探究一道波罗的海数学奥林匹克竞赛试题_李宁

探究一道波罗的海数学奥林匹克竞赛试题 ●李 宁 ( 海南中学 海南海口 571158) 2011 年波罗的海数学奥林匹克竞赛中有如下一道不等式试题: 题目 设 a，b，c，d是满足 a + b + c + d = 4 的非负实数，证明不等式: a a3 + 8 + b b3 + 8 + c c3 + 8 + d d3 + 8 ≤ 49 ． 1 证法探究 这是一道常见类型的对称不等式题．由于已知条件是一次的，可以考虑“化曲为直”，用切线法证明． 证法 1 设 f(x)= x x3 + 8 (x≥0)，则 f '(x)= 2(4 － x 3) (x3 + 8)2 ，于是 f '(1)= 227，从而可求得 f(x)在 x = 1 处的 切线为 y = 2x + 127 ．而 x x3 + 8 ≤2x + 127 (x 3 + 8)(2x + 1)－ 27x≥0(2x2 + 5x + 8)(x － 1)2≥0， 最后一式显然成立，从而 x x3 + 8 ≤2x + 127 成立．于是 a a3 + 8 + b b3 + 8 + c c3 + 8 + d d3 + 8 ≤2a + 127 + 2b + 1 27 + 2c + 1 27 + 2d + 1 27 = 4 9 ． 注 这类问题还可以考虑利用琴生不等式解决． 不过此时 f ″(x)= 6x 2(x3 － 16) (x3 + 8)3 ，则 f(x)= x x3 + 8 在 ［0，4］上并不是上凸函数，因此不能直接应用琴生不等式．这时想到了先利用均值不等式将分母降次． 证法 2 当 x≥0 时，x3 + 8 =(x3 + 1 + 1)+ 6≥3 3 x槡 3 + 6 = 3x + 6，则 x x3 + 8 ≤ x3x + 6． 设 g(x)= x 3x + 6 (x≥0)，则 g″(x)= － 4 3(x + 2)3 ＜ 0，从而 g(x)是上凸函数．于是由琴生不等式，得 a 3a + 6 + b 3b + 6 + c 3c + 6 + d 3d + 6≤4· a + b + c + d 4 3(a + b + c + d) 4 + 6 = 49 ， 从而 a a3 + 8 + b b3 + 8 + c c3 + 8 + d d3 + 8 ≤ a3a + 6 + b 3b + 6 + c 3c + 6 + d 3d + 6≤ 4 9 ． 注 我们看到问题转化为证明 a 3a + 6 + b 3b + 6 + c 3c + 6 + d 3d + 6≤ 4 9 ，这也可由均值不等式获得． 证法 3 当 x≥0 时，x3 + 8 =(x3 + 1 + 1)+ 6≥3 3 x槡 3 + 6 = 3x + 6，则 x x3 + 8 ≤ x3x + 6，于是 a a3 + 8 + b b3 + 8 + c c3 + 8 + d d3 + 8 ≤ a3a + 6 + b 3b + 6 + c 3c + 6 + d 3d + 6． 下面只需证明 a 3a + 6 + b 3b + 6 + c 3c + 6 + d 3d + 6≤ 4 9 ， 即 1 a + 2 + 1 b + 2 + 1 c + 2 + 1 d + 2≥ 4 3 ． 而由均值不等式 1 a + 2 + a + 2 9 ≥2 1 a + 2· a + 2 槡 9 = 2 3 ， ·34·第 12 期 李 宁:探究一道波罗的海数学奥林匹克竞赛试题 得 1 a + 2≥ 4 － a 9 ， 同理可得 1 b + 2≥ 4 － b 9 ， 1 c + 2≥ 4 － c 9 ， 1 d + 2≥ 4 － d 9 ， 以上 4 个式子相加，得 1a + 2 + 1 b + 2 + 1 c + 2 + 1 d + 2≥ 4 3 ， 从而不等式得证． 注 对 1 a + 2 + a + 2 9 应用均值不等式时，在第 2 项的分母配一个 9，是为了让不等式的等号能够取到． 结合均值不等式和琴生不等式还有如下证法． 证法 4 当 x≥0 时，由九元均值不等式，得 x3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1≥9x 1 3， 即 x3 + 8≥9x 1 3，从而 x 1 3 x3 + 8 ≤ 19 ，故 x x3 + 8 ≤x 2 3 9 ． 设 h(x)= x 2 3(x≥0)，则 h″(x)= － 2 9x 4 3 ＜ 0，即 h(x)是上凸函数，从而由琴生不等式，得 a 2 3 + b 2 3 + c 2 3 + d 2 3≤4 a + b + c + d( )4 2 3 = 4， 于是 a a3 + 8 + b b3 + 8 + c c3 + 8 + d d3 + 8 ≤a 2 3 9 + b 2 3 9 + c 2 3 9 + d 2 3 9 ≤ 4 9 ． 注 在这里如果直接在分母中应用九元均值不等式，则 x x3 + 8 ≤ x 9x 1 3 ，而 x 可能为 0，于是我们设法去 证明 x x3 + 8 ≤x 2 3 9 ． 2 题目探究 上面探究了该试题的 4 种证明方法，同时对其题目本身也可作一番探究． 在证法 1 的切线法中，我们知道当 x≥0 时， x x3 + 8 ≤2x + 127 成立，因此不难将该试题推广到 n 个变元的 情形． 问题 1 设 3 ≤ n∈ N，ai ≥ 0(i = 1，2，…，n) ，Σ n i = 1 ai = n，则Σ n i = 1 ai a3i + 8 ≤ n9 ． 探究该试题的反向，得 问题 2 设 3 ≤ n∈ N，ai ≥ 0(i = 1，2，…，n) ，Σ n i = 1 ai = n，则Σ n i = 1 ai a3i + 8 ≥ n n3 + 8 ． 证明 由于 ai ∈［0，n］(i = 1，2，…，n)，从而 1 a3i + 8 ≥ 1 n3 + 8 ，则 ai a3i + 8 ≥ ai n3 + 8 ．于是 Σ n i = 1 ai a3i + 8 ≥ 1 n3 + 8Σ n i = 1 ai = n n3 + 8 ， 当 ai 中有一个为 n其余全为 0 时，等号成立． 注 这里的证明思路依然是“化曲为直”，找一条直线来估计单项的下界．猜想问题 2 中不等式取得 等号的条件是 ai 中有一个为 n其余全为 0．在 x x3 + 8 ≥ px + q中，令 x = 0，x = n时不等式取到等号，联立 2 个方程即求得 p，q，余下只需证明 x x3 + 8 ≥ px + q成立． 稍微改变该试题的条件，可得如下变式: ·44· 中学教研 ( 数学) 2013 年 问题 3 设 a，b，c，d是满足 a2 + b2 + c2 + d2 = 4 的非负实数，则 a a3 + 8 + b b3 + 8 + c c3 + 8 + d d3 + 8 ≤ 49 ． 证明 当 x≥ 0 时， x x3 + 8 ≤ x 2 + 2 27 (x 2 + 2)(x3 + 8)－ 27x≥ 0(x3 + 2x2 + 5x + 16)(x － 1)2 ≥ 0． 后一式显然成立，于是 x x3 + 8 ≤ x 2 + 2 27 成立，从而 a a3 + 8 + b b3 + 8 + c c3 + 8 + d d3 + 8 ≤ a 2 + 2 27 + b2 + 2 27 + c2 + 2 27 + d2 + 2 27 = 4 9 ． 注 这里依然用到了待定系数法．设 x x3 + 8 ≤ px2 + q，左、右 2 边是 2 个函数，令它们在 x = 1 处，函 数值相等且导数值也相等，联立 2 个方程即求得 p，q． 有兴趣的读者可以探究问题 3 的另证及推广 櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐 ． 2013 年 总 目 次 ● 特稿专递 二阶递推数列命题构造初探 曹鸿德，沈新权(1· 1 )…………………… 高中数学教材试验研究概述和分析 俞求是(3· 1 )……………………………… 数学教育的“中国道路”(节选) 张奠宙(5· 1 )……………………………… 功底 眼界 责任 兼容 ———读《数学教育的“中国道路”》有感 方均斌(5· 3 )……………………………… 一道不等式恒成立高考题的错解分析 罗增儒(9· 1 )……………………………… ● 名师论坛 中学数学教学教育价值的几点思考 邱林甫(4· 1 )……………………………… 自然数的等差分拆类型的探究 江一鸣(5· 7 )……………………………… 快乐教学 改善心育 领悟本质 ———从“教书匠”走向“名教师” 马茂年(7· 1 )……………………………… 高三数学教师必须具备的专业素养 邸士荣(10· 1 )…………………………… 玩好题:数学教师的幸福与追求 蔡小雄(12· 1 )…………………………… ● 研讨会专栏 讲清数学道理 揭示数学本质 ———提高高三数学复习效率的教学策略 李金兴(1· 5 )……………………………… 方程思想与判别式法 王剑明(3· 9 )…………… ● 教学研究 3 个二次 由“暗”转“明” 王苏文(1· 9 )…… 从不同视角探求一道课本习题中“视角”的 最值问题 韩庆文(1·11)…………………… 学生在逻辑推理中的思维误区及矫正对策 陶增元(3·12)……………………………… 将“生活”融入课堂 让教学轻负高效 ———提高初一数学教学实效的策略研究 胡伟斌(3·14)……………………………… 开放式数学教学“二度”体验与反思 俞 昕(4· 6 )……………………………… 巧用课堂中的典型错误提升课堂效率的若干策略 周立志(4· 9 )……………………………… 平面翻折寻常事 一问一变巧传情 ———一道立体几何翻折问题的教学案例 张美娟(7· 7 )……………………………… 如何培养学生的“感知论证”能力 ———由学生“想不到”引起的反思与实践 甘建飞(7·11)……………………………… 判别式为何失效了 ———关于圆与圆锥曲线相切的问题 朱 微(9· 8 )……………………………… 对一道课本例题的深入挖掘 严 飞(9·11)…… ·54·第 12 期 2013 年总目次