低密度泡沫材料力学模型

第 27 卷 第 5 期 力 学 与 实 践 2005 年 1O月 低密度开孔泡沫材料力学模型的理论研究进展 卢子兴z)石上路 qE京航空航天大学固体力学研究所，北京 100083) 卢子兴， 1960年生． 1982年毕业于北京大学力学系，在华北电力大学机械系任教 6 年后考入北京大学力学系攻读硕士学位和博士学位． 1995年获固体力学专业理学博士 学位 1997年博士后出站后留北京航空航天大学固体力学研究所工作 现为固体力学 学科责任教授，博士生导师，担任固体力学研究所所长，兼任中国复合材料学会副秘书 长、常务理事和中国航空学会复合材料专业委员会委员，还兼任 复合材料学报》常务 副主编和 固体力学学报》编委等职． 1999年曾在丹麦奥尔堡大学从事微孔泡沫塑料 方面的合作研究一年．20世纪90年代初开始在国内对泡沫塑料及其增强材料的宏、细 观力学行为进行了较为系统的实验和理论研无 先后主持 10多项国家自然科学基金、 国防基金和航空基金等基础研究项目，还承担了多项航空、航天横向课题，已在国内外 重要学术会议和刊物上发学术论文90余篇．目前，主要从事轻质泡沫材料冲击失效与能量吸收和复合材 料力学方面的研究工作． 摘要 开孔泡沫材料主要用于隔音、减振和填充方面，对其力学行为进行理论描述，探讨力学性能与密 度及复杂微结构的关系具有十分重要的学术价值和意义．为了促进国内泡沫材料力学的发展和交流，文中 对低密度开孔泡沫材料力学模型的研究历史进行了简要回顾，重点介绍了能较好地反映开孔泡沫材料真实胞 体结构特点的十四面体胞体模型和随机胞体模型，并报道了近年来基于十四面体胞体模型和随机胞体模型研究 低密度开孔泡沫材料力学行为的一些理论工作、同时，也对国内的一些相关研究情况进行了简要评述，指出了 该领域今后的一些研究方向． 关键词 开孔泡沫材料，力学性能，力学模型 泡沫材料的力学研究起源于 20世纪50年代末， 20世纪 80年代后该领域的研究得到了迅猛发展．特 别是近年来随着各种新型泡沫材料的出现 (例如，纤 维或微珠填充泡沫塑料，微孔泡沫塑料，金属泡沫、 陶瓷泡沫和碳泡沫等)，这方面的研究越来越得到人 们的关注 【1J．众所周知，真实的泡沫材料一般具有较 大范围内分布的胞体尺寸及形状不一的胞体结构．按 照泡沫材料胞体单元的几何结构，材料可分为开孔的 和闭孔的．开孔泡沫材料不同于闭孔泡沫材料，材料 中的气相是连通的，对低密度材料来说其胞体一般具 有多面体形态，且在材料集中处形成了连通的空间支 柱网络结构．由于低密度泡沫材料 (相对密度一般为 0．02—0．1)具有较高的比模量和比强度，在低应力下 可产生较大的变形，所以受压时具有优良的缓冲、吸 能特性，广泛应用于超轻夹层材料、隔热功能材料、振 动控制或能量吸收等方面．为了使泡沫材料的性能得 到最佳的利用，研究其力学性能与密度及复杂微结构 的关系是至关重要的．虽然卢子兴等人 【2．3 J已在国 内对泡沫材料的力学模型进行过一些研究和介绍， 但对于近年来国内的相关工作和基于十四面体胞体 和随机胞体模型的力学研究却没有报道．因此，本文 拟对已有开孔泡沫材料力学模型的研究情况进行简 要回顾，重点对最新的开孔泡沫材料力学模型的研 究结果进行报道，希望能对国内从事泡沫材料研究 的工作人员有所裨益． 1 开孔泡沫材料力学模型研究的简要回顾 早期的理论工作主要利用细长梁或杆的理论， 本文于 2004—09—14收到第 l稿， 2005—03—18收到修改稿． 1)NSAF联合基金(10276004)，国防重点实验室基金 (51460020103hk01)和北京市教育委员会共建项目建设计划资助 (XK100060522) 2)E—mail：luz _Lng@263．aet 维普资讯 http://www.cqvip.com 14 力 学 与 实 践 2005年 第 27 卷 分析表征了低密度泡沫材料的简单胞体特性，阐明 了泡沫材料变形的主要机制以及这些机制对材料整 体力学性能的影响．正如文献中所述， Gent和 Thomas[4{5](1959和 1963年)最早提出用弹性支柱 网络模型和立方体结构模型来描述开孔泡沫材料的 力学行为，给出了弹性模量的预测结果，并模拟了 泡沫材料的压缩应力 一应变关系．在低密度条件 下，可见泡沫材料的弹性模量与相对密度成正比． 在 Gent和 Thomas弹性支柱网络模型基础上， Lederman[0](1971年)进一步考虑了泡沫材料额外的 胞体结构参数和胞体结构的取向对拉伸弹性模量的 影响，导出了包括大应变效应的开孔泡沫材料的应 力 一应变关系模型．此外， Ko[ J(1965年)基于球 体六方密排和面心立方密排的结果，提出了两种十 二面体结构模型，在力学分析中第 1次引入了弯曲 和剪切的变形机制，得到了泡沫材料不同的弹性模 量预测公式．此外，他还认为实际的泡沫材料结构 可以看作是上述两种胞体结构组合而成的，依据线 性叠加原理给出了与实际相符合的弹性模量预测结 果．但是，两种胞体结构的实际比例很难确定，故 Ko的模型当时没有受到人们的重视．然而， Ko的 模型中第 1次引入了非轴向的变形机制确是非常有 价值的，对后人的工作产生了重要影响．为了改进前 人简单模型的预测结果，Chan和 Nakamura L8_(1969 年)用五边十二面体模拟低密度泡沫材料的力学行 为，确定了泡沫材料模量和屈服应力对结构参数的 依赖关系．后来， Menges和 Knipschild[0 J(1975年) 又基于五边十二面体模型，得到了预测硬质聚氨酯 泡沫塑料拉伸、压缩、剪切强度和弹性模量等力学 性能参数的经验公式．五边十二面体模型虽然与真 实泡沫的微结构比较接近，但它们却无法填满整个 空间，因而，该模型只能作为一种近似模型使用． 由于早期的泡沫结构模型主要体现了泡沫支柱的轴 力变形机制，给出的分析结果一般远高于泡沫材料 模量的实验值，且五边十二面体模型的分析结果相 对比较复杂，难于在工程上直接使用，所以 Gibson 和 Ashby[ ](1982年)通过立方体交错模型引入弯曲 变形的机制，并利用量纲分析的研究了三维泡 沫材料的力学性能与胞体几何结构、胞体壁性能之 间的关系．他们依据试验结果得到了开孔泡沫材料 力学性能 (模量和强度)的简单预测公式，例如，杨 氏模量 E 与相对密度 R=p ／p(其中 R∈(0，1]， P 为泡沫密度， P为基体密度)间的简单关系为： E ／E=(p ／p) =R ，其中 E为基体的杨氏模量． Gibson和 Ashby的模型虽然简单实用，但该模型与 泡沫材料的真实结构相差甚远，并且在力学分析方 面不够严格．为此，Christensen[u](1986年)根据随 机指向纤维的三维复合材料模型的处理方法，将基 体相性质取为零，而纤维相代表泡沫的支柱网络，由 此给出了泡沫材料的模量预测公式．其中开孔泡沫 材料的杨氏模量的预测公式与 Gent和 Thomas模型 的结果一致，对此 Christensen给出的评价是：对支 柱型泡沫材料来说，由轴力效应导出的模量代表了 泡沫材料的最佳力学行为，而弯曲效应导出的结果 对应较差的力学行为，多数实验与 Gibson和 Ashby 的结果一致是由微尺度上的非均匀性造成的．实际 上，Christensen的观点有失偏颇，其模型与 Gent和 Thomas的模型本质上是一致的 (没有考虑刚性球的 存在)．在此之后，Warren和 Kraynik[ J(1988年)根 据四面体支柱结构模型研究了三维开孔泡沫材料的 弹性性能．在所有支柱等长度等截面的假设下，他 们得到的泡沫材料杨氏模量与相对密度之间的关系 为： E ／E=CR ，其中参数 c对应于不同的支柱 截面形状，其取值不同，即圆截面为 O．91，三角形截 面为 1．1，Plateau截面为 1．53．而 Plateau截面形状 如图 1中所示，实际上它代表最接近真实开孔泡沫 支柱截面的形状．上述结果表明，支柱弯曲是具有四 面体微结构泡沫材料的主要变形机制，这与 Gibson 和 Ashby给出的结论是一致的．同时，他们对具有 立方体微结构的泡沫材料的分析表明，支柱伸长是 主要的变形机制，与 Gent和 Thomas模型的结果相 一 致． Warren和 Kraynik[13 J的模型强调了泡沫材 料弹性性质中微结构的基本作用，为研究开孔泡沫 材料的非线性力学行为提供了理论框架．基于这一 分析，他们由应变能函数的方法导出了三维各向同 性开孔泡沫材料的非线性本构关系． 图 1 Plateau截面示意图 总之，2O世纪 9O年代之前的工作主要围绕着泡 沫材料的两种不同变形机制，提出了各种不同的结 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 5期 卢子兴等 ：低密度开孔泡沫材料力学模型的理论研究进展 15 构模型和力学模型．一些模型比较简单，便于分析和 工程应用，因而备受人们关注 (如 Gent和 Thomas 模型和 Gibson和 Ashby模型)；另一些模型结构复 杂，可以较为真实地模拟泡沫材料的实际结构，但分 析工作较为困难，结果也很复杂，所以较少使用，但 这些工作在学术上是有价值的．作者认为，不管是 以支柱的轴力变形为主，还是以支柱的弯曲变形为 主的开孔泡沫模型均有一定的局限性，也有各自的 适用性．因为以支柱的轴力变形为主的开孔泡沫模 型一般能够与一些软质泡沫塑料 (如橡胶泡沫)的实 验数据相符合，所以这种模型一直也受到人们的重 视．例如，Beverte-14J(1997年)仍采用只包含轴力变 形效应的弹性支柱网络模型研究单一指向泡沫塑料 的弹性常数的计算问题，给出了数学模型，但该模型 十分复杂．卢子兴和张慧等 [15,16]也利用上述模型导 出了包含应变率效应的拉伸本构关系，还讨论了开 孔泡沫塑料的应力松弛问题．但是，基于弯曲变形机 制的开孔泡沫材料模型可以同大多数泡沫塑料的实 验数据相符合，尤其是可以很好地描述硬质泡沫塑 料、金属泡沫材料和陶瓷泡沫材料等的实验数据， 因而受到多数学者和工程界的关注，目前在国内外 的航空、航天及汽车等工程领域的轻质吸能结构和 防护结构的设计中均得到了广泛的应用．值得一提 的是，国内学者刘培生等 -17J基于三维网状高孔率金 属材料的结构特点，提出用八面体几何结构模型来 描述开孔泡沫材料的力学行为，得到了十分有价值 的半经验强度预测公式，即 =K(1一p) O"0，其中 。为基体材料的强度，P为孔隙度， 和m为实 验确定的常数．并且，他们指出， 取决于材料种 类和制备工艺条件，当泡沫体为各向异性时，其值还 与拉伸方向有关；而 m是对应基体材料的塑脆性和 泡沫体内部结点牢固度的指标，取值介于 1—1．5之 间：当对应基体材料的塑性较低时，m偏向 1．5；当 对应基体材料为高塑性或泡沫体内部结点为优先断 裂位置时， m 偏向 1；当对应基体材料为塑性适中 的一般金属或合金时，可近似取 m =1．25．显然， 刘培生等基于八面体几何结构模型给出的开孔泡沫 材料的强度预测公式在基体材料为脆性时与 Gibson 和 Ashby模型的结果是一致的，但基体材料为塑性 时预测结果高于 Gibson和 Ashby模型的结果，反映 了轴力变形机制的影响． 需要指出， Gibson和 Ashby的立方体交错模 型非常简单，并且经过修正后可以用于较高密度泡 沫塑料力学性能的预测；但从学术的角度来看，这 些简单的几何模型并不能准确地描述真实泡沫的结 构形式和力学行为，因此有必要对能真实模拟开孔 泡沫材料结构的力学模型进行研究．最近， Zhu等 -18J(1997年)利用更为复杂的十四面体结构模型分析 了开孔泡沫材料的弹性性能．十四面体模型如图2所 示，它含有 8个正六边形和 6个正四边形面，由 36 根等长度支柱构成，可以基本满足文献 [1】中的胞体 特性条件，并能完全填充整个三维空间． 图 2 开孔泡沫十四面体模型 众所周知，在真实开孔泡沫材料中，胞体的产生 是随机性的．因为胞体的大小存在一定范围内的分 布，支柱的形状也不相同，所以通过对泡沫胞体生 成的随机性进行模拟，对开孔泡沫材料力学性能进 行研究有着十分重要的意义． Voronoi模型 -19J是 近年来发展十分迅速的一种随机模型，可以简单描 述为：球形气泡位于每一个种子点以相同的速度生 长，当两个气泡相遇，在相遇点生长将停止，而在 其它地方将继续生长，直到最后所有的生长都停止 时，所得到的空间分布就是 Voronoi分布，如图 3 所示． Van der Burg等 (1997年)，Roberts和 Garboczi[ J(2002年)都对具有 Voronoi分布的开孔 图 3开孔泡沫 Voronoi随机模型 [19J 维普资讯 http://www.cqvip.com 16 力 学 与 实 践 2005 年 第 27卷 泡沫材料进行了弹性性能的分析．其中 Roberts和 Garboczi还对节点连接模型和基于 Gaussian随机场 的泡沫随机模型进行了研究．下面重点介绍开孔泡 沫材料新的力学模型及其相关的研究进展． 2开孔泡沫材料新的力学模型及其研究进展 2．1 基于十四面体模型的研究 Zhu等 [18]利用十四面体结构的对称性和单轴加 载的条件，通过结构变形满足对称性的假设，将十 四面体模型的36根支柱简化为只需对其中两根支柱 的变形进行分析的情况．他们利用最小势能原理， 得到了泡沫材料的杨氏模量 E 和剪切模量 G 表达 式如下 一 6v／2EI — L (1+12I／AL。) 3v／2AEI(5EI+GJ) u 一瓦 面 币 面 其中 ，A， ， 分别是支柱的长度、截面积、惯性矩 和极惯性矩，E，G为基体的杨氏模量和剪切模量． 对于不同的支柱截面形状，其力学性能存在较大的 差异，杨氏模量在截面为 Plateau截面时比圆形截面 大 38％左右． Warren和 Kraynik[。。](1997年)利用四面体支柱 模型的分析方法研究了开孔泡沫十四面体模型的体 积模量 和剪切模量 G 同微观结构参数之间的关 系，得到的结果是 = — 1 — ， G 124v／2~Ad (2) 4、／2CfM +3 ) 其中c，．A4和 分别是支柱的长度、轴向弹性柔度 和弯曲柔度，在低密度情况下体积模量 、剪切模 量 G 和杨氏模量 E 可表示为 ： ER ． G ： ．1 - 6 x v／2 AER2． E ： BER2 (3) 其中A，B为与截面形状有关的参数，如表 1所示． 可见，采用 Plateau截面所得泡沫材料的杨氏模量比 圆形截面大 65％．此外，还可以看到，材料的体积模 量不受截面形状的影响，且只取决于支柱的轴向弹 性柔度．当泡沫材料的胞体承受均匀的变形时，支 表 1 不同截面形状对应的参数 A，B 柱可以发生弯曲、拉伸、扭转，且扭转在剪切载荷下 是一种非常重要的变形机制．但是，在 Zhu等 _l8_的 研究中，通过对变形对称性的假设，并没有考虑支 柱中点的扭矩和弯矩． Li等 _23_(2003年)放松了十四面体模型对称性 的假设，但没有对垂直于单轴载荷方向的正方形平 面的变形予以限制．因而在考虑拉伸、弯曲和扭转变 形时，十四面体模型由于胞体几何结构的对称性， 可以只考虑 1／4个胞体的变形，且进一步简化只需 要计算 3个内力与胞体几何结构及载荷的关系．同 时，假设节点处的转角为 0，利用卡氏第二定理和 平衡关系，可以得到模型的内力分布，从而得到泡 沫材料杨氏模量 E 的表达式如下 E =AER。／{0．078 72+[1．171 875+ 1．218 750k z(1+ )】AR) (4) 其中A和k 为横截面形状参数， A值与表 1中的 A值一致，对圆截面 kl=1．1，对正方形、正三角形 和 Plateau截面 kl=1．2． Zhu等 _24_(1997年)在分析十四面体模型弹性 性能的基础上，对高压缩应变情况下的开孔泡沫材 料进行了分析．利用 Timoshenko梁的大变形理论， 将应力、应变表示成关于梁端部旋转角度的椭圆函 数，从而得到了全程的应力 ．应变曲线．该应力 一应 变曲线具有一定的平台趋势，且在高应变时应力．应 变曲线的斜率随着应变的增加略有增加．当 -÷0， 且假设截面为三角形时，得到开孔泡沫的杨氏模量 为 E =0．7242R ，这与线性分析时的结果 E = 0．725 8R 基本上是一致的．而 Laroussi等 【25_(2002 年)对开孔泡沫十四面体模型的非线性响应进行了 数值上的研究．所用的有限元方法基于非凸均匀化 及其失稳理论．单元体由于结构的几何对称性而简 化为 12根支柱连接的结构，这种结构相互叠加可得 到多胞十四面体模型．基于最小单胞结构的分析， 给出的结果与 Zhu等 【24_的结论一致，同时，结果 也非线性的影响与胞体的大小无关．由较少单 胞结构组成的胞体模型其失效形式表现为局部失效 模态，而由较多单胞结构组成的长细状胞体模型表 现出全局的失稳模态．他们的非线性分析得到了以 前模型中所没有的高应变下的应力 ．应变平台区． 此外， Shulmeister等 _26_(1998年)利用有限元方法 对低密度开孔弹性泡沫的随机模型进行了大变形研 究．在小应变下，模型的刚度为某一常值，变形的主 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 5期 卢子兴等 ：低密度开孔泡沫材料力学模型的理论研究进展 17 要机制为弯曲．随着应变的增加，支柱变形中的轴向 变形作用逐渐增加，因而刚度也随之线性地增加． 达到一定应变后，模型的刚度又趋于另一个常值．这 是由于此时大多数的支柱已经沿宏观加载方向重新 取向，且在这些支柱中只存在轴向的变形．并且，泡 沫的随机模型在拉伸大应变时的极限刚度要低于规 则模型的刚度． 最近，国内谢兰生等 -27J用理想排列的十四面体 结构模型研究了开孔泡沫铝弹性性能的各向异性问 题，理论分析的结果表明，弹性常数随加载偏转角 而变化，在与对称轴成 45。方向加载时，杨氏模量 最小，而泊松比最大，并且实验结果验证了杨氏模 量随偏转角的变化规律． 2．2 基于随机模型的研究 Van der Burg等 -2oJ最先建立了以规则胞体结 构为基础的 Voronoi随机模型．种子点在体心立方 体或面心立方体排布的基础上，给定在随机方向上 一 定范围内分布的随机位移 Axi∈[一5 ，5 ]，从 而可得到开孔泡沫随机模型的种子点分布．而设置 不同尺度的5 将得到不同随机度的种子点分布． 对于初始种子点的面心立方体分布，当 ax设定为 43％胞体尺寸时，种子点的新位置将存在重合的可 能性．而当种子点的随机位移达到一定程度，如随机 位移 ax限制在 75％胞体尺寸范围内，得到的种 子点分布可以认为是完全随机的． Van der Burg等 计算了相对密度 R∈[0．0167，0．0542]的开孔泡沫材 料的杨氏模量，在较低相对密度时其结果与 Warren 和 Kraynik，Gibson和 Ashby早期得到的结果较为 一 致，但随着相对密度的增加，随机模型的模量逐 渐低于上述理论模型的预测结果．并且，杨氏模量 随着随机度的增加而增加，当 5 达到 50％时，其 结果已趋近于完全随机模型的情况． Roberts和 Garboczi[ J针对 4种各向同性开孔 泡沫的随机模型，对比分析了各随机模型的杨氏模 量和泊松比与相对密度及其微观结构的关系．这 4 种随机模型分别是 Voronoi模型、高协调数的节点 连接模型、低协调数的节点连接模型和基于 Gaus． sian随机场的模型．在低密度时他们将杨氏模量表 示为 E。(R”的形式，即E=CR ，其中C，n取决 于随机模型的生成方式．对应 4种不同模型的 C，n 值如表 2所示． 高协调数节点连接模型的结果与上面 Chris． tensen模型的结果较为一致．并且，可以发现这种 表 2 不同随机模型对应的 Cr，佗值 随机模型形式 c n Voronoi模型 高协调数节点连接模型 低协调数节点连接模型 Gaussian随机场模型 0．930 2．04 0．376 1．26 0．535 1．8l 4．20 3．15 模型的变形机制主要以轴力变形为主，所以其 n值 更接近 1．这是因为在一个节点上，有较多的支柱约 束，限制了节点的相对位移，所以减少了变形中弯曲 的作用．而低协调数节点连接模型的结果与 Gibson 和 Ashby模型的结果较为一致，其主要变形机制为 弯曲变形．而 Voronoi模型也与 Gibson和 Ashby模 型的预测一致，并且认为Voronoi模型并不比十四面 体模型更刚硬，这与 Van der Burg等 [2o]同样使用 Voronoi模型得到的结论不同．造成同一模型的结果 出现差异在于， Robertz和 Garboczi模型所使用的 最小相对密度高于 Van der Berg等的模型的相对密 度两个数量级．此外， Gaussian随机场模型预测的 结果低于其他任何一种模型，其原因在于 Gaussian 随机场模型的 “支柱”存在一定的曲率且截面形状不 一 ， 这些都削弱了模型的刚度． 袁应龙和卢子兴 [19．在国内也利用 Voronoi几何 模型模拟低密度开孔泡沫材料的弹性性质．计算结 果表明 E／E。：(p／p。) 。。 (5) 当泡沫材料的相对密度较低时，弹性模量预测与 Gibson和 Ashby模型一致，而相对密度较高时， 计算结果偏小，但与 Zhu等 [18]的预测结果比较一 致． 2．3 胞体局部特性对力学性能的影响 上述模型都着眼于泡沫材料的全局，即胞体构成 的几何形式对力学性能产生的影响，而没有考虑胞 体局部特性对力学性能的影响．对局部特性的进一 步分析，有利于更准确地了解泡沫材料的力学性能 与泡沫几何特征的关系． Joachim 和 Grenestedt[ 剐(1998年)考虑了胞 体支柱弯曲和截面沿支柱轴向变化对弹性性能的影 响．对等长度、等截面弯曲支柱，长度为 a，截面积 为 A，轴向为 时截面的惯性矩为 L， ，且支柱中 点挠度均为 wo，其弹性性能为 一 R G =R ( + )J 维普资讯 http://www.cqvip.com 18 力 学 与 实 践 2005年 第 27卷 其中 为支柱的体积．若截面为方截面，其中t为 正方形截面的边长，则有 一 R G =R {而 +3( J 当W0=0时，可得与Christensen模型预测相一致 的结果．也就是当 Wo=0，杨氏模量与相对密度成 线性关系，即拉伸成为支柱唯一的变形机制，但随 着 Wo的增加，杨氏模量越来越受到弯曲的影响．这 表明，Wo的存在降低了泡沫材料的刚度． 考虑截面沿支柱轴向的变化，支柱体积为Aoa， 若截面积 4沿截面变化如下 A：Ao l+h sin 2Ux．1，h∈[一1，1】， ∈[0，丌】(8) 其中 m，h为形状参数，根据支柱截面积的实际变化 而定．若取 m=1，则弹性性能为 — — K =R 、／／1一h2，G =R． 、／／1一h2 (9) 这表明，随着最大、最小截面比的增加，泡沫的刚度 也随之下降． 最近，Zhu等 [29J(2000年)也探讨了在Voronoi 几何模型中，随机度对弹性性能的影响．通过有限 元计算，发现随着种子点分布的随机度的增加，材 料的杨氏模量、剪切模量也增大，而体积模量则随 之减少，泊松比却与随机度无关．而在袁应龙和卢 子兴 [19J的论文中也有类似的计算结果，且发现支 柱截面的形状分别为圆形和正方形时，计算的杨氏 模量变化不大． 2．4 关于十四面体模型和随机模型的进一步讨论 针对目前应用较多的十四面体模型和随机模型 进行分析和讨论，对于进～步发展开孔泡沫材料的 模型和深入了解其性能具有重要的意义．应该说，在 十四面体模型中 Zhu等 l18J对模型进行了较多的假 设，例如将模型简化为在垂直于载荷方向的支柱构 成面上没有受到力或力矩的作用，且在整个模型中支 柱没有受到扭转的作用等．而 Warren和 Kraynik[。。J 的模型同样也没有考虑扭转的影响，只从四面体分析 的角度放宽了对十四面体模型在对称性上的假设． 相反， Li等 l23J在十四面体模型中引入了扭转的影 响，进行了更进一步的分析．图4比较了几种模型在 两种不同支柱截面情况下，其杨氏模量比 E ／E同 相对密度 R的关系．可见，几种模型在截面积相等且 均为圆截面时给出的杨氏模量均低于 Plateau截面 时的杨氏模量．由于截面积相同，可以认为，Plateau 截面对支柱的弯曲提供了更大的刚度．同时也可以 发现，在十四面体模型中支柱的弯曲在结构的变形 中是主要的变形机制．这一点可以从这些曲线都较 为靠近 Gibson和 Ashby模型，且在 E =ER”的 拟合中竹接近于 2来得到说明． Zhu等 L18J的预测 结果相对较低，这是由于其垂直于载荷方向上的支 柱在假设中并没有受到任何载荷的作用，因而对模 型的刚度没有贡献．而 Li等 l23J的模型引入了扭转 作用后得到了较高的模量，可见假设的扭转作用对 模型的刚度具有不小的贡献． 图 4 十四面体模型 的杨 氏模量预测 在随机模型中研究较多的是Voronoi模型，节点 连接模型和 Gaussian随机场模型很少在开孔泡沫的 研究中得到实际应用． Voronoi模型的优势在于它 较好地模拟了泡沫材料的发泡过程，在单个胞体尺 度上更接近于开孔泡沫材料的实际形态．几种随机 模型给出的杨氏模量比较如图 5所示．从图中可以 看到，采用 Voronoi模型对杨氏模量预测时 [19,21】， 图 5 随机模型的杨氏模量预测 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 5期 卢子兴等 ：低密度开孔泡沫材料力学模型的理论研究进展 即使对边界条件进行不同的处理所得到的预测结果 也是比较接近的．低协调数节点连接模型的预测值 也同样在这个范围内分布，其主要的变形机制为支 柱的弯曲变形．而高协调数节点连接模型对杨氏模 量的预测，表现出随相对密度几乎成线性的变化趋 势，预测值远高于其他模型的结果． Gaussian随机 场模型对杨氏模量的预测值则远低于其他模型的结 果，其支柱所具有的初始挠度和非等截面性显著地 降低了模型的刚度． 3 结束语 综上所述，近年来国内外在开孔泡沫材料力学模 型方面做了大量的理论分析和计算模拟工作，并且 这方面的研究伴随着新型泡沫材料的出现还在不断 地发展．目前，对开孔泡沫材料模型的研究还需要 在以下几方面开展进一步的工作： (1)对模型的局部形态进行更加详细的分析，如 考虑支柱截面的非均匀性、节点材料的堆积等，这些 都将促进模型在几何形式上的进一步完善． (2)由 于开孔泡沫材料的非线性研究的深入程度远不如对 其线弹性力学行为的认识，所以对泡沫模型的研究 在考虑几何非线性影响的同时，也需考虑到泡沫模 型的材料非线性问题 (包括塑性和黏弹性等)，从而 对泡沫材料在高应变区域出现的力学特性有更加精 确的描述和预测． (3)基于开孔泡沫材料新模型的 其他力学分析也需要进一步开展，以便满足材料应 用中的各种要求，如工程中关心的强度预测、破坏 准则、疲劳和蠕变问题等． (4)此外，国外近期的工 作重点越来越集中于用计算机技术对泡沫材料进行 复杂的几何建模，然后通过有限元分析得到泡沫材 料力学性能的预测．这样的方法使人们能更加直观 地分析泡沫在微观尺度下的变形机制和力学行为， 且在工程上也具有指导意义．因此，在国内应大力 开展泡沫材料的计算力学研究工作． 参 考 文 献 1 Gibson LJ．Ashby M F．Cellular Solids：Structures& Prop- erties．Oxford：Pergamon Press，1997 2卢子兴，王仁，黄筑平等．泡沫塑料力学性能研究综述．力学进 展， 1996，26(3)：306~323(Lu Zixing，Wang Ren，Huang Zhuping，et a1．A review of studies on the mechanical prop- erties offoam plastics．Advances in Mechanics，1996，26(3)： 306~323(in Chinese)) 3卢子兴，赵明洁．泡沫塑料力学性能研究进展．力学与实践， 1998，20(2)：1—9(Lu Zixing，Zhao 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Mechanics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100083，China) Abstract Open—cell foams are mainly used in the field of sound isolation and vibration absorption and as stuffing materials．Therefore，the theoretical study on their mechanical behavior，the relation between the mechanical properties and the density as well as the complicated microstructure is very important．In this paper，a brief review on mechanical models of open-cell foams is given． The emphasis is placed on the tetrakaidecahedron model and the random model which can reflect the characteristics of the actual cell structure．At the same time． the studies in this area in our country are specially covered and some future investigating trends are presented． Key words open—cell foam，mechanical properties，mechanical model (上接第96页) 惯 B／ 、． ＼ ＼ ＼ 、’ 。＼ o ＼ ＼ l k 磕 ／ 图 3 惯量 圆心，二分之一的 AB长度为半径，画出 “转动惯量圆”．将 A点绕 c点逆时针转动2 到A 点，A 的横坐标值就表示 了新坐标系中的转动惯量 z，纵坐标值表示了惯性极．但 是注意到理论力学中惯性极的定义式中有负号，而材料力学 中 为正号，因此 =--YA，(类似 B点绕 c点转到 B 点，注意到材料力学中 为负号，因此有 =YB，= )． 根据几何关系， 点坐标为 (2,0)，圆的半径为 1 0=60。，因此得到 Jo2 1．5 — — 0．866 0 注：如果直接用理论力学的方法计算，先求出角度 tan0= ， 0= 60。 然后求坐标转换矩阵 A COS0 一sin0 0 sin0 COS0 0 则转换公式为 0 0 3弛 一 jn A 1 一 0 2 2 孚 1 0 2 2 0 0 1 1．5 —0．866 0 — — 0．866 O 2 5 0 0 4 1●●● ●●●●，●●J O O 4 6 {8 吣 。 一 维普资讯 http://www.cqvip.com