欧拉是如何发现欧拉公式的

2 0 02年 1月 上 中 学 生 数 学 欧拉是如何发现欧拉公式V一 E +F 一 2的 ? 北京师范大学数学系 ( 1 0 0 87 5)王敬庚 由多边形为面围成的凸多面体 , 尽管它们 的形状各种各样 , 其顶点数 (V ) , 棱数 ( E ) 和面 数 ( F )也各不相同 , 但都有一个简单的性质 : v 一 E + F 一 2 . 这个性质早在距今三百 多年前 , 就被解析几何 的创始人 、 法国数学家笛卡尔于 16 3 9 年发现了 , 但没有广泛流传开来 . 直到又 经过一百多年 , 1 7 5 0 年欧拉重新独立地发现 了它以后 , 这个公 式才广为世人所知 , 欧拉是 如何发现这个公式的呢 ? 美国数学教育家波利 亚在《数学的发现 》一中 , 根据欧拉 当时所写 的论文 , 把这位数学大师当年通过类比和归纳 发现这个公式 的思考过程 , 原原本本地提供给 了我们 . 我们从这个发现过程 中比从公式本身 能学到更多的东西 . 任意一个三角形的内角和为 18 00 或 T7 , 与 三角形的形状无关 , 进而得到任一个 凸 n 边形 的 内角和为 n( 一 2) 7r , 表明凸多边形 的内角和 由边数完全决定 , 而与形状无关 . 这是一个 多 么简单而又漂亮的结论啊 ! 推广到空间 , 对于 由若干个多边形围成的凸多面体 , 是否也有某 种类似的简单性质呢 ? 欧拉就这样 由类 比提出 了问题 . 一个多面体有几种角呢 ? 每条棱处有一个 由两个面组成 的二面角 ; 每个顶点处 , 有一个 由相交于这个顶点的各个面所围成的角 , 叫立 体角 (它的大小等于以立体角顶点为球心的单 位球面被这个立体角的各个面所截 出的球面 多边形 的面积 的大小 ) ; 每个面多边形的每一 个 内角 , 叫多面体 的一个面角 . 欧拉首先考察 多面体的所有二面角之和 (记为 艺韵及所有立 体 角之和 (记为 乏。 ) , 看它们是否有某种简单 的性质 . 欧拉从最简单的多面体— 四面体 开始考察 . 四面体 由四个三角形 围成 ( 图 1 ) , 为了 便于计算 , 欧拉考察了两种退化的情形 . ( 1) 四 面体退化成一个三角形 和它内部 一点与三个顶点所连成的线段 (图 2) . ( 2) 四 面体退化成一个平 面凸四边形和 它的两条对角线 (图 3) . 图 1 图 2 对于情形 ( 1 ) ( 图 2 ) , 三角形三边处 的二 面角皆为 。 , 内部三条线段处的二面角皆为 7r , 所以 乏占一 3二 . 三角形三个顶点处立体角皆为 。 , 内部顶点处 的立体角等于 2二 (即半个单位 球面的面积 , 球面面积为 4 7r 尸 ) , 所以 艺。 一 2二 对 于情形 ( 2) ( 图 3 ) , 四边 形 四 条边 处 的 二 面角 皆为 O , 两条 对角 线处 的二 面角 皆 为 T7 , 所 以 乏占 ~ 图 3 2二 . 四个顶点处的立体角皆为 。 , 所以 艺。 一 .0 可见 四面体的二面角之和与立体角之和 都与四面体的形状有关 , 没有类似于三角形内 角和定理这样简单的性质 . 多么令人 失望啊 , 然而欧拉并没有就此止步 , 因为还有面角和尚 未考察呢 . 记多面体的面角和为 艺a , 欧拉先考察 四 面体 . !2缤面体由四个三角形 围成 , 所有面角之 和 艺a 一 4 二 , 与四面体的形状无关 . 这个结果对 欧拉是一个鼓舞 . 继续考察五面体 . 五 面 体 (一 ) ( 图 4 ) 由两个三角形和 三个 四边 形 围成 , 所 有面角之和 乏a 一 2又 二 」一 3只 ( 4一 2 )汀一 8兀 五 面 体 (二 ) ( 图 图 4 5 ) 由一个四边形和 四个三角形 围成 , 所有面 角之和 乏“ 一 (4 一 2 ) 二十 4 X ` 一 6兀 中 学 生 数 学 20 0 2年 1月上 这 两个 艺 a不 等 , 说 明面 角 和 不 能 简单 地 由面 的个 数来决定 . 欧 拉 接 着 又 考察 了几 个 多 面 体 , 看能不能从中 发现什么规律 ? 五面体 (一 ) 和 (二 )) 以及 五棱柱和尖顶塔形 . 于是欧猜想 : 对于任意凸多面体有 乏a 一 ZV T7 一 4汀 . ( 1 ) 即多面体的面角和由它的顶点数完全决定 . 注 意 , 这只是一个猜想 . 欧拉接着又考察了一些多面体 , 结果可 以 列成下表 . 图 5 多多面体体 FFF 艺aaa VVV ZV 兀兀 ZV 兀一艺 aaa 匡匡十二面体体 1 222 3 6兀兀 2 000 4 0兀兀 4万万 正正二十面体体 2 000 2 0 兀兀 1 222 2 4万万 4 7rrr nnn 棱柱柱 n 一+一 222 ( 4, : 一 4 ) 汀汀 2 nnn 4 n 兀兀 4汀汀 、、 棱锥锥 刀 + 111 ( 2。 一 2 ) 汀汀 2王+ 111 ( 22 : + 2 ) 万万 4汀汀 图 6 图 7 图 8 图 9 立方体 (图 6) 由六个正方形 围成 , 所有面 角之和 艺a 一 6 x (4 一 2 ) ` 一 12兀 正八面体 ( 图 7) 由八个三角形 围成 , 所有 面角之和 乏a 一 S X “ 一 8兀 五棱柱 (图 8) 由两个 凸五边 形和五个 平 行四边形围成 ,所有面角之和 艺a 一 2 火 (5 一 2) 汀十 S X ( 4 一 2 ) 盯一 1 6汀 . 尖顶塔形 ( 图 9) 是在立方体 上加一个 四 棱锥 , 由五个正方形和四 个三角形 围成 , 所有 面角之和 艺 a 一 s x (4 一 2 )二十 4 火 二一 1 4几 从上述数据能发现什么规律吗 ? 欧拉发现 虽然它们都不相等 , 但都小于 ZV城此处 V 是 多面体的顶点数 ) , 且与 ZV 二 的差是一个常数 ZV 汀一乏a 二 4兀 将观察所得材料进行归纳 , 寻找和发现规律 , 决不是一种简单的一眼就能看出的事情 , 在这 里 , 如何进行归纳是 能否发现规律的关键 . 欧 拉把观察所 得面角和与 ZV 二 进行 比较 , 表现 了非凡的创造性 , 导致了发现 . 欧拉认为上述结果不像是偶然的巧合 , 因 为在考察的多面体 中 , 既有规则的 (例如立方 体 、 正四面体和正八面体 )也有不规则的 (例如 所得结果均支持上述猜想 , 这些虽然增加 了猜 想成立 的可能性 , 但欧拉明白这还不是对一般 情形的证明 . 接下来 , 欧拉从另一角度计算多面体的 面 角和 艺.a 设多面体各个面多边形的边数分别为 S , , 5 2 , 5 3 , … , S ; , 此处 F 是多面体的面的个数 . 于 是 乏a = ( 5 1一 2 ) 二+ ( 5 2一 2 ) 二+ … + (S ; 一 2 ) 二 一 ( 5 1十 S : + 一 + S F一 ZF ) 汀 , 其中 5 1十 5 2+ … + S ; 是多面体所有 F 个面多 边形的边数的总和 . 在这个总和中 , 多面体 的 每一条棱恰好被计算了两次 ( 因为每一条棱都 是相邻两个面的公共边 ) . 设 多面体的棱数 为 E , 于是有 S , 十 5 2+ … + S : 一 Z.E 因此得到 艺a 一 2( E 一 F )二 . (2 ) 即多面体 的面角和 由它的棱数和面数完全决 定 . 注意 , 关 系式 ( 2) 是经过证明得到的结论 , 而不是猜想 . 欧拉综合了猜想 ( 1) 和事实 ( 2 )( 从这两个 式子中消去 乏a) 得到 V 一 E + F 一 2 (3 ) 因此 ( 3) 仍然是一个猜想 , 尚需要证 明. 上述发现公式 ( 3) 的过程 , 基本上是按照 欧拉关于这个 问题 的一篇论文叙述的 . 欧拉在 这篇论文 中没有给出公式的证明 . 在另一篇论 文 中 , 欧拉试 图给出证明 , 但证 明中有一个很 大的漏洞 . 下 面介绍波利亚 的书中给 出的与前面 的 讨论很接近的一个证明 . 注意到 , 将一个多面体连续地 变形 (例如 使多面体变得更倾斜 )时 , 多面体各面的 ) 2 0 0 2年 1月 上 中 学 生 数 学 迎氮习公勿攀粗公习游妇 安徽芜湖市第一中学 ( 24 1 0 0) 0叶 茂 月亮有多大呢 ?这个问题似乎不大好人 手 .现在 , 科学家们通过精密 的仪器已经能够 比较 准确的测量 出月球 的半径约为 1 7 3。 千 米 . 但是如果不用这些精密的仪器 , 能否也可 以估算出月球的半径呢 ? 今天我就来 向大家介 绍这种测量月球半径的新方法 . 不知道大家以前有没有注意过月蚀 . 当月 蚀时地球在月球上形成影子 , 用照像机拍成照 片 , 那么分析照片上的平面图形 , 就可 以对月 球半径做出粗略估计 . 画作一个图 (如图 2) . 在图 2 中由于两圆相交 时 , 公共弦对两圆联心线垂直平分 . 所 以 O口 二垂直平分 A B 于 M 点 . 我们又已知地球半 径 为 O A = 6 3 7 0 千米 . 1段设 在 照 片 上 量 得 `兰A O B = 6 “ , 匕A O `B - 为 此 , 假 设 图 1是某次月蚀 时 的一张照 片 . 图 中 圆 O 表 示 地球 , 圆 创表示 月球 . 阴影部 分 表 示 地 球 在 月 球上 的影子 . 为 了便于估算我们把图 1 中的四边形 A O B O’ 单 从 “ . 那么匕A O M 一 3 “ , 匕A 。 , M 二 1 2 “ . 所 以在 :么A O M 中 , 由于匕 A M O 一 9 00 , 因此 A M 一 O A 城 s in 3 o = 6 3 7 0 只 0 . 0 5 2一 3 7 4 千米 . 故在直角 三角形△A O’ M 中月球半径 A O’ 一 A M / S ni 1 2 “ = 3 7 4 / 0 . 2 1 、 1 7 8 0 千米 . 实 际上 , 前 面已 经说 过月球半径为 1 7 3。 千米 . 这样看来上面的估计是很准确 的 , 但是 在实际对月蚀照片估算时 , 不可能一次就这样 准确地估算出 . 必须经过多次测量 . 计算 , 然后 估算出月球半径的平均值 . 那么结果就比较准 确和接近实际情况了 . 口 ( 责审 周春荔 ) 一俨 , ; 己 、 二之~ 乙俨 , ; J绝` 己 . 二 . 二~ 目二 宁 , ` 之戈` 二~ 夯 , 泛 , r 绝 穿巴 写之 ` `之 二 、 , 二. 绝 与洲二月 面` 二 , 二 , 二 `生 与 ` 绝 , 二己 月面碑 、 目 二 代二`乏 ,二 坦 砂二 `绝 ` 亡 砰一一~ 俨、 , 俨 ) 交线 (即棱 )和各面的交点 (即顶点 )的位 置也会连续地变化 , 但多面体 的总体结构 , 即 多面体 的面 、 棱和顶点之间的相互关系不会改 变 , 于是面数 F ,棱数 E 及顶点数 F 也不会改 变 . 虽然各个面角可能会 改变 , 但前面已经证 明 艺a 一 2二 ( E 一 F ) , 即面角和 艺a 是不会 改变 的 . 下面将多面体连续地变形到一个非常极端 的情形来计算 艺a( 我们 对一般情形的多面体 来证明 , 但我们心 中可 以具体想着 一个立方 体 ) . 以多面体的一个面为底 , 将其适 当扩大 , 扩大到使其余 F 一 1 个面向底面的正投影全都 落在该底面 内 , 然后将该 多面体 垂直压 向底 面 . 于是多面体被 “ 压平 ” 为两个重叠在一起 的 多边形 . 上下两块的外轮廓线互相重合 . 下面 一块是整块 (即底面 ) , 上面一块分成 F 一 1 个 多边形 , 每个小多边形都是原来多面体的一个 面 . 例如以立方体的一个面 A B C D 为底面 , 压 平后的图形如图 10 . 现在来计算压平后 的多面体的面角和 乏.a 一没上下两块共同的轮廓 线 的边数 为 m . 于是 下 面一块 (底面多边形 )的 茸角和 为 ( m 一 2 ) 二 . 上 面一块 的面角和分为两 邹分 , 在边上 m 个顶点 处 的 面角和 为 ( m 一 2) 丫丫丫丫丫 图 1 0 : r , 在 内部 ( V 一 m )个顶点处 的面角和为 ( V 一 , 、 ) 2二 . 于是 艺 a 一 ( m 一 2 )汀+ (m 一 2 ) 汀+ (V 一 m ) 2汀 一 ZV 汀一 4 .7r 这就证明了前面的猜想 ( 1 ) . 再 由前 面已经得 到的 乏a 一 2二 ( E 一 F ) , 也就证明了猜想 ( 3) V 一 E + F 一 2 . 参考资料 G · 波 利 亚著《数学的发现 》第二卷 P 5 56 一 5 66 . 刘远 图 , 秦璋译 , 科学出版社 , 1 9 8 7 年 . 口 (责审 周春荔 )