恒定电流

12-1 第十二章 恒定电流 12-1 北京正负电子对撞机的储存环是周长为 240m的近似圆形轨道。求当环中电子电流强 度为 8mA时，在整个环中有多少电子在运行。已知电子的速率接近光速。 [解] 设储存环周长为 l，电子在储存环中运行一周所需时间 c l v lt ≈= 在这段时间里，通过储存环任一截面的电量即等于整个环中电子的总电量，以 Q示，则 c lIItQ == 故电子总数为 10 819 3 104 103106.1 240108 ×=××× ××=== − − ec Il e QN 12-2 表皮损坏后的人体，其最低电阻约为 800Ω 。若有 0.05A的电流通过人体，人就有生 命危险。求最低的危险电压(国家规定照明用电的安全电压为 36V)。 [解] V4080005.0 =×== IRU 12-3 一用电阻率为 ρ的物质制成的空心半球壳，其内半径为 1R 、外半径为 2R 。试计算其 两表面之间的电阻。 [解] ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=== ∫∫ 21 2 11 44 2 1 RRr drdRR R R π ρ πρ 12-4 一铜棒的横截面积为 20mm× 80mm，长为 2m，两端的电势差为 50mV。已知铜的 电导率为 mS. 71075 ×=σ ，铜内自由电子的电荷密度为 31010361 mC. × 。求：(1)它的电 阻；(2)电流； (3)电流密度；(4)棒内的电场强度；(5)所消耗的功率；(6)棒内电子的漂移速 度。 [解] (1) Ωσ 5 67 10221080201075 02 − − ×=××××== .. . S LR (2) A. .R UI 35 3 1032 1022 1050 ×=× ×== − − 12-2 (3) 2 3 41 8020 1032 mmA.. S Ij =× ×== (4) Ej σ= mV. . .jE 27 6 1052 1075 1041 −×=× ×== σ (5) ( ) W...RIP 25232 102110221032 ×=×××== − (6) ( ) J.J..RtIW 55232 1024360010221032 ×=××××== − (7) scm.scm .. . ne ju 41922 2 1001 10611058 1041 − − ×=××× ×== 12-5 电缆的芯线是半径为 1r =0.5cm的铜线，在铜线外面包一层同轴的绝缘层，绝缘层的外 半径为 2r =2cm，电阻率 m⋅×= Ωρ 12101 。在绝缘层外面又用铜层保护起来(如图所示)。(1) 求长 L=1000m 的这种电缆沿径向的电阻；(2)当芯线与铅层的电势差为 100V 时，在这电缆 中沿径向的漏电流是多大? [解] (1)在绝缘层内距轴线 r处作一半径为 r、厚度为 dr、长为 L的同轴圆柱形薄壳，此薄壳 沿径向的电阻 rL drdR πρ 2= 电缆沿径向的电阻则为 1 2 22 2 1 r r ln rLrL drdRR r r π ρ π ρ === ∫∫ ΩΩ 8 12 1022 50 2 10001432 101 ×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ××× ×= . . ln . (2)电缆中的径向电流 A.A .R UI 78 10541022 100 −×=×== 12-6 一铁制水管，内、外直径分别为 2.0cm和 2.5cm，这水管常用来使电气设备接地。如 果从电气设备流入到水管中的电流是 20A，那么电流在管壁中和水中各占多少?假设水的电 阻率是 0.01 m⋅Ω ，铁的电阻率为 m. ⋅× − Ω81878 。 [解] 设水管内、外直径分别为 1d 、 2d ，铁管和管内水的截面积分别为 12-3 ( )22211 4 ddS −= π 222 4 dS π= 水管内有电流时，管壁和管内的水构成并联，管壁内的电流 1I 、和水中电流 2I 之比为 110561 02 52 1078 0101 42 2 82 1 2 2 1 2 21 12 2 1 2 1 >>×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=== − .. . . . d d S S R R I I ρ ρ ρ ρ 1I >> 2I ，因此 AI 201 ≈ ， 02 ≈I 。 12-7 大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性。(1)地表面附近，晴天 时大气平均电场强度约为 120 mV ，大气中的平均电流密度约为 212104 mA× 。问：(1)大 气的电阻率是多大?(2)若电离层和地表面之间的电势差为 V5104× ，大气中的总电阻是多 大? [解] (1) 大气电阻率 m j E ⋅×== Ωρ 3103 (2)总电阻 ( ) Ω2104103761434 104 1227 5 = ××××× ×== −..I UR 12-8 球形电容器的内外半径分别为 a和 b，两极板间充满电阻率为 ρ的均匀物质，试计算 该电容器的漏电电阻。 [解] 在电容器内作一半径为 r、厚为 dr的同心球壳，此球壳的径向电阻为 22 r drdR πρ= 球形电容器的漏电阻即为 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=== ∫∫ bardrdRR b a 11 42 2 π ρ π ρ 12-9 一长度为 l，内外半径分别为 1R 和 2R 的导体管，电阻率为 ρ。求下列三种情况下管子 的电阻：(1)若电流沿长度方向流动；(2)电流沿径向流动；(3)如图所示，把管子切去一半， 电流沿图示方向流过。 12-4 [解] (1) 沿长度方向流动时， ( )2122 RRS −=π 。沿长度方向厚度为 dl的一层所具有的电阻为 ( )dlRRSdldR 2122 −== π ρρ ∴ ( ) ( )21220 2122 RR ldl RR R l −=−= ∫ π ρπ ρ (2) 径向流动时，故 rlS π2= 。沿径向厚度为 dr的一层所具有的电阻为 r dr lS drdR π ρρ 2 == ∴ a bln lr dr l R b a π ρ π ρ 22 == ∫ (3) 管子切去一半，设两边电压为 U，半径为 r处电场强度 r UE π= 即 Ur j =πσ 1 2 R R lnULLdr r UdjI π σ π σ =⋅== ∫∫ 所以 1 2 1 R R lnLI UR ρπ== 12-10 一铜导线横截面积为 4 2mm ，20s 内有 80C 的电量通过该导线的某一横截面。已知 铜内自由电子的数密度为 3221058 −× m. ，每个电子的电量为 C. 191061 −× ，求电子的平均定 向速率。 [解] 26101 mA S Ij ×== 因为 nevj = 所以 sm. ne jv 510357 −×== 12-11 如图所示，一用电阻率为 ρ的材料制成的圆台，其高为 l，两端面的半径为别为 1R 和 2R 。试计算此圆台两端面之间的电阻。 12-5 [解] 对于粗细不均匀导体的电阻，不能直接用 S lR ρ= 计算。垂直于锥体轴线截取一半径为 r、厚为 dx 的微元，此微元电阻 2r dxdR πρ= ，沿轴线对元电阻 dR积分，即得总电阻 ∫= dRR 。 由分析可得锥体两端面间的电阻 ∫= 2rdxR πρ (1) 由几何关系可得 21 2 RR Rr l x − −= 则 dr RR ldx 21 − = (2) 将式(2)代人式(1)得 ( ) 21221 1 2 RR l r dr RR lR R R π ρ π ρ =−= ∫ 12-12 一容器里盛着温度为 90℃、质量为 1.5kg 的水。由于热量的散失，水的温度每分钟 降 12℃。为了保持 90℃的水温，可用一根 50Ω 的电热丝浸在水里加热，问需要有多大的 电流通过该电热丝。 [解] 使水温升高 12℃所需热量为 TcmQ Δ= 电热丝每分钟发热量为 RtIQ 2=′ QQ =′ 即 TcmRtI Δ=2 A... Rt TcmI 05 6050 125110184 2 1 32 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ × ×××=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= Δ 12-13 如图所示， 1ε = 2ε =2V，内阻 1r = 2r =0.1Ω ， Ω51 =R ， Ω842 .R = 。试求：(1)电路 中的电流；(2)电路中消耗的功率；(3)两电源的端电压。 12-6 [解] (1)由闭合电路的欧姆定律可得电路中的电流 (2)电路中消耗的功率为 ( ) W.rrRRIN 6121212 =+++= (3)电源的端电压分别为 V.IrU 961111 =−= ε V.IrU 961222 =−= ε 12-14 如图所示的电路中， 1ε =6V，d， 2ε =2V， Ω11 =R ， Ω22 =R ， Ω33 =R ， Ω44 =R 。 求：(1)通过各电阻的电流；(2)A、B两点的电势差 ABU 。 [解] (1)取电流和回路绕行方问如图所示，由闭合电路欧姆定律，得 总的电流为 A. RR RR RR I 850 7 1221 4 3 43 12 21 = ++ = +++ −= εε 流过各电阻的电流分别为 A.III 85021 === A.I RR R I 490 43 4 3 =+= A.I RR R III 360 43 3 34 =+=−= (2)由一段含源电路的欧姆定律得 12-15 如图所示， 1ε =12V，d， 2ε =10V， 3ε =8V， 1r = 2r = 3r =1Ω ， Ω21 =R ， Ω32 =R 。 求；(1)a、b两点间的电势差；(2)c、d两点间的电势差。 [解] (1)回路电流为 12-7 A.I 40 221221 812 =+++++ −= ( ) V.Uab 102124012 =++−= (2) 010 =−= VUU abcd