2013高考数学专项突破：圆锥曲线专题

2013高考数学专项突破：圆锥曲线专题 目录 TOC \o "1-3" \h \z \u 一、知识考点讲解 1 第一部分 了解基本题型 2 第二部分 掌握基本知识 4 第三部分 掌握基本 6 二、知识考点深入透析 12 三、圆锥曲线之高考链接 14 四、基础知识专项训练 18 五、解答题专项训练 27 附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 32 附录：基础知识专项训练参考答案 37 附录：解答题专项训练参考答案 39 一、知识考点讲解 一、圆锥曲线的考查重点： 高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）；或讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、向量、导数等）等。 二、圆锥曲线试题的特点： 1、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系仍然是重点。 2、注重数学思想与方法的考查。 3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络的交汇点处问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份，使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。 三、命题重点趋势：直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线 1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。 2、热点主要体现在：直线与圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范围与位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；与平面向量或导数相结合的问题。 3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，要求考生问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能，对学生的能力要求也相对较高，是每年高考中平面几何部分出题的重点内容 第一部分 了解基本题型 一、高考中常见的圆锥曲线题型 1、直线与圆锥曲线结合的题型 （1）求圆锥曲线的轨迹方程：（★广东卷常在第一问考查） 这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易。 （2）求直线方程、斜率、线段长度相关问题： 此类题目一般比较困难，不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握，而且还考查学生的综合处理问题的能力，还要求学生有较强的推算能力。这类题目容易与向量、数列、三角函数等知识相结合，学生在解题时，可能会因为抓不住解题要领而放弃。 （3）判断直线与圆锥曲线的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一。可从代数与几何两个角度考虑，①从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必。例如：将 代入 中消y后整理得： 　，当 时，该方程为一次方程，此时直线 与双曲线的渐近线平行，当 时，该方程为二次方程，这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。 ②从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点，具体如下： ①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决。 ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行。 ③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 2、圆与圆锥曲线结合的题型 这类题目要求学生对圆锥曲线、圆以及直线的知识非常熟悉，并有较强的综合能力。 3、圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型 这类题目在高考中并不是常考题型，但也是一个命题热点。题目中经常涉及两种圆锥曲线，对这部份知识要求较高，必须熟练掌握才能进行解题，还有这类题目看起来比较复杂，容易使人产生退却之心，所以面对这种题型，我们要克服心理的恐惧，认真分析题意，结合学过的知识来解题。 4、圆锥曲线与向量知识结合的题型 在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起进行测试，可以有效地考查考生的数形结合思想.因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。高考对解析几何与向量综合考查，采取了新旧结合，以旧带新，使新的内容和旧的内容有机地结合在一起设问，就形成了新的高考命题的热点。 二、常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系； 题型二：弦的垂直平分线问题； 题型三：动弦过定点的问题； 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题； 题型五：共线向量问题； 题型六：面积问题； 题型七：弦或弦长为定值问题； 题型八：角度问题； 问题九：四点共线问题； 问题十：范围问题（本质是函数问题）； 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线 ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）。 三、热点问题： 1、定义与轨迹方程问题；（★广东卷常在第一问考查） 2、交点与中点弦问题； 3、弦长及面积问题； 4、对称问题； 5、最值问题； 6、范围问题； 7、存在性问题； 8、定值、定点、定直线问题。 第二部分 掌握基本知识 1、与一元二次方程 相关的知识：（三个“二次”问题） （1）判别式： 。 （2）韦达定理：若一元二次方程 有两个不同的根 ， 则 。 （3）求根公式：若一元二次方程 有两个不同的根 ， 则 。 2、与直线相关的知识： （1）直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容：① 倾斜角与斜率： ； ② 点到直线的距离公式： 。 （3）弦长公式：直线 上两点 间的距离： （或 ，较少用）。 （4）两条直线 的位置关系： ① ； ② 。 （5）中点坐标公式：已知两点 ，若点 是线段AB的中点， 则 。 3、圆锥曲线的重要知识： 考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理科要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线及抛物线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线。 (1)、圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何图形。 (2)、圆锥曲线的标准方程： ①椭圆的标准方程： 或 ； （距离式方程： ） ②双曲线的标准方程： 或 ； （距离式方程： ） ③抛物线的标准方程： ，还有三类。 （3）、圆锥曲线的基本性质：必须要熟透，特别是离心率，参数 三者的关系， 的几何意义等。 （4）、圆锥曲线的其它知识：（了解一下，能运用解题更好） ①通径： ； ②焦点三角形面积公式： ， ； （其中 ） ③焦半径公式： ， （简记为“左加右减，上加下减”）； ； 。 4、常结合其它知识进行综合考查： （1）圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆、两圆的位置关系。 （2）导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识。 （3）向量的相关知识：向量数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等。 （4）三角函数的相关知识：各类公式及图象与性质等。 （5）不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等。 第三部分 掌握基本方法 一、圆锥曲线题型的解题方法分析 高考圆锥曲线试题常用的数学方法有：法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等。  1、解题的通法分析： 高考数学试题特别注重对中学数学通性通法的考查，这符合高考命题原则：考查基础知识，注重数学思想，培养实践能力。中学数学的通性通法是指数学教材中蕴涵的基本数学思想（化归思想、转化思想、分类思想、函数方程的思想、数形结合的思想）和常用的数学方法（数形结合，配方法，换元法，消元法，待定系数法等）。 解决圆锥曲线这部分知识有关的习题时，我们最常用的数学方法有数形结合，待定系数法，化归转化等。在求解直线与圆锥曲线的问题时我们一般都可以将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到一个方程组，通过消元得到一个一元二次方程再来求解。就是要利用已知条件找到参数与参数之间或是与已知量之间的关系，这时一般会用到韦达定理进行转化。例如要判断直线与圆锥曲线的位置关系，我们就可以联立直线方程与圆锥曲线方程，消y得到一个关于x的一个一元二次方程，然后我们就可以根据一个一元二次方程的△= 的值来判断。 直线与圆锥曲线的位置关系的判断：（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离） 设直线L的方程是： ，圆锥曲线的C方程是: ，则由 消去y得： （*） 设方程（*）的判别式是△= ，则 （1）若圆锥曲线 是椭圆 若△= >0 方程（*）有两个不等实根 直线L与椭圆C相交 直线与椭圆C有两个不同的公共点。 若△= =0 方程（*）有两个相等的实根 直线L与椭圆C相切 直线与椭圆C只有一个公共点。 若方程△= <0 方程（*）无实根 直线L与椭圆C相离 直线与椭圆无公共点。 （2）若圆锥曲线 是双曲线 若△= >0 方程（*）有两个不等实根 直线L与双曲线C相交 直线与双曲线C有两个不同的公共点。 若△= =0 方程（*）有两个相等的实根 直线L与双曲线C相切 直线与双曲线C只有一个公共点。 若△= <0 方程（*）无实根 直线L与双曲线C相离 直线与双曲线C无公共点。 注意当直线L与渐近线平行，直线L也与双曲线是相交的，此时直线L与双曲线只有一个公共点.故直线L与双曲线C只有一个公共点时，直线L与双曲线可能相交也可能相切。 （3）若圆锥曲线 是抛物线 若△= >0 方程（*）有两个不等实根 直线L与抛物线C相交 直线与抛物线C有两个不同的公共点。 若△= =0 方程（*）有两个相等的实根 直线L与抛物线C相切 直线与抛物线C只有一个公共点。 若△= <0 方程（*）无实根 直线L与抛物线C相离 直线与抛物线C无公共点。 注意当直线L与抛物线的对称轴平行时，直线L与抛物线C只有一个公共点，此时直线L与抛物线C相交，故直线L与抛物线C只有一个公共点时可能相交也可能相切。 系统掌握求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）；掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法；熟练掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质及其应用；掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法；掌握解答解析几何综合问题的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 2、合理选择适当方法优化解题过程： 数学的解题过程一般是由理解问题开始，经过探讨思路，转化问题直至解决问题题目的意思至为重要，然后我们才能分解问题，把一个复杂的问题转化成几个简单的熟悉的问题，通过逐步分解，进而解决问题。所以在解题前，首先我们应该从全方位、多角度的分析问题，根据自己的知识经验，适时的调整分析问题的角度，再充分回忆与之相关的知识点把陌生的问题转化为一些熟悉的题型，找到一个正确的简便的解题方法。 合理选择方法，提高运算能力。解析几何问题的一般思路易于寻找，但运算量大，所以合理选择运算方法可以优化解题过程、减少运算量.通常减少运算量的方法有合理建立坐标系；充分利用定义；充分利用平面几何知识；整体消元法等。 对圆锥曲线的基础知识首先要扎实，关于解题技巧可以考虑下面几点： ①某些问题要注意运用圆锥曲线定义来解题； ②与弦有关问题多数要用韦达定理； ③与中点有关问题多数要用“点差法”； ④计算能力一定要过硬，要有“不怕麻烦的劲头”； ⑤与角度，垂直有关问题，要恰当运用“向量”的知识。 直线和圆锥曲线的问题是解析几何中的典型问题，也是考试中容易出大题的考点。解决这类问题的关键就是要明白直线和圆锥曲线问题的本质。直线截圆锥曲线就会在曲线内形成弦，这是一个最大的出题点，根据弦就可以涉及到弦长；另外直线和圆锥曲线有交点，涉及到交点就会涉及到坐标的一些问题，若是再和交点、原点等一些特殊点构成一些关系还会涉及到角度问题。解析几何就是利用代数方法解决几何问题，因此这些几何上的角度，弦长等一些关系都要转化成坐标，以及方程的形式。但是问题的本质还是几何问题，因此更多的利用圆锥曲线的几何性质可以化简计算。比如，在坐标法中向量是和几何问题结合最紧密的方法，因此涉及到角度等一些问题可以用向量去做，这样会比直接利用直线的夹角公式计算要稍简单一些。 这类题的计算量一般会比较大，在解题时可以使用一些小技巧简化计算。比如涉及到焦点的问题看看可不可以用圆锥曲线的第二定义转化。利用第二定义就可以将点到点之间的距离转化为点到直线之间的距离，而且一般情况下直线还是垂直于x轴或y轴的，这样直接就和坐标联系上了，这种方法在圆锥曲线中含有参数的时候还是挺好使的，一般在答题中应用不多，小题中会有不少应用，因此还是要掌握好第二定义。 3、解题中应避免的误区： 在“圆锥曲线”内容中，为了研究曲线与方程之间之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“圆锥曲线”，“曲线的方程”等概念，函数与方程的数学思想、数形结合思想、回归定义等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易进入误区。 对圆锥曲线的两个定义在第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 的距离的和等于常数 ，且此常数一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段 ，当常数小于 时，无轨迹；双曲线中，与两定点 的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于 ，定义中的“绝对值”与 < 不可忽视，若 = ，则轨迹是以 为端点的两条射线，若 > ，则轨迹不存在，若去掉定义中的绝对值则轨迹仅示双曲线的一支。 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a、b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向。 判断直线与圆锥曲线的位置关系时应该注意：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点。 二、圆锥曲线题型的常用解法： 1、定义法： （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中， ，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线的距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法： 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法： 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法。 点差法（中点弦问题）：设 、 ， 为椭圆 的弦 中点， 则有 ， ，两式相减得 ， = 。 （1） 与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有 ； （2） 与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有 ； （3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p。 4、数形结合法： 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令 ，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“ ”，令 =k，则k表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率…… 5、参数法： （1）点参数：利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1） （2）斜率为参数：当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。 （3）角参数：当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 6、代入法： 这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2，方法2可将条件P2代入条件P1，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。 二、知识考点深入透析 一、近几年文科圆锥曲线试题“知识点及问题”分析： 年 份 试 题 相 关 知 识 问题类型 备注 2012年 （20） 椭圆，抛物线，直线， 椭圆的标准方程、直线方程。 （1）求椭圆的标准方程； （2）与直线、抛物线相结合，相切知识，求直线方程。 2011年 （21） 轨迹方程，抛物线，求轨迹； 最值问题； 直线相关知识； 解方程组 （1）求轨迹方程（射线及抛物线方程）； （2）最值问题（求最小值，及此时点的坐标）； （3）参数的取值范围（直线与抛物线结合，求直线斜率的取值范围） 2010年 （21） 曲线： 即抛物线； 切线方程（求导法）； 两种距离公式； 分析法证明；裂项求和知识； （1）求切线方程及特殊点的坐标； （2）最值问题（最大值时，求某点的坐标）； （3）证明不等式成立 2009年 （19） 椭圆、圆； 点与圆的位置关系判断； （1）求方程（椭圆的方程）； （2）求三角形的面积； （3）存在性问题（是否存在圆包含椭圆） 2008年 （20） 椭圆、抛物线； 切线方程（求导法） 向量的数量积（垂直问题） 一元二次方程解的个数（判别式） （1）求方程（椭圆及抛物线的方程）； （2）探究性问题（存在点P使得三角形为直角三角形，点P的个数） 2007年 （19） 圆、椭圆及定义； 两点间的距离公式； 解方程组； （1）求方程（圆的方程）； （2）存在性问题（存在点与距离相等问题）。 二、圆锥曲线试题研究： 1、曲线类型：以椭圆、抛物线为主，结合圆、直线或其它曲线进行综合考查。 2、试题特点： （1）综合性； （2）抽象性； （3）动态性； （4）新颖性； （5）问题的连惯性； （6）含参数。 3、试题中的问题类型： （1）求方程或轨迹类型：常在第一问中设置，以圆及圆锥曲线的方程为主； （2）与最值相关的类型：按题意要求，满足最大或最小值时，求某点或某知识； （3）存在性类型：据题意，判断是否存在点或图形满足题意，要说明理由； （4）探究性类型：根据题意，探究问题的多样性； （5）证明类型：根据给定条件，证明不等式或等式成立； （6）取值范围类型：设置参数，根据题意，求参数的取值范围或求其它的取值范围。 4、解题常用的知识要点： （1）各圆锥曲线的知识，特别是椭圆、抛物线的定义； （2）圆、直线的相关知识，特别是直线的斜率知识； （3）求曲线轨迹的方法； （4）与最值相关的两种距离：点到直线的距离及两点间的距离； （5）一元二次方程（组）及不等式的相关知识：判别式，韦达定理，解方程组，均值定理等； （6）与导数相关的知识，特别是求切线方程的知识。 5、常用的数学思想： （1）数形结合； （2）分类讨论。 三、圆锥曲线之高考链接 2012文20、（本小题满分14分） 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，且点 在 上. （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 同时与椭圆 和抛物线 ： 相切，求直线 的方程. 2011文21、（本小题满分14分） 在平面直角坐标系 中，直线 交 轴于点A，设P是 上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足 ． （1）当点P在 上运动时，求点M的轨迹E的方程； （2）已知 ．设H是E上动点，求 的最小值，并给出此时点H的坐标； （3）过点 且不平行于 轴的直线 与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线 的斜率 的取值范围． 2010文21、（本小题满分14分） 已知曲线 ，点 是曲线 上的点 . （1）试写出曲线 在点 处的切线 的方程，并求出 与 轴的交点 的坐标； （2）若原点 到 的距离与线段 的长度之比取得最大值，试求试点 的坐标 ； （3）设 与 为两个给定的不同的正整数， 与 是满足（2）中条件的点 的坐标， 证明： 2009文19、（本小题满分14分） 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在 轴上,离心率为 ,两个焦点分别为 和 ,椭圆G上一点到 和 的距离之和为12.圆 : 的圆心为点 . (1)求椭圆G的方程； (2)求 的面积； (3)问是否存在圆 包围椭圆G?请说明理由。 2008文20、（本小题满分14分） 设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 ．如图6所示，过点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过椭圆的右焦点 ． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 2007文19、(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为 的圆C与直线 相切于坐标原点0．椭圆 与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C的方程； (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 四、基础知识专项训练 1、圆锥曲线的定义： （1）方程 表示的曲线是 。 （2）已知点 及抛物线 上一动点 ,则y+|PQ|的最小值是 。 2、圆锥曲线的标准方程： （1）方程 表示椭圆的充要条件是什么？ （2）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为 。 （3）若 ，且 ，则 的最大值是_ ， 的最小值是 。 提示：应用线性规划方法解。 （4）方程 表示双曲线的充要条件是什么？ （5）设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线C过点 ，则C的方程为 。 （6）定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 3、圆锥曲线焦点位置的判断：（首先化成标准方程，然后再判断） 已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 。 4、圆锥曲线的几何性质： （1）若椭圆 的离心率 ，则 的值是 。 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为 。 （3）双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于 。 （4）双曲线 的离心率为 ，则 = 。 提示：应用离心率的第二道公式。 （5）设双曲线 （a>0,b>0）中，离心率e∈[ ,2],则两条渐近线夹角（锐角或直角）θ的取值范围是 。 （6）设 ，则抛物线 的焦点坐标为 。 5、直线与圆锥曲线的位置关系： （1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是 。 （2）直线y―kx―1=0与椭圆 恒有公共点，则m的取值范围是 。 （3）过双曲线 的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有 条。 （4）过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有 条。 （5）过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 。 （6）过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于A、B两点，若 4，则满足条件的直线 有 条。 （7）对于抛物线C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，若点 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线C的位置关系是 。 （8）过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是 、 ，则 。 （9）设双曲线 的右焦点为 ，右准线为 ，设某直线 交其左支、右支和右准线分别于 ，则 和 的大小关系为 (填大于、小于或等于)。 （10）求椭圆 上的点到直线 的最短距离。 （11）直线 与双曲线 交于 、 两点。①当 为何值时， 、 分别在双曲线的两支上？②当 为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？ 6、弦长公式： （1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于 。 （2）过抛物线 焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为 。 （3）已知抛物线 的焦点恰为双曲线 的右焦点，过抛物线的焦点且倾斜角为 的直线交抛物线于 ， 两点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7、圆锥曲线的中点弦问：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k=－ ；在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k= ；在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k= 。 （1）如果椭圆 弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 。 （2）已知直线y=－x+1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为 。 （3）试确定m的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称。 （4）抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 。 特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！ 8、动点轨迹方程： （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ； 已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4，求P的轨迹方程。 ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0） ，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 。 ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (1)由动点P向圆 作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 。 （2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于1，则点M的轨迹方程是 。 (3) 一动圆与两圆⊙M： 和⊙N： 都外切，则动圆圆心的轨迹为 。 ④代入转移法：动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用 的代数式表示 ，再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程； 动点P是抛物线 上任一点，定点为 ,点M分 所成的比为2，则M的轨迹方程为 。 ⑤参数法：当动点 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 （1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点 ，使 ，求点 的轨迹。 （2）若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是 。 （3）过抛物线 的焦点F作直线 交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是 。 9、与向量相关的题： （1）已知双曲线 的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且 则点M到x轴的距离为（ ） A B C D （2）已知 是x,y轴正方向的单位向量，设 = , = ,且满足 =| |.求点P(x,y)的轨迹。 （3）已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点， ，点C坐标为（0，2p）， ① 求证：A,B,C三点共线； ② 若 ＝ （ ）且 试求点M的轨迹方程。 10、圆锥曲线中线段的最值： (1)抛物线C:y2​=4x上一点P到点A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为 。 (2)抛物线C: y2​=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 （3）F是椭圆 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 ① 的最小值为 ；② 的最小值为 。 11、焦半径题（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示P到与F所对应的准线的距离。 （1）已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为 。 （2）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于 。 （3）若该抛物线上的点 到焦点的距离是4，则点 的坐标为 。 （4）点P在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为 。 （5）抛物线 上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到 轴的距离为 。 （6）椭圆 内有一点 ，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为 。 12、焦点三角形题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）： 对于椭圆 ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为bc； 对于双曲线 。 （1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为 。 （2）设P是等轴双曲线 右支上一点，F1、F2是左右焦点，若 ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 。 （3）椭圆 的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是 。 （4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝ ，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且 是 与 等差中项，则 ＝ 。 （5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程。 13、了解其它结论： （1）双曲线 的渐近线方程为 ； （2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为 为参数， ≠0）； （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线 的焦点弦为AB， ，则① ；② ； （7）若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经 五、解答题专项训练 常用方法：直接法和定义法。 1、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为（4，0）,求线段PQ的中点的轨迹方程。 2、以抛物线 上的点M与定点 为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程。 3、在面积为1的 中， ， ，建立适当的坐标系，求出以 、 为焦点且过 点的椭圆方程。 4、已知动圆过定点 ，且与直线 相切, 求动圆的圆心轨迹 的方程。 5、已知：直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 6、设抛物线 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点，（1）求△APB的重心G的轨迹方程； 7、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。 8、已知平面内一动点 到点 的距离与点 到 轴的距离的差等于1， （1）求动点 的轨迹 的方程； 9、已知圆 方程为： ， （1）直线 过点 ，且与圆 交于 、 两点，若 ，求直线 的方程； 10、已知椭圆C： =1(a＞b＞0)的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为3.（1）求椭圆C的方程； 11、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线 的焦点 为其一个焦点，以双曲线 的焦点 为顶点。（1）求椭圆的标准方程； 12、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率为 .（1）求椭圆C 的标准方程； 13、已知椭圆的一个顶点为 ，焦点在 轴上．若右焦点到直线 的距离为3．求椭圆的标准方程； 14、已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 .（１）求椭圆 的方程； 15、已知椭圆 : 的一个焦点为 ,而且过点 .（Ⅰ）求椭圆 的方程； 16、已知椭圆 ： （ ）的离心率 ，且经过点 ． （1）求椭圆 的方程； 17、已知双曲线 与椭圆 有公共焦点 ，点 是它们的一个公共点.（1）求 的方程； 18、已知椭圆 ： 的离心率等于 ，抛物线 ： 的焦点在椭圆的顶点上。（1）求抛物线 的方程； 19、已知椭圆 ： ( )的离心率为 ，直线 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆 的方程； 附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 2012文20、解：（1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ， 点 代入椭圆 ，得 ，即 ， 所以 ，所以椭圆 的方程为 . （2）直线 的斜率显然存在，设直线 的方程为 ， ，消去 并整理得 ，因为直线 与椭圆 相切，所以 ，整理得 ① ，消去 并整理得 。 因为直线 与抛物线 相切，所以 ，整理得 ② 综合①、②，解得 或 。 所以直线 的方程为 或 。 2011文21、解：（1）如图1，符合 的点M可以在PO的左侧和右侧。 当M在PO左侧时，显然点M是PO垂直平分线与X轴的交点， 所以易得M的轨迹方程为：y=0(x<-1) ， 当M在PO右侧时， ，所以PM//x轴，设M(x,y),则P(-2，y)， 因为M在PO的垂直平分线上，所以 ，即： （x ， 综上所述：当点P在 上运动时，点M的轨迹E的方程为： y=0(x<-1) 和 （x 如图： （2）当H在方程y=0(x<-1)运动时，显然 当H在方程 （x 上运动时， ,由图知当P,H,T三点共线时， 取得最小值，显然此时 ， 当PT直线与x轴平行时，PT直线与曲线E的交点即为所求的H，设H(x,-1), 因为H在 上，得x= ,所以H( ,-1)， 综上所得：（ ）min=1-(-2)=3。H( ,-1)； (3)设直线l1:y+1=k(x-1),联立 得： 当k=0时，显然只有一个交点，不成立。 当k 时， 所以当k 时，直线l1与轨迹E至少有两个交点。 可见l1与y=0(x<-1) 不能有交点，当直线l1过点C时，k= 由图可知，当直线l1与轨迹E有且仅有两个交点时，k 2010文21、解：（1）∵ ，∴ ， 切线 的方程为 ， 令 得， ，即 。 （2）切线 的方程可写成： ， 原点 到 的距离为 ， 线段 的长度为 ， 故， ， 当且仅当 ，即 时取等号“=”， 此时 ，点 的坐标为 。 2009文19、解：（1）设椭圆G的方程为： （ ）半焦距为c， 则 , 解得 , ， 所求椭圆G的方程为： . （2）点 的坐标为 ， （3）若 ，由 可知点（6，0）在圆 外， 若 ，由 可知点（-6，0）在圆 外； 不论K为何值圆 都不能包围椭圆G.。 2008文20、解：（1）由 得 ， 当 时， ， 点的坐标为 ， ， ，过点 的切线方程为 ，即 ， 令 得 ， 点的坐标为 ； 由椭圆方程得 点的坐标为 ， ，即 ， 因此，所求的椭圆方程及抛物线方程分别为 和 ． （2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 ， 以 为直角的 只有一个， 同理以 为直角的 只有一个；若以 为直角，设 点的坐标为 ，则 坐标分别为 ，由 得 ， 关于 的一元二次方程有一解， 有二解，即以 为直角的 有二个； 因此抛物线上共存在4个点使 为直角三角形． 2007文19、解：(1)设圆的方程为 ………………………2分 依题意 , , …………5分 解得 ,故所求圆的方程为 ……………………7分 (注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!) (2)由椭圆的第一定义可得 ,故椭圆方程为 ,焦点 ……9分 设 ,依题意 , …………………11分 解得 或 (舍去) ……………………13分 存在 ……14分 附录：基础知识专项训练参考答案 1、圆锥曲线的定义： （1）双曲线的左支； （2）2； 2、圆锥曲线的标准方程： （1）ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B； （2） ； （3） ；提示：应用线性规划方法解。 （4）ABC≠0，且A，B异号； （5） ； （6） ； 3、圆锥曲线焦点位置的判断：（首先化成标准方程，然后再判断） ； 4、圆锥曲线的几何性质： （1）3或 ； （2） ； （3） 或 ； （4）4或 ；提示：应用离心率的第二道公式。 （5） ； （6） ； 5、直线与圆锥曲线的位置关系： （1）(- ,-1)；（2）[1，5）∪（5，+∞）；（3）3； （4）2； （5） ； （6）3；（7）相离； （8）1； （9）等于；（10） ；（11）① ；② 。 6、弦长公式： （1）8 ； （2）3 ； （3）C 7、圆锥曲线的中点弦问： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 8、动点轨迹方程： ①直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ； 或 ； ②待定系数法： ； ③定义法：(1) ； （2） ；(3)双曲线的一支； ④代入转移法： ； ⑤参数法：（1） ； （2） ； （3） ； 9、与向量相关的题：（1）C （2）解： ，∴ ，化简得 ， 故，点P的轨迹是以( ,0)为焦点以 为准线的抛物线。 （3）① 证明：设 ，由 得 ，又 ， ，即A,B,C三点共线。 ② 解：由（1）知直线AB过定点C，又由 及 ＝ （ ）知OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。 10、圆锥曲线中线段的最值： 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则 ，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2， ）（2）（ ）。 （3）解：① 4- ， 设另一焦点为 ，则 (-1,0)连A ,P ， ， 当P是 A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4- 。 ② 3 ，作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e= ， ∴ ，∴ 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为 11、焦半径题（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示P到与F所对应的准线的距离。 （1） ； （2）7 ； （3） ； （4） ； （5）2 ； （6） ； 12、焦点三角形题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）： （1）6 ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 。 附录：解答题专项训练参考答案 1、解：设线段PQ的中点坐标为M（x，y），由Q（4，0）,得点P（2x-4，2y）， 代入圆的方程x2+y2=4, 得（2x-4）2+（2y）2=4， 整理可得 所求轨迹为（x-2）2+y2=1. 2、解：设点 ，则 ，∴ ． 代入 得： ． 此即为点P的轨迹方程． 3、解：以 的中点为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，设 ． 则 ∴ 即 ∴ 得 ∴所求椭圆方程为 . 4、解：设 为动圆圆心， ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 由题意知： ， 即动点 到定点 与定直线 的距离相等， 由抛物线的定义知，点 的轨迹为抛物线，其中 为焦点， 为准线， ∴ 动点 的轨迹方程为 . 5、解：设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（ ），B/（ ）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k= ,p= .所以直线L的方程为：y= x,抛物线C的方程为y2= x. 6、解：（1）设切点A、B坐标分别为 ， ∴切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以△APB的重心G的坐标为 ， 所以 ，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： 7、分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的 ）。 7、解：如图， ，∴ , ∴ （*） ∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 轨迹方程为 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出 ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！ 8. 解：（1）设动点 的坐标为 ，由题意为 化简得 当 所以,动点P的轨迹C的方程为 9. 解：（1）①当直线 垂直于 轴时，则此时直线方程为 ， 与圆的两个交点坐标为 和 ，其距离为 满足题意 …1分 ②若直线 不垂直于 轴，设其方程为 ，即 设圆心到此直线的距离为 ，则 ，得 ∴ ， ， 故所求直线方程为 综上所述，所求直线为 或 10. 解：（1）设椭圆的半焦距为 ，依题意 ， 所求椭圆方程为 11．解：（1）抛物线 的焦点 为 ，双曲线 的焦点 为 ∴可设椭圆的标准方程为 ，由已知有 ，且 ， ∴ ，∴椭圆的标准方程为 。 12.解：（1）设椭圆C的方程为 （ ＞ ＞ ）， 抛物线方程化为 ，其焦点为 ， 则椭圆C的一个顶点为 ，即 由 ，∴ ， 所以椭圆C的标准方程为 13．解：（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点 由题设 ，解得 ， 故,所求椭圆的方程为 14．解：（1）因为 满足 ， , ，解得 ， 则椭圆方程为 . 15．解：（Ⅰ）解法一:由题意得 , ,解得 , 所以椭圆 的方程为 . 解法二:椭圆的两个交点分别为 , 由椭圆的定义可得 ,所以 , , 所以椭圆 的方程为 . 16．解：（1）依题意， ， 从而 点 在椭圆上，所以 ， 解得 ， 椭圆 的方程为 . 17．解：（1）点 是双曲线 上的点， . ∴双曲线 ，从而 ，∴ ，且 ① 又点 在椭圆上，则 ② 由①②得 ， 所以,椭圆的方程为 . 18．解：（1）已知椭圆的长半轴为2，半焦距为 ，由离心率等于 ， 椭圆的上顶点 ， 抛物线的焦点为 ， 抛物线的方程为 19．解：（1）∵ ，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ . ∵直线 与圆 相切，∴ ， ，∴ . ∴椭圆 的方程是 .