1.5条件概率

null第 五节 条件概率第 五节 条件概率一、条件概率的定义及性质引例及概念 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记作P(B|A).null 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.解：事件A已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 引例null条件概率的定义: 设A，B是两事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.注1.条件概率P（•|A）满足概率定义的三条公理， 即 1）. 对于每一事件B，有P（B|A）≥0;2）. P（ |A）=1null3). 设B1，B2,…两两不相容，则有null概率的一切性质都适用于条件概率，例如：2．计算 一般有两种方法： (1)由条件概率定义：P(B|A)=P(AB)/P(A) （在原样本空间中求P(AB)、P(A)） (2)按古典概型公式： P(B|A)=NAB/NA （在缩小的样本空间中考虑） null例1 掷两颗均匀骰子,求在已知第一颗掷出6点条件下“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法(定义）1: 解法（缩小样本空间）2: 解: 设A={第一颗掷出6点} B={掷出点数之和不小于10} 应用定义在A发生后的 缩减样本空间 中计算null由条件概率的定义：即 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (1)而 P(AB)=P(BA)若已知P(A), P(B|A)时, 可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故 P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)若 P(B)>0,则P(BA)=P(B)P(A|B) 二、概率乘法公式 (1)和(2)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率null当P(A1A2…An-1)>0时，有 P (A1A2…An） =P(A1)P(A2|A1) P(A3| A1A2) …P(An| A1A2…An-1)推广到多个事件的乘法公式:null例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？null例3 乘法公式应用举例 一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 若在罐中连续取球四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率. （波里亚罐子模型） 解: 设Ai={第i次取出是白球}, 则null用乘法公式容易求出 当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.进一步，当 c=0 时，放回抽样；当 c=-1 时，不放回抽样。null例4： 一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.　　　5张同样的卡片，只有一张上写“入场券”，其余什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”后抽比先抽的确吃亏吗？ 　　解：用Ai示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5.null第1个人抽到入场券的概率是1/5.即因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入 场券，必须第1个人未抽到，由乘法公式 计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5null 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，三、全概率公式与贝叶斯公式 样本空间的划分三、全概率公式与贝叶斯公式null 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率.三、全概率公式与贝叶斯公式样本空间的划分：设 为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件，若 （1） BiBj=Φ,ij , i , j =1,2,…,n; （2） B1∪B2∪…∪Bn= ， 则称B1，B2，…,Bn为样本空间 的一个划分.null例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”.它的样本空间为 ={1，2，3，4，5，6}.E的一组事件A1={1,2,3},A2={4,5},A3={6}是 的一个划分，而事件组B1={1，2，3}，B2={3，4}，B3={5，6}不是 的划分. 设B1,B2,…,Bn是试验E的样本空间 的一个划分，且P(Bi)>0，i =1,2,…,n. A是任一事件, 则 全概率公式:null全概率公式的来由:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.它的实用意义在于: 某一事件A的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n),每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.可以形象地把 全概率公式看成为 “由原因推结果”.诸Bi是原因,A是结果null例5 设一仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、两箱依次为甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲厂、乙厂、丙厂生产的该种产品的次品率依次为1/10、1/15、1/20.从这十箱中任取一箱，再从取得的这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.（抽签问题） null 解 设A={取得的是正品}, B1={该件产品是甲厂生产的}, B2={该件产品是乙厂生产的}, B3={该件产品是丙厂生产的}. 显然，B1∪B2∪B3=S，且B1、B2、B3互斥 由已知得：P(B1)=5/10 P(B2)=3/10 P(B3)=2/10 P(A｜B1)=9/10，P(A｜B2)=14/15，P(A｜B3)=19/20由全概率公式得 P(A) = … = 0.92null 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：设B1,B2,…,Bn是试验E的样本空间 的一个划分，且P(Bi)>0，i =1,2,…,n, A是任一事件且P(A)>0, 则 贝叶斯公式可以形象地看成为“由结果推原因”.null例6: 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？ null 贝叶斯公式中P(Bi)和P(Bi |A)分别称为原因的先验概率和后验概率.P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对事件Bi发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计. 贝叶斯公式在实际中可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.null例7: 假定用甲胎蛋白法诊断肝癌，P(B|A)=0.99, P(B|A)=0.05，其中A表示“被检验者患有肝癌”, B 表示“被检验者试验反应为阳性”。据调查某地区居民的肝癌发病率P(A)=0.0004。现若由该地区某居民检验结果呈阳性，问他患肝癌的概率P(A|B)是多少?解：思考：1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？2. 检出阳性是否一定患有癌症? null如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(A1)=0.0004 患者阳性反应的概率是0.99，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(A1 ｜B)= 0.00786 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从0.0004增加到0.00786,将近增加约20倍.思考1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？null思考2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(A1｜B)= 0.00786 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有0.786% (平均来说，1000个人中大约只有8人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认. null思考3：条件概率P(A|B)与P(A)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同. 而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.null思考4：条件概率P(A|B)与P(A)数值关系 条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小. 那么,是否一定有: 在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？这个问题留待下一节讨论.null每100件产品为一批, 已知每批产品中次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件次品的概率为从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率例null解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,…,4A 为一批产品通过检验已知P( Bi )如表中所示，且null结果如下表所示1.0 0.9 0.809 0.727 0.6520.123 0.221 0.397 0.179 0.080null信号收发问题 信号收发问题 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其他一字母的概率都是(1－α)/2.今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的.）应用背景 信号输入信道后，有可能由于硬件原因，使得输出的信号与原始信号有差异.此时可以根据已知的条件，求得出现误差的概率. 相关知识点相关知识点1.条件概率 2.全概率公式 3.贝叶斯公式解题方法 首先分别求出输入的是AAAA，BBBB，CCCC的条件下，输出为ABCA的条件概率，再利用全概率公式求出输出为ABCA的概率，最后利用贝叶斯公式求得答案.解题过程解题过程 设D表示“输出信号为ABCA”，B1、B2、B3分别表示“输入信号为AAAA，BBBB,CCCC”，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=pi, i=1, 2, 3.再设A发、A收分别表示发出、接收字母A的事件，其余类推，依题意有第一步： P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=α， P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发) =P (C收| A发)= P (C收| B发)=解题过程解题过程第二步： 因信道传输每个字母的是相互独立的，故 P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发)同样可得 P (D | B 2) = P (D | B 3) = 第三步： 于是由全概率公式，得解题过程解题过程第四步： 由贝叶斯公式，得进一步的问题 已知输出为ABCA，问输入的是BBBB的概率是多少？