2.7函数的连续性

null2.8函数的连续性2.8函数的连续性一、函数改变量 二、连续函数的概念 三、函数的间断点 四、连续函数的运算法则 五、在闭区间上连续函数的性质 六、利用函数连续性求函数极限null一、 函数改变量（函数增量）1. 改变量的定义：设变量t从它的初值t1改变到终值t2，终值与初值的差t2-t1,称为t的改变量，记作: △t=t2-t1 。注：改变量既可以为正也可以为负。null函数的增量:设函数y=f(x)的定义域为X,如图所示x=xx0,称为自变量在点x0的增量 y=f(x)f(x0)或y=f(x0+x)f(x0)称为函数的增量nullxxyyxyxyx0f (x0)ABx x0x x0从图上可看出, (x)在x0间断. 但f (x)在x0连续. (x)在x0的极限不存在, 而yyx0y = (x)y = f (x)3. 函数连续的定义讨论:nullnull函数连续的三要素null例证null例1证由定义知null3.单侧连续定理null例解右连续但不左连续 ,null例.问a为何值时, f (x)在x=0连续.解: f (0)=3= 3f (x)在 x = 0右连续.为使f (x)在x=0连续, 必须 f (0–0)=f (0)=f (0+0)即, a=3.故, a=3时, f (x)在x=0连续.= anull例 若 在 连续， 所以 求解由于处连续，在null而故由 得 解得（舍去），所以 ,null4.连续函数与连续区间在开区间（a,b）内每一点都连续的函数,叫做在该区间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,三、函数的间断点三、函数的间断点 定义2.15 如果函数 在点 处不满足连续条件，则称函数 在点 处不连续，或者称函数 在点 处间断。点 称为 的间断点。 显然，如果函数 在点 处有下列三种情形之一，则点 为 的间断点： （1）在点 处 没有定义； （2） 不存在； （3）虽然 有定义，且 存在，但是 null1.跳跃间断点例解null2.可去间断点例4null解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.null如例4中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点第一类间断点null3.第二类间断点无穷型振荡型第二类间断点null例5解null例6解注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.null例四、连续函数的运算法则定理1例如,因为四、连续函数的运算法则null利用前面定理可以： （1）多项式函数 在 内连续； （2）分式函数 除分母为0的点不连续外，在其它点处都是连续 null三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★初等函数的连续性null定理 基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续 )定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.null1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意　注意　2. 初等函数求极限的方法代入法.null例10例11解解null定理例如,连续函数的复合函数仍然是连续函数３.复合函数的连续性null定理意义1.极限符号可以与函数符号互换;null例8解例9解同理可得五、闭区间上连续函数的性质 下面介绍定义在闭区间上的连续函数的三个基本性质，由于证明要用到实数理论。我们只从几何直观上加以说明，将严格的证明略去。 五、闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定理1(最大值和最小值定理) 闭区间上 的连续函数一定存在最大值和最小值 至少存在一个 最高点(x1, f(x1))和 最低点(x2, f(x2)),使得x[a,b]有f(x1)≥f(x) f(x2)≤f(x)null1. 若区间不是闭区间,定理不一定 成立2. 若区间内有间断点,定理不一定 成立注意:例如,null又如null ,但它既存在最大值,也存 在最小值推论(有界性定理) 在闭区间上连续的 函数一定在该区间上有界例如,符号函数不是连续函数应注意条件与结论之间的逻辑关系null定理2.１６(介值定理) 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, Ｍ和ｍ分别为　　最大值和最小值，则对于介于ｍ与Ｍ之间的任意一个数ｃ,（即ｍ＜ｃ<Ｍ）, 至少存在一个内点(a,b),使得f()=ｃf(x)几何解释 　连续曲线弧y=f(x) 　与水平直线y=ｃ至 　少有一个交点在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值 之间的任何值。null定义:null几何解释:null例1证由零点定理,null例2 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)b,证明(a,b),使f()=[证]令F(x)=f(x)x则F(x)在[a,b]上连续而F(a)=f(a)a<0F(b)=f(b)b>0由根的存在定理,(a,b),使F()=f() =0即f()=null例3.证明：显然有：null