答案线性代数A卷2006～2007学年第一学期期末考试

第 1 页 共 5 页 南昌大学 2006～2007学年第一学期期末考试试卷 试卷编号： (A)卷 课程编号： H55010001 课程名称： 线性代数 考试形式： 闭卷 适用班级： 理工类 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号 一 二 三 四 五 六 总分 题分 24 16 20 20 10 10 100 累分人 签名 得分 考生注意事项：1、本试卷共 5 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 一、 填空题(每空 3分，共 24分) 得分 评阅人 1、设 A为 4阶方阵且 2=A ,则 A∗ = 8 。 2、设 A是 4阶方阵，其元素全为 1，则 A的特征值之积为 0 。 3、二次型 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 34 4 2 2 4f x x x tx x x x x x= + + + − + 正定的充要条件是 2 1t− < < 。 4、设 3阶方阵 A满足 0=− AE , 02 =− AE , 03 =− AE ,则 1A− = 1 6 。 5、四元线性方程组 1 2 3 4 0x x x x+ + + = 的基础解系含有 3 个线性无关的解向量。 6、设 n阶矩阵 A的各行元素之和均为 0，且 ( ) 1R A n= − ，则线性方程组 0Ax = 的通解为 (1,1, ,1) ,Tk k" 为任意实数 。 7、向量组 1 (1,2,3)Tα = ， 2 (2,3,4)Tα = ， 3 (3,4,5)Tα = 的秩为 2 。 8、两向量 ( )1,1,2 Tα = 与 ( )1, 2, 1 Tβ = − − − 的夹角为 5 5arccos( ) arccos 6 6 π− −或 。 第 2 页 共 5 页 二、计算 n阶行列式的值 (16 分) a x x x x a x x D x x a x x x x a = " " " " " " " " " 得分 评阅人 1 2 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n a n x a n x a n x a n x x a x x r r r r x x a x D x x x a + − + − + − + − + + + + " " " " " " " " " " ——8分 1 1 1 1 1 ( ( 1) ) ( ( 1) ) x a x x r a n x a n x x x a x x x x a ÷ + − + − " " " " " " " " " ——————————10 分 2 1 3 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ( ( 1) ) 0 0 0 0 0 0n r x r a x r x r a n x a x r x r a x − ⋅ −− ⋅ + − − − ⋅ − " " " # " " " " " " ————————14 分 1( ( 1) )( ) .na n x a x −= + − − ——————————16 分 第 3 页 共 5 页 三、 设有线性方程组 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 4, , 2 4, x x kx x kx x k x x x + + =⎧⎪− + + =⎨⎪ − + = −⎩ 问 k 取何值时，方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多 解时求其通解。（20 分） 得分 评阅人 解：对增广矩阵 B作初等行变换， 2 1 1 4 ( ) 1 1 1 1 2 4 k B A b k k ⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ # ——————————1 分 2 1 1 4 0 1 1 4 0 2 2 8 k k k k k ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ � ——————————3 分 2 1 1 4 0 2 2 8 0 1 1 4 k k k k k ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ � ——————————5 分 ( 1)(4 ) 2 1 1 4 0 2 2 8 0 0 ( 4)k k k k k k+ − ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ � ——————————8 分 讨论：(1)当 1k ≠ − 且 4k ≠ 时， ( ) ( ) 3,R A R B= = 故方程组有唯一解；————————10 分 (2)当 1k = − 时， ( ) 2,R A = ( ) 3,R B = ( ) ( ),R A R B≠ 故方程组无解；—————————12 分 (3)当 4k = 时， 1 1 4 4 1 0 3 0 0 2 2 8 0 1 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � � ————————14 分 由于 ( ) ( ) 2 3,R A R B= = < 故方程组有无穷多解， ————————16 分 取同解方程租 1 3 2 3 3 3 3 , 4 , . x x x x x x = −⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩ 令 3 ,x k= 并写成向量形式，即得方程组的通解 1 2 3 0 3 4 1 , . 0 1 x x x k k R x −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = + − ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ——————————20 分 第 4 页 共 5 页 四、设 0 2 2 2 4 4 2 4 3 A −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ , 求一可逆矩阵P ,使 APP 1− 为对角矩阵。（20 分） 得分 评阅人 解：A 的特征方程为： 2 2 2 4 4 2 4 3 E A λ λ λ λ − − = − − − − + ——————————2 分 2( 1)( 36).λ λ= − − ——————————7 分 故 A 的特征值为 1 2 31, 6, 6.λ λ λ= = = − ——————————8 分 对于 1 1,λ = 对应的齐次线性方程租为： ( ) 0,E A x− = 即， 1 2 3 1 2 2 2 3 4 0. 2 4 4 x x x −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ 其基础解系为： ( )1 2,0, 1 ,Tα = − 从而对应于特征值 1 1λ = 的特征向量为 ( )1 2,0, 1 .Tα = − ——————————11 分 类似可求得： 对应于特征值 2 6λ = 的特征向量为 ( )2 1,5, 2 .Tα = —————————14 分 对应于特征值 3 6λ = − 的特征向量为 ( )3 1, 1, 2 .Tα = − ——————————17 分 令 1 2 3( , , )P α α α= ——————————18 分 2 1 1 0 5 1 1 2 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ 则 1 1 6 6 P AP− ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ 为对角矩阵。 ——————————20 分 第 5 页 共 5 页 五、求下面矩阵的逆矩阵(10 分) 1 0 1 2 1 0 3 2 5 A ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ 得分 评阅人 解：因为 2,A = ——————————3 分 又 11 12 135, 10, 7,A A A= − = = 21 22 232, 2, 2,A A A= = − = − 31 32 331, 2, 1.A A A= − = = ——————————6 分 所以 11 21 31 1 12 22 32 13 23 33 1 1 A A A A A A A A A A A A A − ∗ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ——————————9 分 5 11 2 2 5 1 1 . 7 11 2 2 ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠ ——————————10 分 六、已知 A为n阶正交矩阵，问伴随矩阵 A∗是否为正交矩阵，为什么？（10 分） 得分 评阅人 解：由 ,TAA E= ——————————1 分 两边取行列式得 2 1,A = ——————————3 分 又 * 1,A A A−= ——————————5 分 故 1 1( ) ( )T TA A A A A A∗ ∗ − −= 2 1( )TA AA −= ——————————8 分 .E= ——————————9 分 因此， A∗是正交矩阵。 ——————————10 分