膝关节运动分析

International Journal of Advanced Robotic Systems The Kinematic and Static Analysis of the Tibio-femoral Joint Based on a Novel Spatial Mechanism Regular Paper Yonggang Xu1, Rongying Huang1,* and Qiang Xu1   1 School of Mechanical Engineering and Automation, Beihang University, Beijing, China * Corresponding author E-mail: buaahry@sina.com.cn   Received 17 Aug 2012; Accepted 31 Aug 2012 DOI: 10.5772/52943 © 2012 Xu et al.; licensee InTech. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract To reveal the characteristics of knee movement  and  tibio‐femoral  joint  contact  force,  a  novel  single  degree  of  freedom  spatial  mechanism  is  built  to  simulate  the  joint  kinematics  based  on  a  three  dimensional  model  of  the  human  knee.  The  length  changes  of  the  three  ligaments  can  be  obtained  by  establishing and solving  the kinematics spiral  function.  Based on  this mechanism, a static model  is built where  linear  springs  are  used  to  model  the  ligaments  and  whose  stiffness  coefficients  are  obtained  by  the  finite  element  method.  The  main  strength  of  the  proposed  model is that it associates the knee’s flexion motion with  internal/external  rotation  of  the  tibia  based  on  the  isometricity of the anterior cruciate ligament. This offers  an efficient method to model and analyse the changes of  ligament  lengths  and  static  kinematics  after  ligament  reconstruction,  which  is  crucial  in  designing  knee  recovery and rehabilitation equipment.    Keywords  Spatial  mechanism,  Knee,  Ligament,  Tibio‐ femoral joint      1. Introduction  The knee is the largest and the most complex  joint in the  human  body,  whose  function  is  providing  the  fundamental  support  for  body  movements.  However,  due to direct exposure, the  joint components such as the  anterior cruciate ligament (ACL), are easily injured which  might  lead  to  joint  instability  and movement  changing,  and  even  disability.  The  structure/kinematics  characteristics of the knee are a key problem in knee joint  rehabilitation or reconstruction surgery.    Recently,  the analysis of  the movement of knee  joint has  become  a  hot  topic.  Due  to  the  knee’s  complexity,  the  mechanism theory is gradually used to simulate the joint  motion. O’Connor [1] proposed a planar four‐bar linkage  in sagittal plane to analyse the knee movement, where the  anterior  cruciate  ligament  (ACL)  and  the  posterior  cruciate  ligament  (PCL)  were  assumed  to  be  isometric  and  their  positions  on  the  tibia  and  femur  were  joint  centres.  It  had  significant  value  in  analysing  the  knee  motion  and  the  interaction  forces  between  the  ligament  and  muscle,  and  also  developing  a  machine  to  restore  1Yonggang Xu, Rongying Huang and Qiang Xu: The Kinematic and Static Analysis of the Tibia-Femoral Joint Based on a Novel Spatial Mechanism www.intechopen.com ARTICLE www.intechopen.com Int J Adv Robotic Sy, 2012, Vol. 9, 205:2012 knee functions. Later, Wilson and O’Connor [2] proposed  a novel equivalent spatial mechanism with a single degree  of freedom. The anterior cruciate ligament (ACL), posterior  cruciate  ligament  (PCL)  and  medial  collateral  ligament  (MCL) were considered as  links, each  ligament connected  to  the  tibia  and  femur  with  a  spherical  and  a  universal  joint.  The  medial  and  lateral  condyles  of  femur  are  modelled  as  spheres  and  the  tibia  condyles  as  planar  surfaces,  the contact between  the  femur and  tibia condyle  are single point of  frictionless contacts.  In  [3‐6], Wilson et  al.  improved  the  tibial  condyle  planes  in  the  ESM‐1  mechanism  into  more  anatomically‐shaped  surfaces  by  substituting the femur and tibia in ESM‐1 with two spheres  (ESM‐2) and general shape surfaces (ESM‐3). The results of  the  models  were  in  better  agreement  with  experiments  when more anatomically‐shaped surfaces were applied.    Knowing  the  kinematics  of  the  tibio‐femoral  joint  is  of  importance  to  analysing  the  joint  contact  force  and  decreases  the  possibility  of  ligament,  menisci  and  articular  cartilage  trauma.  The  paper  presents  a  novel  spatial mechanism  to  simulate  the  knee  kinematics  and  quasi‐static analysis after ACL reconstruction.  2. Material and Methods  2.1 Construct the spatial mechanism of tibio‐femoral joint  2.1.1 Extract the characteristic structure and feature   points of the tibio‐femoral joint   The three dimensional model of the tibio‐femoral joint was  built  in  MIMICS  software  based  on  the  computer  tomography  (CT)  and  magnetic  resonance  images  (MRI)  from  a  volunteer.  The  surface  processing  was  done  in  Geomagic  Studio  software  including  Boolean  operations,  geometry  registering,  image  registration  and  NURBS  surfaces generating. Then a three dimensional model of the  tibio‐femoral  joint  (Fig.  1) was obtained  including  femur,  tibia,  fibular  and  articular  cartilages,  and  four  ligaments  which  are  the  anterior  cruciate  ligament  (ACL),  the  posterior  cruciate  ligament  (PCL),  the  medial  collateral  ligament (MCL) and the lateral collateral ligament (LCL).    According  to  the  observations  by  Amis  [7],  the  fibres  within  ACL  could  be  considered  isometric  during  the  knee  flexion.  In  the  proposed  model,  the  ACL  is  represented by a  link  ‐  the starting and ending points of  the  link  is the  intersection points between  ligaments and  bones as depicted as points, the distance between the two  points  is  the  length  of  ACL.  As  in  [8],  the  posterior  femoral condyles were close  to spheres,  the  two circular  posterior  femoral condyles are modelled as two spheres,  the  axis  penetrating  through  the  two  spherical  centres  (called  the  flexion  facet  centres,  FFC)  was  defined  as  a  rotation  feature  line  of  the  femur.  The  tibio‐femoral  contact point was defined as the feature point on the tibia  medial condyle.    Figure 1. The feature elements on the tibio‐femoral joint  2.1.2 Spheres fitting on circular posterior femoral condyles  After  constructing  the  spatial  mechanism  of  the  tibio‐ femoral  joint, regression algorithms are used to solve the  rotation line of the femur. Let  0 0 0 0( , , )P x y z  be the centre  of the sphere, r be the radius of the sphere, the spherical  equation can be expressed as:   2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r                      (1)  Twenty points on the posterior femoral condyles’ surface  were selected, of which  the position vector  is defined as ( , , )i i i iA x y z ,  ( 1,2, ,20)i   .  In  line  with  the  least  squares principle, the residual error denoted by f could be  expressed as:    2 2 2 2 20 0 0 1 [( ) ( ) ( ) ] n i i i i f x x y y z z r                     (2)  simplified as:    20 0 0 1 [ 2 2 2 ] n i i i i i f x x y y z z R b                       (3)  where R and  ib  is expressed as:  2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 i i i i R x y z r b x y z           the  position  of  sphere  centres,  as  well  as  the  radius  of  each sphere can be obtained as the least squares solution  of  equation  (3). The  results  show  that  the  radius  of  the  medial  condyle  fit  sphere  is  21.34  mm  and  that  of  the  lateral condyle  is 23.04 mm, which  is  in agreement with  the results in [7] (the radius of the medial sphere is about  22 mm and that of the lateral sphere 24 mm).  2.1.3 Build the spatial mechanism of the tibio‐femoral joint   1) Feature elements of the ligaments  In the normal tibio‐femoral joint, the ACL is modelled as  a  link  which  is  connected  to  the  femur  and  tibia  by  2 Int J Adv Robotic Sy, 2012, Vol. 9, 205:2012 www.intechopen.com spherical  (S)  and  universal  (U)  joints  respectively.  The  other three ligaments, MCL, LCL and PCL, are modelled  as two links, each of which is connected by a prismatic (P)  joint,  and  each  two  link  is  connected  to  the  femur  and  tibia by spherical (S) and universal (U) joints respectively.  2) Feature elements of the femur and tibia  Both  the  femur  and  tibia  are defined  as  circular planes.  The  revolute  (R)  joint  on  the  femur  is  defined  by  the  rotation  feature  line.  Another  revolute  (R)  joint  on  the  tibia  is  set  by  the  axis  across  the  contact  point  and  perpendicular to the tibia condyle.    Figure 2 The spatial mechanism with global frame  The  spatial mechanism was  constructed  as presented  in  Fig.  2.  However,  both  the  femur  and  tibia  have  the  relative rotation to the global frame. In order to simplify  the  process  of  solving  the  kinematics  equations,  an  equivalent link was defined to maintain the same motion  when the global frame was built on the tibia (tibial fixed  frame). The final spatial mechanism is shown in Fig.3.    Figure 3 The spatial mechanism with tibial fixed frame.  Feature point  x/mm  y/mm  z/mm  D (starting point of ACL  on femur) 86.61  93.76  0.79  C (Ending point of ACL  on tibia) 82.23  80.54  ‐24.17  A (contact point on tibia  medial condyle) 112.21  81.26  ‐29.56  B (centre of medial  condyle sphere) 116.28  88.78  ‐3.80  Bʹ (centre of lateral  condyle sphere) 64.06  97.93  ‐2.64  F (starting point of PCL  on femur) 103.75  95.19  ‐7.42  E (ending point of PCL  on tibia) 88.49  114.55  ‐35.49  M (starting point of  MCL on femur) 132.94  85.50  ‐4.79  N (ending point of MCL  on tibia) 125.01  82.72  ‐45.56  H (starting point of LCL  on femur) 50.86  106.67  1.68  G  (ending point of  MCL on fibular) 35.17  119.18  ‐65.77  Table. 1 Coordinates of feature points measured in global fixed  frame XYZ.  2.2 Kinematics analysis of the spatial mechanism  The  moving  coordinate  system  denoted  by  pS   is  established  on  the  tibia  where  the  origin  point  is  represented by A (contact point on medial tibia condyle),  while  the  static  coordinate  system  denote  by  bS   is  established  on  the  femur  where  the  origin  point  is  represented by B  (centre of medial condyle sphere). The  two coordinate systems are parallel to each other, where  the x‐axis  is parallel  to  the rotation  feature  line, y‐axis  is  defined  perpendicular  to  the  coronal  plane,  z‐axis  is  established  by  right  hand  rule.  A  single  degree  of  freedom  can  be  obtained  for  the  mechanism  and  then  screw theory is used to solve the forward kinematics. The  product of exponential formula is expressed as:     1 1 j j+1 111 11 1 1 1 1ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ(0) (0)n n in ini ij i iji i i ist st stg e e g e e e e g                (4)  where i and j are the number of branch chain and number  of  joint  in branch chain,  ij  denotes the spinor of the  jth  joint in the ith branch chain,  ij  denotes the displacement  of  the  jth  joint  in  ith  branch  chain,  stg   denotes  the  configuration  matrix  and  (0)stg   represents  the  initial  configuration of the femur relative to the tibia.  Five motion  screws were  chosen  in AB  and CD  branch  chain, expressed as:  11 11 11 12 12 12 21 21 21 22 22 22 23 23 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T A T B T C T C T D r r r r r                                 3Yonggang Xu, Rongying Huang and Qiang Xu: The Kinematic and Static Analysis of the Tibia-Femoral Joint Based on a Novel Spatial Mechanism www.intechopen.com where  ij  represents the vector axis of the jth joint in the  ith branch chain (i=1,2; j=1,2,3),  Ar ,  Br ,  Cr  and  Dr  denote  positions  of  point  A,  B,  C  and  D  relative  to  space  coordinate system. So    11 11 12 12 ˆ ˆ 1 2 1 1 2 1 2 1 1 (0) 0 0 1 0 1 0 1 0 1 st st B B g e e g R R p I r R R R R r R p                                              (5)  where,  11 11 1 11 11 0 0 0 0 1 c s R s c              ,  12 12ˆ2R e  ,  12 12ˆ 1 ( ) Bp I e r    ,  11 11c cos  ,  11 11s sin  ,  ACL  is  modelled as  rigid  link,  the  length denotes by , we  can  get     p p D C p b D st D q q q g q                                  (6)  where  pDq   and  pCq   represent  the  homogenous  coordinates  of  point  D  and  C  measured  in  static  coordinate  system  pS   and  bDq   represents  homogenous  coordinate  of  point  D  measured  in  moving  coordinate  system  bS . The equation (6) could be simplified as    1 2 2 1( )D B CR R q R r p r                         (7)  Now the equation (7) becomes the sub‐problem of Paden‐ Kahan 3 problem  in  [9], where  the  11  and  1R  could be  solved  by  the  corresponding  method  in  [9],  then  stg   could be solved in (5). After getting the  11 , the kinematic  characteristics  of  other  joints  could  be  solved  by  the  inverse kinematics method of  the parallel  robot. Finally,  the length of ligaments is represented as:    b LCL st M N b PCL st F E b MCL st H G l g q q l g q q l g q q                                    (8)  where  bMq ,  bFq  and  bHq  are the positions of points M, F  and N measured  in moving coordinate  system  bS ;  Nq ,  Eq   and  Gq   are  the  positions  of  points  N,  E  and  G  measured in static coordinate system  pS .  2.3 Static analysis of the tibio‐femoral joint after ACL  reconstruction  2.3.1 Length and equivalent elastic coefficient of ligaments  Each  ligament,  except  ACL,  is  modelled  as  a  linear  spring. The  three‐dimensional model of each  ligament  is  meshed in ANSYS software and then analysed as shown  in Fig. 4. Ligaments are considered as  isotropic material  and elastic modulus of PCL is 276 MPa, MCL is 292 MPa,  and LCL is 292 MPa, the Poisson‐ratio is 0.49 for all three  ligaments  [12].  Then  the  elastic  coefficient  is  calculated  using  the  finite  element  method,  PCL  is  192.85  N/mm,  that of MCL is 260.55 N/mm and for LCL is 29.03 N/mm  and  the  initial  force  are  then  calculated  which  are  125.01N/mm, 125.01 N/mm and 209.83 N respectively for  PCL, MCL and LCL.    Figure 4 Finite element model of ligaments. (a). PCL, (b). MCL,  (c) LCL  It  is well‐recognized by most scholars  that  the  ligaments  cannot  resist  compress  forces.  It  is  supposed  that  the  ligaments will not receive any compressive forces during  knee flexion. The minimal length of each ligament during  flexion  is  considered  as  the  original  length,  the  original  length  and  maximal  length  is  obtained  by  the  forward  kinematics solution,  the  initial  length  is measured as  the  knee is at complete extension (Table 2).     length/mm  PCL  MCL  LCL  ACL  Minimal length  36.71  40.82  59.00  28.59  Maximal length  38.81  41.73  66.03  28.59  Initial length  37.35  41.62  66.03  28.59  Table 2 The length of ligaments  2.3.2 Static kinematics simulation of the tibio‐femoral joint      Figure 5 Model of quasi‐static kinematics  The  femur  is  selected  to  analyse  the  force  of  each  ligament (Fig. 5), force and moment balance equations are  expressed as:    0F N D H BF F F F F                                (9)    0BF F BN N BD D BH H Br F r F r F r F M                   (10)  4 Int J Adv Robotic Sy, 2012, Vol. 9, 205:2012 www.intechopen.com where  FF  ,  NF  ,  DF  ,  HF  and  BF   denote the forces on point  F, N, D, H  and B  respectively,  BFr ,  BNr ,  BDr   and  BHr   denote the vectors of point F, N, D and H relative to point  B,  BM   denotes the resultant moment on point B. We can  get    ʹ ( )( ) PCL b st F E F PCL PCL PCL A g q q F k l l l           (11)    ʹ ( )( ) LCL b st N M N LCL LCL LCL A g q q F k l l l          (12)    ʹ ( )( ) b st H G H MCL MCL MCL MCL A g q q F k l l l        (13)    0 b st D D ACL F Ag q F l                          (14)    ( )b bBi st i Br Ag q q                       (15)   where  PCLk ,  MCLk and  LCLk   represent  the  elastic  coefficient  of  PCL,  MCL  and  LCL.  3 3 0A I     ,  0F   represents  the  initial  tension of ACL,  the value could be  20 N, 40 N, 60 N or 80 N. Eliminating  the effects of  the  patello‐femoral joint reaction and the friction between the  femur and tibia, the vertical component of force denoted  by BF    is  considered  as  the  contact  force  of  the  tibio‐ femoral  joint.  Then  the  simulation  of  quasi‐static  kinematics  is  done  in  MATLAB  software  (Mathworks  Corp, USA) as initial tension of ACL is 20 N, 40 N, 60 N  or 80 N.  3. Results  The range of the flexion angle of normal knee (12) during  daily  activities  is  0°~135°,  but  Blankevoort’s  research,  within 90° the internal/external rotation of the tibia would  not  be  restricted  by  the  flexion  angle  of  the  femur,  the  ligament length changes are decided by the flexion angle.  Because  the  calculation of  the  length of  the  ligaments  is  based on the assumption that the ACL is isometric during  the  knee’s  flexion,  considering  the  disparity  of  the  starting  and  ending  points  of ACL,  five  groups  of data  (Table  3)  are  used  to  analyse  the  sensitivity  of  the  ligament  length  and  femur  rotation  angle  changes  impacted  by  ACL  positions.  The  changing  curves  of  ligament  lengths  and  internal/external  angles  with  respect  to  flexion  angles  are  depicted  in  Figure  6.  The  maximal deviation of PCL length is less than 0.28 mm, the  LCL  length  is  less  than 0.83 mm,  the MCL  length  is  less  than 0.12 mm and the degree of rotation angle is less than  3.16.     As  shown  in  Figure  6,  when  the  flexion  angle  changes  from 0° to 90°, the length of LCL decreases monotonically  indicating that the LCL is under maximum tension when  the knee  is  completely  extended, which  is  in  agreement  with  anatomy  results.  Contrary  to  PCL,  the  tension  on  MCL/PCL  first  increases/decreases  then  decreases/  increases  which  is  in  agreement  with  Blankevoort’s  results.  When  the  flexion  angle  reaches  20°  [10],  the  degree  of  rotation  angle  gradually  increases  along with  the  increase  of  the  flexion  angle,  which  is  also  in  agreement with Akalan’s results [11].    group  C (Ending point of ACL  on tibia)  D (Starting point of  ACL on femur)  (x, y, z)  (x, y, z)  1   (82.23, 80.54, ‐24.17)  (86.61, 93.77, 0.79)  2  (81.91, 82.75, ‐23.091)  (87.54, 94.75, 1.91)  3  (85.24, 79.11, ‐23.38)  (85.13, 96.22, ‐0.33)  4  (86.84, 79.50, ‐21.84)  (84.71, 96.25, ‐2.60)  5  (86.13, 81.75, ‐21.84)  (85.43, 94.50, ‐1.84)  Table.3 The starting and ending sites of the ACL    Figure 6 Feature sizes and angles as ACL position changes, (a)  degree of external/internal angle, (b) length of PCL, (c) length of  LCL, (d) length of MCL  (b) 0 20 40 60 80 100 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Flexion angle de gr ee o f ex te rn al /in te rn al 0 20 40 60 80 100 36.5 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40 Flexion angle le ng th o f P C L (a) 0 20 40 60 80 100 58 60 62 64 66 68 70 72 Flexion angle le ng th o f LC L (c) 0 20 40 60 80 100 40.8 41 41.2 41.4 41.6 41.8 Flexion angle le ng th o f M C L (d) 5Yonggang Xu, Rongying Huang and Qiang Xu: The Kinematic and Static Analysis of the Tibia-Femoral Joint Based on a Novel Spatial Mechanism www.intechopen.com Moreover,  in order  to analyse  the  sensitivity of  the  tibia  medial condyle contact point position, five contact points  are  chosen  (T