斐波那契数列

揭开斐波那契数列神秘的面纱 ——评论《优化组合对大自然世界的承诺与意义》—— 黑龙江省林口县中医院 赵坚 邮编：157600 摘 要: 阐述斐波那契在自然界的重要意义 关键词: 斐波那契数列,黄金,完善连分学理论 图书类:0156.1 斐波那契数列与黄金分割率 公元1202年,意大利人斐波那契（Fibonacci.1170~1250）完成计数系统名著《算盘书》（Liber abaci）中,提出了历史上有名的“兔子”繁殖问题:“把一对兔子放在四面包围的地方,假定每个月一对兔子生下另外一对,而这新的一对在二个月后就生下另外一对,这样一年后它会有多少对兔子”. 答案:就是神秘的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…… 自此以后,斐波那契数列的追随者们趋之若骛,以不可抵挡的逻辑性增加着……,并且形成一个庞大的崇拜势力.成为审美与和谐的象征,斐波那契数列迅速走红,因为它的应用简直就无处不在,到处都可以找到它的身影…… 甚至英国一个交响乐团也由此命名,托布里奇威尔斯音乐节演绎大巴赫篇章的“斐波那契交响团”,这是英国最重要的室内乐团之一.审美和谐性追求由来已久,自然界中斐波那契是留给人类的一个最大惊喜.天之娇子,不但是自然界生命循坏的一部分,同时也是一位伟大卓越的观察者,斐波那契数列的魔力在于人类与生俱来的探奇欲望.斐波那契数列的执著者们用原始的审美欲望和渴求,成为一个强有力的证据.尽管和谐性曾被现代主义艺术者们有所颠覆.但是对于美的追求——古希腊时代毕达格拉斯开始周而复始.这位西方世界的美学之父有着超凡脱俗的先知能力,卓越的思想品格始终占据着领袖的地位.这方面在亚里士多德的《纯哲学》中就可以看到有关于他的理论概念.甚至古希腊的先贤柏拉图都相信混沌的外观下一定隐藏着永恒的真理世界,而数学则向人类显示出了这一隐形的秩序.从第谷的得意门生——天空的立法者刻卜勒到巴罗的学生——牛顿在研究宇宙天体运动时聆听到和谐与共鸣的声音——到最美妙神奇的比率——“黄金分割”的形成,才奠定了西方科学与艺术根基,它曾被欧洲史上最具影响力的建筑帕特农神庙严整的柱廊建造者们所运用的炉火纯青,臻于化境.而其后的几个世纪,虽然也曾有过背后的沉寂,但一直都没有间断过.我们可以看到中世纪欧洲莱比锡议会大厦分割比例到巴黎的圣母院留下的痕迹而名闻遐迩,几乎每一座古典建筑都在试图仿照着这个数学美的模式,文艺复兴时期建筑更是对毕达哥拉斯和谐的思想进行大规模的发掘,从历史中我们看到这个时期坚定于黄金分割比率的颂歌——路加·帕西欧里修士《神圣分割》一书于1509年出版,其中就有达·芬奇的五个柏拉图立体图形,均来自数学的科学与艺术灵感,在意大利那不勒斯卡波迪蒙美术馆和圣保罗大教堂陈列着一尊帕西欧里的肖像,被刻画成古代数学家的理想人物——占星家,他的神圣比例的主张在其后几个世纪中也影响了整个西方科学界.欧洲文艺复兴时期对几何学的崇拜狂潮中,涌现了罗马甲尼可洛山上的布位曼特小教堂和圣保罗大教堂圆屋顶上拉斐尔绘画等杰作…… 历史到了1877年,法国数学家杜瓦尔·卢卡斯重新发现了斐波那契数列的重要意义,现代数学启蒙人物或者卢卡斯教派的形成.作为衔接古代和现代数学的关键人物——达·芬奇,同样为自然所呈现的规则性和恢宏的张力及流淌的动感所着迷,他最钟爱的莫过于自然界产生的螺旋形,这个形状出现在他作品的每个角落,它代着自然界流动中的和谐,错落中有序,当我们聆听他的《赋格的艺术》时,似乎让灵魂触摸那股深邃的、涌动的巴洛克式的宇宙中优美的曲线,现代艺术已经与科学的许多领域相交叉、融合、渗透,从最抽象的数学空间那里获得无数的灵感,这个世界的自然美,斐波那契800年的历史中已经充分地证明了这一点. 斐波那契数列是大自然法则,大自然是最优秀的设计师,它从来不浪费资源,遵循着最节俭最优化的方式.确实值得人类顶礼膜拜,斐波那契数列自然界中的例子俯拾皆是——向日葵花盘上有21列逆时针,34列顺时针或34列逆时针,55列顺时针的交错螺旋,它有时甚至能达到89条逆时针,144条顺时针交叠螺旋.这些都是斐波那契数列中相邻的两项.许多常见的植物叶子排列也都是斐波那契螺旋——顺逆的数目也恰好是斐波那契序列中的相邻.雏菊花冠排列的螺旋花序中小花互以137.5度的夹角分布着,这个角度可以确保雏菊茎杆上每一枚花瓣都能接受到最大量的阳光照射,还有很多这样的例子,梨树抽出的新枝,蔷薇花,蓟叶等莫不如此.菠萝果实上的菱形鳞片,8行向左倾斜,13行向右倾斜,挪威云彬的球果在一个方面上有3行鳞片,在另一个方向上有5行鳞片,落叶松松果上的鳞片在两个方向上排成5行和8行（美国松松果鳞片是3与5）,遗传决定了花瓣数和松果的鳞片数,那么为什么斐波那契数列与它们如此巧合,植物在长期适应进化的结果,植物所显示出来的数学天赋及特征是植物生长过程中必然产生的结果,它受到数学规律的严格约束,换句话说,植物对斐波那契数列情有独钟,斐波那契螺旋是大自然中一朵绚丽的奇葩.黄金分割比蕴含蕴藏着丰富的美学内涵,成为世代相传的审美经典至今方兴未艾……另外许多植物的叶子从中轴附近生长过程中,一直都能最佳地利用这种空间形式,相邻两叶之间就是“黄金角度”——222.5度,和整个圆周360度之比是黄金分割0.618033989……的倒数,黄金角倍受植物的青睐,车前草就是一例,轮生的叶片夹角正是137.5度,按照这一角度排列的叶片,能很好地镶嵌又互不重叠,这是植物接受光面积最大的排列方式,每片叶子尽可能多的获得阳光,从而有效提高植物光合作用效率.人类在仿生学方面采用车前草这种排列的数学模型设计了螺旋式高楼,最佳采光效果使楼的每个房间非常明亮.英国科学家沃格尔用大小相同的许多圆点代表向日葵花盘的种子,根据斐波那契规则尽可能将这些圆点挤压在一起,计算机结果显示若发散角小于137.5度大于这个角度,那么花盘上就会出现空隙时只能看到一条螺旋线,发散角等这个黄金角,花盘上就呈现出紧密镶合的两组螺旋线,让我们想到,只有这种选择,花盘上种子分布有效,花盘也变得紧固壮实,后代的生出的几率也高,率先斐波那契数列排列方式才是最佳的选择之一. 在生命进化中,人类基于本能的需要去设计,形成最优的细胞结构并遗传下去,黄金分割结构是人类在自然获取能量过程中的最佳选择之一,由于人体细胞脱氧核糖酸DNA双螺旋基因链具有黄金分割性质,因为在自然界的黄金分割结构会产生较高程度的共振,共鸣,能大幅度降低不同主体之间的信息交互成本.脱氧核糖酸（DNA）双螺旋是二十世纪三大科学发现之一（相对论,量子力学）,克里克和沃森曾制造出一个DNA模型,当时让碱基A与A,T与T对接可以符合已经数据,但因碱基分子大小不齐使两条螺旋骨架扭曲.沃森陷和沉思,认为DNA应该有简洁,和谐及美的结构,才将模型折开按长短搭配,让A与T,G与C配对(腺嘌呤、胸腺嘧啶、鸟嘌呤和胞嘧啶(简称A,T, C, G)),这样的装配模型具有伸展和谐性,而且符合符合A与T及G与C数目各相等的要求,DNA之谜被解开,从1953年发现DNA结构到2002年人类基因组计划草图的工作完成,科学家已经打开的神秘的生命之门,其中景象美不胜收令人叹为观止.我们已经知道分子中代码包含了建造(复制)、控制、维持生命机体所需的一切信息,随着人类基因密码破译速度的加快,DNA分子的螺旋阶梯结构及它们的作用机理和碱基对的排列及组合关系,与黄金分割理论密切相关,优化组合是打开生命之门的一把钥匙,它的数字密码背后就隐藏着人类身体的语言……. DNA的螺旋被称为生命的曲线,在解开DNA谜之后,人们陆续发现糖核酸分子（RNA）,多肽及蛋白质的分子也有螺旋结构,都具有黄金黄金分割性质,对地球生物来说一种双螺旋生有两种碱基横杠,并可折分四种分子单元,呈现多阶螺旋排列衍生万千物种.在自然界中,一个蜂巢的雄蜂与雌蜂的比例为1.618,向日葵花盘有两种相反弧线排列,相邻两圈直径比例为1.618,昆虫身体分节,植物叶子排列等都是1.618……艺术.在里昂纳多·达·芬奇著名的男性裸体画《威特鲁为人》中,都遵循了这个比例（就是一个圆里面一个四肢分开的男人那幅画）,人体中比例完全符合黄金分割,身高除以肚脐以下的比例,大腿除以膝盖以下的比例,肩膀到指尖的距离除以肘关节到指尖的距离,脊柱分节,手指关节等,全都是1.618,从米开朗基罗,阿尔布莱希特雕塑作品,到,达·芬奇绘画,贝多芬第五交响乐,莫扎特的奏鸣曲,巴托克,舒伯特甚至斯特拉迪瓦的小提琴等作品全部符合黄金分割比例,拥有黄金比例的事物永远是美的,就连lntel(英特尔)和AMD(超微)的CPU的主频都一直近似于斐波那契数列方式增长,兴许不自觉地遵守着这个规律,要么就是秘而不宣的事实.中国青年数学家——著名计算机专家洪加威教授曾经证明了黄金分割的最优性. 什么是优化组合？ 顾名思义,在集合: 中,取出 个元素,以什么样方法排列或组合,才是最优化的,这方面的研究和进展十分缓慢. 1998年赵坚在《哈尔滨工业大学学报》第4期发表《关于初等数论中一个新发现的基本定理及证明》一文,才首次揭开了这个谜团.给出了“最大公约数完备性定理”—— 如果 . 那么 + 其中： = , = , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , 这里 , 或 EMBED Equation.2 , 当 时,有 . 将 两个依次递推,分别有： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,……; 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,……. 它们都是斐波那契数,也叫黄金分割数. 因为 … 上定理是优化组合的“第一黄金定理“,深刻地勾勒出斐波那契有序数列(Fibonacci)与最大公约数之间发生的联系.它有五大特点,即以直观、简洁、奇异、对称及美丽于一身而著名.它是建立健全了最大公约数理论体系必要条件,为数论公理化过程铺平了道路.这也是自《算盘书》提出“兔子繁殖”问题以来,历史上一直披着神秘面纱的斐波那契数列,终于落下帷幕,露出诺大冰山的一角.“黄金分割律”已经不在神秘了.下面就是用具体的例子,对“最大公约数完备性定理”进行一次剖析—— 我们知道： 由欧几里德倒推法,依次有: , , 以上边 等号右边为例,令： ,等式右边共2顶,记 .同理,我们依次有： , , , , EMBED Equation.3 这样, 问题归结为如何计算下列,即: , 及 , 的组合个数问题. 由上面这个例子,它的组合可分为两种情况: 中,分别取出0个,2个,4个,要求下标第一个是奇数,第二个是偶数,第三个是奇数,……依次类推, 且下标是从小到大的组合,这种形式我们称为“奇—偶相间”. .中,分别取出1个,3个,要求下标是第一个是偶数,第二个数是奇数,第三个是偶数……依次类推, 且下标是从小到大的组合这种组合称为“偶—奇相间“. 这样我们给出优化组合第一类定义: 表示从 中,取出 个,满足“奇—偶相间”且有形成大小顺序的组合,其个数记为 ,当遍历 , 时,个数记为： ,(注：这里奇偶—相间) 同理,我们可有： 及 (注,这里是“偶—奇相间”). 赵坚在《关于初等数论中一个新发现的基本定理及证明》中给出了的斐波那契数列的组合式 = 这个等式右边有明显的组合意义,是目前关于斐波那契数列研究的最新成果,斐波那契数列用组合式表示,在数学中尚属首次.整个优化组合理论就建立在这个最基本关系式上. 当 时, 它相当于在集 中每次取出1个、3个、5个,即: , , , 或 这一点类似于数学中著名的牛顿二顶式定理,而这个例子中它是“奇—偶相间”形式,从小到大顺序的组合(参阅前面给出的优化组合第一类定义). 8就是斐波那契数列 的值.这也看到这种组合为什么称为优化组合.本来组合属于离散数学,而斐波那契数列确是有序的,这也充分说明数学的奇妙,对大自然世界的切割与缝合.所以,斐波那契数列的组合式建模工作基本完成. 斐波那契数(黄金分割数)与组合数学的关系而建立联系的这种“黄金组合”模型是赵坚在数学上首次引进的——它挣脱了欧氏几何在二维平面上分割线段的内外比例（黄金分割律）,这才是对世界最真实描绘,同时它本身为数论增添了新的活力.这样我们从最大公约数的角度上导出与斐波那契数列及黄金分割联系,更充分显示出在数论中的尊崇地位,同时也完成了斐波那契数列肩负的历史使命. 我们进一步引申,在集 中取出 个且 满足“奇—偶相间”,形成大小顺序的组合,记为 ,当遍历 时,记 那么 = EMBED Equation.2 其中 或 2000年赵坚在《哈尔滨工业大学学报》第6期发表《关于一般二阶线性齐次递归方程在数论中的应用》一文.,首次给出二阶线性递归函数的组合式: 如果 EMBED Equation.2 那么 = 它将“黄金分割律 ,斐波那契数（ ）和优化组合”三位一体,承载“最大公约数”这座桥梁而有机结合起来,这是一个典型的螺旋型波动方程,自宇宙大爆炸以来,这个膨胀的世界它就几乎无处不在……这美丽的形状看似与周围一些杂乱无章的摆设形成一个多么鲜明的对比,为啥大自然中反复出现神秘螺旋和如此精确的有序结构.这些都是我们人类长久以来苦苦思索的问题…… 展望未来, 我们会看到优化组合对生物学产生重大影响,生物数学将迎来优化组合时代……斐波那契数列——大自然最美妙的密码,将继续勾起人类孜孜不倦的求知欲望.千百年来,人们对斐波那契数列研究兴趣不衰,大量成果不断涌现,在数学上随处可见.1963年V·霍加特（Hoggatt）在美国成立了斐波那契协会,创办了《斐波那契季刊》,足见其影响力之大.应该感谢大自然的造化神功,让一个光怪陆离的世界,变得有声有色万物欣欣向荣…… 赵坚在《优化组合对大自然世界的承诺与意义》中,给出关于二阶线性递归函数的一个重要结果: 如果 那么 = = EMBED Equation.2 综上所述,斐波那契数列组合式,可分为三类: 第一类斐波那契数列组合式： , 即: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…. 它等价于 第二类斐波那契数列组合式： , EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 即: 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,……它也是黄金分割数. 它等价于 + 第一类斐波那契数列与第二类斐波那契数列存在对偶关系. 第二类斐波那契数列重要性和对自然界的意义, 它丝毫不逊色于第一类斐波那契数列,甚至更全面地刻划了优化组合本质这就消除了历史上曾留下的疑惑.这些都是长久以来数学所企盼的结果 第三类斐波那契数列组合式： , 即:0,2,2,4,6,10,16,26,42,68,…….它等价于下式: + 我们可以看到斐波那契数都一再出现了这种神秘的“黄金组合”模型,它毕竟是一个新发现的组合类,更是一类新型的数论函数,具有一个共同的特点: 就是以斐波那契数列组合式为模.这也是数论与组合学的交叉渗透,相互促进而融合的结果,对于我们从本质上认识它必产生影响.从它的递归组合式上就可推出许多重要东西,上述工作对费马质数、梅森质数的判定及其它性质研究中具有意义.同时将它们归属在“优化组合”范畴内进行定量研究指明了方向.数论一个中心问题就是如何判定一个递归类函数中质数问题;而判定斐波那契数列（Fibonacci）,费马数列（ ）和梅森数列（ ）中大质数一直困惑着我们,而用递归组合式分项研究就能得到许多重要的性质,在计算上达到化繁为简的目的,同时为大质数判定开辟一条崭新的方向.下面将可能形成费马数与梅森数递归组合式给出,取最简单的一种情况: 令 时, 转化为费马数组合式. 令 为质数时,转化为梅森数组合式 由此,梅森数组合递归式立即推出完全數的組合递归形式.我们知道而每一个梅森质数都可以形成一个偶完全数.梅森质数的研究现在仍旧是数论中的一个热点,人们不断地寻求更大的梅森质数.另外,可以直接得到最简单情况下能生成偶完全数的递归组合式: 令 为质数时,转化为完全数组合式. 费马数列组合式,梅森数列组合,完全数组合式,在数学中首次给出,它们与斐波那契数列息息相关. 优化组合与连分学关系的探讨 连分学作为一门古老的数学艺术形式,至少产生于公元前300年左右的古希腊时期,当时人们曾将一个分数化为连分式形式.历史已经证明,即使发展到今天,它仍具有强大的生命力,特别是对丢番图不定方程的逼近上,已成为数论中一个重要的分析工具之一 赵坚在《优化组合对大自然世界的承诺与意义》中给出第二类优化组合的定义: 在:集合 ={1,2,3,…, }中,当 时,每取出 个数 ,要求满足集M中相邻的数在组合中不得相邻,并且形成从小到大顺序的组合,其所有可能组合的个数记 ,跑遍 时,有 . 为组合指标. 这类组合形式被称为第二类优化组合. .对于一般连分式: ,我们将它们展开如下表: 组合情况 累计 展开式的分子与分母 1 6 10 4 1 5 6 1 连分学基本理论的完善及重要应用 我们知道,自从连分学产生以来,始终没有找到把一个连分式逐步导开,它们所遵循的基本规律,本节将这个问题进一步阐述,并且建立完善的理论. 赵坚在《优化组合对大自然世界的承诺与意义》中给出下列关系式: = , EMBED Equation.2 这里 或 EMBED Equation.2 当 时,有: , , 即 我们可以跟前面例子对比,这里也是斐波那契数列 的那项值,虽然跟上例结果相同,但是组合的内容不同,这就是第二类优化组合,与第一类优化组合的根本区别. 由上面的工作,赵坚在《优化组合对大自然世界的承诺与意义》一文中给出下面定理: 如果 ,那么 其中: = , = EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 这里 或 EMBED Equation.2 此定理被称为“第二黄金定理”.从优化组合研究中斐波那契数列组合式一直占据主导地位是贯穿本文的纲领,它曾是无冕之王.现在,我们得出斐波那契数列无愧于数学世界的第一数列. 现在产生疑问,这个定理中的 是不是 的最大公约数呢？比如下面: 显然, , =1或者 =2,这说明了 是 的约数,同样, ,有: 就是说, , 这个定理说明: 是 的最大公约数的约数. 在数论中, 我们知道求两个数的最大公约数不外乎两种基本方法, 一个是由整数唯一分解定理,即: 其中 表示 中较小的数. 当然,一个数很大时往往很难知道它的质因数式,所有这种方法就存在着一定的局限了. 另一种方法就是我们熟知的欧几里德辗转相除法,即: 当 , . 从欧几里德辗转相除法中,赵坚在此工作基础上引申出来“最大公约数完备性定理”,前面阐述过,即“第一黄金定理”. 第二黄金定理对数学的影响是非常巨大的,这也是两千多年来对最大公约理论的一次重大改革,这也是对西方数学体系进行的一次最大的修整和补充.“第一黄金定理”和“第二黄金定理”对于现代信息加密和编码理论特别重要,在机器自动化控制和机器证明方面得到更广泛的用途,.特别值得一提的是, 我国著名数学家吴文俊运用机器证明几何命题方面成果举世瞩目,欧几里德几何体系公理化已经由希尔伯特完成,而“数论”公理化过程将由优化组合理论来完成,当然,这些问题也涉及到希尔伯特第十问题,特别是对丢番图不定方程的研究,将产生深远的影响力…… 黄金大定理的最后完成工作 对于一般连分式 , 当 时展开,从分子分母中,我们进一步用组合方法分析: EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 , , , , , EMBED Equation.2 , , 它的一般项 为: , 其中 的下标 为奇偶相间（或偶奇相间）,从小到大组合的个数 .属第一类优化组合. 而 中下标 属第二类优化组合.其组合个数是 EMBED Equation.2 , 下标中任意一项与 中每一项下标都互异,令: EMBED Equation.2 将一般连分式进行展开处理,当 时看下表: 时组合分配情况 累计 配对组合情况 . 1 + + + + + 6 + + + + + + + + + 10 + + + 4 21 一般地, 的下标组合顺序是从小到大组合排列的, 的下标组合顺序是从大到小组合排列的. 下标组合最小者与 中下标最大组合配对,.之后 下标其次那个最小者与 ,下标其次那个最大者配对,依次类推…… .可以看出:前一个组合个数和后一个组合个数相等 = ,它的配对方法是唯一. 最后,赵坚在《优化组合对大自然世界的承诺与意义》中给出“优化组合”中最重要结论: 如果 , 那么 其中 , , , 这里 或 EMBED Equation.2 这个定理就是“黄金大定理”,它将第一黄金定理和第二黄金定理统一起来,它们仅仅是“黄金大定理”的一个特例。 当 ,即得最大公约数完备性定理(即黄金第一定理) 时, 是 最大公约数 当 ,即得第二黄金定理. 当 , 不一定就是 最大公约数.这与第二黄金定理的结论相同,就是说 , 是 最大公约数的约数.这里还有很多事情值得我们继续深入研究的. 当 ,显然有 ,比如: 有多少个 的情况, 有多少个 . 其实我们继续做下去,就会知道 的情况共有7种, 的情况共有2种,这 跟 及它们的最大公约数 存在着什么样关系呢 ?这是值得继续研究的课题. 数学分析中大部分无穷级数都可用连分学展开处理,融进优化组合之中,它在数论中的重要性已经凸现出来.对有理分数最佳逼近就特别有用,在计算机上进行程序编码之后就迅速地给出对于数学上有价值的结果,同时对丢番图不定方程分析以及定量研究的并会产生积极的影响.赵坚《优化组合对大自然世界的承诺与意义》一文,目前来讲,只是对优化组合理论进行了初步尝试性的研究工作,但已经初露端倪就显示出它最神奇的一面,就让我们孜孜不倦地追求,只有真正读懂斐波那契数列,才会看到造化天地物的主宰——大自然女神是如此的美丽……从优化组合中看到斐波那契的重要和黄金分割留给人类的一个永恒的神话. 自然界始终是我们的启示录,人类必须尊重社会与自然的和谐……我们师法自然,自然界是人类的老师,我们从自然中学会了生活.我们在日常生活中看到更多的优化的例子值得效法,我们观察到——所有草本植物的茎杆(如向日葵杆,稻杆,麦杆等),长成空心杆,奥秘在于用最少的材料来获得最稳固的结构,在风和果实本身重力作用,茎杆将发生压缩,扭转和弯曲,从力学的角度看,实心圆与空心圆在直径相同的条件下两者具有相同的抗扭和抗弯能力,另外空心杆有利于摄取营养集中到果实上来,缩短了生长期.动物进化过程中也极其惊人地贯彻这一简约的原理,北极高寒地带的海豹、北极熊体型宠大,看上去象个圆球,其实在遵循着一个自然法则——立体几何体中球体积最大而表面积最小,这样可将全身散热面积减至最小,以最大限度地减少热量的散失,保持着体温,恒温动物的体温一般保持在摄氏37度,其它动物一般保持35度,之所以提高2度——是因为人体的新陈代谢和呼吸循环要比一般动物机能要复杂得多.还有昆虫的翅膀非常薄,用料极少,像蜻蜓的翅膀仅5.1 厘米,面积4.6平方厘米,重0.005克,但它却有足够的强度和刚度,每秒钟能扑动20至40次飞行速度每秒达15米.用最少的料,却能保证够用,大自然优化设计这一器官时不能不说费尽心机又巧夺天工,大自然从遥远的亘古洪荒走到今天一直如此. 简约是美丽的,简约带有生命的特征,带来的是欢愉和快感.优化组合对大自然世界的承诺,反映出一个不争的事实——强烈的节约意识;“斐波那契数列”的组合模式便是自然界最佳选择之一;万物生长过程中能量起到至关重要作用,“黄金分割律”的用途是减少消耗或积蓄最多的动量达到节省目的.它们三者之间联系密切,即对立又有机地融合为一个统一体.是人类仿生学的榜样和必须遵守的基本原则,其意义深刻.斐波那契数列是自然选择过程中的不二法门…… 参 考 文 献 [1] 赵坚:关于初等数论中一个新发现的基本定理的证明 《哈尔滨工业大学学报》1998,30 (4): 43-46. 《世界学术文库·华人卷·第2卷》2000,2(1): 553-556 [2] 赵坚:一般二阶线性常系数齐次递归方程在数论中的应用 《哈尔滨工业大学学报》2000,32 (6): 132-135. [3] 赵坚:优化组合对大自然世界的承诺与意义 《中国科技文献中心》(预印本系统)2006.03.15 1 _1053878739.unknown _1205321250.unknown _1205643947.unknown _1205655476.unknown _1205657894.unknown _1205731748.unknown _1205827003.unknown _1205830096.unknown _1205833253.unknown _1205830049.unknown _1205733948.unknown _1205737958.unknown _1205659689.unknown _1205660930.unknown _1205669740.unknown _1205669908.unknown _1205661221.unknown _1205660969.unknown _1205660420.unknown _1205660478.unknown _1205660328.unknown _1205659355.unknown _1205659630.unknown _1205659299.unknown _1205657507.unknown _1205657674.unknown _1205657796.unknown _1205657593.unknown _1205656252.unknown _1205656567.unknown _1205656213.unknown _1205653812.unknown _1205654125.unknown _1205654634.unknown _1205653913.unknown _1205653459.unknown _1205653771.unknown _1205653413.unknown _1205579161.unknown _1205582543.unknown _1205583655.unknown _1205583962.unknown _1205584438.unknown _1205584836.unknown _1205584874.unknown _1205584175.unknown _1205583780.unknown 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