排列组合例题

排列组合应用 （一）排列 解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，那是否有序，抓住问题本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时要讲究一些基本策略与方法技巧。 1、特殊元素的“优先按排法”。 例1、用0、1、2、3、4这五个数字，组成没有重复的三倍数，其中偶数共有多少？ （分析）由于三位数是偶数，故末尾数字必须是偶数，以“0”不能排在首位，所以“0”就是其中特殊元素，优先按排。按“0”在末尾和不在末尾分为两类。共A +A A A =30种。 2、相邻问题有“捆绑法”。对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将先相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。 例2、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的排法？ （分析）先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余4个元素进行排列再对甲、乙、丙三人进行排列。共A A 种。 3、不相邻问题有“插空法”。对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙间插入即可。 例3、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同的排法？ （分析）先让其余4人站好，有A 种排法，这时有5个“空隙”可供甲、乙、丙选取，即A 种。共A A 种排法。 4、间接法或淘汰法。理解题中的要求，把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。 例4、5名男生，5名女生排成一行，其中5名男生不排在一起，有几种排法？ （分析）先计算出10人的全排列数，再减去5名男生排在一起的排列数即可。共A —A A 排法。 5、合理分类与准确分步。解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的连续性分步，做到分类明确，分步层次清楚，不重不漏。 例5、五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，共有多少种不同站法 （分析）若甲在第二位置上其余4人可自由按排，有A 种； 若甲在第3、4、5位置上，则乙可站在其他3个位置上，有A A A 种；共A + A A A 种排法。 或用间接法：①甲在第一位置，乙在第二位置有A 种；②甲在第一位置，乙不在第二位置有A A 种；③甲不在第一位置，乙在第二位置有A A 种；即共有A + A A + A A 种不符合要求，则符合要求的有A —(A + A A + A A )种。 6“住店法”解决“允许重复排列问题”。要注意区分两类元素，一类元素是可以重复，另一类元素是不可以重复，把不能重复的元素看作“客”把可以重复的元素看作“店”再利用乘法原理求解的方法称“住店法” 例6、七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能性有多少种？ （分析）因同一学生可同时夺得几项冠军，故学生可重复排列，把七名学生看作七家“店”，五项冠军看作五名“客”。每个“客”有7种住法，共7 种。 7、顺序固定问题有“除法”。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。 例7、五人排列，甲在乙前面的排法有多少种？ （分析）先将5人全排列有A 种排法，而甲、乙之间排法有A 种排法，而甲在乙前的排法只有一种符合，故符合条件的排法有 种。 8、特征分析法。研究有约束这种的排列问题要紧扣问题所提供的数字特征、结构特征，进行推理分析求解。 例8、由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？ （分析）6的倍数的数既是2的倍数不是3的倍数，其中3的倍数又满足“各个数位上的数字和是3的倍数”的特征。把6个数字分成4组：（1，5）（2，4）（3）（6），每组数字之和为3的倍数，因而可分成两类，一类由1、5、2、4、6作为数码，另一类由1、5、2、4、3作为数码，且末尾数字为偶数即可。第一类有A A 种，第二类有共有A A 种，共有A A + A A 种。 巩固练习 1、 有3名男生、4名女生、排成一排 （1） 选其中5人排成一行（2）甲只能在中间或两头（3）甲、乙二人必须在两头（4）甲不在排头，乙不在排尾（5）男生、女生各站一边（6）男生必须排在一起（7）男生、女生各不相邻（8）男生不能相邻（9）甲、乙、丙三人中甲必须在前，丙必须在后，但三人不一定相邻（10）甲、乙中间必须有3人，各有多少种不同的排法 （答案）（1）A （2）A A （3）A A （4）3720（5）A A A （6）A A （7）A A （8）A A （9） （10）A A A 2、 由数字0、1、2、2、4、5组成（各位上数字不允许重复）（1）多少六位数？（2）多少个六位偶数（3）多少个被5整除的五位数？（4）多少个被3整除的五位数（5）比240135大的六位数有多少个？ （答案）(1)A A (2)312(3)216(4)216(5)407 （二）组合 组合与排列有许多联系，在解决组合问题中常借用解决排列问题的方法。以下是解决组合问题的几种方法 1、 直接法或间接法 例1、 在100件产品中有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意取出3件（1）一共有多少种不同的取法（2）恰好取出1件次品，有多少种取法（3）至少有1件次品，有多少种取法？ （答案）(1)C (2)C C (3) C C +C C (或C –C ) 练习：要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选（2）A、B、C三人不能入选（3）A、B 、C三人只有一人入选（4）A、B、C三人至少一人入选（5）A、B、C三人至多二人入选 （答案）(1)C (2)C (3)C C (4)C C +C C +C C ( 5)C C + C C + C C (或C –C ) 2、分组分配 例2、六本不同的按下列条件各有多少种不同的分法？ （1） 分给甲、乙、丙三人，每人两本子（2）分成三份，每份两本（3）分成三份，一份一本，一份二本，一份三本（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本 （分析）（1）先分给甲有 C 种,再分给乙有 C 种,最后为丙有 C 种,共C C C =90种 （2）问题（1）也可以分成两步完成：第一步先把六本书均分成三份，设有x种分法，第二步把已分好的书分给甲、乙、丙三人有A 种,即有xA = C C C x= =15种 说明：（1）（2）两题的区别在于（2）只分组不分配，（1）既分组又分配。那么为什么在（2）中也就是只分组的问题中要除去 A 呢？比如A、B 、C、D四个元素要均分为两组，先取AB再取CD为一种即｛ 或先取CD再取AB为另一种即｛ EMBED Equation.3 ，由于只分组即AB与CD间是无序的因而只能算一种分法。因而“分组分配”有如下一般结论： a) 将2n个元素均分为两组方法数： 种。 b) 将3n个元素均分为三组方法数： 种。 c) 将kn个元素均分为k组方法数： 种。 d) 将n个元素均分为m组每组r个（m r=n）方法数： e) 若再将m组分配给m个对象，则分配方法有 EMBED Equation.3 m! (3)先分一本，再分二本，最后分三本，即得分三组的方法数 共有C C C =60种 (4)先要把收分成三组有C C C =60种，再分配给三人有A 种 共有A C C C =360种。 练习：六本不同的书，分成3组，1组4本，其余各1本有多少种分法？ （答案） 3、隔板法 例3、某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市课外知识竞赛，使代表中每个班至少有1人参加的选法有多少种？ （分析）由于12个名额是不可区分的，所以将问题转化为：把排成一行的12个“0”分成7份的不同方法数。12个“0”形成11个空隙，用6个隔板可将其分成7组，有C 种不同的插法,即C =462种。 练习：10个相同的球放入6个盒中，每个盒中至少一个的放法有多少种。 （答案）C =126 4、插空法 例4、某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可以熄灭其中的3盏，但两端的灯不能熄，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灭的方法共有多少种？ （分析）把要熄灭的三盏灯去掉，有九盏灯亮着，则有8个空隙，在这8个空隙中安排3盏灯故有C 种。 练习：一排无区别的座位10个，3个人来坐，都不能坐两头，且两人之间至少有一个座位，问有多少种不同的坐位？ （答案）C 5、 递推法 例5、一楼梯共10级，如果规定每次只能跨下一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？ （分析）设上n级楼梯的走法为an种,则a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：一类是最后一步跨一级有an﹣1种走法，另一类是最后一步跨二级有an﹣2种走法,则有an= an﹣1+ an﹣2 由a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=a5+a4=13,a7=a6+a5=21,a8=34, a9=55,a10=89 练习：一个楼梯共18级台阶，一步可跨一级或两级台阶，若12步 登完共有多少种不同的走法？ （分析）一步一台阶x个，一步二台阶y个则有 得 x=6,y=6，即无论哪种走法都有6个一步一台阶6个一步二台阶的，因而转化为求12步中任选6步的不同选法：C =924 巩固练习 1、 从五双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配在一双的可能性有多少种？ 2、 有20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于盒子的编号数，问有多少种不同的放法？ 3、 某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生要按排到该年级的两个班，每班二名有多少不同的？ 4、 四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子则恰好一个空盒的放法有多少种？ 5、 平面内有n个点，如果有m个点共线，其余各点任何三点不共线，则这几个点能形成多少条直线？多少个三角形？ （答案）1、130 2、C 3、C C 4、C A =144 5、C ﹣C +1，C ﹣C _1321461874.unknown _1321462612.unknown _1322633469.unknown _1322638940.unknown _1322639433.unknown _1322642160.unknown _1322643110.unknown _1322643197.unknown _1322643341.unknown _1322643342.unknown _1322643235.unknown _1322643127.unknown _1322643053.unknown _1322641651.unknown _1322642109.unknown _1322641368.unknown _1322639014.unknown _1322639335.unknown _1322638967.unknown _1322633602.unknown _1322635368.unknown _1322635531.unknown _1322634979.unknown _1322635098.unknown _1322635209.unknown _1322633685.unknown _1322633553.unknown _1322633568.unknown _1322633512.unknown _1322633532.unknown _1322633490.unknown _1322633152.unknown _1322633372.unknown _1322633415.unknown _1322633438.unknown _1322633396.unknown _1322633201.unknown _1322633253.unknown _1322633168.unknown _1322633098.unknown _1322633138.unknown _1322633139.unknown _1322633115.unknown _1321462856.unknown _1322633051.unknown _1321462649.unknown _1321462477.unknown _1321462492.unknown _1321462510.unknown _1321462536.unknown _1321462381.unknown _1321462417.unknown _1321462434.unknown _1321462400.unknown _1321462362.unknown _1321460890.unknown _1321461752.unknown _1321461770.unknown _1321461860.unknown _1321461798.unknown _1321461814.unknown _1321461240.unknown _1321461080.unknown _1319115235.unknown _1321459556.unknown _1321459852.unknown _1321460617.unknown _1321460079.unknown _1321460094.unknown _1321460052.unknown _1321459765.unknown _1321459833.unknown _1321459604.unknown _1321458972.unknown _1321459167.unknown _1321459351.unknown _1321459150.unknown _1321458928.unknown _1321458951.unknown _1319115621.unknown _1319115888.unknown _1321458899.unknown _1319115656.unknown _1319115304.unknown _1319113916.unknown _1319114297.unknown _1319114701.unknown _1319115071.unknown _1319114586.unknown _1319114585.unknown _1319113986.unknown _1319114022.unknown _1319113957.unknown _1319113770.unknown _1319113842.unknown _1319113705.unknown _1319113739.unknown