二维空间与三维空间转换参数确定新法

　　文章编号 : 049420911 (2009) 0520042204 中图分类号 : P226. 3　　　　　　文献标识码 : B 二维空间与三维空间转换参数确定新法 王广兴 ,何 　薇 (武汉大学 卫星导航定位研究中心 ,湖北 武汉 430079) A New M ethod for D eterm ina tion of Tra sforma tion Param eter between 2D Space and 3D Space WANG Guangxing, HE W ei 摘要 :提出一种基准转换参数求解的新方法———椭球重合法 (包括一般椭球重合法和附加固定参数的椭球重合法 ) ,讨论该方法 的基本原理。为了验证该方法的可行性和可靠性 ,用小范围内的真实数据和覆盖全国范围的仿真数据分别进行试验 ,并对试验结 果进行和比较 ,最后对方法的改进方向作了展望。 关键词 :二维空间 ;三维空间 ;基准转换 ;大地坐标微分 ;椭球重合法 ;固定参数 　　收稿日期 : 2009203213 作者简介 : 王广兴 (19872) ,男 ,河南林州人 ,硕士生 ,主要从事卫星导航定位理论与技术研究。 　　一、前 　言 空间大地测量技术的发展对大地基准的现代化 提出了新的要求 ,地心坐标系统及其框架正在逐渐取 代传统的非地心大地坐标系统及其框架 [ 1 ]。GPS卫 星观测数据成果采用的 W GS284坐标系是地心坐标 系 ,而我国普遍采用的 1954年北京坐标系和 1980年 西安坐标系是参心坐标系。由于后者的大地高通常 是未知或不能精确得到的 ,因此采用传统的七参数模 型或三参数模型 [ 2 ]难以实现两个基准间的精确转换。 当控制点在两个基准下分别已知三维空间坐 标 ( (B , L, H )或 ( X, Y, Z ) )和二维平面坐标 (B , L ) 时 ,如何求解两个基准间的转换参数成为一个不容 回避的课。针对这一问题 , 国内也有不少研 究 [ 326 ] ,但传统的解决办法一般是先将三维空间基 线分量投影到平面 ,然后利用最小二乘法求解两个 平面基准间的转换参数。这种方法原理简单 ,对处 理小范围的局域网是可行的 ,但随着控制网覆盖区 域的扩大 ,三维基线向二维平面投影过程中发生的 变形就不能忽略 ,特别是在建立全国范围的大地测 量框架时 ,其可行性更值得怀疑。 本文以 W GS284坐标系和 1954年北京 (以下简 记为 BJ54)坐标系为例 ,提出一种确定三维空间和 二维空间转换参数的新方法 ———椭球重合法 ,以避 开传统方法大地高不准确和投影变形等弱点。 　　二、方法原理 椭球重合法的基本思想是将基准转换和坐标系 转换融合到一个模型中 ,从而建立起不同基准下大地 坐标间更为直接的关系。与布尔沙模型不同的是 ,在 转换时除了要考虑类似于空间直角坐标系的平移、旋 转和缩放外 ,还必须顾及椭球参数的变化 ,只有这样 才能让定位、定向、形状和大小不完全相同的两个椭 球重合 ,椭球重合法也因此得名。椭球重合法的理论 基础是大地坐标微分 ,见式 (1) ,其推导过程可参 见文献 [ 7 ] ,限于篇幅 ,此处不作赘述。 B L H 54 = B L H 84 + dB dL dH = B L H 84 + - sin B cosL M + H - sin B sin L M + H cosB M + H N e2 sin 2B 2 (M + H) a M (2 - e2 sin2 B ) sin B cosB (M + H) (1 - a) - N + H - N e2 sin2 B M + H sin L N + H - N e 2 sin2 B M + H cosL 0 - N M + H e 2 sin B cosB - sin L (N +H) cosB cosB (N + H) cosB 0 0 0 N (1 - e2 ) + H N + H tan B cosL N (1 - e2 ) + H N + H tan B sin L - 1 0 cosB cosL cosB sin L sin B - N (1 - e 2 sin2 B ) a M (1 - e2 sin2 B ) sin2 B 1 - a - N e 2 sin B cosB sin L N e2 sin B cosL 0 N + H - N e2 sin2 B dX0 dY0 dZ0 da df α β γ dm (1) 24 测 　绘 　通 　报 　　　　 　　　　　　　　2009年 　第 5期 式 (1)与七参数模型公式相比 [ 2, 8 ] ,由原来的 7个参 数变为 9个参数 ,除了 3个平移参数、3个旋转参数 和 1个尺度参数外 ,多出两个椭球参数 da, df。 事实上 ,我们已经获得了一些椭球较为精密的 椭球参数 ,比如我国建立 1954年北京坐标系应用的 是克拉索夫斯基椭球参数 , GPS应用的则是 W GS284 椭球参数。从这种意义上讲 ,可以通过固定椭球参 数将式 (1)中的 da和 df两个参数看作已知 ,从而提 高参数解求的可靠性 ,这就是固定参数的椭球重合 法。固定参数的方法有只固定椭球参数 da, df,只 固定尺度参数 dm 和同时固定这 3个参数等三种。 　　三、数据实验 1. 真实数据实验 表 1中列出的是 6个同时已知 W GS284下空间 直角坐标和 BJ54下大地经纬度的点 ,为方便叙述 , 本文中称这样的点为同名点 ,用于求解不同坐标系 间的转换参数。 表 1　同名点在不同坐标系下的空间直角坐标和大地经纬度 点号 X84 /m Y84 /m Z84 /m B 54 / (°　′　″) L54 / (°　′　″) 1 ⋯ 17. 808 9 ⋯ 30. 984 5 ⋯ 55. 661 1 30　34　30. 497 42 114　01　42. 180 86 2 ⋯ 84. 535 9 ⋯ 94. 558 7 ⋯ 02. 755 2 30　29　30. 527 09 114　24　54. 062 47 3 ⋯ 64. 751 1 ⋯ 00. 366 1 ⋯ 51. 339 6 30　18　37. 570 13 114　04　09. 542 71 4 ⋯ 74. 310 5 ⋯ 68. 192 4 ⋯ 65. 915 7 30　53　01. 538 36 114　22　02. 948 58 5 ⋯ 15. 408 6 ⋯ 36. 946 8 ⋯ 31. 957 6 30　35　33. 566 81 114　15　37. 161 56 6 ⋯ 03. 933 1 ⋯ 13. 897 5 ⋯ 08. 653 7 30　50　09. 041 86 114　48　11. 399 28 　　在计算机中用 C语言编写程序实现以上算法 , 用表 1中数据求得 9个转换参数 ,如表 2。 表 2　用 6个同名点求得的 9个参数 Shifts/m Rotations/ (″) dm /m , da /m, df dX0 - 49. 818 3 α 　0. 886 9 dm - 11. 903 5 ×10 - 6 dY0 148. 368 7 β - 1. 461 1 da 186. 615 6 dZ0 91. 990 2 γ 　0. 662 8 df - 5. 38E207 σ0 1. 58E210 rad 利用所求参数将表 1中 W GS284坐标系下的空 间直角坐标转换到 BJ54坐标系下 ,得到同名点在 BJ54坐标系下经纬度的计算值。为了使比较结果 更为明了 ,分别将同名点在 BJ54坐标系下的经纬度 投影到 3°带高斯平面上。从表 3中可以看出 ,各点 在 x方向和 y方向上计算值和真实值的差异都在毫 米以下 ,这样椭球重合法在小范围内的内符合精度 得到了证明 ,具有可行性。 表 3　同名点高斯坐标计算值与真实值之差 m 点号 Δx Δy 1 3. 90E205 - 7. 56E204 2 7. 23E204 3. 75E204 3 - 5. 33E204 3. 19E204 4 2. 06E204 6. 19E204 5 - 2. 00E206 - 2. 52E204 6 - 5. 14E204 - 4. 04E204 　　2. 仿真数据实验 为了在全部国土范围内验证这一思想及其对 应算法的适用性和可靠性解决这一问题 ,本人按照 纬度和经度均匀覆盖的原则在国土范围内均匀地 抽样选取了一些样点作为仿真数据。 仿真数据的具体生成过程如下 : 在 20°N ～ 48°N , 80°E～130°E范围内 ,按照纬度每隔 4°,经度 每隔 5°抽取样点 ,形成一个 8 ×11的点阵 ,点号分 别记作 1, 2, 3, ⋯, 88。并以此时各点的经纬度作为 仿真数据点在 W GS284下的大地坐标值 ;仿真数据 点的大地高随机生成。将这 88个仿真数据点分为 两组 ,其中点号为奇数的 44个点为第一组 ,记作 SDP1,用作同名点计算 7个转换参数 ,并可以检验 内符合精度 ;点号为偶数的 44个点为第二组 ,记作 SDP2,仅用作检验外符合精度。 得到仿真数据点后 ,利用给定的 7个转换参数 (如表 4)求得各点在 BJ54坐标系下的经纬度。在 实验中 , SDP1, SDP2及其对应的 BJ54坐标系下的 经纬度都被近似认为是真实值或实测值 ,以作为将 来计算值的对照。 表 5是按照上述实验思路 ,用 SDP1的 44个点 作为同名点解求的 9个参数 ,与表 4 (给定参数 )对 照 ,除了尺度变化 dm 的计算值与给定值差异明显 外 ,其他 6个公共参数的都表现了很好的一致性 ,而 且尺度变化 dm 的差异也仅仅体现在相对值上 ,绝 对差异还是非常小的。两椭球扁率差 df与用 6个 342009年 　第 5期 　　　　　　　　　　　　测　绘 　通 　报 实测同名点所得结果很接近 ,而两椭球长半轴之差 与用 6个实测同名点所得结果相差较大 ,这一差异 也体现了用不同范围、不同数量同名点所得结果 不同。 表 4　给定的 7个转换参数 dX0 /m dY0 /m dZ0 /m dm /m α/ s β/ s γ/ s - 10. 701 0 167. 517 1 87. 157 5 - 9. 004 1 ×10 - 6 0. 456 6 - 0. 886 7 - 0. 559 6 表 5　用 44个同名点求得的 9个参数 Shifts/m Rotations/ (″) dm /m , da /m, df dX0 - 10. 705 0 α 0. 465 6 dm - 15. 797 6 ×10 - 6 dY0 167. 514 1 β - 0. 886 7 da 246. 422 1 dZ0 87. 152 3 γ - 0. 559 5 df - 5. 8E207 σ0 1. 48E211 rad 图 1是利用以上 9个参数进行基准转换和高斯 投影后所得高斯坐标在 x和 y方向残差分布图。从 图中可以看出 ,各点高斯坐标残差均在毫米或亚毫 米级别 ,且 y方向结果略差。尽管图上 x方向和 y 方向分别有 0. 4 mm和 0. 8 mm的系统偏差 ,但尚在 可容忍范围内 ,因此椭球重合法的优势依然明显。 图 1　高斯坐标在 x和 y方向残差分布图 在一般椭球重合法的基础上 ,笔者分别进行了 三种固定参数的椭球重合法实验。同样 ,用仿真数 据 SDP1中的 44个点作为同名点进行参数解算 ,其 结果如表 6。 从表 6中可以看出 ,三种参数固定算法所得 3 个平移参数互差不大 ,且与表 4中的给定值相差不 大 ,都在 0. 5 mm以内 , 3个旋转参数也吻合得相当 好。在此基础上 ,同样用求得的三组参数分别将 88 个仿真数据点在 W GS284坐标系下的大地坐标转换 为 BJ54坐标系下的经纬度 ,并投影到 3°带高斯平面 , 与用表 4中给定的 7个参数经转换、投影后得到的坐 标相比较 ,以检验各组参数的内外符合精度。 为了反映转换精度随经度和纬度的变化规律 , 将高斯坐标在各方向的残差以折线图的形式进行 展示 ,如图 2～图 4所示。由于横坐标显示的是 SDP1和 SDP2的点号 ,而根据仿真数据最初的生成 规律 ,点号按顺序增加可以从一定程度上反映经度 和纬度的递增。 　表 6　利用 SD P1所求得的转换参数 (分别或同时固定 da和 df, dm 的值 ) da, df Fixed dm Fixed da, df, dm Fixed dx /m - 10. 704 9 - 10. 705 0 - 10. 704 1 dy /m 167. 514 0 167. 514 1 167. 513 3 dz /m 87. 153 7 87. 152 3 87. 132 3 α/ s 0. 456 5 0. 456 5 0. 456 6 β/ s - 0. 886 7 - 0. 886 7 - 0. 886 7 γ/ s - 0. 559 5 - 0. 559 5 - 0. 559 5 dm ×10 - 6 /m - 8. 984 7 - 10. 591 6 - 10. 591 6 da /m 108. 000 0 279. 619 8 108. 000 0 df - 4. 81E207 - 5. 76E207 - 4. 81E207 σ0 / rad 1. 69E211 1. 44E211 5. 93E212 　图 2　固定椭球参数 da, df时高斯坐标在 x和 y 方向的残差 　图 3　固定尺度变化参数 dm 时高斯坐标在 x和 y 方向的残差 44 测 　绘 　通 　报 　　　　 　　　　　　　　2009年 　第 5期 　图 4　同时固定 3个参数时高斯坐标在 x和 y 方向的残差 从图 2中可以看出 ,当固定椭球参数差异 da和 df时 ,计算值和仿真值之差在毫米级别 ,均大于零 , 且 y方向参差比 x方向略大 ,其中 y方向的参差随 点号增加呈锯齿状 ,这反映了 y方向残差随着经度 的增加而增大。事实上 ,将图 3和图 4放大后也存 在这一规律。 从图 3和图 4中则可以发现 , x方向的残差远 大于 y方向的残差 ,且 x方向的残差随点号增加呈 阶梯状变化 ,这一阶梯状变化反映的是 x方向残差 的绝对值随纬度增加而增大的趋势。这 3幅图共同 的特点在于残差都没有呈现出十分理想的随机性 , 即没有在零附近波动 ,这意味着在试验过程中还包 含着某种系统性的误差在里面。 　　四、总结与展望 对于椭球重合法 ,其理论基础相对成熟 ,改进 的重点应放在求解过程中的稳定性上 ,努力消除法 方程病态对参数结果造成的负面影响 ,因为从以上 试验过程中发现 ,椭球参数 da在解算时有较大范围 的变化。 对于尺度变化参数的固定 , 应当寻求更为准确 的方法事先得到尺度变化参数 , 上述试验表明 , 依 靠高程迭代法的结果不够理想。改进时可以考虑 计算大地线长度比的方法 ,但这一方法无疑会增大 计算量 ,而且还可能涉及定权方面的问题。 总之 ,通过以上讨论 ,我们可以看到作为一种 求解二维空间和三维空间转换参数的新方法 ,椭球 重合法由于顾及了不同坐标系椭球参数的差异 ,具 有很高的转换精度。我们应当努力发挥其在工程 应用中的优势。 　　参考文献 : [ 1 ]　陈俊勇. 中国现代大地基准 ———中国大地坐标系统 2000 (CGCS 2000)及其框架 [ J ]. 测绘学报 , 2008, 37 (3) : 2692271. 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