10.1 二元一次方程

数学教学设计 数学教学设计 教　　材：义务教育教科书·数学（七年级） 10.1　二元一次方程 教学目标 1．了解二元一次方程的概念、二元一次方程的解的概念和解的不唯一性，会判断一对数值是否为某二元一次方程的解； 2．会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式． 3．经历分析实际问题中数量关系的过程，体会二元一次方程是刻画现实世界的有效教学模型，增强学生的学习应用意识和能力． 教学重点 二元一次方程及其解的概念，体会二元一次方程是刻画现实世界的有效教学模型． 教学难点 二元一次方程及其解的概念． 教学过程（教师） 学生活动 设计思路 新课引入——情境导入： 情境一 篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分，在中学生篮球联赛中，某球队赛了若干场，积20分．怎样描述该球队输、赢场数与积分之间的相等关系？ 师点拨：用表格的方法列出输赢的所有可能情况． 思考： （1）你是怎样列表的？ （2）填表过程中有什么发现？ 先独立思考，再分组讨论，然后汇报交流：在教师的引导下，如何将实际问题转化为数学问题，从而用方程解决． 设该队赢了x场，输了y场， 2x＋y＝20， 探索发现： （1）x、y必须取非负整数，且有一定的 范围； （2）x、y不止一个答案； （3）每取一个x值，y就有一个与之相对 应的值． 体会二元一次方程在解决实际问题中的必要性，增强用“用数学”的意识与欲望． 通过思考、探究，初步体会二元一次方程中两个未知数之间的相关性和解的不唯一性． 提问： 我们知道，每取一个x，就有一个y相对应；反之，若先确定y的值，x的值能否确定？ 讨论得到结论： 1．x、y两个未知数中，只要确定其中任一个未知数的值，另一个值都随之而确定； 2．但是当y＝1，3，5，……时，x为小数，不合题意，不予考虑，说明对于现实问题中的x、y有条件限制． 逆向思维，进一步加深对解的相关性的理解． 实践探索： 情境二 某球员在一场篮球比赛中共得35分（其中罚球得10分）．怎样描述该球员投中的两分球、三分球个数与得分之间的相等关系？ 请你设计一张表格，列出这名球员投中的两分球和三分球的各种可能情况． 试一试 根据你所列的表格，回答下列问题： （１）这名球员最多投中了多少个三分球？ （２）这名球员最多投中了多少个球？ （３）如果这名球员投中了10个球，那么他投中了几个两分球？几个三分球？ 观察、思考、感悟．自主完成： 设他投中了x个两分球，y个三分球， 2x＋3y＋10＝35， 即：2x＋3y＝25， 发现： （1）不是每一个整数x都有一个整数y相对应； （2）方法的多样性． 实物展示学生表格： 生1：（尝试法） x 0 1 2 …… y 生2：（尝试法） y 0 1 2 …… x 生3：（代数法）y＝ 发现：只要x取非负整数时，使25－2x是3的整数倍就行…… 根据列表回答． 关注数学方法的多样性，肯定学生的思维创新，从而加深对数学本质的理解． 让学生经历、体会用方程解决实际问题的过程，在问题解决中体会的最优化设计，体现“数学来源于生活，又服务于生活”的理念． 实践探索： 回顾旧知 一元一次方程的概念及一元一次方程解的概念． 议一议 方程2x＋y＝20和2x＋3y＋10＝35有哪些共同的特点？ 二元一次方程的概念． 二元一次方程解的概念． 解的表示方法： 记作： 思考：（1）一个二元一次方程有多少个解？（2）在上述两个具体情境中呢？ 一元一次方程及其解的概念： 1．二元一次方程的概念． （1）含有一个未知数； （2）未知数的的次数为1； （3）方程（整式）． 2．能使方程左右两边相等的未知数的值叫 做方程的解． 思考观察，类比抽象，分组交流，得到二元一次方程及解的概念： 二元一次方程： （1）含有两个未知数； （2）所含有未知数的项的次数都是1； （3）方程（整式）． 适合二元一次方程的一对未知数的值称为这个二元一次方程的一个解． 通过类比的方法将一元一次方程的相关概念适时的迁移到二元一次方程上来，符合学生学习的最近发展区理论． 通过观察、思考、分析两个方程的特点，使学生经历概念的归纳和概括的过程，引导学生深层次地参与到概念的形成过程中． 例题： 例1　下列方程中，哪些是二元一次方程？不是的说明理由． （1） ； （2） ； （3）3pq＝－8； （4）2y2－6y＝1； （5）5（x－y）＋2（2x－3y）＝4； （6）7x＋2＝3． 例2　把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式． 2x＋y＝20， 2x＋3y＝25． 变式：用含y的代数式表示x． 根据二元一次方程的概念，学生口答． 学生独立完成，师生共同探讨． 通过例题讲解，把握住概念的本质；类比一元一次方程的解法，解一个含有字母系数的方程，体现化归思想． 练习： 课本P95页练一练第1、2题． 学生板演： 根据二元一次方程解的概念，（2）、（3）是2x＋y＝3的解，（1）（2）是3x＋4y＝2的解． 通过呈现学生练习中的错误资源，在师生共同讨论与评价中纠错，不断完善和加深对概念的理解． 渗透两个二元一次方程的公共解，为后续知识的学习服务． 检测反馈： 已知二元一次方程 3x＋2y＝10． （1） 用关于x的代数式表示y； （2） 求当x＝－2，0，3时，对应的y的值，并写出 方程3x＋2y＝10的三个解． 学生当堂完成． 限时训练，主要是对本节课所学知识的终结性评价． 小结： 刻画现实世界中两个量之间关系的模型：二元 一次方程的概念． （2）二元一次方程的解与一元一次方程解的联系与区别． （3）把二元一次方程的一个未知数用另一个未知数 表示的本质是什么？运用了什么思想？ （4）通过今天的学习，你还有什么困惑？ 共同小结． 师生共同思考，归纳学习成果，建构知识、方法与能力体系，体验成功的喜悦，同时提出问题 课后作业： 课本P95页习题10.1第1、2、3、4题． 课后完成，进一步学会分析实际问题中数量关系的过程． 通过课后作业的巩固，进一步认识二元一次方程．