2019年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）

2019年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，，则　　A．， B． C．， D．，2．（5分）已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于轴对称 D．在区间，上单调递减4．（5分）已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则　　A．26 B．52 C．78 D．1045．（5分）已知直线，和平面，，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数，若（a），则的值是　　A．1 B．2 C．或2 D．1或27．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为　　A． B． C． D．8．（5分）若，满足约束条件，则的取值范围为　　A．， B．，， C．， D．，9．（5分）已知数列中，，，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是　　A． B． C． D．10．（5分）在中，，，为的重心，则的值为　　A．1 B． C． D．211．（5分）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，△的面积为，则双曲线的离心率为　　A．3 B．2 C． D．12．（5分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，，则在方向上的投影为　　．14．（5分）某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是　　．15．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是　　．16．（5分）已知数列的前项和为，数列的前项和为．满足，，，且，若对任意，恒成立，则实数的最小值为　　．三、解答題：共70分．解答应写出文字说明，过程或演算步骤．17．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，的周长为6，求的面积．18．（12分）如图所示，是边长为2的正方形，平面，且．求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使三棱锥的高？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程．（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？ 优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 250 没有学习大学先修课程 总计 150 （Ⅱ）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率．参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式：，其中20．（12分）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求的最小值．21．（12分）设函数．（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，讨论函数的零点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是，为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数，．（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，，求实数的取值范围．2019年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【解答】解：集合，，则，，．故选：．【解答】解：由，得，复平面内与复数对应的点的坐标为，在第四象限角．故选：．【解答】解：，函数的最小正周期，，为偶函数，其图象关于轴对称，在，上单调递减，故在，上单调递增．故选：．【解答】解：等比数列中，，可得，解得，数列是等差数列中，则．故选：．【解答】解：直线，和平面，，则“”与“”相互推不出．“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：．【解答】解：①当时，解方程得：，②当时，解方程得：，综合①②得：方程（a）的解为：或，故选：．【解答】解：根据几何体的三视图：得到：该几何体是由一个长为2，宽为4高为2的长方体，挖去一个半径为1，高为4的圆柱构成，故：，．故选：．【解答】解：作出，满足约束条件的可行域如图：，表示区域内的点与点连线的斜率，联方程组可解得，同理可得，当直线经过点时，取最小值：，当直线经过点时，取最大值．则的取值范围：，．故选：．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，，；第1次循环，，；第2次循环，，；第3次循环，，；所以，程序运行时计算的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出时，能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的．故选：．【解答】解：取中点为，因为为的重心，则，由三角形法则有：，所以，，故选：．【解答】解：是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，，△的面积为，可得的纵坐标为：，．直线的斜率为，所以的横坐标满足：，解得，则，，，，所以，，所以双曲线的离心率为：．故选：．【解答】解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，，，如图，此时可以取最大值，可知，，则有，即，即有．②构成三棱锥的两条对角线长为，其他各边长为2，如图所示，此时．当①中，平面时，三棱锥体积取最大值，此时．此三棱锥体积的取值范围是，．故选：．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解答】解：，，，，则在方向上的投影为．故答案为：【解答】解：号、26号、54号同学在样本中，，，抽样间隔为14，样本中还有一位同学的编号应是．故答案为：40．【解答】解：由题意，设，且，由，；的面积为，的面积为，在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是．故答案为：．【解答】解：数列的前项和为，满足，，，时，，解得．时，，化为：．时，．时上式也成立．．，．．若对任意，恒成立，则实数的最小值为．故答案为：．三、解答題：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）中，，由正弦得：，又，，又，，又，，；分（Ⅱ），的周长为6，，由余弦定理可得：，，可得：，分分【解答】解：（Ⅰ）证明：平面，，，又，平面，平面平面；（Ⅱ）由，，，得，，易知平面，，，又由，可得（三垂线定理），得，，，，故存在点满足题意，且．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下； 优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 50 200 250 没有学习大学先修课程 100 900 1000 总计 150 1100 1250由列联表计算，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系；（Ⅱ）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程学习的两名学为、，没参加大学先修课程学习的3名学生为、、，在这5学生中任选3人，基本事件是、、、、、、、、、共10种，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有共1种，则这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率为．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆知，其右焦点为，即抛物线的焦点为，，解得；抛物线的标准方程为；（Ⅱ）①当动弦所在的直线斜率不存在时，易得，；②当动弦所在的直线斜率存在时，易知的斜率不为0，设所在直线方程为，且，，，，联立方程组，消去得；，，且△；；所在的直线方程为，联立方程组，求得点，，；综上所述，的最小值为2．【解答】解：（Ⅰ）当时，，，当或时，；当时，．所以，函数的极大值为，极小值为；（Ⅱ）①当时，令，解得或，在和上单调递增，在上单调递减，当时，，在上单调递增．所以，当时，当时，，此时，函数无零点；当时，，（2），又在，上单调递增，所以，在，上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点；②当时，令，解得或，在和上单调递增，在上单调递减，当时，，此时，无零点；当时，，，令，，则，令，所以，，，，在上单调递增，得（2），则在上单调递增，所以，（2），即，所以，在，上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．综合①②知，当时，函数在定义域上有且只有一个零点．[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：（Ⅰ）直线的参数方程是为参数），转换为直角坐标方程为：．转换为极坐标方程为：．曲线的参数方程是，为参数），转换为直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为：．（Ⅱ）由于，所以：，．所以：，所以：，由于：，故：，所以：．[选修4-5：不等式选讲]【解答】解：（Ⅰ）函数，．，解得或；（Ⅱ），时，不等式，即：，可得：，．，不等式的解集包含，，即：且，．实数的取值范围：，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/4/523:06:49；用户：James；邮箱：15399095293；学号：8796782第1页（共1页）