量子光学 课后习题解答

量子光学 习题解答集 二零零三年六月 量子光学习题解答 第一章 1.1长 L的立方腔内， 2 2 2 2 1 0AA c t ∂∇ − = ∂ GG ， 0A∇ =Gi 。求证满足边界 条件的解包含分量 ( , ) ( )cos( )sin( )sin( )x x x y zA r t A t k x k y k z=G ， ( , ) ( )sin( )cos( )sin( )y y x y zA r t A t k x k y k z=G ， ( , ) ( )sin( )sin( )cos( )z z x y zA r t A t k x k y k z=G ， 其中 kG的分量有 1.1.21式决定。 1.1.21式中 xn ， yn ， zn 在某一时刻只有其中之一为零。 解： 2 2 2 2 1 0AA c t ∂∇ − = ∂ GG （1） 在直角坐标系中，分离变量 ( , ) ( ) ( )i i iA r t A r A t= G G ( , , )i x y z= （2） 代入（1）式，有 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) i ci i i A t A r t A r A t k ∂ ∇ ∂ = = − G G 即 2 2( ) ( ) 0i iA r k A r∇ + = （3） 再利用分离变量法，令 ( ) ( ) ( ) ( )iA r X x Y y Z z= （4） 则（3）式分解为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 d X xdx d Y ydy d Z zdz x y z k X k Y k Z k k k k  + = + = + = + + = （5） 由（5）式解得 1 1 2 2( ) ( cos sin )( cos sin )i x x y yA r C k x D k x C k y D k y= + + 3 3( cos sin )z zC k z D k z+i （6） ( , )( , ) A r ttE r t ∂ ∂= − G GG G∵ （7） 由边界条件 0 0nEn S n E ∂ ∂  × = = GG 把（7）式代入上式，得 ( ) ( ) 0 0nA rn S n A r ∂ ∂  × = = G GG G ⇒ ( , ) ( )cos( )sin( )sin( )x x x y zA r t A t k x k y k z= G ， ( , ) ( )sin( )cos( )sin( )y y x y zA r t A t k x k y k z= G ， ( , ) ( )sin( )sin( )cos( )z z x y zA r t A t k x k y k z= G 再考虑 , ,x y z L= 时的边界条件，得 x n x Lk π = ， yny Lk π = ， znz Lk π= ， , , 0,1,2,x y zn n n = "" 若 , ,x y zn n n 中有两个或两个以上为零，则 ( , ) ( , ) ( , ) 0x y zA r t A r t A r t= = = G G G 即 0A =G ，腔内没有电磁场，这个解没有意义。 , ,x y zn n n∴ 最多只有一个为零。 1.2 算符 ,A B不对易，但满足[[ , ], ] [[ , ], ] 0A B A A B B= = ，证明 1 1 2 2[ , ] [ , ]A B A B A B A B B Ae e e e e e e+ −= = 。 证：记[ , ]A B C= ， ( ) A Bf e eλ λλ = （ λ为参数）， 则 (0) 1f = ， (1) A Bf e e= ， ( ) BAdfd A B ee λλλ = + 1 1 1 1[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]n n n n nA B A B B B A B CB B A B− − − −= + = +∵ = 1 2 2 1( [ , ])n n n nCB B CB B A B nCB− − − −+ + = ="" （1） ( )B B A CAe eλ λ λ∴ = + ( ) ( )( )A Bdfd A B C f A B Ce eλ λλ λ λ λ∴ = + + = + + 21 2ln ( ) ln (0) ( )f f A B Cλ λ λ∴ − = + + 21 2( )( ) A B Cf e λ λλ + +∴ = 2 21 1 2 2( )A B A B C C A Be e e e e e eλ λ λ λ λ λ λ+ − −∴ = = 令λ =1，即 1 12 2[ , ]A B C A B A B A Be e e e e e e+ − −= = A B↔ ，则有 12[ , ]A B A B B Ae e e e+ = 。 1.3 α为参数，A,B不对易，求证 2 2![ , ] [ ,[ , ]] A AB B A B A A Be eα α αα− − = − + +"。 证：令 ( ) A Af Be eα αα − −= ，则 ( ) [ , ]A A A Adf AB BA A Bd e e e e α α α α α − − − − = − − = − 2 2 ( [ , ] [ , ] ) [ ,[ , ]] A A A Ad f A A B A B A A A B d e e e e α α α α α − − − − = − = ⋯⋯ 所以 20 2! 1 ( ) (0) ( ) [ , ] [ ,[ , ]] ! n n n n d ff f B A B A A B n d α α α α α α ∞ = = = + = − + +∑ " 1.4若 ( , )f a a+ 是一个可以展开成 ,a a+的幂级数的函数，证明： （a）[ , ( , )] fa f a a a + + ∂ = ∂ ,(b)[ , ( , )] fa f a a a + + ∂ = − ∂ ， (c) ( , ) ( , )a a a af a a f ae e ae eα α α α + + − −+ + = ，其中α 为参数。 证： [ , ] 1a a+ =∵ ，[ , ] 1a a+ = − 在（1.2）题中（1）式， 1[ , ] nn n BA B nCB C B − ∂ = = ∂ 注意到 ( , )f a a+ 可以展开成 ,a a+的正序幂级数，也可以展开成 ,a a+的反序幂级数， [ , ( , )] fa f a a a + + ∂ ∴ = ∂ ，[ , ( , )] fa f a a a + + ∂ = − ∂ 。 类似有 2 2[ , ]f fa aa + + ∂ ∂ ∂ ∂= ， 2 [ , ]f f a a a a +∂ ∂∂ ∂ ∂= ， 2 [ , ]f f a a a a + +∂ ∂+ ∂ ∂ ∂= − ， 2 2[ , ]f fa aa ∂ ∂+ ∂ ∂= − ， f 关于 ,a a+的更高阶的偏导数也有类似的性质。 记a a A+ = ，则[ , ] f fa aA f a a+∂ ∂+ ∂ ∂= − [ ,[ , [ , ]] ]A A A f∴ " "（共 n个 A） ( )na aa a f++ ∂ ∂∂ ∂= − 利用 1.3题的结论，有 2 2( ) ( ) 2! a a a a a a a a f f a a f a a fe eα α αα + + + + − + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − + − +" 0( , ) ( , )f a f a aae eα α α−+ += =∵ ， 0 ( , ) ( ) ( ) ( , ) a a f a a a f a aae e α α αα + −+ + +∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = − − ∂ ， 2 2 02 ( , ) ( ) ( ) ( , ) a a f a a a f a aae e α α αα + −+ + +∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = − ∂ ，⋯ ( , ) ( , )a a a af a a f ae e ae eα α α α + + − −+ +∴ = 。 （c）的另一种证法： 由 1.2题的（1）式，易得 1[ , ]n na a na+ −= − ， 1[ , ]n na a na+ + −= [ , ]n na a a na+∴ = − ，[ , ]n naa a na+ + += 由 1.3题结果，易得 2( ) ( ) 2! a a a an n n n nna a na a ae e eα α ααα + + − = + + + =" ， 同理 ( )a a a an na ae e eα α α + + − −+ + = ， 把 ( , )f a a+ 展开成逆序形式 ( , ) , 0 (0,0)( , ) ! ! n m n m n m ff a a a a n m ∞ + + = = ∑ 则 ( , ) , 0 (0,0)( , ) ! ! n m a a a a a a a a a a a an m n m ff a a a a n me e e e e e α α α α α α+ + + + + + ∞ − − −+ + = = ∑ ( , ) , 0 (0,0)( ) ( ) ! ! n m n m n m f a a n m e e α α ∞ −+ = = ∑ ( , )f aae eα α−+= （c）的第三种证法： 把 f展开成正序形式，令 ( ) ( , )g f ae a eα αα + −= ， A a a+= ， ( , )B f a a+= ， 则 (0)g B= ， (0) [ , ]f fg a a A B a a + + ∂ ∂ ′ = − = − ∂ ∂ ⋯⋯ 对照 1.3题的结果，知 ( ) A Ag e Beα αα −= ，代入具体达式即得到 结论。 1.5 证明[ , ] ( 1)a a a aa ae e eα α α + + − − − = − ，[ , ] ( 1)a a a aa ae e eα α α + + − −+ + = − ，α为参 数。 证法一： 2 21 ( ) 2! a a a a a ae α αα + − + + = − + +∵ "， [ , ( ) ] ( 1) ( )n n na a a a a a a a a+ + += + − ， 2 2[ , ] ( 1) ( 1) 2! a aa a a a a a a ae α αα + − + +∴ = − + + + +" 2 2( ( ) ( ) ) 2! a a a a a a aαα + +− − + +" ( 1)a a a aa ae eα α + + − + − = − ( 1) a aae eα α + − − = − ； [ , ( ) ] ( ) ( 1)n n na a a a a a a a a+ + + + + += − +∵ ， a a a ae e eα α α + + − − = ， ( 1)[ , ] [ , ] ( ) ( 1)a a a a a a a a a aa a a a ae e e e e e e eα α α α α α α α + + + + + − − − − + −+ + + + +∴ = = − = − 。 证法二：由 1.4题结果， a a a aa ae e eα α α + + − = ， a a a aa ae e eα α α + + − − − ∴ = ， 两边同减 a aae α + − ，得 a a a a a a a aa a a ae e e e eα α α α α + + + + − − − − − − = − 即 ( 1) [ , ]a a a aa ae e eα α α + + − − − − = ； 类似可证[ , ] ( 1)a a a aa ae e eα α α + + − −+ + = − 。 1.6证明 12( )H a aν += += 可以写成 n n H E n n=∑ ，从而 niE tiHt n n ne e=∑= = 。 证：在数态表象下， 12( )H a aν += += 的矩阵元 1 2( )mn mn n mnH m H n n Eνδ δ= = + == ， n n H E n n=∑ 的矩阵元 mk n k mk n H E m n n k E δ= =∑ ， ∴ 12( )H a aν += += 可以写成 n n H E n n=∑ 。 同理比较 iHt e =和 niE t n n ne∑ = 的矩阵元可得 niE tiHt n n ne e=∑= = 。 1.7证明麦克斯韦方程组可以写成（1.5.27a）及（1.5.27b） 的形式。首先证明 1 Ec t H∂∂ = ∇×� � ， 0E∇ =�i ， 1 Hc t E∂∂− = ∇×� �， 0H∇ =�i ，其中 0E Eε= G� ， 0H Hµ= G� ；然后证明 s V V∇ = ∇×G GGi ， 0 0 0 0 0 1 0 1 0 xs    = −    ， 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ys    =    −  ， 0 1 0 1 0 0 0 0 0 zs −   =     。由此得到 （1.5.27a）及（1.5.27b）。 证：（1）真空中的麦克斯韦方程组为 B tE ∂∂∇× = − GG ， 0E∇ =Gi ， 21 EtcB ∂∂∇× = GG ， 0B∇ =Gi 。 把 0 1E E ε = G �， 0 0B H Hµ µ= =G G �代入方程组，即可得到 1 E c t H∂∂ = ∇× � � ， 0E∇ =�i ， 1 Hc t E∂∂− = ∇×� �， 0H∇ =�i 。 （2） x x x x y y y z yx y z z z z V V V s V s V s V s V V V V ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂           ∇ = + +                GGi = 0 0 0 z yy z z xx z y xx y V V V V V V ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    −      − + +         −      = V∇× G （3）由 1.5.25式，易得 ( )ti c i cs Pγ γ γϕ χ χ∂∂ = − − ∇ × = − GG G G G= = i ， ( )ti c i cs Pγ γ γχ ϕ ϕ∂∂ = − ∇ × = GG GG G= = i ， 0 0t cs P i cs P γ γ γ γ ϕ ϕ χ χ ∂ ∂     − ∴ =          GG GGi= GG GGi ，此即 1.5.27a； 0γϕ∇ = G∵ i ， 0γχ∇ =Gi ， 0γ γ ϕ χ  ∇ =   G i G ，这就是 1.5.27b。 1.8推导 1.5.32。 γϕG ， γχG 的动力学方程为 csγ γϕ χ= ∇G G G� i ， csγ γχ ϕ= − ∇ GG G� i ， c sγ γϕ χ+ + += ∇G G G� i ， c sγ γχ ϕ+ + += − ∇ GG G� i ，注意 s s+ = −G G。 解： γ γ γγ γ γϕ ϕ χ χ+ + +Ψ Ψ = +G G G G ， v c s c sγ γ γγ γ γχ ϕ ϕ χ+ + +Ψ Ψ = −G GG G G G G ( ) ( )c s c s sγ γ γ γ γγ γ γ γ γχ ϕ χ ϕ χ ϕ ϕ ϕ χ χ+ + + + +∇ − = − ∇ + ∇ = + G G G G GG G G G G G G G� �∵ i i i ， 同理 ( )c sγ γ γγ γ γϕ χ ϕ ϕ χ χ+ + +∇ = +G G GG G G G� �i ， ( )t γ γ γ γ γγ γ γ γ γϕ ϕ χ χ ϕ ϕ χ χ+ + + + +∂∂∴ Ψ Ψ = + + + G G G GG G G G� �� � ( )c s c sγ γγ γχ ϕ ϕ χ+ += ∇ − + G GG G G Gi = ( )vγ γ+−∇ Ψ ΨGi 由于 ( )t jγ γ+∂∂ Ψ Ψ = −∇ Gi ， 因此， j vγ γ+= Ψ ΨG G ，此即 1.5.32式。 1.9 通过在两边用任意矢量 vG点积的方法证明 1i i i e e =∑ 。因此 若 (1)1 ˆˆ ke ε= ， (2)2 ˆˆ ke ε= ， 3ˆ kke = G ，则得到 1.1.36。在极坐标中， (sin cos ,sin sin ,cos )k k θ φ θ φ θ=G ，两横向偏振矢量表示为 (1)ˆ (sin , cos ,0)kε φ φ= − ， (2)ˆ (cos cos ,cos sin , sin )kε θ φ θ φ θ= − ，直接代入证明 2 (1) (1) (2) (2) i jk k ki kj ki kj ij k ε ε ε ε δ+ = − 。 证：对任意矢量 vG， ( )i i i i i i v e e v v v v v= =∑ ∑G G G Gi i i ∴ 1i i i e e =∑ ； 2 2 2 2 2sin cos cos sin cos 1φ θ φ θ φ+ + =∵ （ 1i j= = 时） 2 2 2 2 2cos cos sin sin sin 1φ θ φ θ φ+ + = （ 2i j= = 时） 2 20 sin cos 1θ θ+ + = （ 3i j= = 时） 2 2sin cos cos cos sin sin cos sin 0φ φ θ φ φ θ φ φ− + + = （ 1, 2i j= = 时） 0 cos sin cos sin cos cos 0θ θ φ θ φ θ− + = （ 1, 3i j= = 时） 0 cos sin sin sin sin cos 0θ θ φ θ φ θ− + = （ 2, 3i j= = 时） ∴ 2 (1) (1) (2) (2) i jk k ki kj ki kj ijk ε ε ε ε δ+ + = ， 即 2(1) (1) (2) (2) i jk kki kj ki kj ij kε ε ε ε δ+ = − 。 第二章 2.1证明： ( )a αα α α α α+ ∗ ∂∂= + ； ( )a α α α α α α∗∂∂= + 。 证： 2 2 0ae e α αα + − =∵ ， 2 2 2 20 0a ae e e e α α α α α αα α + ∗ − −∂ ∂ ∂ ∂∴ = 2 ( ) 0 0a aa e e eαα αα + ∗ −∗ + = − + ( )aα α α∗ += − + ( )a αα α α α α + ∗ ∂ ∂∴ = + 。 类似可证 ( )a αα α α α α∗∂∂= + 。 （也可以把相干态展开成数态再证，比较麻烦。） 2.2 证明热光场中， 2 12( ) exp[ ( )]D nα α= − + ， n 为场的平均光 子数。 证：由（3.1.26），对热光场 2 1( , ) nnP e α π α α − ∗ = ， 2 2( ) a aD e e e β β ββ + ∗− −∴ = 22 212 n ne e e d αβ βα β α π α ∗ ∗ − − − = ∫ 2 22 ( ) 2 ( )12 x y i y x x yn ne e e dx dy α α β α β α β α απ − + − − = ∫∫ 2 2 2 212 1 ( )n y n xn n e e eβ β β π π− − − = 2 2 2 ne e β β− − = ， ∴ 2 12( ) exp[ ( )]D nα α= − + 。 2.3证明： 1 4 2 0( ,0) exp ( )2 m mq q qν ν π    Ψ = − −      = = 0 0( ) ( )D q q= Φ ( )0 0ˆexp ( )piq q= − Φ= 其中， pˆ i q ∂ = − ∂ = ， 1 4 2 0 ( ) exp 2 m mq qν ν π    Φ = −      = = ， 因而 ( )0 0 ˆ( ) exp pD q iq= − = 是平移算符。用 ,a a+ 表示则为 0 0( ) exp ( )2 mD q q a aν +   = −  = ， 所以 0 0( ,0) ( ,0) | 0 exp ( ) | 02 mq q D q q q a aν +   Ψ = 〉 = − 〉  = ， 令 0 2 mq να = = ，则 ( )( ,0) exp ( ) | 0 |q q a a qα α+Ψ = − 〉 = 〉， 即 2 0 | |( ,0) exp | 2 ! n n q q n n α α∞ =  Ψ = − 〉  ∑ ，我们可以看出 2| |exp 2 ! n na n α α  = −   。 因为 1 2 H a a ν+ = +  = ， 所以 2 0 | |( , ) exp exp | 2 ! n n iHtq t q n n α α∞ =   Ψ = − − 〉     ∑= exp | exp( ) 2 i t q i tν α ν = − − 〉   ， 故而 ( , ) exp | exp( ) 2 i tq t q i tν α ν Ψ = − 〈 − 〉   exp | exp[ ( ) ( ) ] 0 2 i t q t a t aν α α+ ∗ = − 〈 −   把 1 ( ) 2 a mvq ip m v = += ， 1 ( ) 2 a mvq ip m v + = −= 代入， 得 0 ˆ( ,0) exp | exp[ ( sin cos ) | 0 2 qi tq q i mvq t p tν ν ν Ψ = − 〈 − − 〉   = . 1 4 2 0exp exp sin cos2 2 m i t i q m t tν ν ν ν ν π       = − •          = = 2 0 0 ( cos )exp sin exp 2 m q q ti q m q t ν νν ν  −  − −     = = 所以 1 22 2 0| ( , ) | exp ( cos ) m mq t q q tν ν ν π    Ψ = − −      = = 。 2.4证明： 由 2.3题我们知道， 2| |exp 2 ! n na n α α  = −   所以有 2 0 | |( ,0) exp ( ) 2 ! n n n q q n α α∞ =  Ψ = − Ψ  ∑ 2 0 | |exp | 2 ! n n q n n α α∞ =   = −  ∑ 2.5证明： 因 1( ) ( )D aD aα α α− = + 1( ) ( )D a D aα α α− + + ∗= + ( ) ( ) cosh sinhiS a S a r ae rθξ ξ+ + + −= − ( ) ( ) cosh sinhiS aS a r a e rθξ ξ+ += − 2 2 2 2 2( ) ( ) cosh sinh ( ) sinh coshi iS a S a r a e r a a aa e r rθ θξ ξ+ + + += − − + 所以 0 | ( ) ( ) ( ) ( ) | 0a S D aD Sξ α α ξ+ += 〈 〉 0 | ( )( ) ( ) | 0S a Sξ α ξ+= 〈 + 〉 α= a α+ ∗= 2 2a a∗+ = 20 | ( ) ( ) ( ) ( ) | 0S D a D Sξ α α ξ+ += 〈 〉 0 | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | 0S D aD D aD Sξ α α α α ξ+ + += 〈 〉 2 sinh coshie r rθα= − 0 | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | 0a a S D a D D aD Sξ α α α α ξ+ + + + += 〈 〉 0 | ( )( )( ) ( ) | 0S a a Sξ α α ξ+ + ∗= 〈 + + 〉 2 2sinh | |r α= + 2 2cosh | |aa r α+ = + ； 又 2 2 1 2 i i ae a eY θ θ − ++ = ， 2 2 2 2 i i ae a eY i θ θ − + − = ， 所以 2 *2 2 2 1 2 i i e eY θ θ α α −  + 〈 〉 =     2 *2 22 | | 4 i ie eθ θα α α− + + = ； 2 *2 2 2 2 2 1 2sinh cosh 2 | | sinh cosh 4 i ie r r e r rY θ θα α α− − + + + +〈 〉 = 2 2 22 2 2 1 1 1 2sinh cosh sinh cosh 1 4 4 rr r r rY Y Y e−− + +〈∆ 〉 = 〈 〉 − 〈 〉 = = 同理可得， 2 22 14 rY e〈∆ 〉 = 2.6证明： 12 1 2 1 2 12( ) exp( ) ( )S a a a a Sξ ξ ξ ξ+ ∗ + += + = ，这会导致 1 2, ,α α ξ 不归 一。查看有关资料可知，原题有错，可重新定义 12 1 2 1 2( ) exp( )S a a a aξ ξ ξ+ + ∗= − + ， exp( )r iξ θ= ，则 12 1 12 1 2cosh sinh iS a S a r a e rθ+ += − ， 12 2 12 2 1cosh sinh iS a S a r a e rθ+ += − ， 2 11 12 1 1 2 120 | | 0a S D D a D D S + + + = 〈 〉 12 1 1 120 | ( ) | 0S a Sα+= 〈 + 〉 1α= ， 同理， 2 21 1a α= ， 2 2 1 1 1cosh | |a a r α + = + ， 2 2 1 1 1sinh | |a a r α + = + ， 所以 2 2 2 2 2 2 (1) 2 1 1 1 1 1 2 2 i i i i a e a e a e a eY θ θ θ θ − −+ + + + 〈∆ 〉 = −    21 1(2sinh 1) 4 4 r= + ≥ 同理， (1) 2 22 1 1(1 2sinh )4 4Y r〈∆ 〉 = + ≥ ， 所以模 1a没有压缩态。 经过同样的计算可得，模 2a 也没有压缩态。 因此双模压缩态对两个单独模无压缩。 2.7 证明： 题目中有错，正确的 Nq 的表达式应该是 2 1 1( ) ( 1)!! 4 N N Nq X N = ∆ − −   ，且只对 N为偶数的情形成立。 因为 [ ]1 2, 2 iX X = ， 故 1 2 14X X C∆ ∆ ≥ = ， 由此易得 2 21 1 1: ( ) : ( ) 4X X∆ = ∆ − ， 由 B-H 定理， 2 1 1 8: : y y X y Xe e e∆ ∆= ，将此式两边同时 按 y的幂展开，取幂次相同的项比较系数得， 1 1 1 1( ) : ( ) : : ( ) : 2 N N NX X CN X∆ = ∆ + ∆ +" 2 3 2 3 13 2 ( 1)!! ( 2 ) ! : ( ) : ( 2 1) 33!2 ! 2 N N N N C N k N C X N k N − −  − = +  ∆ = + −      对于相干态，所有的 1: ( ) :NX∆ 为零。因此，当 2 1 1( ) ( 1)!! 4 N NX N ∆ < −   时，即 2 1 1( ) ( 1)!! 0 4 N N Nq X N = ∆ − − <   时出现 压缩。 （相干态的 1( )NX∆ 的表达式也可以通过数学归纳法来 证明，有些麻烦。） 2.8证明：[ ] 2 2 2 21 2 1 1, ( ), ( )2 2X X a a a ai + +  = + −   12 ( ) 2 i a a+= + 所以产生压缩的条件是 2 1 2i X a a+〈∆ 〉 < 〈 + 〉 （i=1 or 2）。 由于上式中出现了平均光子数，而光场的光子数、因而这 是一个非经典效应。 第三章 3.1 证明 2* 212 ( , )aa a a W dα α α α+ ++ = ∫ ，其中 *( , )W α α 为 Wigner- Weyl分布。 证：由（3.B.7）式，对 1( , )O a a a a+ += ， 2* 11 2( , )sO α α α= − 2( , ) 1O a a aa a a + + + = = + ， 2* 12 2( , )sO α α α= + 所以对 12( , ) ( )O a a aa a a+ + += + ， 2*( , )sO α α α= 2* 21 2 ( , )aa a a W dα α α α + +∴ + = ∫ 3.2证明 2[ ( )] ( )Tr D α πδ α= ， 2[ ( ) ( )] ( )Tr D Dα α πδ α α+ ′ ′= − ，其中 ( )D α 为位移算符。用这一结果，证明 ( )( ) 21[ ( , ) ( , )] ( )Tr a a a a πα α α α δ α α ΩΩ ∗ + ∗ +′ ′ ′∆ − − ∆ − − = − ，其中 ( )Ω∆ 和 ( )Ω ∆ 分别在方程（3.4.2）和（3.4.9）中定义。 证： 2 221[ ( )] a aTr D d e e e α α α πα β β β+ ∗− −= ∫ 2 2 21 e d e α αβ α β π β ∗ ∗− −= ∫ 2 2 2 2 21 1e d e α αβ α β π π π β ∗ ∗− −= ∫ 2 2 2 ( )e α π δ α−= 2( )πδ α= ( ) ( ) a a a aD D e eα α α αα α + ∗ + ∗′ ′+ − − + ′ =∵ 1 2( )a a a ae e α α ααα α α α ∗ ∗+ ∗ + ∗ ′′ ′−′− − + = 1 2( )( )D e α α ααα α ∗ ∗′ ′− ′= − 1 2 ( )2 2[ ( ) ( )] ( ) ( )Tr D D e α α ααα α πδ α α πδ α α ∗ ∗′ ′−+ ′ ′ ′∴ = − = − ( )( )[ ( , ) ( , )]Tr a a a aα α α α ΩΩ ∗ + ∗ +′ ′∆ − − ∆ − − 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )2 21 1 1 2[ ] a a a aTr e e d e e dβ β β α β α β β β α β α π π β β∗ ∗ + ∗ ∗ ∗ + ∗′ ′Ω − − + − −Ω − − −= ×∫ ∫ 1 1 2 2 1 1 2 2 4 ( , ) ( , )2 21 1 2[Tr d d e e β β β β β α β α β α β α π β β ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗′ ′Ω −Ω − + + −= ∫ ∫ 1 1 2 2 ]a a a ae eβ β β β + ∗ + ∗ − − +× 1 1 2 2 1 1 2 2 4 ( , ) ( , )2 21 1 2 1 2[ ( ) ( )]d d e e Tr D D β β β β β α β α β α β α π β β β β∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗′ ′Ω −Ω − + + − += ∫ ∫ 1 1 2 2 1 1 2 2 4 ( , ) ( , )2 2 21 1 2 1 2( )d d e e β β β β β α β α β α β α π β β πδ β β∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗′ ′Ω −Ω − + + −= −∫ ∫ 1 1 3 ( ) ( )21 1d e β α α β α α π β ∗ ∗ ∗′ ′− − + −= ∫ 21 ( )π δ α α′= − 3.3证明 2* * 22( , ) ( , )exp( 2 )W P dπα α β β α β β= − −∫ 。 21 2( ) * ( ) *( , ) ( , )s nC e Cββ β β β−=∵ ， ( ) *( , )sC β β ， 212e β− ， ( ) *( , )nC β β 的傅立叶变换分别为 *4 ( , )W α α ， *4 ( , )P α α ， 224e α− 由卷积定理， 2* * 212( , ) 4 ( , )exp( 2 )W P dπα α β β α β β= − −∫ 2* 22 ( , ) exp( 2 )P dπ β β α β β= − −∫ 3.4 确定相干态光场和热光场的 *( , )Q α α 和 *( , )W α α 。 解：对于相干态 0 0ρ α α= ， 2* 1 1 0 0 0( , ) exp( )Q π πα α α α α α α α= = − − ， 2 * 2 2* 2( ) 22 0 0( , )W e e d α βα β α π α α β α α β β∗− −= −∫ 2 2 2 22 *0 0 * 0 02 2 2 2 2 2 2( ) 22 e e e e d β α β αβ α βαα βα β α π β∗ ∗− − − − + − − −= ∫ 2 2 2 * * 0 0 0 2 2 ( 2 ) (2 ) 22 e e dα β α α α β α α β π β∗− − + − + −= ∫ 2 2 * * 0 0 02 ( 2 )(2 )2 e eα α α α α απ − + − − = 2 022 e α απ − − = 对于热光场， 1(1 ) n n n n n n n ρ + = + ∑ ， * 1 1( , ) (1 ) n n n n Q n n n α α α α π + = + ∑ 2 2 1 1 (1 ) ! n n n n n e n n α α π − + = + ∑ 2 2 1 1 1( ) 1 1 ! n n n e n n n α α π − = + + ∑ 2 2 11 1 1 n ne e n α α π − + = + 2 11 1 1 ne n α π − + = + 2 * 2 2* 2( ) 22 1( , ) (1 ) n n n n W e n n e d n α βα β α π α α β β β∗− − + = − + ∑∫ 2 2 * 2 2 2 2( ) 22 1 ( ) (1 ) ! n n n n n e e e d n n α β βα β α π β β∗− − − + − = + ∑∫ 2 2 2 * 2 2 12( ) 22 1 1 n ne e e e d n β α β βα β α π β∗ −− +− −= +∫ 24 2 2 1 2 12 1 1 1 1 n ne e nn n α α π π − + + = + + + 2 1 2 1 2 1 ( ) ne n α π − + = + 第四章 4.1 证明真空态和单光子态的叠加态 0 10 0a aψ = + 为非经典 态。 证： (2) (0) 0 1g = <∵ ψ∴ 是一个非经典态。 4.2（没有证明出来。） 4.3证明： （a） ( ) 1TR ρ = ( )m ka a mTR Na e a ++ − = 0 m ka a m n N n Na e a n + ∞ + − = = ∑ ! ( )! ka a n m nN n m e n m n m + ∞ − = = − − − ∑ ( ) ! ( )! k n m n m nN e n m ∞ − − = = − ∑ ! ( )m k n mn n m Nm C e ∞ − − = = ∑ 1 ! (1 )k m Nm e− + = − ∴ 1(1 ) ! k meN m − + − = 1(1 ) ! k m m ka a me a e a m ρ + − + + −− = 0nmρ = 当 n m≠ 而 10( )(1 ) ( ) ( )nn k m m k n mn n m e C e else ρ − + − − < =  − （1）当 n m= 时， 1(1 )k nnn eρ − += − ， lim 1nnk ρ→∞ = ； 当 n m≠ 时， lim 0nnk ρ→∞ = 。 ∴ lim nn nmk ρ δ→∞ = ，此时的态为 Fock态 |m〉。 （2） 1 ( )(1 ) ( 1) (1 )m k m k n m m k m k knnn n nC e e C e e eρ − + − − − −= − = − − 此式与热光场 ( 1)1 k nn k n e e ρ + − ′ = 之间的关系，无论是否 0k → ，都很 难看出来。 （b） ( )a a Tr a aρ+ += ( ) ( )Tr aa Trρ ρ+= − ( ) 1Tr a aρ+= − 1 2 (1 ) ( 1)! 1 ! (1 ) k m k m e m m e − + − + − + = • − − 1 1 1 k m e− + = − − 2 2 2 2( )a a Tr a aρ+ += 2 2( ) 4 ( ) 2 ( )Tr a a Tr aa Trρ ρ ρ+ += − + 2 ( 1)( 2) 4( 1) 2 (1 ) 1k k m m m e e− − + + + = − + − − 对热光场， 1 k ne n − = + ，则 ( 1)a a m n n+ = + + 2 2 2( 2)( 1)( 1) 4( 1)( 1) 2a a m m n m n+ = + + + − + + + 所以 22 2 2( 1)( 1) 2( 1)( 1) 1a a a a m n m n+ +− = + + − + + + 当 42 4 11 1 2 1 mmn m + − ++ < = + + ， 即 1 mn m < + 时， 22 2 1a a a a+ +− < ，即 (2) (0) 1g < ，为亚泊松分布。 4.4解：（1）对于相干态 |α〉， (2)( , ) ( )P α α δ α α∗′ ′ ′= − 2 2 2 | |( | | )( , ) ! m mP d P em η αη αα α α ′∗ −′′ ′ ′∴ = ∫ 2 2 | |( | | ) ! m e m ηαη α − = ； （2） 对数态 | n〉， (1 ) ( ) 0( ) m n m m n n m P m n m η η −  − ≥  =   = < ； （3）对热光场，利用 3.1.26式， 2 2 2 | |( | | )( , ) ! m mP d P em ηαη αα α α∗ −= ∫ 21 | | 2 21 ( | | ) ! nmd e n m η α α η α π   − + 〈 〉  = 〈 〉 ∫ 1 ( ) ( 1) m m n n η η + 〈 〉 = 〈 〉 + （也可通过对数态的求和来求得，但是有点麻 烦。） 第五章 5.1证明： ( )i i ii e i e et t tχ χ χ χ∂ ∂Ψ ∂Ψ = − Ψ ∂ ∂ ∂ = = = 22 2 iei A eu e m t χχ ∂   = − ∇ − + − Ψ   ∂    K= == (1)"" 2 2 i i i ie ei A e i A e i e e e χ χ χ χχ χ    