高数总结

考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年 10月 1 一. 函数的概念 1．用变上、下限积分表示的函数 （1） ( )dttfy x∫= 0 ，其中 ( )tf 连续，则 ( )xfdxdy = （2） ( )( )( ) dttfy xx∫= 21ϕϕ ，其中 ( )x1ϕ ， ( )x2ϕ 可导， ( )tf 连续， 则 ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )xxfxxf dx dy 1122 ϕϕϕϕ ′−′= 2．两个无穷小的比较 设 ( ) 0lim =xf ， ( ) 0lim =xg ，且 ( )( ) lxg xf =lim （1） 0=l ，称 ( )xf 是比 ( )xg 高阶的无穷小，记以 ( ) ( )[ ]xgxf 0= ，称 ( )xg 是比 ( )xf 低阶的无穷 小。 （2） 0≠l ，称 ( )xf 与 ( )xg 是同阶无穷小。 （3） 1=l ，称 ( )xf 与 ( )xg 是等价无穷小，记以 ( ) ( )xgxf ~ 3．常见的等价无穷小 当 0→x 时 xx ~sin ， xx ~tan ， xx ~arcsin ， xx ~arctan 2 2 1~cos1 xx− ， xex ~1− ， ( ) xx ~1ln + ， ( ) xx αα ~11 −+ 二．求极限的方法 1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则 准则 1．单调有界数列极限一定存在 （1）若 nn xx ≤+1 （ n为正整数）又 mxn ≥ （ n为正 整数），则 Axnn =∞→lim 存在，且 mA ≥ （2）若 nn xx ≥+1 （ n为正整数）又 Mxn ≤ （ n为正 整数），则 Axnn =∞→lim 存在，且 MA ≤ 准则 2．（夹逼定理）设 ( ) ( ) ( )xhxfxg ≤≤ 若 ( ) Axg =lim ， ( ) Axh =lim ，则 ( ) Axf =lim 3．两个重要公式 公式 1． 1sinlim 0 =→ x x x 公式 2． e n n n =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∞→ 11lim ； e u u u =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∞→ 11lim ； ( ) ev v v =+→ 1 0 1lim 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和 数学二） 当 0→x 时， ( )nnx x n xxxe 0 !!2 1 2 +++++= Λ ( ) ( ) ( )12 1253 0 !12 1 !5!3 sin + + ++−+++−= n n n x n xxxxx Λ ( ) ( ) ( )n n n x n xxxx 2 242 0 !2 1 !4!2 1cos +−+−+−= Λ ( ) ( ) ( )nnn x n xxxxx 01 32 1ln 1 32 +−+−+−=+ +Λ ( ) ( )1212153 0 12 1 53 arctan + ++ ++−+−+−= n n n x n xxxxx Λ ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )nn xx n nxxx 0 ! 11 !2 111 2 +−−−++−++=+ ααααααα ΛΛ 6．洛必达法则 法则 1．（ 0 0 型）设（1） ( ) 0lim =xf ， ( ) 0lim =xg （2） x变化过程中， ( )xf ′ ， ( )xg ′ 皆存在 （3） ( )( ) Axg xf =′ ′ lim （或∞） 则 ( )( ) Axg xf =lim （或∞） （注：如果 ( )( )xg xf ′ ′ lim 不存在且不是无穷大量情形，则 不能得出 ( )( )xg xflim 不存在且不是无穷大量情形） 法则 2．（ ∞ ∞型）设（1） ( ) ∞=xflim ， ( ) ∞=xglim （2） x变化过程中， ( )xf ′ ， ( )xg ′ 皆存在 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年 10月 2 （3） ( )( ) Axg xf =′ ′ lim （或∞） 则 ( )( ) Axg xf =lim （或∞） 7．利用导数定义求极限 基本公式： ( ) ( ) ( )0000lim xfx xfxxf x ′=∆ −∆+ →∆ [如果 存在] 8．利用定积分定义求极限 基本公式 ( )∫∑ =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→ 1 0 1 1lim dxxf n kf n n kn [如果存在] 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设 0x 是函数 ( )xfy = 的间断点。如果 ( )xf 在间断点 0x 处的左、右极限都存在，则称 0x 是 ( )xf 的第一类间断 点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断 点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 四．闭区间上连续函数的性质 在闭区间 [ ]ba, 上连续的函数 ( )xf ，有以下几个基本 性质。这些性质以后都要用到。 定理 1．（有界定理）如果函数 ( )xf 在闭区间 [ ]ba, 上 连续，则 ( )xf 必在 [ ]ba, 上有界。 定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 ( )xf 在闭 区间 [ ]ba, 上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和 最小值m。 其中最大值M 和最小值m的定义如下： 定义 设 ( ) Mxf =0 是区间 [ ]ba, 上某点 0x 处的函数 值，如果对于区间 [ ]ba, 上的任一点 x，总有 ( ) Mxf ≤ ， 则称M 为函数 ( )xf 在 [ ]ba, 上的最大值。同样可以定义最 小值m。 定理 3．（介值定理）如果函数 ( )xf 在闭区间 [ ]ba, 上 连续，且其最大值和最小值分别为M 和m，则对于介于m 和M 之间的任何实数 c，在 [ ]ba, 上至少存在一个ξ ，使 得 ( ) cf =ξ 推论：如果函数 ( )xf 在闭区间 [ ]ba, 上连续，且 ( )af 与 ( )bf 异号，则在 ( )ba, 内至少存在一个点ξ ，使得 ( ) 0=ξf 这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算 1．导数与微分表 ( ) 0=′c ( ) 0=cd ( ) 1 −=′ αα α xx （α实常数） ( ) dxxxd 1 −= αα α （α实常数） ( ) xx cossin =′ xdxxd cossin = ( ) xx sincos −=′ xdxxd sincos −= ( ) xx 2sectan =′ xdxxd 2sectan = ( ) xx 2csccot −=′ xdxxd 2csccot −= ( ) xxx tansecsec =′ xdxxxd tansecsec = ( ) xxx cotcsccsc −=′ xdxxxd cotcsccsc −= ( ) ax xa ln 1log =′ ( )1,0 ≠> aa ax dxxd a ln log = ( )1,0 ≠> aa ( ) x x 1ln =′ dx x xd 1ln = ( ) aaa xx ln=′ ( )1,0 ≠> aa adxada xx ln= ( )1,0 ≠> aa 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年 10月 3 ( ) xx ee =′ dxede xx = ( ) 21 1arcsin x x − =′ dx x xd 21 1arcsin − = ( ) 21 1arccos x x − −=′ dx x xd 21 1arccos − −= ( ) 21 1arctan x x += ′ dx x xd 21 1arctan += ( ) 21 1cot x xarc +−= ′ dx x xdarc 21 1cot +−= ( )[ ] 22 22 1ln ax axx + =′++ ( ) dx ax axxd 22 22 1ln + =++ ( )[ ] 22 22 1ln ax axx − =′−+ ( ) dx ax axxd 22 22 1ln − =−+ 2．四则运算法则 ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxf ′±′=′± ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf ′+′=′⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xg xgxfxgxf xg xf 2 ′−′= ′ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ( )( )0≠xg 3．复合函数运算法则 设 ( )ufy = ， ( )xu ϕ= ，如果 ( )xϕ 在 x处可导， ( )uf 在对应点u处可导，则复合函数 ( )[ ]xfy ϕ= 在 x处可导， 且有 ( )[ ] ( )xxf dx du du dy dx dy ϕϕ ′′== 对应地 ( ) ( )[ ] ( )dxxxfduufdy ϕϕ ′′=′= 由于公式 ( )duufdy ′= 不管 u 是自变量或中间变量 都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4．由参数方程确定函数的运算法则 设 ( )tx ϕ= ， ( )ty ψ= 确定函数 ( )xyy = ，其中 ( )tϕ′ ， ( )tψ ′ 存在，且 ( ) 0≠′ tϕ ，则 ( ) ( )t t dx dy ϕ ψ ′ ′= ( )( )0≠′ tϕ 二阶导数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]32 2 1 t tttt dt dxdt dx dyd dx dx dyd dx yd ϕ ϕψϕψ ′ ′′′−′′′=⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ = 5．反函数求导法则 设 ( )xfy = 的反函数 ( )ygx = ，两者皆可导，且 ( ) 0≠′ xf 则 ( ) ( ) ( )[ ]ygfxfyg ′=′=′ 11 ( )( )0≠′ xf 二阶导数 ( ) ( )[ ] ( ) dx dydx xf d dy ygdyg 1 1 ⋅ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ′=′=′′ ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }33 ygf ygf xf xf ′ ′′−=′ ′′−= ( )( )0≠′ xf 6．隐函数运算法则 设 ( )xyy = 是由方程 ( ) 0, =yxF 所确定，求 y′的方 法如下： 把 ( ) 0, =yxF 两边的各项对 x求导，把 y看作中间变 量，用复合函数求导公式计算，然后再解出 y′的表达式（允 许出现 y变量） 7．对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导 方法得出导数 y′。 对数求导法主要用于： ①幂指函数求导数 ②多个函数连乘除或开方求导数 关 于 幂 指 函 数 ( )[ ] ( )xgxfy = 常 用 的 一 种 方 法 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年 10月 4 ( ) ( )xfxgey ln= 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 8．可微与可导的关系 ( )xf 在 0x 处可微 ( )xf⇔ 在 0x 处可导。 9．求n阶导数（ 2≥n ，正整数） 先求出 ,,, Λyy ′′′ 总结出规律性，然后写出 ( )ny ，最后 用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的 n阶导数公式 （1） xey = ( ) xn ey = （2） ( )1,0 ≠>= aaay x ( ) ( )nxn aay ln= （3） xy sin= ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2 sin πnxy n （4） xy cos= ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2 cos πnxy n (5) xy ln= ( ) ( ) ( ) nnn xny −− −−= !11 1 两个函数乘积的 n阶导数有莱布尼兹公式 ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ = −= n k knkk n n xvxuCxvxu 0 其 中 ( )!! ! knk nC kn −= ， ( ) ( ) ( )xuxu =0 ， ( ) ( ) ( )xvxv =0 假设 ( )xu 和 ( )xv 都是 n阶可导。 微分中值定理 一．罗尔定理 设函数 ( )xf 满足 （1）在闭区间 [ ]ba, 上连续； （2）在开区间 ( )ba, 内可导； （3） ( ) ( )bfaf = 则存在 ( )ba,∈ξ ，使得 ( ) 0=′ ξf 二．拉格朗日中值定理 设函数 ( )xf 满足 （1）在闭区间 [ ]ba, 上连续； （2）在开区间 ( )ba, 内可导； 则存在 ( )ba,∈ξ ，使得 ( ) ( ) ( )ξf ab afbf ′=− − 或写成 ( ) ( ) ( )( )abfafbf −′=− ξ ( )ba << ξ 有时也写成 ( ) ( ) ( ) xxxfxfxxf ∆⋅∆+′=−∆+ θ000 ( )10 <<θ 这里 0x 相当 a或b都可以， x∆ 可正可负。 推论 1．若 ( )xf 在 ( )ba, 内可导，且 ( ) 0≡′ xf ，则 ( )xf 在 ( )ba, 内为常数。 推论 2．若 ( )xf ， ( )xg 在 ( )ba, 内皆可导，且 ( ) ( )xgxf ′≡′ ，则在 ( )ba, 内 ( ) ( ) cxgxf += ，其中 c为 一个常数。 三．柯西中值定理（数学四不要） 设函数 ( )xf 和 ( )xg 满足： （1）在闭区间 ],[ ba 上皆连续； （2）在开区间 ( )ba, 内皆可导；且 ( ) 0≠′ xg 则存在 ( )ba,∈ξ 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ξ ξ g f agbg afbf ′ ′=− − ( )ba << ξ （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特 殊情形 ( ) xxg = 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定 理。） 四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二） 定理 1．（皮亚诺余项的 n阶泰勒公式） 设 ( )xf 在 0x 处有 n阶导数，则有公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xRxx n xfxxxfxxxfxfxf n n n +−++−′′+−′+= 00200000 !!2!1 Λ 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年 10月 5 ( )0xx→ 其中 ( ) ( )[ ]nn xxxR 00 −= ( )0xx→ 称为皮亚诺 余项。 ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ =−→ 0lim 00 n n xx xx xR 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不 同情形取适当的 n ，所以对常用的初等函数如 ( )xxxe x +1ln,cos,sin, 和 ( )αx+1 （α为实常数）等的 n 阶泰勒公式都要熟记。 定理 2（拉格朗日余项的 n阶泰勒公式） 设 ( )xf 在包含 0x 的区间 ( )ba, 内有 1+n 阶导数，在 [ ]ba, 上有 n阶连续导数，则对 [ ]bax ,∈ ，有公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xRxx n xfxxxfxxxfxfxf n n n +−++−′′+−′+= 00200000 !!2!1 Λ 其中 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 10 1 !1 ++ −+= n n n xxn fxR ξ ，（ξ 在 0x 与 x之 间） 称为拉格朗日余项。 上面展开式称为以 0x 为中心的 n 阶泰勒公式。当 00 =x 时，也称为 n阶麦克劳林公式。 如果 ( ) 0lim =∞→ xRnn ，那么泰勒公式就转化为泰勒级 数，这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用： 一．基本知识 1．定义 设函数 ( )xf 在 ( )ba, 内有定义， 0x 是 ( )ba, 内的某一 点，则 如果点 0x 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点 ( )0xxx ≠ ，总有 ( ) ( )0xfxf < ，则称 ( )0xf 为函数 ( )xf 的一个极大值，称 0x 为函数 ( )xf 的一个极大值点； 如果点 0x 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点 ( )0xxx ≠ ，总有 ( ) ( )0xfxf > ，则称 ( )0xf 为函数 ( )xf 的一个极小值，称 0x 为函数 ( )xf 的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值 点统称极值点。 2．必要条件（可导情形） 设函数 ( )xf 在 0x 处可导，且 0x 为 ( )xf 的一个极值 点，则 ( ) 00 =′ xf 。 我们称 x满足 ( ) 00 =′ xf 的 0x 为 ( )xf 的驻点可导函 数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点 中进一步去判断。 3．第一充分条件 设 ( )xf 在 0x 处连续，在 δ<−< 00 xx 内可导， ( )0xf ′ 不存在，或 ( ) 00 =′ xf 。 °1 如果在 ( )00 , xx δ− 内的任一点 x处，有 ( ) 0>′ xf ，而在 ( )δ+00 , xx 内的任一点 x处，有 ( ) 0<′ xf ，则 ( )0xf 为极大值， 0x 为极大值点； °2 如果在 ( )00 , xx δ− 内的任一点 x处，有 ( ) 0<′ xf ，而在 ( )δ+00 , xx 内的任一点 x处，有 ( ) 0>′ xf ，则 ( )0xf 为极小值， 0x 为极小值点； °3 如果在 ( )00 , xx δ− 内与 ( )δ+00 , xx 内的任一点 x处， ( )xf ′ 的符号相同，那么 ( )0xf 不是极值， 0x 不是 极值点。 4．第二充分条件 设函数 ( )xf 在 0x 处有二阶导数，且 ( ) 00 =′ xf ， ( ) 00 ≠′′ xf ，则 当 ( ) 00 <′′ xf 时， ( )0xf 为极大值， 0x 为极大值点。 当 ( ) 00 >′′ xf 时， ( )0xf 为极小值， 0x 为极小值点。 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年 10月 6 二．函数的最大值和最小值 1．求函数 ( )xf 在 [ ]ba, 上的最大值和最小值的方法 首先，求出 ( )xf 在 ( )ba, 内所有驻点和不可导点 kxx ,,1 Λ ，其次计算 ( ) ( ) ( ) ( )bfafxfxf k ,,,,1 Λ 。 最后，比较 ( ) ( ) ( ) ( )bfafxfxf k ,,,,1 Λ ， 其中最大者就是 ( )xf 在 [ ]ba, 上的最大值M ；其中最 小者就是 ( )xf 在 [ ]ba, 上的最小值m。 2．最大（小）值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间， 然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。 三．凹凸性与拐点 1．凹凸的定义 设 ( )xf 在区间 I 上连续，若对任意不同的两点 21 , xx ， 恒有 ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +<⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++>⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 21 21 21 21 2 1 22 1 2 xfxfxxfxfxfxxf 则称 ( )xf 在 I 上是凸（凹）的。 在几何上，曲线 ( )xfy = 上任意两点的割线在曲线下 （上）面，则 ( )xfy = 是凸（凹）的。 如果曲线 ( )xfy = 有切线的话，每一点的切线都在曲 线之上（下）则 ( )xfy = 是凸（凹）的。 2．拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3．凹凸性的判别和拐点的求法 设函数 ( )xf 在 ( )ba, 内具有二阶导数 ( )xf ′′ ， 如果在 ( )ba, 内的每一点 x，恒有 ( ) 0>′′ xf ，则曲线 ( )xfy = 在 ( )ba, 内是凹的； 如果在 ( )ba, 内的每一点 x，恒有 ( ) 0<′′ xf ，则曲线 ( )xfy = 在 ( )ba, 内是凸的。 求曲线 ( )xfy = 的拐点的方法步骤是： 第一步：求出二阶导数 ( )xf ′′ ； 第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的 点 1x 、 2x 、…、 kx ； 第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数 的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标； 第四步：求出拐点的纵坐标。 四．渐近线的求法 1．垂直渐近线 若 ( ) ∞=+→ xfaxlim 或 ( ) ∞=−→ xfaxlim 则 ax = 为曲线 ( )xfy = 的一条垂直渐近线。 2．水平渐近线 若 ( ) bxf x =+∞→lim ，或 ( ) bxfx =−∞→lim 则 by = 是曲线 ( )xfy = 的一条水平渐近线。 3．斜渐近线 若 ( ) 0lim ≠=+∞→ ax xf x ， ( )[ ] baxxf x =−+∞→lim 或 ( ) 0lim ≠=−∞→ ax xf x ， ( )[ ] baxxf x =−−∞→lim 则 baxy += 是曲线 ( )xfy = 的一条斜渐近线。 五．曲率（数学一和数学二） 设 曲 线 ( )xfy = ， 它 在 点 ( )yxM , 处 的 曲 率 ( )[ ] 2321 yyk ′+ ′′= ，若 0≠k ，则称 kR 1= 为点 ( )yxM , 处 的曲率半径，在M 点的法线上，凹向这一边取一点D， 使 RMD = ，则称D为曲率中心，以D为圆心，R为半 径的圆周称为曲率圆。 不定积分 一．基本积分公式 1． Cxdxx ++=∫ + 1 1 α α α ( )，实常数1−≠α 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年 10月 7 2． ∫ += Cxdxx ln1 3． ∫ += Caadxa xx ln1 ( )1,0 ≠> aa Cedxe xx +=∫ 4． ∫ += Cxxdx sincos 5． ∫ +−= Cxxdx cossin 6． Cxdx x xdx +== ∫∫ tancos1sec 22 7． Cxdx x xdx +−==∫ ∫ cotsin1csc 22 8． Cxxdxx +=∫ secsectan 9． Cxxdxx +−=∫ csccsccot 10． Cxxdx +−=∫ coslntan 11． Cxxdx +=∫ sinlncot 12． Cxxxdx ++=∫ tanseclnsec 13． Cxxxdx +−=∫ cotcsclncsc 14． ∫ +=− Ca x xa dx arcsin 22 ( )0>a 15． C a x axa dx +=+∫ arctan122 ( )0>a 16． C xa xa axa dx +− +=−∫ ln2122 ( )0>a 17． Caxx ax dx +±+= ±∫ 2222 ln ( )0>a 二．换元积分法和分部积分法 1．第一换元积分法（凑微分法） 设 ( ) ( ) CuFduuf +=∫ ，又 ( )xϕ 可导，则 ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )duufxuxdxfdxxxf ∫∫∫ ==′ ϕϕϕϕϕ 令 ( ) ( )[ ] CxFCuF +=+= ϕ 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就 是非常熟练地凑出微分。 常用的几种凑微分形式： （1） ( ) ( ) ( )∫∫ ++=+ baxdbaxfadxbaxf 1 ( )0≠a （2） ( ) ( ) ( )∫∫ ++=+ − baxdbaxfnadxxbaxf nnnn 11 ( )0,0 ≠≠ na （3） ( ) ( ) ( )xdxf x dxxf lnlnln ∫∫ = （4） ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∫∫ xdxfxdxxf 111 2 （5） ( ) ( ) ( )∫∫ = xdxfxdxxf 2 （6） ( ) ( ) ( )∫∫ = xxxx adafadxaaf ln1 ( )1,0 ≠> aa ( ) ( ) ( )∫∫ = xxxx edefdxeef （7） ( ) ( ) ( )∫∫ = xdxfxdxxf sinsincossin （8） ( ) ( ) ( )∫∫ −= xdxfxdxxf coscossincos （9） ( ) ( ) ( )∫∫ = xdxfxdxxf tantansectan 2 （10） ( ) ( ) ( )∫∫ −= xdxfxdxxf cotcotcsccot 2 （11） ( ) ( ) ( )∫∫ = xdxfxdxxxf secsectansecsec （12） ( ) ( ) ( )∫∫ −= xdxfxdxxxf csccsccotcsccsc （13） ( ) ( ) ( )∫∫ =− xdxfdxx xf arcsinarcsin 1 arcsin 2 （14） ( ) ( ) ( )∫∫ −=− xdxfdxx xf arccosarccos 1 arccos 2 （15） ( ) ( ) ( )∫∫ =+ xdxfdxx xf arctanarctan1arctan2 （16） ( ) ( ) ( )∫∫ −=+ xarcdxarcfdxx xarcf cotcot1 cot2 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年 10月 8 （17） ∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ x d x fdx x x f 1arctan1arctan 1 1arctan 2 （ 18 ） ( )[ ] ( )[ ] ( )( )∫∫ ++++=+ ++ 222222 22 lnlnln axxdaxxfdxax axxf ( )0>a （ 19 ） ( )[ ] ( )[ ] ( )( )∫∫ −+−+=− −+ 222222 22 lnlnln axxdaxxfdxax axxf ( )0>a （20） ( )( ) ( ) Cxfdxxf xf +=′∫ ln ( )( )0≠xf 2．第二换元积分法 设 ( )tx ϕ= 可 导 ， 且 ( ) 0≠′ tϕ ， 若 ( )[ ] ( ) ( ) CtGdtttf +=′∫ ϕϕ ， 则 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] CxGCtGdtttftxdxxf +=+=′=∫ ∫ −1ϕϕϕϕ令 其中 ( )xt 1−= ϕ 为 ( )tx ϕ= 的反函数。 第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过 换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是 x与 n bax + 或 x与 n dcx bax + + 或 由 xe 构成的代数式的根式，例如 baex + 等。 只要令根式 ( ) txgn = ，解出 ( )tx ϕ= 已经不再有根 式，那么就作这种变量替换 ( )tx ϕ= 即可。 第二类：被积函数含有 ( )0 2 ≠++ ACBxAx ， 如果仍令 tCBxAx =++2 解出 ( )tx ϕ= 仍是根号，那 么这样变量替换不行，要作特殊处理，将 0>A 时先化为 ( )[ ]220 lxxA ±− ， 0