数列与相应函数列的上、下极限间关系探讨

2005年12月 重庆师范大学学报(自然科学版)Dec．2005 ：笪丝查整!塑 生!翌生匹曼!竺墨g虫§翌!竺!!兰!堡竺!尘l型!皇竺!!!!!!!!曼!i!i!12 1生：!!堕!：兰 数列与相应函数列的上、下极限间关系探讨+ 沈波 (达州职业技术学院公共课教研室，四川达州635000) 摘要：在数学中，数列上、下极限的计算有一定的难度，本文就几种特殊情况，通过对数列上、下极限与相应函 数列的上、下极限之问一些定理的证明及应用举例，从而．息结出在计算函数列的上、下极限时的简便算法。 关键词：上极限；下极限；函数列极限；连续 中圈分类号：0171 文献标识码：A 文章编号：1672—6693(2005】04—0100—03 TheConnectionofHaveLimitandMakeLimitofSeveraI andtheOnesofCorrespondingFunction sHENBo {TeachingandResearchSectionofPublicLesson-DazhouProfessionTechnologyCollege，DazhouSichuan6350130．China) Abstract：Inmaths，itisdifficulttocalculatehavelimitandmakelinfitofseveralNowonthespecialcircumstancesof8ever- al，Weputforwardasimpleandconvenientalgorithmaboutlimit Keywords：havelimit；makelimit；functionarrangeslimit；succession 1主要定理及证明 定理1⋯设{‘}为一实数列，且lim“=n， lim‰=b(a、b为有限数)，又设函数八*)在包含a、 b的区间(m，M)上单调，在点z=a、b处连续，则 1)当，(z)单调递增时，有 lim，(‰)=“lira扎)=，(a)， ，lim，(％)=，(1im％)=，(b)。 2)当，(*)单调递减时，有 lim“以)=，(1imz。)=，(b)，⋯ 一∞ lim，(％)=，(1im*。)=以。)。 证明I)因为函数，(z)在点z=a处连续，故 对任意的8>0，存在6>0(6，(n)一 s)的项有无穷多项，大于或等于，(a：)(<以n)+s) 的项至多有限多项，这就证明了 lim，(Ⅳ。)=，(1imz。)=以n)。 类似可证血＆以扎)=，(1imR)=，(b)。 2)因为函数f(x)在点x=b处连续，故对任意 的s>0，存在6>0(6，(6)一 + 收藕日期：2005—04—21 作者简介：沈渡(1971一)，女，四川大竹人，讲师，研究方向为数学分析教学法。 万方数据 第4期 沈波：数列与相应函数列的上、下极限问关系探讨 101 8)的项有无穷多项；大于或等于，(b。)(<，(b)+8) 的项至多有限多项。这就证明了 lira，(靠)=，(hm％)=，(b)。 类似可证血堕“x。)=，(1ira靠)=^o)。证毕 注意定理1中函数f(x)的单调性、连续性两 个条件缺一不可，否则将产生矛盾”1，例如： 1)函数 ^、 fx， 当*≤1时 7(叫21x+1，当；>1时 在(一*，+*)内严格单调递增，在点z=1处不连 续，而数列％=1+土(n=1、2、⋯)的上极限为1。 若利用定理1的结论计算，则有 lira，(z。)=，(1ira屯)=，(1)=1； 同时，(Ⅳ，)>2(n=1、2、⋯)，所以有liraf(x，．)≥ 2，从而产生矛盾。 2)函数，(x)=COS$在(一口，Ⅱ)内不严格单调。取数列。。：L量Ⅱ兰专出．詈，其中【号】， [号』]分别表示号，写』的最大整数部分，它有聚 点一詈、0、詈。故一lira扎=詈，照‰=一导。若按￡L⋯一∞‘ 定理1计算，则有lira以“)=0，而事实上lira，(x。) =1，这也产生了矛盾”。。 定理2设{“}为一实数列，且lim％=+*， liraz。=一*，如果，(z)是定义在(一*，+*)上的 实函数，且hm“x)=。，limf(x)=b，(n、b为有 限数)，则 1)当f(x)在(一*，+。。)上单调递增时，有 lim，(』．．)=，(1ira％)=o，lira，(Ⅸ。)=“且堕％)=b 2)当，(x)在(一*，+m)上单调递减时，有 lira，(‰)=以地‰)=b，lim，(“)=，(1ira‰)=o 证明1)若，(x)在(一m，+*)上单调递增， 且limf(z)=o，lira，(*)=b，则有b≤，(x)≤ n(xE(一∞，+*))。对任意的P>0，存在X，>0， 使得当z>X．时有d—s<，(z)≤口成立。取A> 盖。，则有f(A)>n—s，又由于limx。=+∞，故在 {z。i中有无穷多项大于A，从而由，(z)单调递增可 知，在抓％){中有无穷多项大于或等于“A)，(>o— s)，即在弧靠)}中有无穷多项大于。一s，其所有 项都不超过Ⅱ。故有lira，(％)=以lira‰)=n。 类似可证limf(靠)=，(1imz。)=b。 2)如果f(x)在(一m，+o。)上单调递减，且 lira，(z)=。，lira，(￡)=b，则有口≤，(Ⅸ)≤b(ⅣE (一*，+*))，对任意的s>0，存在X：>0，使得当 z<一X2时，有b列Iz)>b—s。 取B<一X2，则有，(B)>b—s，又由于虹x。= 一*，故在{∞。}中小于B的项有无穷多项，而由 ^x)单调递减可知，在{f(靠)}中大于或等于，(B) (>b—s)的项有无穷多项，即在{贝“)}中大于b— s的项有无穷多项，其所有项都不超过b。 故有lira以‰)=，(1im％)=b。⋯，l_∞ 类似可证lira，(x。)=，(1im％)=n。证毕 一∞ 一∞ 定理3设{‰}为一实数列，且lira靠=+*， 虹扎=一∞，则 1)当八x)在(一*，+*)上单调递增，且lira 兵z)=+∞，lim，(z)‘=一*时，有 lira，(靠)=驭lira以)=+∞，鱼八Xn)--f(一lirak)=一∞。 2)当以x)在(一*，+m)上单调递减，且lim ，(z)=一∞，lira，(z)=+∞时，有 lim，(‰)钒血％)=+∞，．tim，(靠)_，(1im％)=一∞。 证明1)由条件可知，对任意的盯>0，存在x。 >0，使得当x>X。时，有“x)>M。又因为lira％= +m，所以在}*。l中有无穷多项大于互，．从而由 ，(x)单调递增可知，在{，(％)}中有无穷多项大于或 等于，(X．)(>M)。故有 lira以‰)=以Jim‰)=，(+∞)=+∞。 类似可证 lira，(x。)=八lira％)=，(一*)=一∞。 2)由已知条件可知，对任意的M>0，存在X2> 0，使得当z<一X：时，有“z)>M。取B：<一X2，则 ，(最)>M。又因为lim‰=一*，所以在{‰}中有 无穷多项小于曰：。再由f(z)单调递减可知，在 {“‰)}中有无穷多项大于或等于，(B：)(>M)，故 有 lira，(扎)=，(1iraz。) 类似可证 虹，(靠)=，(1ira％) 八一∞)=+∞。 以+*)=一*。证毕 万方数据 102 重庆师范大学学报(自然科学版) 第22卷 2应用举例 若上面3个定理中所述情况交替出现时，则可 利用定理中的有关条件及结论加以解决。利用以上 结论，在求数列的上、下极限时，显得极为简便，下面 举例说明。 例求下列数列的上、下极限㈨。 t，H卜¨”商” z，卜t[㈠)”商])I 。)㈨+L土乒n】)； a，卜【t+L号q)。 一旷卜”“南’则有 酏=画lira㈠’1商吐 黔n尝卜””高一1 而函数arctanx在(一*，+*)上严格单调增 且连；arceotg在(一*，+*)上严格单调减且连 续，由定理1得 -，画⋯卜4商]- arotan(1一imao)=arctanl=卫4 黔td卜¨“商]I arctan(1ira。。)=arctan(一1)=一孚。 z，耍叫卜”“商]_ arcc。“⋯lira口。)=arcc。t(～1)=丁3T1， 忑liraarccot[㈠)8高]= arcc。t(画。。)=arcc。t1=詈。 又令6。：l+址掣。删1Vmm6。：+。，面 b。=1。而函数Inx在(o，+*)上连续地单调递增， Jl⋯lira1nz2+。。；函数一In*在(O，+∞)上连续 地单调递减，且』巴(一Inz)=一*，由定理2及定 理3可得s)画ln[，+掣n]．h哂¨=+*， 鬲lim1n【1+半n]_ln[婴¨=ln1=o。 。)巫{_h【-+出产nn= ～in【娶6n12—1n1 20 磐{_h【·+!专业n])=-h[画¨=～ 参考文献： [1]华东师范大学数学系数学分析(上)[M]．北京：高等教育 出版杜．1997． [2]李开慧．一个极限分布定理的注记[J]．重庆师范学院学报 (自然科学版)．1992，9(2)：86—88 [3]蔡邦元．一个函数极限概念问题的探讨[J]．重庆师范学院 学报(自然科学版)，1992，10(2)：89-90 [4]江泽坚，吴智泉，周光亚．数学分析(上)[M]．北京：人民教 育出版社，1978． (责任鳊辑黄颖) 万方数据 数列与相应函数列的上、下极限间关系探讨 作者： 沈波， SHEN Bo 作者单位： 达州职业技术学院,公共课教研室,四川,达州,635000 刊名： 重庆师范大学学报（自然科学版） 英文刊名： JOURNAL OF CHONGQING NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 2005，22(4) 引用次数： 0次 参考文献(4条) 1.华东师范大学数学系 数学分析(上) 1997 2.李开慧 一个极限分布定理的注记 1992(2) 3.蔡邦元 一个函数极限概念问题的探讨 1992(2) 4.江泽坚.吴智泉.周光亚 数学分析(上) 1978 相似文献(9条) 1.期刊论文 王振福.张建军.Wang Zhenfu.Zhang Jianjun 数列的上极限与下极限探析 -包头职业技术学院学报 2008,9(1) 通过数列上极限与下极限的概念,讨论了数列上极限与下极限存在的充分必要条件及其一些性质与推论,从而补充了一些关于数列极限的知识. 2.期刊论文 余国林.魏本成.YU Guo-lin.WEI Ben-cheng 关于上、下极限的一个新定理 -大学数学2007,23(5) 给出了关于上、下极限的一个新定理,并举例说明了该定理的应用. 3.期刊论文 霍东华 数列的非正常上、下极限的一点应用 -牡丹江师范学院学报（自然科学版）2006(2) 对文献[1]中的一个问题进行了详细的讨论,相应地得到一个完美的结果. 4.期刊论文 夏顺友.向淑文.孙修勇.曾诚.XIA Shun-you.XIANG Shu-wen.SUN Xiu-yong.ZENG Cheng 网和集网的锥 极限及其性质 -贵州大学学报（自然科学版）2008,25(3) 引入拓扑线性空间中的锥拓扑概念,并由此定义了网和集网的锥极限点、锥聚点和集网的锥上极限、锥下极限、锥极限,给出并证明了集网的锥上极 限、锥下极限、锥极限的一些性质. 5.期刊论文 孙兰敏.陈萍 距离空间中上半连续函数的定义及等价条件 -衡水师专学报2003,5(3) 根据距离空间中函数在某点的上极限、下极限的定义及函数在某点上半连续、下半连续的定义,证明了函数在某点上半连续的等价条件. 6.期刊论文 谢馥芬 罗彼塔法则的推广 -各界·科技与教育2008,17(9) 本文将一般的罗彼塔法则某些条件改变,利用上、下极限知识加以推广. 7.期刊论文 邓朝阳.吴泽民.DENG Chao-yang.WU Ze-min 非连续函数的介值定理 -泉州师范学院学报2007,25(4) 研究了非连续函数的介值定理,受朱乐敏等考虑的具有左、右极限存在的跳跃间断点的非连续函数的介值性定理的启发,利用上、下极限把介值定理 推广到具有一般间断点的非连续函数的情况. 8.期刊论文 杨辉.宛金龙 数列上、下极限的注记 -安庆师范学院学报(自然科学版)2004,10(3) 本文给出上、下极限的作用以及用它们判断数列收敛的两个充要条件. 9.期刊论文 周金峰.王树泽.ZHOU Jin-feng.WANG Shu-ze 不定式极限点集的结构 -聊城大学学报（自然科学版） 2004,17(4) 讨论了O/O型和*/∞型不定式f(x)/g(x)的极限点集以及相应的f′(x)/g′(x)的极限点集的结构.指出前一集合含于后一集合,导出了上、下极限形式 的罗必塔(L′Hospital)法则,阐明了罗必塔法则适用和失效的根本原因. 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_cqsfxyxb200504026.aspx 下载时间：2009年11月2日