴謹的定義與討 論，但卻可以用泰勒展開式簡單的來說明：考慮一個函式 F有兩個參數 x與 y， 即 F(x,y)。則泰勒展開式為 dF = Fxdx + Fydy + Fxydxdy + 21 Fxxdx 2 + 21 Fyydy 2 + R 在標準的微積分裏，dx2、dy2 與 dxdy或更高階都可以省略，主要是因為 dx2、 dy2與 dxdy都是屬於確定項(deterministic terms)，我們可以簡化為： dF = Fxdx + Fydy 莊益源‧中正大學財務金融學系 13 隨機微積分的關鍵不同點在於：如果 x 或 y 是隨機項(stochastic terms) 則 dx2、dy2與 dxdy都不可以省略。例如，之前我們所說明的 dw2 = dt，只 要 x 與 y是布朗運動運動的函式，你(妳)就不可以隨便將 dx2 或 dy2省略。 例題：假設 F = xy，則 dF為何？ <解析> 由 Fx = y，Fxx = 0，Fy = x，Fyy = 0，Fxy = 1，可得： dF = xdy + ydx + dxdy 以上的式子，通常寫成 d(xy) = xdy + ydx + d。# 例題：由於我們要研究的是資產的過程，通常第一個參數為股價 S，第二個參數 即設為時間 t，並且假設 S是幾何布朗運動：dS = Sdt + Sdw，所以我們 可以寫成以下的式子： dF = FSdS + Ftdt + 21 FSSdS2 dF = FSdS + Ftdt + 212S2FSSdt dF = [Ft + 212S2FSS + SFS]dt + SFSdw <解析> 因為 dSdt = Sdt2 + Sdwdt = 0，dS2 = 2S2dt 再將 dS與 dS2依次代入，可以得到以上的結果。這裡我們看到伊藤引理的功效， 它是泰勒展開式的應用，給定標的物的隨機微分方程 dS，就可以找出衍生物的 隨機微分方程 dF。#  F(x,y,t) 伊藤引理也可以延伸至兩三個參數的函式，F(x,y,t)，F的泰勒展開式為： dF = Fxdx + Fydy + Ftdt + 21 Fxxdx2 + Fxydxdy + 21 Fyydy2 + R 如果 x與 y是隨機過程，則泰勒展開式的平方項要保留，dxdy項也要保留。 莊益源‧中正大學財務金融學系 14 例題： dx = x(x,y,t)dt + x(x,y,t)dwx dy = y(x,y,t)dt + y(x,y,t)dwy 請求解 dF。 <解析> 為了簡潔起見，將 i(x,y,t)與i(x,y,t)分別以i()與i()表示，其中 i = x或 y。則 dwxdwy = dt; dwx2 = dwy2 = dt; dx2 = x2()dt; dy2 = y2()dt; dxdy = x()y()dt dF = Fxdx + Fydy + Ftdt + 21 Fxxdx 2 + Fxydxdy + 21 Fyydy 2 所以： dF = Fxdx+Fydy+Ftdt + 21 [x2()Fxx+2x()y()Fxy+y2()Fyy]dt dF = [x()Fx+y()Fy+Ft+ 21x2()Fxx+x()y()Fxy+ 21y2()Fyy]dt +x()Fxdwx+y()Fydwy # 例題： dx = x()dt + x()dwx dy = y()dt + y()dwy dwxdwy = dt 令 F = xy，則 dF為何？ <解析> dF = ydx + xdy + dxdy = ydx + xdy + x()y()dt 當然也可以進一步將 dx與 dy的隨機微分方程代入上式。# 莊益源‧中正大學財務金融學系 15 4 股價之動態與報酬  幾何布朗運動之形式 以幾何布朗運動來做為股價的模型，我們寫成： dS = Sdt + Sdw 其中 參數稱為股票的預期報酬(expected rate of return)。與股票 的風險、利率水準、投資人的風險趨避程度有關。參數稱為波動率，波動率越 大，風險越大。在文獻上，幾何布朗運動常常以 3種不同的形式出現，它們對於 我們關於股價行為的理解有非常大的幫助：  S dS = dt + dw  dlnS = [212]dt + dw  S(T)= S(0) )T(wT)( 2 2 1 e  <解析> 由 可以應用伊藤引理。令 F = lnS，則 FS = S1， FSS = S2，Ft = 0。因此，dF = dlnS，我們得到： dlnS = S1dS 212dt = [212]dt + dw 可以由 推導出。對的兩邊由 0到 T積分，則：   T0 T 0 2 2 1 T 0 dwdt)(Slnd  lnS(T) lnS(0) = [212]T + w(T)  S(T)= S(0) )T(wT)( 2 2 1 e  又稱為幾何布朗運動的封閉解(closed form)。股價以這個形式來描述，可 以很清楚的看出，只要 S(0)> 0，則股價不可能是負的。# 莊益源‧中正大學財務金融學系 16 例題：有了股價的模型，我們可以模擬它的路徑軌跡。 我們也可以模擬在未來某一時點的機率分配。這可以直接利用股價封閉解： S(T)= S(0) )T(wT)( 2 2 1 e  。假設 S(0)= 100，= 0.06， = 0.35，產生 在 T = 1時，10,000個股價樣本的分配： 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 30 60 90 120 150 180 0 100 200 300 400 0 200 400 600 800 莊益源‧中正大學財務金融學系 17  期望值與變異數 一個隨機變數 x 如果在取對數之後是常態分配，我們稱 x為對數常態分配 (log-normal distribution)。以數學符號來表示，假設 為標準常態分 配，(0,1)，log x = x + x，或是寫成 x =  xxe ，則 x為對數常 態分配，且 log x (,x)。 如果 x為對數常態分配，則 x的值是正的。並且 x的期望值與變異數分別為： E(x) = ) 2 ( 2 x xe  Var(x) = )1e(e 2 x 2 xx )2(  由於 w(T)w(t)是常態分配，w(T)w(t) (0, tT  )，因此幾何布朗 運動的股價是對數常態分配。在給定 S(t)條件下，S(T)的期望值與變異數為： E[S(T)] = S(t)e(T t) Var[S(T)] = )1e(e)t(S )tT()tT(22 2  請注意，股價的變異數是隨著時間的增長也變大，也就是所謂的無限變異數 (infinite variance)特徵；另一方面，股價的變異數(波動率)與當前股價 的水準有關，股價高變異數(波動率)也高，因此資產價格的變異數或標準差並 不適合用作為風險的測度。  股票之報酬 有了幾何布朗運動做為描述股價行為的工具，我們可以進一步探討股票的報 酬，並且回答此種模型是否符合之前股價行為之基本特徵。股價的報酬有許多不 同的定義，分別為： x = e+  指數項是 常態分配 x稱為對數 常態分配 莊益源‧中正大學財務金融學系 18 )t(S )T(S (股價報酬)、 S S (算數報酬、百分比變化)、     )t(S )T(Sln (對數報酬，連續 報酬、幾何報酬)。 股價報酬的定義，在幾何布朗運動的假設下，我們可以馬上分辨 S(T)/S(t)、S/S與 ln[S(T)/S(t)]的機率分配：  )t(S )T(S 為對數常態分配。 E     )t(S )T(S = )tT(e  ，Var     )t(S )T(S = E2     )t(S )T(S [ 1e )tT( 2  ]  S S 為常態分配。 S S ~ (t, t )      )t(S )T(Sln 為常態分配。     )t(S )T(Sln ~ [( 212)(T t),  tT  ] <解析> (1) 是預期報酬，由我們知道它是算數報酬的期望值；而212 是預期 的連續複利報酬、由我們知道它是幾何報酬的期望值。當波動率很小的 時候(例如以日資料為樣本)，則兩者相當，可以互換。 (2) 這裡我們看到，股價報酬的基本特徵，它們與目前的股價無關！並且它們 來自於同一、獨立的機率分配，因此符合了效率市場的假設，這也是為什 麼幾何布朗運動運動是描述股價行為的基準模型。# 例題：波動率的估算，可以利用算數報酬或幾何報酬。 <解析> 我們可以觀察S/S與 ln[S(t+t)/S(t)]的機率分配： S S ~ (t, t )      )t(S )tt(Sln ~ [( 212)t, t ] 因此以算數報酬或幾何報酬都可以估算。但是請注意，S/S的分配是近似的， 因為這是由連續的隨機微分方程式，dS/S，而來，但是 ln[S(t+t)/S(t)] 的機率分配是封閉解，是準確的。#