简单随机抽样

null简单随机抽样的定义简单随机抽样的定义定义1 从总体的N个单元中，逐个不放回地抽取单元，每次抽取到尚未入样的任何一个单元的概率都相等，直到抽足n个单元为止，这样所得的n个不同单元组成一个简单随机样本。 定义2 从总体的N个单元中，一次整批抽取n个单元，使任何一个单元被抽中的概率相等，任何n个不同单元组成的组合被抽中的概率也都相等，这样抽样称为简单随机抽样。 null定义3 按照从总体的N个单元中抽取n个单元的所有可能不同的组合构造所有可能的 个样本，从 个样本随机抽取1个样本，使每个样本被抽到的概率都等于 ，这种抽样称为简单随机抽样。 有关指标与符号 有关指标与符号 简单估计 简单估计（一）简单估计量的定义（一）简单估计量的定义 对于简单随机抽样，最简单的估计是利用样本均值作为总体均值的估计，即总体均值的简单估计量为： 样本均值是总体均值的简单估计量。简单估计量 无偏。（二）简单估计量 的无偏性（二）简单估计量 的无偏性证明一： 抽样理论与数理统计之间样本均值性质的异同比较抽样理论与数理统计之间样本均值性质的异同比较null证明二： 这种证明方法一般称为对称性证明。 null证明三： 从规模为N的总体中抽取一个样本量为n的简单随机样本，对总体中的每个单元 ，有(三)简单估计量 的方差 (三)简单估计量 的方差 式中， 抽样比； 为有限总体校正系数。 证明： 根据对称性证明法，有 简单估计量 的方差为 null (四)简单估计量 的方差的无偏估计 (四)简单估计量 的方差的无偏估计 的无偏估计是： 式中 为样本方差。 证明： null根据对称性论证法及 的表达式，有 由此可得： null 总体总值为总体均值的N倍，即 （五）总体总值的简单估计的无偏估计为 null 设总体中有N个单位，具有某种属性的单位数为A；不具有该种属性的单位数为N-A。具有所研究特征的单位比例为： 不具有所研究特征的单位的比例为： 因此对总体比例的估计就是对总体均值的估计， 对总体中具有所研究特征单位的总个数A的估计是 对总体总值估计的一个特例。 （六）总体比例的简单估计null 利用简单随机抽样的方式随机抽取 个单位组成样本，其中 个具有某种属性，则样本比例（样本均值） 就是总体比例 的简单估计量； 就是总体中具有某种属性单位的总个数 的简单估计量。 null估计量的性质 比率估计量 比率估计量null 当存在与调查变量有密切关系的辅助变量的有效信息，且其信息质量较好时，可以利用已知的辅助变量信息构造比率估计量来改进估计的精度。 辅助变量的特点 辅助变量必须是与主要变量高度相关的； 辅助变量与主要变量之间的相关关系整体上相当稳定； 辅助变量的信息质量更好，能够对目标变量的估计起到积极的作用； 辅助变量的总体总值必须是已知的，或更容易获得的。 null 设对有两个调查变量 Y 和 X 的总体进行简单随机抽样,分别以y，x表示样本总值 ，以 表示样本均值，以 为样本比率 ，用 作为总体比率R的估计称为的比率估计 。null比率估计一般仅限于用来估计主要变量的总体均值和总体总值。 主要变量总体均值 的比率估计量为 主要变量总体总值 的比率估计量为 null比率估计量的偏倚与均方误差 比率估计量是有偏估计量，但当样本量增大时其偏倚将趋于零 。 理论上可以证明， 分别为 的近似无偏估计量,而且对于比率估计量，其方差主要取决于 与 之间的差异，当 时，估计量方差将很小，比率估计量将有很高的精度。 只有当两个变量大致成正比例关系时，应用比率估计量才能使估计精度有较大改进。null对于简单随机抽样，n较大时， 的方差为 证明：当n足够大时，于是null因为n足够大，所以因而nullnull对于简单随机抽样，n较大时， 的方差为 对于简单随机抽样，n较大时， 的方差为 比率估计量的方差估计比率估计量的方差估计第一条思路：null第二条思路： 回归估计量 回归估计量null 在简单随机抽样下，总体均值 和总体总值Y的回归估计量定义为： 其中 ， 分别为调查变量、辅助变量的样本均值， 是辅助变量的总体均值， 称为回归系数。 null二、β为设定常数情形 设 是设定常数，取β＝ ，则回归估计量 是 的无偏估计量。 其方差为 null证明： null当 时, 达最小值 证明:nullnullβ取样本回归系数情形 若β需根据样本确定，一个合理的选择是取β为样本回归系数 此时 的回归估计量 为一复杂估计量，不再具有无偏性。 nulln足够大时，总有 即在大样本下回归估计总是优于简单估计，仅在ρ＝0时 两者效果相同。 的充分必要条件为 等价于 因此除非Y 关于X 的总体回归系数B＝R，否则回归估计 总是优于比率估计，仅在B＝R时两者效果相同。回归估计与比率估计及简单估计的大样本比较