反馈法定位两原子之间的相对位置

反馈法定位两原子之间的相对位置 3 程桂平 　郑 　俊 　邓文武 　李高翔 (华中师范大学物理科学与技术学院 , 武汉　430079) (2007 年 3 月 14 日收到 ;2007 年 5 月 14 日收到修改稿) 　　研究了置于一个单模驻波光腔中的两个二能级原子 ,通过利用测量场的正交分量的方法定位这两个原子位置 的情况 . 发现在不考虑腔损耗的条件下 ,利用此方法即可很好地定位两原子的位置. 若考虑腔损耗时 ,通过将测量 所输出的信号反馈回光腔中的方法可降低由腔损耗所导致两原子定位能力的损害程度. 关键词 : 两个二能级原子 , 场的正交分量 , 反馈 , 定位 PACC : 4250 3 国家自然科学基金 (批准号 : 60478049) 和湖北省自然科学基金 (批准号 : 2006ABB015)资助的课. 11引 言 早在量子力学领域研究的初期 ,原子位置的精 确测量就已经引起了人们极大的兴趣. 这是因为对 位置测量的研究不仅可验证量子力学的基本原理而 且对量子信息科学的发展起着积极的推动作用. Rempe 在理论上提出了用经典驻波场可将原子定位 在光的波长范围之内的[1 ] ,两年后 , Dieckmann 等人在实验上证明了此方案的可行性[2 ] . 而 Kien 等 人通过研究与一单模的量子化的驻波场相互作用的 三能级原子的定位情况 ,发现相干场比经典场能更 好地定位原子[3 ] . 量子信息领域的研究早已引起人 们极大的兴趣 ,方卯发等人研究了双光子 Jaynes2 Cummings 模型中量子力学通道与量子互熵问题[4 ] ; 单传家等人则研究了 Tavis2Cummings 模型中两纠缠 原子纠缠的演化特性[5 ] . 而研究宏观物体被定位在 某一定的空间范围内的课题有助于人们对量子世界 向经典世界过渡过程的理解[6 ,7 ] ,因此人们还提出了 许多其他能测量原子位置的方案. Storey 等人发现 利用场的正交分量的测量法就可很好地定位原 子[8 ] . 这是因为当原子穿过驻波光场时 ,依赖原子 位置的相位信息可传递给驻波场 ,所以只要进行场 的测量即可将原子位置定位在远小于一个光波波长 范围之内 ;后来 Nha 等人又提出了用双重测量的方 法来定位一个与量子化驻波场相互作用的三能级原 子[9 ] ,在此方案中 ,他们是将整个系统放置在拉姆齐 (Ramsey)干涉仪中 ,然后通过对场的正交分量和原 子的内态的双重测量获得原子位置信息 ;类似此方 法 ,张俊香等人则提出了用孪生 (twin) 光束的干涉 测量法来探测光相位的变化信息[10 ] . 最近 , Agarwal 等人发现通过相干布居俘获可得到亚波长的原子定 位[11 ] . 此外 , Mancini 等人又提出了用加反馈的方 法来提高原子的定位能力[12 ] . 除了对单原子位置定 位之外 ,人们对两原子之间的相对定位也有极大的 兴趣. 利用两个原子各自运动位置和它们所辐射的 光子之间的纠缠性质 , Zheng 等人经过研究发现自 发辐射产生的光子反冲效应能诱导两原子之间的相 对定位[13 ] . 同样地 ,Ma 等人也研究了自发辐射诱导 相干对 Doppler 展宽的原子系统无反转激光增益的 影响[14 ] . 最近 , Chang 等人研究了在衍射极限条件 下如何测量两原子间的距离以及如何通过强度关联 函数来获取两原子之间距离的信息[15 ,16 ] . 此外 Macovei 等人则研究通过超荧光定位原子团的情 况[17 ] . 本文考虑了利用差分零拍探测器测量场的正 交分量的方法来定位两个置于一单模驻波光腔中的 二能级原子的位置 ,首先讨论了在不考虑腔损耗的 情况下这两原子之间相对定位的情况 ,然后讨论了 在腔损耗情况时如何通过将测量所输出的信号反馈 回光腔中的方法降低由腔损耗所导致两原子定位能 力的受损程度. 第 57 卷 第 1 期 2008 年 1 月 100023290Π2008Π57 (01)Π0212207 物 　理 　学 　报ACTA PHYSICA SINICA Vol. 57 ,No. 1 ,January ,2008ν 2008 Chin. Phys. Soc. 21 不考虑腔损耗的两原子间的相对 定位 　　我们考虑两个相同的二能级原子置于一个单模 的驻波光腔中 ,两原子之间的距离为λΠ8 且相互间 无偶极2偶极作用. 假定两原子与场的相互作用时 间足够短 ,在旋波和 Ramam2Nath 近似条件下 ,整个 体系的哈密顿量可写为[18 ] H^ = H^field + H^atom + H^int , (1) 其中 H^field = Üωa a^+ a^ , (2a) H^atom = Üωaσ^z1 + Üω0σ^z2 , (2b) H^int = Üεcos( kx^ + <) ( a^+ σ^-1 + σ^+1 a^) + Üεcos[ k ( x^ + λΠ8) + <] ( a^+ σ^-2 + σ^+2 a^) , (2c) 这里 , H^field和 H^atom分别是腔场和无相互作用的两原 子的哈密顿量 , H^int描述了两原子与腔场的相互作用 项. ωa 和 k 分别是腔场的频率和波数 ,ω0 是相同 的两原子的跃迁频率 ,σ^zi ,σ^±i ( i = 1 ,2) 是第 i 个原 子的赝自旋算符. ε是原子与腔场的耦合常数 , <由 原子处在腔场中的位置所决定. 以腔场的频率ωa 作为参考频率 ,在绝热消除近 似条件下 ,系统的有效相互作用哈密顿量可写为[19] H^eff = 2 Üε2σ^z1 cos2 ( kx^ + <)Δ a^+ a^ + 2 Üε2σ^z2 cos2 ( kx^ +πΠ4 + <)Δ a^+ a^ , (3) 其中 ,Δ为原子的跃迁频率与腔场的频率差即Δ= ω0 - ωa . 又由于初始时刻两原子均处于基态并且 σ^z1 ,σ^z2 与整个有效相互作用哈密顿量对易 ,可用本 征值 - 12 代替. 系统的有效哈密顿量进一步改写为 H^eff = - Üε2 cos2 ( kx^ + <)Δ a^+ a^ - Üε2 cos2 ( kx^ +πΠ4 + <)Δ a^+ a^ . (4) 　　假定初始时刻时 ,腔场处于相干态场且满足关 系式 a|α〉=α|α〉,两原子总的位置分布函数ψ( x) 为 ψ1 ( x) = 14 2πσ2 e - ( x -λΠ8) 2 4σ2 和 ψ2 ( x) = 14 2πσ2 e - ( x -λΠ4) 2 4σ2 的两高斯波包叠加 ,其中ψ1 ( x) 和ψ2 ( x) 分别为两 原子初始时各自的位置分布概率幅 ,原子和腔场整 个系统的初始态矢可写为 Ψ(0) 〉=∫d xψ( x) x〉α〉 =∫d x [ψ1 ( x) + ψ2 ( x) ] x〉α〉. (5) 　　假定原子的跃迁频率与腔场的频率差 Δ远大 于拉比频率 ,那么原子在基态与激发态之间的跃迁 概率很小. 而初始时刻我们已经假定原子处在基 态 ,则原子在激发态上的布居数很小 ,从而可以忽略 原子的自发辐射项. 此外 ,若腔场的衰变也可忽略 , 则经过相互作用时间 t 后 ,系统的态矢演化为 ψ( t) 〉=∫d x [ψ1 ( x) + ψ2 ( x) ] ×exp [ - i H^eff tΠÜ] x〉α〉 =∫d x [ψ1 ( x) + ψ2 ( x) ] x〉 × αexp{i (ε2ΠΔ) [ cos2 ( kx + <) + cos 2 ( kx + πΠ4 + <) ]}〉. (6) 由上式可见 ,原子与腔场相互作用可导致相干场态 的相位发生改变 ,利用差分零拍探测器对单模驻波 腔场的正交分量 X^θ = ( a^e - iθ + a^ + eiθ)Π2的测量即 可定位两原子的位置. 正交算符满足方程 X^θ | χθ〉= χθ | χθ〉, 且 | χθ〉= 14 2π exp 12 ( a^ + e iθ - χθ) 2 + 14χ 2 θ | 0〉[16 ] . 测量场的正交分量后 ,腔中光场将投影到它的本征 态| χθ〉上 ,从而使得原子的态矢塌缩到 Ψ( t)〉atom = ®∫d x [ψ1 ( x) + ψ2 ( x) ] x〉 ×〈χθ αexp{i (ε2ΠΔ) [cos2 ( kx + <) + cos 2 ( kx + πΠ4 + <) ]}〉 = ®∫d x [ψ1 ( x) + ψ2 ( x) ] x〉 ×exp{ - [ (α1 - XθΠ2) 2 + iα2 (α1 - Xθ) ]} , (7) 其中 α1 + iα2 =αexp{i (ε2ΠΔ) [cos2 ( kx^ + <) + cos 2 ( kx^ + πΠ4 + <) ]} . 　　下面我们对原子的位置分布函数进行数值分 3121 期 程桂平等 : 反馈法定位两原子之间的相对位置 析. 为了使两原子之间达到最好的相对定位 ,先设 定参数ε2 tΠΔ=π,α= 8 [20 ] ,如图 1 (a)和 (b)中 (i)和 (ii)所示 ,在未进入腔之前 ,两原子位置分布函数分 别为中心为λΠ8 和λΠ4 且偏差均为 019λΠ2π两高斯 函数 ,利用坐标平移可将两原子高斯波包的中心分 别置于原点和λΠ8 处 ( < =πΠ4) . 由于两原子高斯波 包的中心间的距离λΠ8 小于波包的宽度 019λΠ2π,由 瑞利极限条件可知此时我们是不能够区分出这两个 原子的. 一旦对场的正交分量测量后 ,由图 1 (a) 和 (b)中 (iii) 可看出 ,无论是取θ= 0 还是θ=πΠ2 ,相互 叠加的高斯波包能够被较好地分离开 ,即明在对 场的正交分量测量后 ,原来不可分辨的两原子能够 很好地被区分为两单独的原子. 而通过比较图 1 (a) 和 (b)中 (iii) ,可发现当场的测量结果为χ0 = 0 时两 原子之间的相对定位效果比测量结果为χπΠ2 = 2α 要好. 图 1 　(a) , (b)初始时刻置于λΠ8 处的原子的位置分布函数 (i) , 初始时刻置于λΠ4 处的原子的位置分布函数 (ii) ; (a) 场的测量 结果为χ0 = 0 时两原子体系的位置分布函数 (iii) , (b) 场的测量 结果为χπΠ2 = 2α时两原子体系的位置分布函数 (iii) 31 考虑腔损耗并加反馈后的两原子间 的相对定位 　　若不考虑腔场的衰变 ,通过测量场的分量的方 法可以很好定位两原子之间的位置. 但是利用差分 零拍探测器测量场的分量将无可避免导致腔场与外 界的真空场发生作用 ,所以腔的损耗不可忽略. 而 腔的损耗使得腔中的原子所受到的势能减小 ,最终 导致两原子之间的相对定位能力受损. 若我们将差 分零拍测量所输出的信号重新反馈回光腔中 ,定位 的损害程度将会被减弱. 下面我们用密度矩阵理论 来加入反馈对两原子的相对定位的影响 ,加入 反馈后 ,整个系统的主方程可写为[12 ]9 tD^ ( t) = - iÜ[ H^eff , D^ ( t) ] + F ( D^ ( t) ) , (8) 其中 , D^ ( t) 代表整个系统的密度算符 ,等式右边第 二项 F ( D^ ( t) ) 包含了腔的损耗和反馈两项. 若反 馈信号加在与被测的分量正交垂直的分量上 ,在马 尔可夫近似下算符 F ( D^ ( t) )可写为如下形式[21 ] : F ( D^ ( t) ) = γ2 [2 a^D^ ( t) a^ + - a^ + a^D^ ( t) - D^ ( t) a^+ a^ ] - i gγ[ X^θ+πΠ2 , a^D^ ( t) + D^ ( t) a^+ ] - g2 γ 2 [ X^θ+πΠ2 ,[ X^θ+πΠ2 , D^ ( t) ] , (9) 这里 ,γ是腔场的衰变常数 , g 是反馈过程的增益系 数. 等式右边第二项描述了反馈过程所导入的驱动 项 ,第三项刻画了测量过程中引入的噪声项. 　　对原子的空间位置求平均值后 ,系统的主方程 变为9 tρ^( t) = iε2Δ[ cos2 ( kx + <) + cos2 ( kx +πΠ4 + <) ] ×[ a^+ a^ ,ρ^( t) ] + F (ρ^( t) ) , (10) 其中ρ^=ρ^( x , t) =〈x| D^ ( t) | x〉. 由前一部分的分析可知两原子之间的相对定位 在θ= 0 时可达到较好的效果 ,则系统的主方程可 进一步写为[12 ]9 tρ^ = Γ2 ( N + 1) (2 a^ρ^a^+ - a^+ a^ρ^ - ρ^a^+ a^) + Γ 2 N (2 a^ + ρ^a^ - a^a^+ ρ^ - ρ^a^a^+ ) - Γ 2 M (2 a^ + ρ^a^+ - a^+ a^+ ρ^ - ρ^a^+ a^+ ) - Γ 2 M (2 a^ρ^a^ - a^a^ρ^ - ρ^a^a^) 412 物 　　理 　　学 　　报 57 卷 - i [ (δ( x) a^+ a^ + G3 a^+ a^+ + Ga^a^) ,ρ^] , (11) 其中δ( x) = - ε 2 Δ [ cos 2 ( kx + <) + cos2 ( kx +πΠ4 +<) ] ,Γ=γ(1 - 2 g) ( g < 015) , M =γg ( g - 1)ΠΓ ,以 及 N =γg2ΠΓ和 G = - iγgΠ2. 等式右边前四项可等 效地看作为一个单模压缩真空库[18 ] ,其中Γ为衰变 常数 , N 为单模压缩真空库的平均光子数 , M 代表 双光子关联强度 ,它满足等式| M| = N ( N + 1) . 假定初始时刻腔场处于相干态场 ,两原子位置 分布函数分别为ψ1 ( x) 和ψ2 ( x) ,则密度算符初始 条件满足ρ^( x , t = 0) =〈 x | Ψ (0) 〉〈Ψ (0) | x〉= | ψ1 ( x) +ψ2 ( x) | 2 | α〉〈α| . 通过引入正规排列顺序的 特征函数 χ( x ,λ, t) = Tr{ρ^( x , t) exp (λa^+ ) exp ( - λ3 a^) } [22 ] , 主方程 (11)式可写为如下偏微分方程的形式 :9 tχ( x ,λ, t) = - Γ2 - iδ( x) λ9λ - Γ 2 + iδ( x) λ 3 9λ3 + Γ 2 M - i G 3 λ3 2 + Γ2 M + i G λ2 - 2i Gλ9λ3 + 2i G3λ3 9λ - ΓN | λ| 2 χ( x ,λ, t) . (12) 　　上述偏微分方程解满足高斯解形式 ,可写为 χ( x ,λ, t) = C ( x) exp B 3 ( x , t)λ - A ( x , t)λ3 - v ( x , t) | λ| 2 + 12μ( x , t)λ 3 2 + 1 2μ 3 ( x , t)λ2 . (13) 由初始条件ρ^( x , t = 0) = | ψ1 ( x) +ψ2 ( x) | 2 |α〉〈α| 可计算出 C ( x) = | ψ1 ( x) +ψ2 ( x) | 2 , B 3 ( x ,0) = α3 ,A ( x ,0) =α, v ( x ,0) = 0 以及μ( x ,0) = 0. 若令 Ω2 ( x) = 4[δ2 ( x) - 4| G| 2 ,则将 (13) 式代入到 (12) 式中 ,即可解出各系数的含时解为 A ( x , t) = B ( x , t) = 2 Ω( x) e - ΓtΠ2 Ω( x) 2 αcos(Ω( x) tΠ2) + [2 | G | α3 - iδ( x)α] ×sin[Ω( x) tΠ2 ] , (14a) ν( x , t) = - 4 | G | ΓNe - Γt 4 | Ω | + ΓΩ2 ( x) + Γ2 sinΩ( x) t Ω( x) + 1 - 4 | G | + ΓΩ2 ( x) + Γ2Γ cosΩ( x) t - 1 Ω2 ( x) - 1 Γ 4 | G | + Γ Ω2 ( x) + Γ2 (e Γt - 1) + N (1 - e - Γt ) , (14b) μ( x , t) = - ΓNe - Γt 4 | Ω | + ΓΩ2 ( x) + Γ2 cosΩ( x) t - 1 - 4 | G | + ΓΩ2 ( x) + Γ2Γ sinΩ( x) t Ω( x) - 4 | G | + Γ Ω2 ( x) + Γ2 e - Γt + i2ΓNδe - Γt 4 | Ω | + ΓΩ2 ( x) + Γ2 sinΩ( x) t Ω( x) + 1 - 4 | G | + ΓΩ2 ( x) + Γ2Γ cosΩ( x) t - 1 Ω2 ( x) - 1 Γ 4 | G | + Γ Ω2 ( x) + Γ2 (e Γt - 1) , (14c) 利用特征函数与密度算府之间的关系[23 ] ,可重新得 到ρ^( x , t)为 ρ^( x , t) =∫d 2λ πχ( x ,λ, t) e - |λ| 2Π2 exp ( - λa^+ +λ3 a^) . (15) 最后通过测量场的正交分量可得到两原子体系的位 置概率分布为 P ( x | χ0 ) = ² | ψ1 ( x) + ψ2 ( x) | 2 × ν+ Re{μ} + 12 - 1Π2 ×exp - (Re{ A}) 2 ν+ Re{μ} + 12 . (16) 　　由前一部分的分析可知在不考虑腔的衰变条件 下 ,通过对场的分量的测量即可很好地定位两原子 之间的相对位置. 下面我们对考虑腔的衰变条件下 原子的位置分布函数进行数值分析. 与图 1 相同 , 先设定参数ε2 tΠΔ=π,α= 8 ,以及加反馈后的增益 系数 g = 0122. 在未进入腔之前 ,两原子位置分布 函数为中心分别置于原点和λΠ8 处且相互叠加的两 高斯函数. 由于两原子高斯波包的中心距离λΠ8 小 于波包的宽度 019λΠ2π,由瑞利极限条件可知此时 我们是不能够区分出这两个原子的. 当腔的衰变常 数γ= 106 (Hz)时 ,此时腔的衰变很小 ,由图 2 (a) 可 看出在 g = 0 和 g = 0122 时 ,通过对场的分量测量 使得初始时刻中心位于原点和λΠ8 处且相互叠加且 不能区分的两高斯波包变为完全分离的两窄峰结 构 ,与图 1 (a)的结果几乎符合. 此时 ,由于腔的衰变 较小 ,即使未加反馈我们也能很好地分辨出这两个 5121 期 程桂平等 : 反馈法定位两原子之间的相对位置 原子. 当腔的衰变常数增大到 5 ×106 (Hz)时 ,由图 2 (b)可看出 ,未加反馈时通过对场的分量测量仍可得 到中心位于原点和λΠ8 处的两窄峰结构 ,但此时两 窄峰比衰变常数为γ= 106 ( Hz) 时的窄峰稍宽 ,导致 两窄峰有小部分的叠加不能完全分离. 一旦加入反 馈后 ,相互叠加的两窄峰各自变窄从而可完全分离 开. 同样地 ,如图 2 (c) 所示 ,当腔的衰变常数增至 107 (Hz)时 ,未加反馈时窄峰变得更宽 ,而一旦加入 反馈后 ,即可使它们重新变窄从而完全分离开. 当 腔的衰变常数增大到γ= 5 ×107 ( Hz) 时 ,由图 2 (d) 可知未加反馈时 ,两窄峰变得更宽以至完全叠加在 一起 ,加入反馈后也只能使它们稍微变窄不能完全 分离开. 继续增大腔的衰变率到 108 ( Hz) 时 ,由图 2 (e)可看出 ,即使加入反馈后通过对场的分量测量 也不能定位两原子之间的相对位置. 这表明若腔的 衰变不可忽略时 ,它的存在必然会损害两原子之间 图 2 　初始时刻置于λΠ8 的原子的位置分布函数 (i) ,初始时刻置于λΠ4 的原子的位置分布函数 (ii) ,考虑了腔的衰变但并 未加反馈时两原子的位置分布概率函数 ( g = 0) (iii) ,考虑了腔的衰变和反馈时两原子的位置概率分布函数 ( g = 0122) (iv) . 腔的衰变常数γ(Hz)为 (a) 106 , (b) 5 ×106 , (c) 107 , (d) 5 ×107 , (e) 108 . 612 物 　　理 　　学 　　报 57 卷 的相对定位能力 ,并且随着腔的衰变常数越大这种 损害的程度越大. 只要腔的衰变常数不是足够大到 完全损害原子之间的相对定位能力 ,则加入反馈后 可产生减弱这种损害的效果 ,从而又能较好地分辨 出这两个原子. 这是因为引入反馈后使得腔中光场 在 X0 分量上的量子噪声被压缩 ,从而利用差分零 拍探测器测量场的正交分量 X0 时导致两原子位置 的不确定度降低 ,因此引入反馈后变宽的两波包可 重新部分变窄 ,所以我们又能较好地分辨出这两个 原子. 41 结　　论 　　本文研究了置于一个单模驻波光腔中的两个二 能级原子 ,它们相互之间的距离足够小以至于我们 不能区分. 而一旦利用差分零拍探测器测量场的正 交分量后 ,发现在忽略腔损耗时 ,两原子各自初始时 的波包分别变窄 ,从而原来不可分辨的两原子能够 很好地被区分为两个单独的原子. 但是利用差分零 拍探测器测量场的分量将无可避免导致腔场与外界 的真空场发生作用 ,所以腔的损耗不可忽略 ,从而两 原子的定位能力受损. 而通过将差分零拍测量所输 出的信号反馈回光腔中的方法 ,两原子定位能力的 受损程度将会被减弱. 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Rev. 177 1882 7121 期 程桂平等 : 反馈法定位两原子之间的相对位置 Localization of the relative po sitions of two atoms in the pre sence of optical feedback 3 Cheng Gui2Ping 　Zheng Jun 　Deng Wen2Wu 　Li Gao2Xiang ( Department of Physcis , Huazhong Normal University , Wuhan 　430079 , China) (Received 14 March 2007 ; revised manuscript received 14 May 2007) Abstract We have investigated the localization of the two atoms passing through a standing wave in an optical cavity by measuring the field quadrature. It was found that the localization of the two atoms can be better preserved in the absence of the damping of cavity. If the damping of cavity is taken into account , the compromise of atomic2position localization resulting from the damping of cavity can be decreased by feeding back into the cavity part of the output signal . Keywords : two two2level atoms , the field quadrature , feedback , localization PACC : 4250 3 Project supported by the National Natural Science Foundation of China ( Grant No. 60478049) and by the Natural Science Foundation of Hubei Province , China ( Grant No. 2006ABB015) . 812 物 　　理 　　学 　　报 57 卷