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第十讲 一元一次不等式(组)

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第十讲 一元一次不等式(组)2013年中考数学专题复习第十讲:一元一次不等式(组) 【基础知识回顾】 一、​ 不等式的基本概念: 1、不等式:用 连接起来的式子叫做不等式 2、不等式的解:使不等式成立的 值,叫做不等式的解 3、不等式的解集:一个含有未知数的不等的解的 叫做不等式的解集 【名师提醒:1、常用的不等号有 等 2、不等式的解与解集是不同的两个概念,不等式的解事单独的未知数的值,而解集是一个包围的未知数的值组成的机合,一般由无数个解组成 3、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来。注意“>”“0则a c b c(或 — ) 基本性质3、不等式两边...
第十讲  一元一次不等式(组)
2013年中考数学专复习第十讲:一元一次不等式(组) 【基础知识回顾】 一、​ 不等式的基本概念: 1、不等式:用 连接起来的式子叫做不等式 2、不等式的解:使不等式成立的 值,叫做不等式的解 3、不等式的解集:一个含有未知数的不等的解的 叫做不等式的解集 【名师提醒:1、常用的不等号有 等 2、不等式的解与解集是不同的两个概念,不等式的解事单独的未知数的值,而解集是一个包围的未知数的值组成的机合,一般由无数个解组成 3、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来。注意“>”“<”在数轴上表示为 ,而“≥”“≤”在数轴上表示为 】 二、不等式的基本性质: 基本性质1、不等式两边都加上(或减去)同一个 或同一个 不等号的方向 ,即:若a0则a c b c(或 — ) 基本性质3、不等式两边都乘以(或除以)同一个 不等号的方向 ,即:若a方案
型问题相联系如:最大利润,最优方案等】 【重点考点例析】 考点一:不等式的基本性质 例1 (2012•绵阳)已知a>b,c≠0,则下列关系一定成立的是(  )   A. ac>bc B. C. c﹣a>c﹣b D. c+a>c+b 考点: 不等式的性质。810360 分析: 根据不等式的基本性质进行判断即可. 解答: 解:A、当c<0时,不等式a>b的两边同时乘以负数c,则不 等号的方向发生改变,即ac<bc.故本选项错误; B、当c<0时,不等式a>b的两边同时除以负数c,则不等号的方向发生改变,即 .故本选项错误; C、在不等式a>b的两边同时乘以负数﹣1,则不等号的方向发生改变,即﹣a<﹣b;然后再在不等式的两边同时加上c,不等号的方向不变,即c﹣a<c﹣b.故本选项错误; D、在不等式a>b的两边同时加上c,不等式仍然成立,即a+c>b+c;故本选项正确; 故选D. 点评: 主要考查了不等式的基本性质.不等式的基本性质: (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变. (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 对应训练 1.(2012•怀化)已知a<b,下列式子不成立的是(  )   A. a+1<b+1 B. 3a<3b C.﹣ a>﹣ b D.如果c<0,那么 < 考点: 不等式的性质。810360 分析: 利用不等式的性质知:不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变,同乘以或除以一个负数不等号方向改变. 解答: 解:A、不等式两边同时加上1,不等号方向不变,故本选项正确,不符合题意; B、不等式两边同时乘以3,不等号方向不变,故本选项正确,不符合题意; C、不等式两边同时乘以﹣ ,不等号方向改变,故本选项正确,不符合题意; D、不等式两边同时乘以负数c,不等号方向改变,故本选项错误,符合题意. 故选D. 点评: 本题考查了不等式的性质,解题的关键是牢记不等式的性质,特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时,不等号方向改变. 考点二:不等式(组)的解法 例2 (2012•衢州)不等式2x﹣1> x的解是   . 考点: 解一元一次不等式。810360 专题: 计算题。 分析: 先去分母,再移项、合并同类项、化系数为1即可. 解答: 解:去分母得,4x﹣2>x, 移项得,4x﹣x>2, 合并同类项得,3x>2, 系数化为1得,x> . 故答案为:x> . 点评: 本题考查的是解一元一次不等式,熟知解一元一次不等式的步骤是解答此题的关键. 例3 (2012•长沙)一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示,则下列符合条件的不等式组为(  )   A. B. C. D. 考点: 不等式的解集。810360 专题: 计算题。 分析: 由图示可看出,从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆,表示x≥﹣1;从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆,表示x<2,所以这个不等式组的解集为﹣1≤x<2,从而得出正确选项. 解答: 解:由图示可看出,从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆,表示x≥﹣1; 从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆,表示x<2,所以这个不等式组的解集为﹣1≤x<2,即: . 故选:C. 点评: 考查了不等式的解集,不等式的解集在数轴上表示出来的方法:“>”空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线. 对应训练 2.(2012•白银)不等式2﹣2x<x﹣4的解集是 x>2 . 考点: 解一元一次不等式。810360 专题: 计算题。 分析: 将不等式的未知项移到不等式左边,常数项移动不等式右边,左右合并后,在不等式左右两边同时除以﹣3,不等号方向改变,即可求出原不等式的解集. 解答: 解:2﹣2x<x﹣4, 移项得:﹣2x﹣x<﹣4﹣2, 合并得:﹣3x<﹣6, 将x系数化为1得:x>2, 则原不等式的解集为x>2. 故答案为:x>2 点评: 此题考查了一元一次不等式的解法,解法步骤为:去分母,去括号,移项,合并同类项,将未知数系数化为1,求出解集. 3.(2012•咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(  )   A. B. C. D. 考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。810360 分析: 分别求出各不等式的解集,并求出其公共解集,在数轴上表示出来即可. 解答: 解: , 由①得,x>1; 由②得,x<2, 故此不等式组的解集为:1<x≤2. 在数轴上表示为: 故选C. 点评: 本题考查的是在数轴上表示不等式的解集及解一元一次不等式组,熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键. 考点三:不等式(组)的特殊解 例3 (2012•毕节地区)不等式组 的整数解是   . 考点: 一元一次不等式组的整数解。810360 分析: 首先解不等式组求得不等式的解集,然后确定解集中的整数解即可. 解答: 解: , 解①得:x≤1, 解②得:x>﹣ 则不等式组的解集是:﹣ <x≤1, 则整数解是:﹣1,0,1. 故答案是:﹣1,0,1. 点评: 本题考查了不等式组的整数解,正确解不等式组是解题的关键. 对应训练 4.(2012•大庆)不等式组 的整数解是   . 考点: 一元一次不等式组的整数解。810360 分析: 首先解不等式组求得不等式组的解集,然后确定解集中的整数即可. 解答: 解: , 解①得:x>2, 解②得:x≤3, 则不等式组的解集是:2<x≤3. 则不等式组的整数解是:3. 故答案是:3. 点评: 考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了. 考点四:确定不等式(组)中字母的取值范围   例5 (2012•黄石)若关于x的不等式组 有实数解,则a的取值范围是   . 考点: 解一元一次不等式组。810360 专题: 计算题。 分析: 分别求出各不等式的解集,再根据不等式组有实数解即可得到关于a的不等式,求出a的取值范围即可. 解答: 解: ,由①得,x<3,由②得,x> , ∵此不等式组有实数解, ∴ <3, 解得a<4. 故答案为:a<4. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,根据不等式组有实数解得出关于a的不等式是解答此题的关键. 对应训练 5.(2012•鄂州)若关于x的不等式 的解集为x<2,则a的取值范围是   . 考点: 解一元一次不等式组。810360 分析: 根据不等式的性质求出每个不等式的解集,根据找不等式组解集的规律得出﹣a≥2,求出即可. 解答: 解: , 解不等式①得:x<2, 解不等式②得:x<﹣a, ∵不等式组的解集是x<2, ∴﹣a≥2, ∴a≤﹣2 , 故答案为:a≤﹣2 点评: 本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式(组)的应用,关键是能根据不等式的解集得出关于a的不等式,题目比较好,难度不大. 考点五:不等式(组)的应用 例5 (2012•自贡)暑期中,哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结,已知弟弟单独编织一周(7天)不能完成,而哥哥单独编织不到一周就已完成.哥哥平均每天比弟弟多编2个. 求:(1)哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结?(答案取整数) (2)若弟弟先工作2天,哥哥才开始工作,那么哥哥工作几天,两人所编中国结数量相同? 考点: 一元一次不等式组的应用;一元一次方程的应用。810360 专题: 应用题。 分析: (1)设弟弟每天编x个中国结,根据弟弟单独工作一周(7天)不能完成,得7x<28;根据哥哥单独工作不到一周就已完成,得7(x+2)>28,列不等式组进行求解; (2)设哥哥工作m天,两人所编中国结数量相同,结合(1)中求得的结果,列方程求解. 解答: 解:(1)设弟弟每天编x个中国结,则哥哥每天编(x+2)个中国结. 依题意得: , 解得:2<x<4. ∵x取正整数, ∴x=3; (2)设哥哥工作m天,两人所编中国结数量相同, 依题意得:3(m+2)=5m, 解得:m=3. 答:弟弟每天编3个中国结;若弟弟先工作2天,哥哥才开始工作,那么哥哥工作3天,两人所编中国结数量相同. 点评: 本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系和不等关系. 对应训练 5.(2012•铜仁地区)为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,B种纪念品3件,需要950元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品6件,需要800元. (1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元? (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,那么该商店共有几种进货方案? (3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元? 考点: 一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。810360 分析: (1)关系式为:A种纪念品8件需要钱数+B种纪念品3件钱数=950;A种纪念品5件需要钱数+B种纪念品6件需要钱数=800; (2)关系式为:用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,得出不等式组求出即可; (3)计算出各种方案的利润,比较即可. 解答: 解:(1)设该商店购进一件A种纪念品需要a元,购进一件B种纪念品需要b元, 根据题意得方程组得: , 解方程组得: , ∴购进一件A种纪念品需要100元,购进一件B种纪念品需要50元; (2)设该商店购进A种纪念品x个,则购进B种纪念品有(100﹣x)个, ∴ , 解得:50≤x≤53, ∵x 为正整数, ∴共有4种进货方案; (3)因为B种纪念品利润较高,故B种数量越多总利润越高, 因此选择购A种50件,B种50件. 总利润=50×20+50×30=2500(元) ∴当购进A种纪念品50件,B种纪念品50件时,可获最大利润,最大利润是2500元. 点评: 此题主要考查了二元一次 方程组的应用以及一元一次方程的应用,找到相应的关系式是解决问题的关键,注意第二问应求得整数解. 【聚焦山东中考】 1.(2012•临沂)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  )   A. B. C. D. 考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。810360 分析: 首先求不等式组中每个不等式的解集,再利用解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到,找到不等式组的公共解集,再用数轴表示公共部分. 解答: 解: , 由①得:x<3, 由②得:x≥﹣1, ∴不等式组的解集为:﹣1≤x<3, 在数轴上表示为: . 故选:A. 点评: 此题主要考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示不等式的解集,用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”. 2.(2012•泰安)将不等式组 的解集在数轴上表示出来,正确的是(  )   A. B. C. D. 考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。810360 专题: 探究型。 分析: 分别求出各不等式的解集,在数轴上表示出来,其公共部分即为不等式组的解集. 解答: 解: ,由①得,x>3;由②得,x≤4, 故其解集为:3<x≤4. 在数轴上表示为: 故选C. 点评: 本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集,解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别. 3.(2012•烟台)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  )   A. B. C. D. 考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。810360 专题: 计算题。 分析: 先解不等式组得到﹣1<x≤2,然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法即可得到正确答案. 解答: 解: 解不等式①得,x≤2, 解不等式②得x>﹣1, 所以不等式组的解集为﹣1<x≤2. 故选A. 点评: 本题考查了在数轴上表示不等式的解集:在数轴上,一个数的左边部分表示大于这个数,这个数用空心圈上,当含有等于这个数时,用实心圈上.也考查了解一元一次不等式组. 4.(2012•潍坊)不等式组 的解等于(  )   A. 1<x<2 B. x>1 C. x<2 D. x<1或x>2 考点: 解一元一次不等式组。810360 专题: 探究型。 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解答: 解: ,由①得,x>1;由②得,x<2, 故此不等式组的解集为:1<x<2. 故选A. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 5.(2012•滨州)不等式 的解集是(  )   A. x≥3 B. x≥2 C. 2≤x≤3 D. 空集 考点: 解一元一次不等式组。810360 分析: 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,就是不 等式组的解集. 解答: 解: , 解①得:x≥2, 解②得:x≥3. 则不等式组的解集是:x≥3. 故选A. 点评: 本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不等式的解,若x>较小的数、<较大的数,那么解集为x介于两数之间. 6.(2012•日照)某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4 盒牛奶,那么剩下28盒牛奶;如果分给每位老人5盒牛奶,那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒,但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有(  )   A.29人 B. 30人 C. 31人 D. 32人 考点: 一元一次不等式组的应用。810360 分析: 首先设这个敬老院的老人有x人,则有牛奶(4x+28)盒,根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶,那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒,但至少1盒”可得不等式组 ,解出不等式组后再找出符合条件的整数. 解答: 解:设这个敬老院的老人有x人,依题意得: , 解得:29<x≤32, ∵x为整数, ∴x最少为30, 故选:B. 点评: 此题主要考查了一元一次不等式组的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,列出不等式组. 7.(2012•菏泽)若不等式组 的解集是x>3,则m的取值范围是   . 考点: 不等式的解集。810360 专题: 探究型。 分析: 根据“同大取较大”的法则进行解答即可. 解答: 解:∵不等式组 的解集是x>3, ∴m≤3. 故答案为:m≤3. 点评: 本题考查的是不等式的解集,熟知“同大取较大”的法则是解答此题的关键. 8.(2012•济南)不等式组 的解集为   . 考点: 解一元一次不等式组。810360 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解答: 解: ,由①得,x<2;由②得,x≥﹣1, 故此不等式组的解集为:﹣1≤x<2. 故答案为:﹣1≤x<2. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 9.(2012•威海)解不等式组,并把解集表示在数轴上: . 考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集。810360 专题: 探究型。 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可. 解答: 解:解不等式①,得x≤﹣2, 解不等式②,得x>﹣3, 故原不等式组的解集为﹣3<x≤﹣2, 在数轴上表示为(如图) 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集,熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键. 10.(2012•日照)解不等式组: ,并把解集在数轴上表示出来. 考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集。810360 专题: 计算题。 分析: 将不等式组的两不等式分别记作①和②,由不等式①移项,将x的系数化为1,求出x的范围,由不等式②左边去括号后,移项并将x的系数化为1求出解集,找出两解集的公共部分,确定出原不等式组的解集,并将此解集表示在数轴上即可. 解答: 解: , 由不等式①移项得:4x+x>1﹣6, 整理得:5x>﹣5, 解得:x>﹣1,…(1分) 由不等式②去括号得:3x﹣3≤x+5, 移项得:3x﹣x≤5+3, 合并得:2x≤8, 解得:x≤4,…(2分) 则不等式组的解集为﹣1<x≤4.…(4分) 在数轴上表示不等式组的解集如图所示,…(6分) 点评: 此题考查了一元一出不等式组的解法,以及在数轴上表示不等式的解集,分别求出不等式组中两不等式的解集,然后利用取解集的方法(同大取大,同小取小,大小小大取中间,大大小小无解)来找出不等式组的解集. 11.(2012•聊城)解不等式组 . 考点: 解一元一次不等式组。810360 专题: 探究型。 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解答: 解: 解不等式①,得x<3, 解不等式②,得x≥﹣1. 所以原不等式的解集为﹣1≤x<3. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.   12.(2012•济宁)解不等式组 ,并在数轴上表示出它的解集. 考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集。810360 专题: 计算题。 分析: 利用去分母及去括号法则化简原不等式组的两不等式,分别求出解集,将两解集表示在数轴上,找出两解集的公共部分,即可得到原不等式组的解集. 解答: 解: , 由不等式①去分母得:x+5>2x,解得:x<5; 由不等式②去括号得:x﹣3x+3≤5,解得:x≥﹣1, 把不等式①、②的解集表示在数轴上为: 则原不等式的解集为﹣1≤x<5. 点评: 此题考查了一元一次不等式组的解法,以及在数轴上表示不等式的解集,其中不等式组取解集的方法为:同大取大;同小取小;大小小大取中间;大大小小无解. 13.(2012•潍坊)为了援助失学儿童,初三学生李明从2012年1月份开始,每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内,准备每6个月一次将储蓄盒内存款一并汇出(汇款手续费不计).已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元,5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元. (1)在李明2012年1月份存款前,储蓄盒内已有存款多少元? (2)为了实现到2015年6月份存款后存款总数超过1000元的目标,李明从2013年1月份开始,每月存款都比2012年每月存款多t元(t为整数),求t的最小值. 考点: 一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用。810360 分析: (1)设李明每月存款x元,储蓄盒内原有存款y元,根据题意得两个等量关系:①储蓄盒内原有存款+2个月的存款=80元;储蓄盒内原有存款+5个月的存款=125元,根据等量关系可列出方程组 ,解可得答案; (2)首先计算出2012年共有的存款数,再由题意可得从2013年1月份开始,每月存款为(15+t)元;从2013年1月到2015年6月共有30个月,共存款30(15+t),再加上2012年共有的存款数存款总数超过1000元,由此可得不等式230+30(15+t)>1000,解出不等式,取符合条件的最小的整数值即可. 解答: 解:(1)设李明每月存款x元,储蓄盒内原有存款y元,依题意得, , 解得 , 答:储蓄盒内原有存款50元; (2)由(1)得,李明2012年共有存款12×15+50=230元, 2013年1月份后每月存入(15+t)元, 2013年1月到2015年6月共有30个月, 依題意得,230+30(15+t)>1000, 解得t>10 , 所以t的最小值为11. 答:t的最小值为11. 点评: 此题主要考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用,关键是弄清题意,找出题目中的等量关系与不等关系,再设出未知数列出方程组与不等式组. 【备考真题过关】 一、选择题 1.(2012•凉山州)设a、b、c表示三种不同物体的质量,用天枰称两次,情况如图所示,则这三种物体的质量从小到大排序正确的是(  )   A. c<b<a B. b<c<a C. c<a<b D. b<a<c 考点: 不等式的性质;等式的性质。810360 专题: 应用题。 分析: 观察图形可知:b=2c;a>b. 解答: 解:依题意得 b=2c;a>b. 所以 a>b>c. 故选A. 点评: 此题考查不等式的性质,渗透了数形结合的思想,属基础题.     2.(2012•广州)已知a>b,若c是任意实数,则下列不等式中总是成立的是(  )   A. a+c<b+c B. a﹣c>b﹣c C. ac<bc D. ac>bc 考点: 不等式的性质。810360 分析: 根据不等式的性质,分别将个选项分析求解即可求得答案; 注意排除法在解选择题中的应用. 解答: 解:A、∵a>b,c是任意实数,∴a+c>b+c,故本选项错误; B、∵a>b,c是任意实数,∴a﹣c>b﹣c,故本选项正确; C、当a>b,c<0时,ac<bc,而此题c是任意实数,故本选项错误; D、当a>b,c>0时,ac>bc,而此题c是任意实数,故本选项错误. 故选B. 点评: 此题考查了不等式的性质.此题比较简单,注意解此题的关键是掌握不等式的性质: (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变. (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.   3.(2012•常州)已知a、b、c、d都是正实数,且 < ,给出下列四个不等式: ① < ;② < ;③ ;④ < 其中不等式正确的是(  )   A.①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 考点: 不等式的性质。810360 专题: 计算题。 分析: 由 < ,a、b、c、d都是正实数,根据不等式不等式的性质不等式都乘以bd得到ad<bc,然后两边都加上ac得到ac+ad<ac+bc,即a(c+d)<c(a+b),然后两边都除以(c+d)(a+b)得到 < ,得到①正确,②不正确;同理可得到 < ,则③正确,④不正确. 解答: 解:∵ < ,a、b、c、d都是正实数, ∴ad<bc, ∴ac+ad<ac+bc,即a(c+d)<c(a+b), ∴ < ,所以①正确,②不正确; ∵ < ,a、b、c、d都是正实数, ∴ad<bc, ∴bd+ad<bd+bc,即d(a+b)<b(d+c), ∴ < ,所以③正确,④不正确. 故选A. 点评: 本题考查了不等式的性质:不等式两边都加上或减去同一个数,不等号的方向不改变;等式两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变;等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变. 4.(2012•攀枝花)下列说法中,错误的是(  )   A.不等式x<2的正整数解中有一个 B. ﹣2是不等式2x﹣1<0的一个解   C.不等式﹣3x>9的解集是x>﹣3 D. 不等式x<10的整数解有无数个 考点: 不等式的解集。810360 分析: 解不等式求得B,C即可选项的不等式的解集,即可判定C错误,又由不等式解的定义,判定B正确,然后由不等式整数解的知识,即可判定A与D正确,则可求得答案. 解答: 解:A、不等式x<2的正整数只有1,故本选项正确,不符合题意; B、2x﹣1<0的解集为x< ,所以﹣2是不等式2x﹣1<0的一个解,故本选项正确,不符合题意; C、不等式﹣3x>9的解集是x<﹣3,故本选项错误,符合题意; D、不等式x<10的整数解有无数个,故本选项正确,不符合题意. 故选C. 点评: 此题考查了不等式的解的定义,不等式的解法以及不等式的整数解.此题比较简单,注意不等式两边同时除以同一个负数时,不等号的方向改变.   5.(2012•河北)下列各数中,为不等式组 解的是(  )   A. ﹣1 B. 0 C. 2 D. 4 考点: 不等式的解集;解一元一次不等式组。810360 专题: 计算题。 分析: 分别求出两个不等式的解集,再找到其公共部分即可. 解答: 解: , 由①得,x> , 由②得,x<4, ∴不等式组的解集为 <x<4. 四个选项中在 <x<4中的只有2. 故选C. 点评: 本题考查了不等式组的解集和解一元一次不等式,能找到各不等式的解集的公共部分是解题的关键.     6.(2012•遵义)如图,数轴上表示某不等式组的解集,则这个不等式组可能是(  )   A. B. C. D. 考点: 在数轴上表示不等式的解集。810360 分析: 首先由数轴上表示的不等式组的解集为:﹣1≤x≤2,然后解各不等式组,即可求得答案,注意排除法在解选择题中的应用. 解答: 解:如图:数轴上表示的不等式组的解集为:﹣1≤x≤2, A、解得:此不等式组的解集为:﹣1≤x≤2,故本选项正确; B、解得:此不等式组的解集为:x≤﹣1,故本选项错误; C、解得:此不等式组的无解,故本选项错误; D、解得:此不等式组的解集为:x≥2,故本选项错误. 故选A. 点评: 此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识.此题比较简单,注意掌握不等式组的解法是解此题的关键.       7.(2012•西宁)函数y= 的自变量x的取值范围在数轴上可表示为(  )   A. B. C. D. 考点: 在数轴上表示不等式的解集;函数自变量的取值范围。810360 专题: 探究型。 分析: 先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式,求出x的取值范围并在数轴上表示出来即可. 解答: 解:∵y= , ∴x﹣2≥0,解得x≥2, 在数轴上表示为: 故选D. 点评: 本题考查的是在数轴上表示不等式的解集,熟知二次根式有意义的条件是解答此题的关键.   8.(2012•武汉)在数轴上表示不等式x﹣1<0的解集,正确的是(  )   A. B. C. D. 考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式。810360 分析: 求出不等式的解集,在数轴上表示出不等式的解集,即可选出答案. 解答: 解:x﹣1<0, ∴x<1, 在数轴上表示不等式的解集为: , 故选B. 点评: 本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用,注意:在数轴上,右边表示的数总比左边表示的数大,不包括该点时,用“圆圈”,包括时用“黑点”.     9.(2012•天门)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  )   A. B. C. D. 考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。810360 分析: 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可. 解答: 解: , 由①得x≥﹣1; 由②得x<2; ∴不等式组的解集为﹣1≤x<2; 在数轴上表示为: 故选C. 点评: 本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法:“>”空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线.     10.(2012•云南)不等式组 的解集是(  )   A. x<1 B. x>﹣4 C. ﹣4<x<1 D. x>1 考点: 解一元一次不等式组。810360 分析: 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,即可得到不等式组 的解集. 解答: 解: , 由①得﹣x>﹣1,即x<1; 由②得x>﹣4; 由以上可得﹣4<x<1. 故选C. 点评: 主要考查了一元一次不等式解集的求法,其简便求法就是用口诀求解,求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).   11.(2012•义乌市)在x=﹣4,﹣1,0,3中,满足不等式组 的x值是(  )   A.﹣4和0 B. ﹣4和﹣1 C. 0和3 D. ﹣1和0 考点: 解一元一次不等式组;不等式的解集。810360 专题: 探究型。 分析: 先求出不等式组的解集,再在其取值范围内找出符合条件的x的值即可. 解答: 解: , 由②得,x>﹣2, 故此不等式组的解集为:﹣2<x<2, x=﹣4,﹣1,0,3中只有﹣1、0满足题意. 故选D. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,根据题意求出不等式组的解集是解答此题的关键.     12.(2012•丹东)不等式组 的解集是(  )   A.﹣3<x<4 B. 3<x≤4 C. ﹣3<x≤4 D. x<4 考点: 解一元一次不等式组。810360 专题: 探究型。 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解答: 解: , 由①得,x>﹣3; 由②得,x<4, 故此不等式组的解集为:﹣3<x<4. 故选A. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.   二、填空题 13.(2012•柳州)如图,x和5分别是天平上两边的砝码,请你用大于号“>”或小于号“<”填空: . 考点: 不等式的性质。810360 分析: 托盘天平是支点在中间的等臂杠杆,天平平衡时砝码的质量等于被测物体的质量,根据图示知被测物体x的质量小于砝码的质量. 解答: 解:根据图示知被测物体x的质量小于砝码的质量,即x<5; 故答案是:<. 点评: 本题考查了不等式的相关知识,利用“天平”的不平衡来得出不等关系,体现了“数形结合”的数学思想.     14.(2012•南充)不等式x+2>6的解集为 x>4 . 考点: 解一元一次不等式。810360 专题: 计算题。 分析: 根据一元一次不等式的解法,移项、合并同类项即可. 解答: 解:移项得,x>6﹣2, 合并同类项得,x>4. 故答案为:x>4. 点评: 本题考查了解一元一次不等式,比较简单,注意移项要变号. 2.(2012•珠海)不等式组 的解集是 ﹣1<x≤2 . 考点: 解一元一次不等式组。810360 专题: 计算题。 分析: 先求出两个不等式的解集,再求其公共解. 解答: 解: , 解不等式①得,x>﹣1, 解不等式②得,x≤2, 所以不等式组的解集是﹣1<x≤2. 故答案为:﹣1<x≤2. 点评: 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).     15.(2012•黑龙江)若不等式组 的解集是x>1,则a的取值范围是 a≤1 . 考点: 解一元一次不等式组。810360 专题: 计算题。 分析: 先求出第二个不等式的解集,然后根据“同大取大”确定a的值即可. 解答: 解: , 解不等式②得,x>1, ∵不等式组的解集是x>1, ∴a≤1. 故答案为:a≤1. 点评: 本题主要考查了一元一次不等式组解集的确定求法,根据“同大取大”的原则,a不大于1,从而得解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).      16.(2012•绵阳)如果关于x的不等式组 的整数解仅有1,2,那么适合这个不等式组的整数a,b组成的有序数对(a,b)共有 6 个. 考点: 一元一次不等式组的整数解。810360 分析: 首先解不等式组 ,不等式组的解集即可利用a,b表示,根据不等式组的整数解仅为1,2即可确定a,b的范围,即可确定a,b的整数解,即可求解. 解答: 解: , 由①得:x≥ , 由②得:x≤ , 不等式组的解集为: ≤x≤ , ∵整数解仅有1,2, , ∴0< ≤1,2≤ <3, 解得:0<a≤3,4≤b<6, ∴a=1,2,3, b=4,5, ∴整数a,b组成的有序数对(a,b)共有3×2=6个, 故答案为:6. 点评: 此题主要考查了不等式组的整数解,根据不等式组整数解的值确定a,b的取值范围是解决问题的关键. 17.(2012•广安)不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是 1,2,3 . 考点: 一元一次不等式的整数解。810360 专题: 计算题。 分析: 先解不等式,求出其解集,再根据解集判断其正整数解. 解答: 解:2x+9≥3(x+2), 去括号得,2x+9≥3x+6, 移项得,2x﹣3x≥6﹣9, 合并同类项得,﹣x≥﹣3, 系数化为1得,x≤3, 故其正整数解为1,2,3. 点评: 本题考查了一元一次不等式的整数解,会解不等式是解题的关键.     18.(2012•陕西)小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶,已知甲饮料每瓶7元,乙饮料每瓶4元,则小红最多能买 3 瓶甲饮料. 考点: 一元一次不等式的应用。810360 分析: 首先设小红能买x瓶甲饮料,则可以买(10﹣x)瓶乙饮料,由题意可得不等关系:甲饮料的花费+乙饮料的花费≤50元,根据不等关系可列出不等式,再求出整数解即可. 解答: 解:设小红能买x瓶甲饮料,则可以买(10﹣x)瓶乙饮料,由题意得: 7x+4(10﹣x)≤50, 解得:x≤ , ∵x为整数, ∴x,0,1,2,3, 则小红最多能买3瓶甲饮料. 故答案为:3. 点评: 此题主要考查了一元一次不等式的应用,关键是弄清题意,找出合适的不等关系,设出未知数,列出不等式.   19.(2012•凉山州)某商品的售价是528元,商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%~20%,设进价为x元,则x的取值范围是 440≤x≤480 . 考点: 一元一次不等式组的应用。810360 分析: 根据:售价=进价×(1+利润率),可得:进价= ,商品可获利润(10%~20%),即售价至少是进价(1+10%)倍,最多是进价的1+20%倍,据此即可解决问题. 解答: 解:设这种商品的进价为x元,则得到不等式: ≤x≤ , 解得440≤x≤480. 则x的取值范围是440≤x≤480. 故答案为:440≤x≤480. 点评: 本题考查一元一次不等式组的应用,读懂题列出不等式关系式即可求解.注意弄清售价、进价、利润率之间的关系. 三、解答题 20.(2012•肇庆)解不等式:2(x+3)﹣4>0,并把解集在下列的数轴上(如图)表示出来. 考点: 解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集。810360 分析: 首先去括号,再合并同类项,移项,再把x的系数化为1即可求出不等式组的解集,再在数轴上表示即可. 解答: 解:2(x+3)﹣4>0, 去括号得:2x+6﹣4>0, 合并同类项得:2x+2>0, 移项得:2x>﹣2, 把x的系数化为1得:x>﹣1, 在数轴上表示为: . 点评: 此题主要考查了解一元一次不等式,解答这类题学生往往在解题时不注意去括号、移项要改变符号这一点而出错.做题过程中同学们一定要注意.   21.(2012•嘉兴)解不等式2(x﹣1)﹣3<1,并把它的解集在数轴上表示出来. 考点: 解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集。810360 专题: 计算题。 分析: 根据一元一次不等式的解法,去括号,移项,合并同类项,系数化为1即可得解. 解答: 解:去括号得,2x﹣2﹣3<1, 移项、合并得,2x<6, 系数化为1得,x<3. 在数轴上表示如下: 点评: 本题考查了解一元一次不等式,以及在数轴上表示不等式的解集,>向右画,<向左画,≤与≥用实心圆点,<与>用空心圆圈.   22.(2012•呼和浩特)(1)解不等式:5(x﹣2)+8<6(x﹣1)+7; (2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x﹣ax=3的解,求a的值. 考点: 解一元一次不等式;一元一次方程的解;一元一次不等式的整数解。810360 分析: (1)根据不等式的基本性质先去括号,然后通过移项、合并同类项即可求得原不等式的解集; (2)根据(1)中的x的取值范围来确定x的最小整数解;然后将x的值代入已知方程列出关于系数a的一元一次方程2×(﹣2)﹣a×(﹣2)=3,通过解该方程即可求得a的值. 解答: 解:(1)5(x﹣2)+8<6(x﹣1)+7 5x﹣10+8<6x﹣6+7 5x﹣2<6x+1 ﹣x<3 x>﹣3 (2)由(1)得,最小整数解为x=﹣2, ∴2×(﹣2)﹣a×(﹣2)=3 ∴a= . 点评: 本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解.解不等式要依据不等式的基本性质: (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变; (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变; (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变. 23.(2012•岳阳)解不等式组 ,并将解集在数轴上表示出来. 考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集。810360 分析: 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可. 解答: 解: , 由①得2x≥2,即x≥1; 由②得x<3; 在数轴上表示为: 故不等式组的解集为:1≤x<3. 点评: 本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不等式的解,若x≥较小的数、<较大的数,那么解集x介于两数之间.     24.(2012•苏州)解不等式组 . 考点: 解一元一次不等式组。810360 分析: 首先分别解出两个不等式,再根据求不等式组的解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到,确定解集即可. 解答: 解: , 由不等式①得,x<2, 由不等式②得,x≥﹣2, ∴不等式组的解集为﹣2≤x<2. 点评: 此题主要考查了解一元一次不等式组,关键是正确求出两个不等式的解集.     25.(2012•莆田)已知三个一元一次不等式:2x>6,2x≥x+1,x﹣4<0,请从中选择你喜欢的两个不等式,组成一个不等式组,求出这个不等式组的解集,并把解集在数轴上表示出来. 考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集。810360 专题: 开放型。 分析: 任意选取两个不等式组成不等式组,分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集并在数轴上表示出来. 解答: 解:由题意可得不等式组: ,由①得,x>3;由②得,x<4, 故此不等式组的解集为:3<x<4, 在数轴上表示为: 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集,每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.   26.(2012•梅州)解不等式组: ,并判断﹣1、 这两个数是否为该不等式组的解. 考点: 解一元一次不等式组;估算无理数的大小。810360 专题: 探究型。 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,由x的取值范围即可得出结论. 解答: 解: , 由①得x>﹣3; 由②得x≤1 故此不等式组的解集为:﹣3<x≤1, 所以﹣1是该不等式组的解, 不是该不等式组的解. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组及估算无理数的大小,根据题意求出x的取值范围是解答此题的关键.     27.(2012•玉林)求不等式组 的整数解. 考点: 一元一次不等式组的整数解。810360 分析: 首先解出两个不等式,再根据大大取大,小小取小,大小小大取中,大大小小找不着确定不等式组的解集,再找出符合条件的整数解即可. 解答: 解: , 由①得:x≥4, 由②得:x≤6, 不等式组的解集为:4≤x≤6, 故整数解是:x=4,5,6. 点评: 此题主要考查了求一元一次不等式组的整数,解解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.   28.(2012•张家界)某公园出售的一次性使用门票,每张10元,为了吸引更多游客,新近推出购买“个人年票”的售票活动(从购买日起,可供持票者使用一年).年票分A、B两类:A类年票每张100元,持票者每次进入公园无需再购买门票;B类年票每张50元,持票者进入公园时需再购买每次2元的门票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时,购买A类年票最合算? 考点: 一元一次不等式组的应用。810360 分析: 由于购买A年票首先要花100元,以后就不用再花钱了,那么可让另外三种购票方式所花的费用分别大于等于100,可得出不等式组,然后根据得到的自变量的取值范围,判断除至少超过多少次,购买A才合算. 解答: 解:设某游客一年中进入该公园x次,依题意得不等式组: , 解①得:x≥10, 解② 得:x≥25, ∴不等数组的解集是:x≥25. 答:某游客一年进入该公园超过25次时,购买A类年票合算. 点评: 此题主要考查了不等式组的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系. 29.(2012•益阳)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召,某小区计划购进A、B两种树苗共17棵,已知A种树苗每棵80元,B种树苗每棵60元. (1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元,问购进A、B两种树苗各多少棵? (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用. 考点: 一元一次不等式的应用;一元一次方程的应用。810360 分析: (1)假设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17﹣x)棵,利用购进A、B两种树苗刚好用去1220元,结合单价,得出等式方程求出即可; (2)结合(1)的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,可找出方案. 解答: 解:(1)设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17﹣x)棵,根据题意得: 80x+60(17﹣x )=1220, 解得:x=10, ∴17﹣x=7, 答:购进A种树苗10棵,B种树苗7棵; (2)设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17﹣x)棵, 根据题意得: 17﹣x<x, 解得:x> , 购进A、B两种树苗所需费用为80x+60(17﹣x)=20x+1020, 则费用最省需x取最小整数9, 此时17﹣x=8, 这时所需费用为20×9+1020=1200(元). 答:费用最省方案为:购进A种树苗9棵,B种树苗8棵.这时所需费用为1200元. 点评: 此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次方程应用,根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键.     30.(2012•宁波)为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费.如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息: 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价:元/吨 单价:元/吨 17吨以下 a 0.80 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 (:①每户产生的污水量等于该户自来水用水量;②水费=自来水费用+污水处理费用) 已知小王家2012 年4月份用水20吨,交水费66元;5月份用水25吨,交水费91元. (1)求a、b的值; (2)随着夏天的到来,用水量将增加.为了节省开支,小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9200元,则小王家6月份最多能用水多少吨? 考点: 一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用。810360 分析: (1)根据等量关系:“小王家2012年4月份用水20吨,交水费66元”;“5月份用水25吨,交水费91元”可列方程组求解即可. (2)先求出小王家六月份的用水量范围,再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%,列出不等式求解即可. 解答: 解:(1)由题意,得 ②﹣①,得5(b+0.8)=25, b=4.2, 把b=4.2代入①,得17(a+0.8)+3×5=66, 解得a=2.2 ∴a=2.2,b=4.2. (2)当用水量为30吨时,水费为:17×3+13×5=116元, 9200×2%=184元, ∵116<184, ∴小王家六月份的用水量超过30吨. 设小王家六月份用水量为x吨, 由题意,得17×3+13×5+6.8(x﹣30)≤184, 6.8(x﹣30)≤68, 解得x≤40. ∴小王家六月份最多能用水40吨. 点评: 本题考查一元一次不等式的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题列出不等式关系式即可求解.同时考查了二元一次方程组的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题干找出合适的等量关系.   31.(2012•湖州)为进一步建设秀美、宜居的生态环境,某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄,已知甲、乙丙三种树的价格之比为2:2:3,甲种树每棵200元,现计划用210000元资金,购买这三种树共1000棵. (1)求乙、丙两种树每棵各多少元? (2)若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍,恰好用完计划资金,求这三种树各能购买多少棵? (3)若又增加了10120元的购树款,在购买总棵树不变的前提下,求丙种树最多可以购买多少棵? 考点: 一元一次不等式的应用;一元一次方程的应用。810360 分析: (1)利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2:2:3,甲种树每棵200元,即可求出乙、丙两种树每棵钱数; (2)假设购买乙种树
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