抛物线几何性质

null抛物线的简单几何性质 （一）抛物线的简单几何性质 （一）null一、复习回顾：1、抛物线的定义： 在平面内,与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫抛物线.null2、抛物线的方程：null(1)范围 (2)对称性 (3)顶点x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.二、讲授新课： 抛物线上的点到焦点的距离和它到准 线的距离的比,叫做抛物线的离心率，用e表示，(4)离心率由抛物线的定义可知，e=1 抛物线y2=2px(p>0) 的几何性质:nully2 = 2px （p＞0）y2 = -2px （p＞0）x2 = 2py （p＞0）x2 = -2py （p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）1（0,0）（0,0）（0,0）111null特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;nullnull 解法1 抛物线的焦点 F(1 , 0), null 解法2 抛物线的焦点 F(1 , 0), null 解法3 :抛物线的焦点 F(1 , 0), |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8null解法4H, , ∴ （二）焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接两点的线段叫做抛物线的焦点弦。 FAB特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径。|AB|=2p焦点弦：利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.（一）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式：nully2 = 2px （p＞0）y2 = -2px （p＞0）x2 = 2py （p＞0）x2 = -2py （p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）null（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 （二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问有很大的帮助，。（三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。 四、归纳总结nullnullnullnull[题后感悟]　求抛物线焦点弦长的一般 ①用直线方程和抛物线方程列方程组； ②消元化为一元二次方程后，应用韦达，求根与系数的关系式，而不要求出根； ③若弦过焦点，则据定义转化为x1＋x2＝|AB|－p或y1＋y2＝|AB|－p.结合②中的结果可求解；null3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．null1．从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？ (1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线．它没有对称中心． (2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平．nullnull思考：通径是抛物线的 焦点弦中最短的弦吗？null继续null 与直线的倾斜角无关! 很奇怪!解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!nullnull返回null 过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，焦点弦AB具有如下性质.形成结论OBAFCDMnull 例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。null 例5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD当直线AB存在斜率时,设AB为与y2=2px联立,得yAyB=-p2当直线AB存在斜率时,结论显然成立. 所以，直线DB平 行于抛物线的对称轴。nullnullnullnull⑴只有一个公共点null⑵有两个公共点⑶没有公共点nullnull判断直线与圆锥曲线位置关系的操作程序：把直线方程代入曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的 对称轴平行相交（一个交点） 计 算 判 别 式总 结nullnull这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.