球体表面积的求法

http://web.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee美麗之家 1 球表面積 1000911 bee 我們知道半徑為 r的球表面積為 24 r 。這一個表面積公式很有意思，底下我們看看這是 如何求出來的。 1. 圓柱法 下圖是一個圓柱。如果僅考慮側面積，那就是 2 r h  。 2 r h r h 因此，我們可以讓 xy平面上的圓 2 2 2x y r  ，繞著 x軸旋轉一圈，得到球面： x y z O 2 2( ) ( )dx dy dx http://web.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee美麗之家 2 x O r y 2 2 2x y r  y 2 2( ) ( )dx dy dx 將 2 2( ) ( )dx dy 繞 x軸一圈得到的面積，就是球表面積。因此， 2 2 2 22 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 [ ( )] r r r r r r dyy dx dy y dx y y x dx dx             ， 因為2 2 0x yy  ，得 xy y    ，代入上式得 2 2 22 ( ) 2 4 r r r r y x dx rdx r        。 2. 長方形法：球面坐標與重積分 在球面上切一個很小的長方形，其面積可以計算為： ( ) ( sin )rd r d    。 x y z O d r sinr  d   因此球表面積為 2 2 2 22 2 2 2 2 0 00 0 0 0 0 sin ( cos ) ( cos ) 2 4r d d r d r d r d r                        。 http://web.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee美麗之家 3 3. 微分法：球體積 我們先將球體積計算出來：讓 2 2 2x y r  繞著 x軸轉一圈。 x O y 2 2 2x y r  體積為 3 2 2 2 2 34( ) ( ) ( ) 3 3 r r r r r r xV r y dx r x dx r x r             。 然後利用薄球殼的體積為球表面積 ( )F r 與厚度dr乘積，得 0 ( ) ( ) R F r dr V r 。 利用微積分基本定理可得 3 2( ) 4( ) 4 3 dV r dF r r r dr dr     。 這樣子，體積公式和面積公式就搭上線了。 當然對圓面積與圓周長也是一樣的： 2 2d r r dr   。 再看看 24 2 2r r r   ，有玄機嗎？ http://web.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee美麗之家 4 4. 為何是 2 2r r  r 2r 2 2r r  是上圖中圓柱的側表面，球面則是內嵌於圓柱中，為何球面積會等於圓柱的側表 面積呢？ r 2rr  sinr  r 2rr  上圖左，在球面平行赤道取圓，也就是所謂的緯線，半徑為 sinr  ，再往上選取一小條 表面積，如上圖右。 此一長條狀的表面積可視為圓柱狀，其面積為 2 sinr  乘以寬度dy (上圖右的粉紅圈 圈)。將它放大來看：  dx dy 寬度 sindy dx  ，即 sin dxdy  ，因此長條狀面積為 2 sin 2 sin 2 sin dxr dy r r dx         ， 恰好與圓柱同高度的長條狀面積一樣，如下圖所示： http://web.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee美麗之家 5 r 2rr  dx 上面這一個發現很有意思，當你要量測球表面積的一部份時，可以將它內嵌於一個圓柱 內，然後擷取相同高度的表面積即可。