高中数学题库

高中数学库 1．(11安徽3)设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 解：∵设是定义在上的奇函数，当时，， ∴ = = =－3， 2．(11辽宁9)设函数f（x）= 则满足f（x）≤2的x的取值范围是 ：[0，+ ） 解：不等式等价于 或 解不等式组，可得 或 ，即 ， 3．(11浙江1)设函数 ,则实数 = 答案：-4或2 解：当 ，故选B 4. (11全国2)下列函数中，既是偶函数又是区间 上的增函数的是 ② ① ② ③ ④ 解：由偶函数可排除A，再由增函数排除C,D,故选B； 点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数 都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在 的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。 5. (11江西3)若 ，则 的定义域为 解：要使原函数有意义,只须 ,即 ,解得 , 6．(11年湖北6)已知定义在R上的奇函数 和偶函数 满足 且 ， 若 ，则 解：因为 则 ，联立可得 ， 又因为 ，故a=2.因为 则 ，所以选B. 7.(11重庆5)下列区间中，函数 ，在其上为增函数的是 ④ ① ② ③ ④ 解：用图像法解决，将 的图像关于y轴对称得到 ，再向右平移两个单位， 得到 ，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到 的图像。由图像，选项中 是增函数的显然只有④ 8．(11全国9)设 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时， = ，则 = － 解： EMBED Equation.DSMT4 9．(11浙江11)若函数 为偶函数，则实数 。 0 解： ，则 10. (2011年高考四川卷理科13)计算 . 答案： 解： . 11.(11江苏2)函数 的单调增区间是__________ 答案： 解：考察函数性质，容易题。因为 ,所以定义域为 , 由复合函数的单调性知:函数 的单调增区间是 . 12．(11安徽、江苏11)已知实数 ，函数 ， 若 ，则a的值为_______ 答案： 解：因为 ,所以 是函数 的对称轴,所以 , 所以 的值为 . 13．(2011年北京13)已知函数 若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根， 则数k的取值范围是_______ 答案：（0，1） 解：画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想. 1．(11江西9)若曲线 ： 与曲线 ： 有四个不同的交点， 则实数m的取值范围是 ( ，0)∪(0， ) 解：曲线 表示以 为圆心，以1为半径的圆，曲线 表示 过定点 ， 与圆有两个交点，故 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应 ，由图可知，m的取值范围应是 2.(11重庆8)（8）在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别为AC和BD， 则四边形ABCD的面积为 3. (11广东19)设圆C与两圆 中的一个内切，另一个外切. （1）求C的圆心轨迹L的方程. （2）已知点 且P为L上动点，求 的最大值及此时点P的坐标. 解：（1）设C的圆心的坐标为 ，由题设条件知 化简得L的方程为 （2）过M，F的直线 方程为 ，将其代入L的方程得 解得 因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故 ，若P不在直线MF上，在 中有 故 只在T1点取得最大值2。 高考数学函数与导数试题汇编 1、已知函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，则 2、客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ B ） A. B. C. D. 3、设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 4、设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为 0 5、设 ， 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域是 6、在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 是减函数， 则函数 在区间 上是增函数，区间 上是减函数 7、设 均为正数，且 ， ， .则 8、函数 的图象和函数 的图象的交点个数是 3 9、设集合 ， 都是 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的 、 （ ）都有 ， （ 表示两个数 中的较小者），则 的最大值是 11 10、已知函数 为R上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是 11、已知定义域为R的函数 在区间 上为减函数，且函数 为偶函数， 则 12、已知集合 ， ，则 13、设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有 的值为 1,3 14、四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口 酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）h2＞h1＞h4 15、若对任意 R,不等式 ≥ax恒成立，则实数a的取值范围是 ≤1 16、（07安徽）定义在R上的函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个正周期.若将方程 在闭区间 上的根的个数记为 ，则 可能为 D. 5 A.0 B.1 C.3 D.5 17、图中的图象所表示的函数的解析式为 B (A) (0≤x≤2) (B) (0≤x≤2) (C) (0≤x≤2) (D) (0≤x≤2) 18、（07北京）设a＞1,且 , 则 的大小关系为 m＞p＞n 19、（07湖北）对于函数① ，② ，③ .判断如下三个 命题的真假：命题甲： 是偶函数；命题乙： 上是减函数，在区间 上 是增函数；命题丙： 在 上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的 序号是 ② 20、(07山东)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 （a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 . （Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室. 21、(07重庆)函数 的图象恒过定点A,若点A在直线 上， 其中 ，则 的最小值为 .8 22、（07宁夏）若函数 的定义域为R，则实数 的取值范围 。 23、（07全国）设函数 为奇函数，则实数 。－1 24、（07北京）函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称， 则 __________。 25、已知函数 分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则 的值 ；满足 的 的值 . 1，2 26、（07北京） 已知a是实数，函数 ，如果函数 在区间 上有零点， 求a的取值范围. 解：若 , ,显然在 上没有零点, 所以 . 令 , 解得 ①当 时, 恰有一个零点在 上; ②当 ，即 时， 在 上也恰有一个零点. ③当 在 上有两个零点时, 则 或 解得 或 ，综上所求实数 的取值范围是 或 . 27、(07上海)已知集合 其中 ，由 中的元素构成两个相应的集合 ， ，其中 是有序实数对，集合 的元素个数分别为 .若对于任意的 ，则称集合 具有性质 . （Ⅰ）检验集合 与 是否具有性质 ，并对其中具有性质 的集合写出相应的集合 ； （Ⅱ）对任何具有性质 的集合 ，证明： ； （Ⅲ）判断 的大小关系，并证明你的结论. （Ⅰ）解：集合 不具有性质 ， 具有性质 ，其相应的集合 是 ； （Ⅱ）证明：首先由 中的元素构成的有序实数对共有 个，因为 EMBED Equation.3 , 又因为当 ，所以当 EMBED Equation.3 ，于是集合 中的元素 的个数最多为 ，即 . （Ⅲ）解： ，证明如下： ①对于 ，根据定义 如果 是 中的不同元素，那么 中至少有一个不成立，于是 与 中至少有一个不成立，故 与 也是 中的不同元素.可见 中的元素个数不多于 中的元素个数，即 ； ②对于 ，根据定义 如果 是 中的不同元素，那么 中至少有一个不成立，于是 与 中至少有一个不成立，故 与 也是 中的不同元素.可见 中的元素个数不多于 中的元素个数，即 . 由①②可知 . 28、（07重庆理）已知函数 （1）判断函数 的奇偶性； （2）若 在区间 是增函数，求实数 的取值范围。 解：（1）当 时， 为偶函数；当 时， 既不是奇函数也不是偶函数. （2）设 ， EMBED Equation.3 ， 由 得 ， 要使 在区间 是增函数只需 ， 即 恒成立，则 。 另解（导数法）： ，要使 在区间 是增函数，只需当 时， 恒成立，即 ，则 恒成立，故当 时， 在区间 是增函数。 30、（天津理）设 ，对任意实数 ，记 ． （I）求函数 的单调区间； （II）求证：（ⅰ）当 时， EMBED Equation.DSMT4 对任意正实数 成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数 ，使得 对任意正实数 成立． （I）解： ．由 ，得 ． 因为当 时， ，当 时， ，当 时， ， 故所求函数的单调递增区间是 ， ；单调递减区间是 ． （II）证明：（i）方法一：令 ， 则 ，当 时，由 ，得 ，当 时， ， 所以 在 内的最小值是 ．故当 时， 对任意正实数 成立． 方法二：对任意固定的 ，令 ，则 ， 由 ，得 ．当 时， ．当 时， ， 所以当 时， 取得最大值 ．因此当 时， 对任意正实数 成立． （ii）方法一： ．由（i）得， 对任意正实数 成立． 即存在正实数 ，使得 对任意正实数 成立． 下面证明 的唯一性：当 ， ， 时， ， ，由（i）得， ， 再取 ，得 ，所以 ， 即 时，不满足 对任意 都成立． 故有且仅有一个正实数 ，使得 对任意正实数 成立． 方法二：对任意 ， ，因为 关于 的最大值是 ，所以要使 对任意正实数成立的充分必要条件是： ， 即 ， ①又因为 ，不等式①成立的充分必要条件是 ， 所以有且仅有一个正实数 ，使得 对任意正实数 成立． 31、已知函数 ，其中 ． （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间与极值． （Ⅰ）解：当 时， ， ，又 ， ．所以，曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 ． （Ⅱ）解： ． 由于 ，以下分两种情况讨论． （1）当 时，令 ，得到 ， ．当 变化时， 的变化情况如下表： 0 0 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函数． 函数 在 处取得极小值 ，且 ， 函数 在 处取得极大值 ，且 ． （2）当 时，令 ，得到 ，当 变化时， 的变化情况如下表： 0 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 在区间 ， 内为增函数，在区间 内为减函数． 函数 在 处取得极大值 ，且 ． 函数 在 处取得极小值 ，且 ． 32、设函数 . (Ⅰ)当x=6时,求 的展开式中二项式系数最大的项; (Ⅱ)对任意的实数x,证明 ＞ (Ⅲ)是否存在 ,使得an＜ ＜ 恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由. （Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是 （Ⅱ）证法一： 因 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 证法二： 因 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 而 ，故只需对 和 进行比较。 令 ，有 ，由 ，得 因为当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 所以在 处 有极小值 ，故当 时， ， 从而有 ，亦即 ，故有 恒成立。 所以 ，原不等式成立。 （Ⅲ）对 ，且 有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 又因 ，故 ∵ ，从而有 成立， 即存在 ，使得 恒成立。 33、设函数f(x)= 其中a为实数. (Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间. 解：（Ⅰ） 的定义域为 ， 恒成立， ， ，即当 时 的定义域为 ． （Ⅱ） ，令 ，得 ． 由 ，得 或 ，又 ， 时，由 得 ； 当 时， ；当 时，由 得 ， 即当 时， 的单调减区间为 ； 当 时， 的单调减区间为 ． 34、设函数 ，其中 ．（Ⅰ）当 时，判断函数 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数 的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数 ，不等式 都成立． 解：(I) 函数 的定义域为 . ， 令 ，则 在 上递增，在 上递减， .当 时， ， 在 上恒成立. 即当 时,函数 在定义域 上单调递增。 （II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当 时函数 无极值点. （2）当 时， ， 时， 时， EMBED Equation.DSMT4 时，函数 在 上无极值点。 （3）当 时，解 得两个不同解 ， . 当 时， ， ， 此时 在 上有唯一的极小值点 . 当 时， 在 都大于0 ， 在 上小于0 ， 此时 有一个极大值点 和一个极小值点 . 综上可知， 时， 在 上有唯一的极小值点 ； 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ； 时，函数 在 上无极值点。 （III） 当 时， 令 则 在 上恒正， 在 上单调递增，当 时，恒有 . 即当 时，有 EMBED Equation.DSMT4 ， 对任意正整数 ，取 得 【试题分析】函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性是 是 和定义域 共同作用的结果；（II）需要分类讨论，由（I）可知分类的标准为 （III）构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据 导函数的特点迅速判断 或 。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由 求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为 “极值点”. 35、已知函数 ．（1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： 解：（1） 的导数 ．曲线 在点 处的切线方程为： ，即 ． （2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使 ． 若过点 可作曲线 的三条切线，则方程 有三个相异的实数根． 记 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ． 当 变化时， 变化情况如下表： 0 0 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有一个实数根； 当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根； 当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根． 综上，如果过 可作曲线 三条切线，即 有三个相异的实数根，则 即 ． 36、设函数 ． （Ⅰ）证明： 的导数 ； （Ⅱ）若对所有 都有 ，求 的取值范围． 解：（Ⅰ） 的导数 ．由于 ，故 ． （当且仅当 时，等号成立）． （Ⅱ）令 ，则 ， （ⅰ）若 ，当 时， ，故 在 上为增函数， 所以， 时， ，即 ． （ⅱ）若 ，方程 的正根为 ， 此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数． 所以， 时， ，即 ，与题设 相矛盾． 综上，满足条件的 的取值范围是 ． 37、设函数 （I）若当 时， 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性； （II）若 存在极值，求 的取值范围，并证明所有极值之和大于 ． 如图，函数 的图象与 轴交于点 ，且在该点处切线的斜率为 ． （1）求 和 的值； （2）已知点 ，点 是该函数图象上一点，点 是 的中点，当 ， 时，求 的值． 解：（1）将 ， 代入函数 得 ，因为 ，所以 ． 又因为 ， ， ，所以 ，因此 ． （2）因为点 ， 是 的中点， ，点 的坐标为 ． 又因为点 在 的图象上，所以 ． 因为 ，所以 ， 从而得 或 ．即 或 ． 38、已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用 表示 ，并求 的最大值； （II）求证： （ ）． 解：（Ⅰ）设 与 在公共点 处的切线相同． ， ，由题意 ， ． 即 由 得： ，或 （舍去）． 即有 ． 令 ，则 ．于是 当 ，即 时， ；当 ，即 时， ． 故 在 为增函数，在 为减函数，于是 在 的最大值为 ． （Ⅱ）设 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ．故 在 为减函数，在 为增函数， 于是函数 在 上的最小值是 ． 故当 时，有 ，即当 时， ． 39、如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB= ，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。 （1）求V(x)的表达式； （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ （3）当V（x）取得最大值时， 求异面直线AC与PF所成角的余弦值。 （1） 由折起的过程可知，PE⊥平面ABC， ， ，V(x)= （ ） （2） ，所以 时， ，V(x)单调递增； 时 ， V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值 ； （3）过F作MF//AC交AD与M,则 ，PM= ， ， 在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为 ； 40、已知函数 ， 是方程f(x)=0的两个根 ， 是f(x)的导数； 设 ， （n=1,2,……） （1）求 的值； （2）证明：对任意的正整数n，都有 >a； （3）记 （n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。 解：（1）∵ ， 是方程f(x)=0的两个根 ，∴ ； （2） ， = ，∵ ，∴有基本不等式可知 （当且仅当 时取等号）， ∴ 同，样 ，……， （n=1,2,……）， （3） ，而 ，即 ， ，同理 ， ，又 41、已知函数 （Ⅰ）若 ，试确定函数 的单调区间； （Ⅱ）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围； （Ⅲ）设函数 ，求证： ． 解：（Ⅰ）由 得 ，所以 ． 由 得 ，故 的单调递增区间是 ， 由 得 ，故 的单调递减区间是 ． （Ⅱ）由 可知 是偶函数． 于是 对任意 成立等价于 对任意 成立． 由 得 ． ①当 时， ． 此时 在 上单调递增． 故 ，符合题意． ②当 时， ． 当 变化时 的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在 上， ． 依题意， ，又 ． 综合①，②得，实数 的取值范围是 ． （Ⅲ） ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 由此得， 故 ． 42、如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 ，短半轴长为 ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 是半椭圆的短轴，上底 的端点在椭圆上，记 ，梯形面积为 ． （I）求面积 以 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积 的最大值． 解：（I）依题意，以 的中点 为原点建立直角坐标系 （如图），则点 的横坐标为 ． 点 的纵坐标 满足方程 ，解得 　 ，其定义域为 ． （II）记 ，则 ． 令 ，得 ． 因为当 时， ；当 时， ，所以 是 的最大值． 因此，当 时， 也取得最大值，最大值为 ． 即梯形面积 的最大值为 ． 43、设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1. （Ⅰ）解：根据求导法则有 ，故 ， 于是 ， 列表如下： 2 0 极小值 故知 在 内是减函数，在 内是增函数， 所以，在 处取得极小值 ． （Ⅱ）证明：由 知， 的极小值 ． 于是由上表知，对一切 ，恒有 ． 从而当 时，恒有 ，故 在 内单调增加． 所以当 时， ，即 ． 故当 时，恒有 17、已知 ，函数 . （1）当 =2时，写出函数 的单调递增区间； （2）当 >2时，求函数 在区间 上的最小值； （3）设 ，函数 在 上既有最大值又有最小值，请分别求出 的取值范围.（用 表示） 解：(Ⅰ)当 时， EMBED Equation.3 由图象可知，单调递增区间为（- ，1]，[2，+ ）（开区间不扣分） (Ⅱ)因为 ,x∈[1，2]时，所以f(x)=x(a-x)=-x2+ax＝ 当1 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即 时， 当 EMBED Equation.DSMT4 ，即 时， (Ⅲ) ① 当 时，图象如右图所示，由 得 ∴ ， ② 当 时，图象如右图所示，由 得 ∴ ， 11、已知 ，求函数f(x)= 的值域. 解：由 得x≤8，则 ≤ ≤3， y=f(x)= = ,)，令 ，则t∈ ， 则y= ，其中对称轴为t= ，故当t= 时，y有最小值是 ， 故t=3时，y最大值2，故函数值域是 12、某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）． （1）求函数 的解析式及定义域； （2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？ 日净收入最多为多少元？ 解：（1）当 ≤6时， ，令 ，解得 ． ∵ N，∴ ≥3，∴ ≤ ≤6，且 N．……………(3分) 当 ≤20时， EMBED Equation.3 综上可知 （2）当 ≤ ≤6，且 N时，∵ 是增函数， ∴当 时， 元．……………(11分) 当 ≤20， N时， EMBED Equation.3 ， ∴当 时， 元．……(15分) 综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元． 第17讲 导数应用的题型与方法 一、专题综述 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。 2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。 二、知识整合 1．导数概念的理解． 2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值． 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。 3．要能正确求导，必须做到以下两点： （1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。 （2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。 4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： (1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。 也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导 ，中间变量对自变量求导 ；最后求 ，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。 三、例题分析 例1． 在 处可导，则 思路： 在 处可导，必连续 ∴ ∴ 例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限： 　　（1） ； （2） 　　分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在 处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 　　解：（1） 　　 　　（2） 　　 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。 例3．观察 ， ， ，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。 解：若 为偶函数 令 ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证： ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 例4．（1）求曲线 在点（1，1）处的切线方程； 　　（2）运动曲线方程为 ，求t=3时的速度。 　　分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在 处的导数就是曲线y=f(x)在点 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。 　　解：（1） ， 　　 ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 　　因此曲线 在（1，1）处的切线方程为y=1 　　（2） EMBED Equation.3 　　 。 例5． 求下列函数单调区间 （1） （2） （3） （4） 解：（1） EMBED Equation.3 时 ∴ ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （2） ∴ ， EMBED Equation.3 （3） ∴ EMBED Equation.3 ∴ ， ， EMBED Equation.3 （4） 定义域为 例6．求证下列不等式 （1） （2） （3） 证：（1） ∴ 为 上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在 上 ∴ 恒成立 （2）原式 令 ∴ ∴ EMBED Equation.3 ∴ （3）令 ∴ ∴ 例7．利用导数求和： 　　（1） ； 　　（2） 。 　　分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式 ，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。 　　解：（1）当x=1时， 　　 ； 　　当x≠1时， 　　∵ ， 　　两边都是关于x的函数，求导得 　　 　　即 　　（2）∵ ， 　　两边都是关于x的函数，求导得 。 　　令x=1得 　　 ， 　　即 。 例8．设 ，求函数 的单调区间. 分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解： . 当 时 . （i）当 时，对所有 ，有 . 即 ，此时 在 内单调递增. （ii）当 时，对 ，有 ， 即 ，此时 在（0，1）内单调递增，又知函数 在x=1处连续，因此， 函数 在（0，+ ）内单调递增 （iii）当 时，令 ，即 . 解得 . 因此，函数 在区间 内单调递增，在区间 内也单调递增. 令 ，解得 . 因此，函数 在区间 内单调递减. 　例9．已知抛物线 与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为 和 。 　　（1）求A、B两点的坐标； （2）求直线 与 的夹角。 　　分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。 　　解 （1）由方程组 　　 解得 A(-2，0)，B(3，5) 　　（2）由y′=2x，则 ， 。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式， 　　 所以 　　说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。 例10．（2001年天津卷）设 ， 是 上的偶函数。 （I）求 的值； （II）证明 在 上是增函数。 解：（I）依题意，对一切 有 ，即 ， ∴ 对一切 成立， 由此得到 ， ， 又∵ ，∴ 。 （II）证明：由 ，得 EMBED Equation.3 ， 当 时，有 ，此时 。∴ 在 上是增函数。 四、04年高考导数应用题型集锦 1．（全国卷10）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ） A ( ) B (π,2π) C ( ) D (2π,3π) 2．（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx, (i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0