张奠宙数学教育随想集

书书书 !图书在版编目!!"#"数据 !张奠宙数学教育随想集!张奠宙著!"上海#华东师范大学出版社$!"#$!# !"#$%%&' & ()&( "!#* & !!!"张%!#!"张%!$!"数学教学 文集!%!"&# * !中国版本图书馆'"(数据核字&!"#$'第"#*')%号 张奠宙数学教育随想集 著!!者!张奠宙责任编辑!倪!明!孔令志装帧设计!卢晓红 出版发行!华东师范大学出版社社!!址!上海市中山北路!""!号!邮编#$$$"#网!!址!%%%&'()*+,'--&(./&()电!!话!$#0 "$1#0"""!行政传真$#0 "#23#0$2客服电话!$#0 "#1"22!3!门市!邮购" 电话$#0 "#1"4113地!!址!上海市中山北路!""!号华东师范大学校内先锋路口网!!店!566+#$$57-7(8-&6/9::&(./ 印 刷 者!常熟高专印刷有限公司开!!本!313;0$4#!0"开印!!张!03&2字!!数!#!<千字版!!次!#$0!年2月第一版印!!次!#$0!年2月第一次书!!号!=>?@431 3 2"32 $#0< 3$A%"0$4定!!价!!2&$$元 出 版 人!朱杰人 &如发现本版图书有印订质量问题$请寄回本社客服中心调换或电话"!# )!')(($&联系' 前!言 )*世纪初$中国数学教育发生了重大的变革(我作为这一历史事件 的亲历者$每有随想会意$多半会随手记下(本书将其中的一部分汇集 起来$希冀能够折射出改革大潮中的一片激越的浪花$回闻一阵汹涌的 涛声$留下一点记忆( 我)++*年退休$时年,-岁$已达学校最高的工作年龄(两年之后$ 年届七十$江苏教育出版社的王建军编辑$邀我刊行)数学教育经纬*$收 集了我截至)++.年初的有关数学教育的各类文字(本想到此刀枪入 库+马放南山$收官搁笔了(谁想在惯性推动下$加之因退休而空闲$反 而越写越多起来( )++.年到)+*)年的/年间$我陆续出了一些著作$如)陈省身传*+ )中学数学教育概论*+)中国数学双基教学*+)小学数学研究*+)情深意切 话数学*+)我亲历的数学教育&*/.-")++-'*等十多种(也在)人民教育*+ )课程,教材,教法*+)教育科学研究*+)数学通报*+)中学数学教学参 考*+)小学数学*+)小学数学教师*等杂志发过许多文章(更多的则在)数 学教学*上(其中有不少是一些-大块.的论文$读起来会觉得相当沉重( 不过$我还有一些短小的文字$可读性强一些(更由于担任)数学教 学*主编和名誉主编$每期总要写一篇短短的-编后.$与赵小平同志一起 署名发表$至今未曾中断(此外$应邀为一些著作所写的序言$以及散见 各处的短文$倒也得到读者的垂青$反响甚至超过长篇论文(于是$华东 师大出版社的倪明分社长$建议我把这些短文收集起来出一本集子(于 是$我便筹划起来( 首先$既然是散文随想$长文就不收了(除个别稍长的以外$都在 )+++字以下$许多篇目只有几百字(其次$得有一个时间限制()++.年 前言 1 以前的数学教育短文$许多已经收集在)数学教育经纬*之中$除了个别的 以外$这次就不收入了(此外$为了阅读方便$篇目没有完全按照时间顺序 编排$而是分为若干栏目$如-数学小品.+-热点评论.+-域外见闻.+-往日 萦怀.+-序言选粹.+-编后漫笔.等等(最后$有几篇关于我个人的家庭乡 情+求学经历的散文$内容虽不直接涉及数学教育$却也是建国初期江南县 城教育环境的点滴反映(敝帚自珍$也把它们放在最后一部分里( 既然是随笔散文$本来应该多收一些人和事的回忆文章$但由于在 )我亲历的数学教育&*/.-")++-'*一书中$已经详细地描述了我的相关 经历(特别是我和国内外许多朋友的交往文字$相当详细$这里也不再 重复(本书的-往日萦怀.栏目$只收了几篇我对几位老一辈数学家和数 学教育家的景仰和纪念的文字( 书中的文字$除少数几篇$都是发表过的(收入本书时多半原文照 与倪明!右"和孔令志!左"合影!)+*." 录$个别的有文字性修改$有些 还写了后记加以说明( 编选过程中$时时浮现许 多朋友的面容$忆及大量读者 的忠告和鞭策(这些年来$我 身体每下愈况$却依然笔耕不 辍$得益于大家的厚爱和帮助( 工作着是美丽的(谢谢大家$ 也感谢华东师大出版社和倪明 编审+孔令志编辑( 张奠宙 )+*.年元宵节 2 张奠宙数学教育随想集 目!录 前!言!* 第一部分!数学小品 文* *! 龙年说数学!. 文* )! 寄数学小读者!0 文* .! )道德经*与自然数!1 文* 0! 把一个分数比喻为一个-学校.!, 文* 1! 关于-*++万有多大.!2 文* ,! 过河取宝还是拴线拉宝/ """比喻算术和代数的区别!- 文* 2! 一个数学引出的一个概率教学案例!/ 文* -! -三根导线.故事的启示!** 文* /! 坐标#源于定位$高于定位!*. 文* *+!对称与对仗 """谈变化中的不变性质!*1 文* **!与时俱进说-对数.!*2 文* *)!函数单调性的无限本质!*/ 文* *.!向量的三代家世!)* 文* *0!数学中的-难得糊涂.!)0 文* *1!数学无限的人文意境!), 文* *,!陈子昂与-四维时空.!)/ 目录 1 文* *2!-离离原上草.的数学模型!.+ 文* *-!苏轼的)琴诗*与反证法!.* 文* */!-存在性命题.的古诗意境!.) 文* )+!-横看.与-侧看. """黎曼积分与勒贝格积分!.. 文* )*!努力掌握微积分思想的精髓!.0 文* ))!速度#理解容易表述难!., 文* ).!三角形内角和定理的证明无法绕开平行公理!.- 第二部分!热点评论 文) *! 关于数学知识的教育形态!01 文) )! -火热的思考.与-冰冷的美丽.!02 文) .! 学科教育学是一门独立的-工程性.学科!0/ 文) 0! -中国学习者悖论.的启示!1+ 文) 1! 当心-去数学化.!1. 文) ,! 遵守约定与自主创新!10 文) 2! 数学教育的德育功能!1, 文) -! 李秉彝先生访问上海的观感和一则寓言!1- 文) /! 清代考据文化对现代数学教育的影响!1/ 文) *+!从北洋水师战败想到应试教育的危害!,+ 文) **!研究-数学双基教学.的心路历程!,. 第三部分!域外见闻 文. *!比佛学院印象!,/ 文. )!访韩归来!2* 文. .!香港五日行!20 文. 0!澳门数学教育观感!2, 文. 1!旅美数学教育见闻!2/ 2 张奠宙数学教育随想集 文. ,!参观美国蒙台梭利学校有感!-0 文. 2!中国数学教育的软肋"""高中空转 """美国奥赛教练冯祖鸣等访谈录!-- 文. -!没有批评表扬的学校管理 """与美国中学数学教师的谈话!/) 第四部分!往日萦怀 文0 *! 研究华罗庚先生的数学教育思想!// 文0 )! 为陈省身先生写传是我毕生的荣幸!*+. 文0 .! 研究吴文俊先生的数学教育思想!*+2 文0 0! 给江泽坚先生的一封信!*** 文0 1! 致徐利治先生的一封信!**0 文0 ,! 孙泽瀛先生和他的)数学方法趣引*!**, 文0 2! 李锐夫先生的-以礼待人.与-绅士.风度!**- 文0 -! 记程其襄先生的博学与慎思!*)+ 文0 /! 夏道行先生!*). 文0 *+!数学证明,数学意识,数学文化 """为萧文强先生荣休而作!*)1 第五部分!序言选粹 文1 *! )华人如何学习数学*中文版序!*.* 文1 )! 马立平)小学数学的掌握和教学*序!*., 文1 .! )第二届数学开放题教学研讨会文集*序!*.- 文1 0! 王林全)现代数学教育研究概论*序!*0+ 文1 1! 忻再义)初中数学学生自主性课外活动设计*序!*0) 文1 ,! 赵焕光)数的家园*序!*0. 文1 2! 沈文选等)中学数学拓展丛书*序!*01 文1 -! 张德和)珠算长青*序!*02 目录 3 文1 /! )陈永明评议数学课*序!*1* 文1 *+!熊斌+陈双双)解题高手*序!*1. 文1 **!巩子坤)程序性知识教与学的研究*序!*11 文1 *)!)章士藻数学教育文集*序!*1- 文1 *.!陈刚)经济应用数学*代序!*,+ 文1 *0!龙开奋等)数学合作探究教学的理论与实践研究*序!*,. 文1 *1!熊斌等)中学数学原创题集*序!*,1 文1 *,!忻再义)中学数学研究性学习的案例设计与研究*序!*,2 文1 *2!黄坪+尹德好)高中数学题根*序!*,/ 文1 *-!)李庾南-自学,议论,引导.教学流派研究论稿*序!*2* 文1 */!萧柏荣)数学教育探索五十年*序!*2. 文1 )+!莫雅慈)代数学习*序!*22 文1 )*!黄毅英主编)数学教师不怕被学生难倒了*序!*2/ 第六部分!编后漫笔 文, *! 纪念弗赖登塔尔访问中国!*-1 文, )! 传统和新型教学方式的结合!*-, 文, .! 研究一下高考命题理论$如何/!*-2 文, 0! 冷静对待-高考分数.!*-- 文, 1! 祖冲之的悲剧!*-/ 文, ,! 欣闻-数学教育博士论坛.!*/+ 文, 2! 让-开放题教学.成为-家常菜.!*/* 文, -! -技巧有时是音乐的敌人.!*/) 文, /! 也说-信息重复+信息低劣.!*/. 文, *+!从刘翔训练的强度和效率说起!*/0 文, **!数学高考时间是否可延长为.小时/!*/1 文, *)!再次呼吁延长高考数学考试时间!*/, 文, *.!关于教师的-一桶水.!*/2 文, *0!给中国的几何教学定位!*/- 4 张奠宙数学教育随想集 文, *1!)数学教学*1+岁有感!*// 文, *,!有感于-数学教育神话.!)+* 文, *2!关注数学教育的国际潮流!)+) 文, *-!教育改革还是-渐进式.为好!)+0 文, */!为保持学术研究的纯洁性而奋斗!)+, 文, )+!真的担心高考命题八股化!)+2 文, )*!创新教育下的-教师主导作用.!)+- 文, ))!有感于-线性.和-非线性.!)+/ 文, ).!忽然想起了麻将!)*+ 文, )0!又想起了-大众数学.!)** 文, )1!数学文化就是要-文而化之.!)*) 文, ),!需要研究一下什么是-数学基本活动经验.!)*. 文, )2!用自己的眼睛看课堂!)*0 文, )-!要讲课$还要读书!)*1 文, )/!-量的目的是为了不量.!)*, 文, .+!作者要和读者平等相待!)*2 文, .*!数学理解与科学练习!)*- 文, .)!青霉素+芥菜卤+双基!)*/ 文, ..!-鸟巢.与-四基.!))+ 文, .0!应试环境中的自由意志!))* 文, .1!自主招生考试破除-命题八股化.!))) 文, .,!教育也需要实现-走向世界.的知识转型!)). 文, .2!-非哈佛之人不是人.的流毒!))0 文, .-!-举一反三.和-举三反一.!))1 文, ./!合理把握-过程性.目标!)), 文, 0+!认识论不同于教学论!))2 文, 0*!一个新课题#数学思想方法的教学!))- 文, 0)!数学教育#文化复兴的一部分!))/ 文, 0.!关注美国加强研究中国数学教育!).+ 文, 00!玻璃对喝水有何用/!).* 目录 5 文, 01!有感于-百家讲坛.开讲)弟子规*!).) 文, 0,!足球赛为何不以-技术统计数据.决定胜负/!).. 文, 02!创新并非要处处-优先.!).0 文, 0-!不要捧着金饭碗讨饭!).1 文, 0/!做一个与时俱进的教书匠也不容易!)., 文, 1+!一则关于-奥数.的好消息!).2 文, 1*!教学中多多关注-后半段. """怎样上好复习课/!)./ 文, 1)!-非传统教学方式.要适合学生的年龄!)0+ 文, 1.!有感于)中国震撼*!)0* 文, 10!有感于刘佛年先生的-兼容并包.!)0) 文, 11!数学的大众化和简单化!)0. 文, 1,!也要向-教书匠.学习!)01 文, 12!关注谷超豪先生对当前数学教育的忧思!)0, 第七部分!乡情杂忆 文2 *!从桃花源到大熔炉 """奉化中学忆旧!)0/ 文2 )!党的阳光照耀着解放初期的奉化中学 """追忆戴昌谟先生!)1. 文2 .!记解放初期奉化中学的文艺演出活动!)11 文2 0!,+年前我在上海参加高考!)1- 文2 1!奉化南门忆旧!),+ 文2 ,!话说-红墙外.!),* 文2 2!母亲曾是奉化首届人民代表!),) 人名索引!),0 6 张奠宙数学教育随想集 书书书 第一部分 数学小品 这一部分收集了一些谈论数学!理解数学和欣赏数学的短 文"文字上力求活泼#具有人文意味#借以揭示和欣赏数学的 文化底蕴" 这一部分的文字#除注明者之外#均见$情真意切话数学%# 科学出版社于!"#"年出版" 访问美国麻省理工学院!主楼前留影"!""$# 文 1 1 龙年说数学 辛卯之后是壬辰"!"#!年#又是龙年了"翻看旧稿#有一篇谈到数学和&龙' 有几分相像#细细琢磨#觉得还有点意思" 鲁迅说(&世上本没有路#走的人多了#便成了路"'同样#世上本来没有龙#因 为先人的图腾想象#大家认同了#就有了约定俗成的&龙'"至于数学#世上原来也 没有数学这个事物"事实上#没有人见过&龙'#只见过蛇!狮!虎!豹"也没有人见 过#!!!%!&#只有一个苹果!两条鱼!三只羊!四条腿"由于人们的创造#经过人 的想象#才有了数字#并发展成数学" 数学的这个特点#和物理学!化学!生物学不同#世上原本就有太阳!地球!原子! 电子!化合物!动植物!细胞和基因"人们发现了物体运动!声光电热!化合与分解! 生长与遗传等等现象"当人们掌握了物质运动规律#并运用它为人类造福#这就是 科学"至于数学#却不直接面对某个特定的物质运动形式"世上并没有&质数'!&合 数'!&方程式'这样的东西"哥德巴赫猜想#是人构造出来的思想材料" 数学和龙一样#都是一种文化现象"&龙'曾经是&君权'的象征#体现出至高 无上的权威"数学则因其覆盖一切科学领域#也是君临天下#成为&科学的女王'" 威严使人难以亲近"普通百姓穿不得象征皇权的龙袍#同样#许多人看见数学符 号就头疼"不过#时代在变迁"&龙'文化现在已经深入到寻常百姓家#数学文化 则伸展到学校的每一个角落" 中国人是龙的传人"作为龙文化的继承者#并不害怕外形凶猛的龙颜#也不忌 惮抽象的难以捉摸的龙意"进入信息时代的中国人#正在摆脱&数学难学'的偏见# 以学好数学作为自己努力的目标"就中小学生而言#中国学生在国际数学奥林匹克中 屡创佳绩#上海学生在'()*国际数学测试中名列第一"时至今日#从西方传入的现代 数学教育#竟成为中国人的一种特长"&!#世纪数学大国'#正在一步步地变为现实" 数学属于每一个人"让我们每一个人都能亲近数学#热爱数学#支持数学#发 展数学#确保东方的数学巨龙腾飞" 龙年说数学 3 文 1 2 寄数学小读者 请允许我称你为&小'读者#因为我比你降临人间早半个世纪) 我羡慕你#因 为!#世纪是属于你的" 当本书印出来的时候#我想象着#你#一位风华少年#正把它放入原已很沉的 书包"你喜欢它吗* 请说真话" 不管你是否愿意#数学将无处不在"它会陪伴你度过青春年华#跨越考试重 关#充实风险人生"数学#犹如一条伶俐的小狗#你若喜欢它#亲近它#它就会向你 摇头摆尾#忠心相随"可是你若嫌弃它#疏远它#它就会向你狂吠#冷不防咬你 一口) 喜欢数学才能学好数学"你应当懂得欣赏数学的优美"它说一不二#又机巧 聪明#让人佩服"可是#你千万不要仅仅把它当作玩物#它会是你不可或缺的帮 手#应付咸淡人生的忠实谋士" 这本小书会给你一个惊喜(原来数学和现实如此之近"当你走进银行存压岁 钱#打开报纸读金融消息#听大人们谈论还本销售的时候#数学就来帮你作出正确 判断"这时人们会说你(&好聪明#好高明)'当你走进工厂#跨过田野的时候#你会 注意到飞转的车轮!奇形的零件!标准的尺寸!美丽的轮廓"于是你能看到别人看 不到的数学背景#内心真是&好充实#好快活') 其实#这本小书只是一名小小的向导#广阔的数学天地#要靠你自己去打开" 午夜的星空#那么深邃#广袤#无边无涯"望你乘上数学之舟#科学之火箭#闯 荡未来的人生#拥抱新的世纪) +这是$初中数学应用题基本训练%一书的序言#该书由华东师范大学出版社 #++&年出版, 4 张奠宙数学教育随想集 文 1 3 !道德经"与自然数 人们熟悉的自然数#现在规定从"开始#即 "###!#-" 那么自然数是怎么生成的呢* 老子$道德经%说得明白( 老子画像 太初有道$道生一!一生二!二生三!三生万物$ $道德经%陈述的关键在一个&生'字"生#相当 于皮亚诺自然数公理的&后继'"由虚无的&道'+相 当于",开始#先生出&一'#再生出&二'和&三'#以至 生出万物"这里#包含了自然数的三个特征" #,自然数从"+道,开始. !,自然数一个接一个地&生'出来. %,自然数系是无限的+万物所指," 这简直就是皮亚诺的自然数公理了" 再看大数学家冯/诺伊曼用集合论构造的自然数"他从一个空集!+相当于 &道',出发#给出每一个自然数的后继(即此前所有集合为元素的集合"具体过程如下" 空集!表示". 以空集!为元素的集合0!1表示#.+道生一, 以!和0!1为元素的集合0!#0!11表示!.+一生二, 以!#0!1和0!#0!11为元素的集合0!#0!1#0!#0!111表示%.+二生三, 以前面!个集合为元素构成的新集合#表示!"#"+三生万物, -- 我们了解自然数#何不从$道德经%开始* +原载$天府数学%!""+年第#期, !道德经"与自然数 5 文 1 4 把一个分数比喻为一个#学校$ 分数是-年级学生学习的一个难点"教材中有一个所谓的基本性质+其实应 该叫分数的相等性质,(&一个分数的分子和分母同乘以或除以一个相同的非零 数#分数的大小不变"'于是我们有( # !# ! &# % -# -#$!$# -" 这就是说#同一个分数有许许多多种不同的表示"这和一个自然数只有一种 表示很不相同"在这一基础上#就出现了令学生头疼的&最简分数'#以及&约分'! &扩分'和&通分'" 事实上#在数学意义下#分数是一个等价类"这说起来似乎比较深奥"其实# 我们可以把一个分数看作一个群体"例如一个学校"学校里的老师!学生都是平 等的一员#每个成员各有各的特点"校长可以相当于&最简分数'#但是只有&最简 分数'是不能完全代表分数的"分数相加时需要通分#就要找一个最小公倍数为 分母的分数才能进行"这好比学校要参加全市学生运动会#就要派本校的学生成 员去参加"奥林匹克数学竞赛的教练#就要由数学老师成员来担任"这样一比 喻#学生也就明白了" 当然#我们也可以把一个分数比喻为一个&大家庭'#家庭成员各自扮演不同 的角色"此外#也可以比喻为一个学生可以穿着很多种服装(校服!运动服!舞蹈 服等等#不同的场合穿不同的服装#但是本质上都是同一个人" &比喻'#说明许多思维方式存在着共同之处"用常识理解数学意义#可以采 用适度的比喻#把复杂的问题简单化" 6 张奠宙数学教育随想集 文 1 5 关于#!""万有多大$ &#""万有多大'#是个怪问题"#""万就是#""万嘛"据说这是要形成&数 感'"哦#这个连专家们都争论不休的&数感'#已经付诸实践了"于是#&#""万有 多大'进入$年级数学课程#有大块文章发表#有博士论文研究"一个公开发表的 #让学生研究&#""万粒米有多少'"实际上#成人也不知道其#因为没有 用"更令人称奇的是#问学生&#""万元人民币要用多大的箱子装'"真的#除了公 安局对付抢银行的劫匪时也许用得上之外#哪个老百姓需要这样的数感* 推而广 之#难道我们需要问#""万个鸡蛋有多大##千万个篮球有多大#一亿枝铅笔有多 长* --这和数学有什么相干* 如果小学生做游戏#中学数学课做点铺垫#无可 厚非#正而八经当作一堂课来上#令人匪夷所思"数学源于生活#又高于生活"许 多数学教学设计#把课堂搞得热火朝天#却都在原生态的生活经验层面进行#和数 学活动不搭界#走入了误区"那么##""万的&数感'是什么* 它的数学味在哪里* 我们用一个小立方体表示##那么#"个摆成一排##""个+#"排,摆成一方##" 方+#""排##"""个,叠起来构成一个千立方体+.," 接着#以千立方体.作为单位#再#"个摆成一排##""个摆成一方##"""个叠 成一个百万立方体+/," 还可以继续"因为#空间是三维的#所以#千!百万!兆成为十进位数的层次结 构"现在国家规定使用千米!千克#计算机内存以.!/!0计数#与国际接轨#是 合理的规定" +作者为张奠宙等#原载于$小学数学研究%#高等教育出版社于!""1年出版, 关于#100万有多大$ 7 文 1 6 过河取宝还是拴线拉宝% !!!比喻算术和代数的区别 ""小学里的所谓代数方法就是解方程"其本质是为了求未知数而在未知数和 已知数之间建立起来的一种等式关系"也就是说#学习方程#目的是&求'未知数# 方法是&拉关系'#具体策略是通过等式变换进行&还原和对消'" 纪念阿拉伯数学家花拉 子米"约$1"%约12"#的邮票"苏联!#+1%# 公元1!"年#花拉子米写了一本$代数学%"&代数 学'的本意是&还原与对消的科学'#也就是要把淹没在 方程中的未知数%暴露出来#还原%的本来面目"这样 讲#就把&方程'说活了"这好比要结识&朋友'#就得通 过别人介绍#借助中介关系#如此而已" 试问(方程比算术好#到底好在哪里* 让我们先 看问题(&小明今年#"岁#爸爸的年龄是他的%倍多- 岁#求爸爸的年龄"'有两种解法( +#,算术方法(爸爸年龄#%&#""-"这是从已 知的小明年龄#"出发#一步步接近爸爸年龄#最后得 到答案%-" +!,代数方法(设爸爸年龄为%#则有方程(%'-% ##"#解之得%#%-"这是 从未知的爸爸年龄%出发#寻出和已知的小明年龄的关系#根据关系解出未知的 %#即通过对消方法#将未知数还原出来" 这一例子使我们看到用方程或算术解题的思维路线往往是相反的"打一个比 方(如果将要求的答案比喻为在河对岸的一块宝石#那么算术方法好像摸石头过河# 从我们知道的岸边开始#一步一步摸索着接近要求的目标"而代数方法却不同#好 像是将一根带钩的绳子甩过河#拴住对岸的宝石+建立了一种关系,#然后利用这根绳 子+关系,慢慢地拉过来#最终获得这块宝石"两者的思维方向相反#但是结果相同" 8 张奠宙数学教育随想集 文 1 7 一个数学故事引出的一个概率教学案例 听完华应龙老师的课#很为他的创新精神所折服"概率进入小学数学课程# 是一件新事物#没有多少教学前例可循"这节概率课#却很有创意"华老师编制 的这个数学故事#既有温馨亲情#又有时代特色#符合儿童情趣"引出的丢啤酒瓶 盖决定&输赢'的案例#则是一个用频率近似地表达概率的&非等可能性'的随机事 件#适合小学数学的课堂教学" 这个故事是说#奥运会在北京召开#一张篮球赛的球票#成为爸爸+华老师自 己,和他的大学二年级儿子争夺的目标"儿子建议丢啤酒瓶盖决定输赢#并自选 正面向上+锯齿面向下,"故事的数学本质在于#&瓶盖正面向上的概率'究竟是多 少* 凭直觉#其概率要小于# ! "儿子这样挑选#是存心&让'爸爸赢"可是#丢的结 果却是&正面朝上'#爸爸输了"爸爸高兴地把票放到儿子的手里"于是#用李宁 的一句广告语&一切皆有可能'作为这堂课的结束"尽管概率有大小#却一切皆有 可能"这就是数学故事的核心" 作为小学数学活动的一个经典案例#华老师让同学们用试验方法估计&丢啤 酒瓶盖正面朝上'的概率"这一随机事件有两个特点"一是简便易行#啤酒瓶盖 到处都有#丢起来不困难#实验成本很低"二是它明显地不能用&等可能性'方法 进行判断#只能通过实验方法#用频率近似表示概率"这次课堂实验表明#&瓶盖正 面朝上'的频率恰好是-" #1"# # % "因此#根据我们的实验得到的结论是#&啤酒瓶盖 正面朝上'的概率大约是# % #即可以近似地表示为# % "当然#不同的实验#同样的 啤酒瓶盖#得到的频率不必相同" 晚近以来#许多概率教学设计#都在课堂上让学生&丢硬币'#&摸球'#用实验 方法估计那些&等可能发生的事件'的概率#这是败笔"等可能性事件的发生概 率#是通过理性思考得出的#并不依赖于实验"我们需要的是#展示像&丢啤酒瓶 一个数学故事引出的一个概率教学案例 9 盖'这样的&非等可能性'的随机事件#引导学生用频率近似地表达概率" 数学课#要重视数学本质的揭示#其他的活动都应该围绕着数学本质进行" 我认为#华老师&丢啤酒瓶盖'的教学#通俗易懂#简便可行#承载了数学价值#可以 说是一个经典的教学案例#有长远的存在价值" 10 张奠宙数学教育随想集 文 1 8 #三根导线$故事的启示 #++"年代的一天#上海市第2#中学+今位育中学,的陈振宣老师对我讲了一 个数学教育的故事"我以为#那是中国数学教育的一个亮点#堪称经典" 陈老师的一个学生毕业后在和平饭店做电工"工作中发现在地下室控制#" 层以上房间空调的温度不准"分析之后#原来是使用三相电时#连接地下室和空 调器的三根导线的长度不同#因而电阻也不同"剩下的问题是(如何测量这三根 电线的电阻呢* 用电工万用表无法量这样长的电线的电阻"于是这位电工想到 了数学"他想(一根一根测很难#但是把三根导线在高楼上两两相连接#然后在地 下室测量&两根电线'的电阻是很容易的"如图#设三根导线电阻是%!(!)"于 是#他列出以下的三元一次方程组( %"(#*# (")#+# )"%#, # $ % " 解之#即得三根导线电阻" 这样的方程组谁都会解"但是#能够想到在这里用方程组#才是真正的创造 啊) 我为这位电工的数学意识所折服" 清代学者袁枚曾说(&学如箭镞#才如弓弩#识以领之#方能中鹄"'有知识#没 有能力#就像只有箭#没有弓#射不出去"但是有了箭和弓#还要有见识#找到目 标#才能打中"上面的例子说明#解这样的联立方程#知识和能力都不成问题#难 的是要具有应用联立方程的意识和眼光" 这使我想起第二次世界大战以后##+&1年时在美国出现的数学"这一年#维 纳发表$控制论%#香农发表$信息论%#冯/诺伊曼提出使用至今的计算机" 这三项数学成就#不是通常我们所解决的那种数学问题"他们看见了我们没有看 见的数学问题"试问(打电报传送的信息#可以是数学研究的对象吗* 大脑控制 #三根导线$故事的启示 11 "" 香农"3454)678898! #+#-%!""## 维纳":4;<=8=>! #1+&%#+-&# 冯&诺伊曼"?4@98:=AB788! #+"%%#+2$# 手去拾地下的铅笔#可以构成&数学控制论'吗* 研究数字电子计算机会改变时代 吗* 他们看见了新的数学#在#+&1年不约而同地做出了创造性的杰出贡献#影响 之大#使人类在!"世纪下半叶进入信息时代" 在别人看不见的地方#发现数学问题#解决数学问题#这是最高的数学创新" 这比做别人给出的问题#更胜一筹"国际数学奥林匹克金牌难拿#高考的一些数 学题目很不好做"能够拿金牌#得高分#肯定是一种能力"但是只会把&别人已经 做过的问题重做一遍'是远远不够的"在看起来&没有数学问题'的地方发现数学 问题#那往往是&大'的数学创造"和平饭店的电工解决数学问题的可贵#也正在 此"对基础教育来说#如何培养这样的创新性学习#更值得深思"我们常说#问题 是数学的心脏.那么#创新则是数学的大脑"创新有战略上的创新和战术上的创 新之分"波利亚的解题理论是微观分析#主要是解题的策略选择#技巧的运用#属 于数学战术层次.另一种解决问题的途径是大视野的分析#通过战略的思考#注重 数学的本质#发展新的数学课题"三根导线这样的问题#超出了波利亚解题理论 的范围#属于战略上的思考" &三根导线'的故事#堪称中国数学教育的经典之作" 12 张奠宙数学教育随想集 文 1 9 坐标&源于定位'高于定位 大量的&坐标'教学设计#都把&用一对数确定平面一点的位置'作为教学重 点"还常常让学生站成几排#用第几排第几个的一对有序的自然数来表示位置# 一时上上下下好不热闹"其实#这些都是生活常识#不教也会"就像打电话#用不 着一本正经地在课堂上教#自己看看就会了" 小学数学中引入坐标系#学习的重点和难点是坐标系的建立#尤其是坐标原 点的设置"许多教案从电影院找座位引入#当然可以#问题在于这时的电影院排 座位的坐标原点在哪里* 第一排第一座是原点吗* 可是我们还有"排"座怎么 办* 电影院用单双号方法排座位#就无法设置原点#也构不成数学意义上的坐标 轴"其实#还是把教室中的座位排紧#可以构成符合坐标系要求的座位图"我们 不妨设左上角为原点("排"座"其他座位就都有+自然数,坐标了"如果将它定 为第一排第一座#那就需要假想虚拟的原点和坐标轴"这些内容是我们学习的 核心" 令人不解的是#许多初中数学的坐标系教学设计#仍然谈&东大街!南马路'马 路交界处之类的问题来引入#不厌其烦地举例#停留在小学阶段&确定位置'的水 平上" 其实#同样用教室中排竖的座位构成的座位图#只要把原点定在任何一个中 间同学的座位#以横向的一排作为%轴#纵向的一列为(轴#就构成一个具有四个 象限的直角坐标系了"选择不同的同学座位作为原点#就产生了坐标变换"正负 数在这里的作用就充分显示出来了"这是初中坐标系教学的一个关节点"至于 将整数坐标扩充到实数坐标点情形#是容易想象的事情!" 初中水平的坐标系教学#要高于&定位'"坐标的价值在于表示各种几何图 坐标&源于定位'高于定位 13 ! 直线上的点和全体实数之间一一对应#严格的论证需要可公度线段和不可公度线段理论#现在的数学课 程已经不作要求#而是将它作为前人设置好的平台#凭直观想象加以接受就可以了4 形#而且在第一课时就要涉及" 请看上海长宁区的老师做法"先把教室的课桌椅并拢#以某同学为原点#两 条绑有箭头的塑料绳按相互垂直的方向摆放形成坐标轴"于是每个同学都有坐 标+尽管坐标都是整数,#但已经完成了&用一对数确定位置'的地理学的任务"然 后#教师请&两个坐标都是负数的同学站起来+第三象限,'#&两个坐标都相同的同 学站起来+直线(#%,'#&第一个坐标为"的同学站起来+(轴,'--这让人震 撼#也体现坐标的真正价值"另外#坐标原点是可以选择的"换一个同学做原点# 人没有动#坐标变了" 这样&玩坐标'#用坐标表示&数学对象'#才是坐标系的数学价值所在"总之# 欣赏坐标系的价值#可以源于&定位'#但一定要高于定位#这在第一课时就应该而 且也可以做到" 14 张奠宙数学教育随想集 文 1 10 对称与对仗 !!!谈变化中的不变性质 ""数学中有对称#诗词中讲对仗"乍看上去两者似乎风马牛不相及#其实它们 在理念上具有鲜明的共性(在变化中保持着不变性质" 数学中说两个图形是轴对称的#是指将一个图形沿着某一条直线+称为对称 轴,折叠过去#和另一个图形能够重合"这就是说#一个图形&变换'到对称轴另外 一边#但是图形的形状没有变" 这种&变中不变'的思想#在对仗中也反映出 来了"例如#让我们看唐朝王维的诗句( '明月松间照!清泉石上流$( 诗的上句&变换'到下句#内容从描写月亮到 描写泉水#确实有变化"但是#这一变化中有许 多是不变的( &明'222&清'+都是形容词,. &月'222&泉'+都是自然景物#名词,. &松'222&石'+也是自然景物#名词,. &间'222&上'+都是介词,. &照'222&流'+都是动词," 对仗之美在于它的不变性"假如上联的词语变到下联#含义!词性!格律全都 变了#就成了白开水#还有什么味道* 世间万物都在变化之中#但只单说事物在&变'#不说明什么问题"科学的任 务是要找出&变化中不变的规律'"一个民族必须与时俱进#不断创新#但是民族 的传统精华不能变"京剧需要改革#可是京剧的灵魂不能变"古典诗词的内容千 变万化#但是基本的格律不变"自然科学中#物理学有能量守恒!动量守恒.化学 反应中有方程式的平衡#分子量的总值不能变"总之#惟有找出变化中的不变性# 对称与对仗 15 才有科学的!美学的价值" 数学上的对称本来只是几何学研究的对象#后来数学家又把它拓广到代数 中"例如#二次式%!"(!#当把%变换为(#(变换为%后#原来的式子就成了 (!"%!#结果仍旧等于%!"(!#没有变化"由于这个代数式经过%与(变换后形式 上与先前完全一样#所以把它称为对称的二次式"进一步说#对称#可以用&群'来 表示#各色各样的对称群成为描述大自然的数学工具" 物质结构是用对称语言写成的"诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大 学生活时说(&对我后来的工作有决定影响的一个领域叫做对称原理"'#+2$年李 政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作222&宇称不守恒'的发现#就和对称密切相关" 此外#为杨振宁赢得更高声誉的&杨振宁2米尔斯场'#更是研究&规范对称' 的直接结果"在$对称和物理学%一文的最后#他写道(&在理解物理世界的过程 中#!#世纪会目睹对称概念的新方面吗* 我的回答是#十分可能"' 对称是一个十分宽广的概念#它出现在数学教材中#也存在于日常生活中" 能在文学意境中感受它#也能在建筑物!绘画艺术中看到它"对称甚至成为大自 然的深刻结构的一部分"数学和人类文明同步发展#&对称'是纷繁数学文化中的 一颗明珠" +以上杨振宁的引文见$杨振宁文集%#华东师范大学出版社#++1年出版#第 &&&!$"%页, 16 张奠宙数学教育随想集 文 1 11 与时俱进说#对数$ 某权威的教师教学用书明确提出高中&对数'内容的教学目标是(理解对数的 概念.了解对数的发现历史以及对简化运算的作用" 简化运算的作用* 现在还用得着吗* 拉计算尺的时代早已过去了"现在谈 计算简化#可以当做历史来谈#却不是真正的目标" 今日学习对数#还是要从指数函数的逆运算说起#特别是留意&底'的作用" 指数函数的底是直接写出来的#对数的&底'则要放在符号里#具有新意" 以!为底的对数很重要"#+&1年#香农创立信息论#开宗明义定义的信息 量#是用C9D!来表示的"最简单的例子是古代的烽火台"它有两种信息(燃起 烽火意味着敌人来+用#表示,#不燃烽火则意味着敌人没来+用"表示,"在敌 人来与不来的可能性一样的前提下#一个烽火台传送一个信息量"两种信息代 表一个信息量#数学上的表示就是C9D!!##" 古烽火台遗址 如果东面和南面各有一个烽火台" 这时的信息状态有四种情况(+"#",! +"##,!+##",!+###,"其中第一个! 第二个坐标分别表示东面!南面敌人来 否的状态"于是&种状态传送的信息量 为!#用数学符号表示就是C9D!&#!" 对数#过去是初中内容#现在是高中 内容#学生已经有映射意义下的函数概 念作支撑"所以不妨直接给出如下两个数列( "###!#%##-#$#1#+##"#####!#-. ##!#
##-#%!#-&##!1#!2-#2#!##"!&#!"&1#&"+-#-" 然后从关系式!#!+引出以!为底的对数#是一个不错的设计"若能联系信息量 与时俱进说#对数$ 17 的定义则更好" 对数的价值#更重要的是作为对数函数而显示出来"无论以什么数*为底# 函数C9D*%都是一种缓增函数(它和任意一个正数幂的函数(#%-#-&"相比# 其增加的速度都要慢" +本文参考了象山教育局蒋亮老师的来信, 18 张奠宙数学教育随想集 文 1 12 函数单调性的无限本质 对于一个有限和无限数列+定义域为全体自然数!#或其子集,来说#检验其是 否单调很容易#只要按顺序看是否每一项都比前项大+小,就是了"例如最近%" 年来#我国0E'的数值每年都比前一年有所增加#那是一个单调的数列" 但是如果函数(#.+%,的定义域/是像区间3*#+4!全体实数"等那样的 无限集合#这时我们面对的是实实在在的无限集合#而且是无法枚举!分不出先后 的一个无限集合"现在要检验它函数值是否随着自变量的增大一直上升+或下 降,#而且一个也不能少#怎么办* 此时的单调性刻画#不能一个个检验#也没有相 邻两项可以比较"于是我们只能对任取的两个值做检验#即无论取哪两个自变量 值%#!%!#只要%#'%!#必须(#'(!"详细地写出来就是( 定义(区间3*#+4上的函数.+%,称为是单调上升的#是指对于&任意的两个' 满足条件%#'%!的自变量值%#!%!#&都有'(#'(!" 这一定义#乃是一种形式化的数学表示#在认识上具有一定的跳跃性"学生 的思维发生障碍#觉得是天上掉下来的&林妹妹'"为什么要&5任意两个6--' 啊* 突兀得很"究其根源#还是在于区间3*#+4是无限集合"在这里#咬文嚼字一 番#数学语言的严密性顿然显现#学生也不会再感到突然" 函数单调性的无限本质 19