完美理论的问题（台湾研究）

B95 林鼎棋林鼎棋林鼎棋林鼎棋 全知的夢想 那時，天下人的口音、言語都是一樣。他 們往東邊遷移的時候，在示拿地遇見一片平 原，就住在那裡。他們彼此商量說：「來吧！我 們要做磚，把磚燒透了。」他們就拿磚當石頭， 又拿石漆當灰泥。他們說：「來吧！我們要建造 一座城和一座塔，塔頂通天，為要傳揚我們的 名，免得我們分散在全地上。」耶和華降臨， 要看看世人所建造的城和塔。耶和華說：「看 哪，他們成為一樣的人民，都是一樣的言語， 如今既做起這事來，以後他們所要做的事就沒 有不成就的了。我們下去，在那裡變亂他們的 口音，使他們的言語彼此不通。」於是耶和華 使他們從那裡分散在全地上；他們就停工，不 造那城了。《聖經‧創世紀第十一章》 這是聖經中巴別塔的故事，冒犯天威的人 們被上帝打亂了語言而宣告解散，夢想的通天 之塔也淪為一片焦瓦。這是否意味著上帝擔心 人類的能力會無止境地發展以至於「為所欲 為」，才動手將之毀去呢？其實人類從未放棄向 上挑戰，數百年來，人們不斷地想創造、改革、 進步，也的確越來越有能力，越來越有長進； 學會用火、製造器械，走向工業革命、發展電 力，各種進步隨時間演進，如浪潮般一波波襲 來。於是人們開始思考，或者說，一直都在思 考：究竟人類的進步有沒有極限？人類有沒有 辦法達到全知與全能？ 近三百年來的科技發展讓人類嚐到了勝 利的滋味，我們控制自然、創造文明，而且飛 快地持續進步。我們似乎找到了某種方法，只 要順其而行，任何事物遲早都能被了解，問題 只在時間長短罷了。不再有任何疑惑需要歸之 於無形、歸之於信仰、歸之於超然，我們可以 清楚解釋萬物的原理和成因。是的，創世紀到 今天，步入雲端、翱翔天際已非難事，但全知 的夢想真的會有實現的一天嗎？ 邏輯的語言 在我們討論人類的「全知夢想」之前，先 讓我們做點功課，瞭解邏輯的起源和形式。日 常生活中，我們常常說「某某人很沒有邏輯」， 當我們這樣說，可能是指某人說的話自相矛 盾、前後不一致，也可能是他的上下文毫無關 聯、無從推理，但這並非我們在此討論的「邏 輯」。 「邏輯」，又稱做「理則」，源自希臘的 λόγος。邏輯所關注的不是單一語句是否正 確，而是推論和證明有效與否。中世紀時期， 邏輯成為哲學家的主要焦點之一，他們看重與 哲學相關的邏輯分析。現代邏輯則流傳自古希 臘傳統，其最基礎形式建構在論證上，例如亞 里士多德所提出的「三段論」（Syllogism）。常 常被舉出來的例子是： 所有生命都有價值。 即使謀殺犯也有生命。 所以，即使謀殺犯也有價值。 在三段論中，第一句話稱為「大前提」 （major premise），第二句為「小前提」（minor premise）。如果這是一個「有效論證」，則前 提在邏輯上蘊涵了第三句話──我們稱為「結 論」（conclusion）。也就是說，在有效論證中， 前提的真保證了結論的真。必須注意「論證是 否有效」與「結論是否為真」是兩件不同的事， 在一個有效的三段論中，若存在假的前提，則 可能會出現假的結論。同樣的道理，若是推論 過程有問題，即便結論是真，仍然是個無效論 證。各位對這些基礎邏輯概念應該都十分清 楚，筆者在此不多討論，如果各位有興趣可以 修習哲學系開設的「邏輯丙」課程。 邏輯是一門非常廣泛、複雜的學門，其分 支非常多，像前面所舉例的三段論是屬於「經 典邏輯」（classical logic）的一部分，而與本文 較 相 關 的 則 是 另 一 個 分 支 ， 「 數 理 邏 輯 」 （mathematical logic）。數理邏輯亦是數學的一 個分支，與數學中所使用的邏輯推演息息相 關，但一直至十九世紀中葉才獨立成為一門學 問。數理邏輯仍起源於亞里士多德的經典邏 輯，本質上也與經典邏輯相同，但是將這些文 字敘述有系統且精簡地寫成符號，而成為數理 邏輯。正如同剛剛所強調的，論證的有效性與 結論真假沒有關聯，所以當我們把文字改成符 號，因文字而生的真假則不復在焉，只剩下抽 象的邏輯本體而已。 各位都是學科學的人，想必十分了解邏輯 在數學、物理等學門上的重要性，在科學的發 展上，我們要求非常嚴密且精準的邏輯。千年 前希臘數學家歐幾里得所著的幾何原本就 示，只要從 23 條定義、5 個公理和 5 個公設出 發，就能推出 467 條之多的定理。但說穿了也 只是利用邏輯的基本想法「如果公理、公設是 正確的，推導過程也正確，那麼得到的結論一 定也將正確」而已。上述的基本想法在數理邏 輯中有更加嚴謹的敘述，我們稱之為「希爾伯 特演繹系統」（Hilbert-style deduction system）。 圖一即為希爾伯特演繹系統的示意圖，首先要 先將一般的文字語言抽象化，以生成一組符號 化的公理。接著，藉著這組公理以及要求的假 設（前提），我們就能推論出各樣結論。 若要誇張地說，邏輯的運用可以說是徹底 改變了人類的生活。例如瓦特發明了蒸汽機， 改變人類的動力來源，開啟所謂蒸氣時代與工 業革命；其後不到五十年，法拉第又根據其發 現的定律掌握了感應電流，開創機械能與電能 間的轉換，帶領人類步入了電力時代。經由邏 輯思考，我們整合理論和資訊，解釋一切事物， 全知的夢想似乎近在眼前。理性邏輯的妙用瞬 間衝擊了所有人的思想，幾乎將人類所擁有的 能力上綱至無限。 數學的基礎 數理邏輯的發展與獨立，其實是來自於數 學家們追求「數學的基礎」。十八、十九世紀的 數學家是驕傲的，在那個時代，很多流傳已久 的數學難題都被解決，數學家們深信任何事物 都可被證明其是非，若做不到只是自己不夠聰 明或時間未到罷了。德國數學家康托爾於 1874 年創立了集合論，使數學各個分支都能形式化 （formalization），數學家開始相信各個不同的數 學領域，都可以建立在集合論之上。到了 19 世 紀末，數學家們真的把幾乎所有的數學領域都 放在集合論的基礎之上了。 ▲ 圖一 希爾伯特演繹系統示意圖。 針對這樣的信念，有許許多多的攻擊和挑 戰以及無數的悖論、詭論被提出來，攻擊各個 系 統 的 完 備 性 （ Completeness ） 和 一 致 性 （Consistency），當然數學家們也盡力更新或擴 充新的公設或假設以排除這些疑點。在此我們 舉一些有趣悖論： 1. 全能悖論：最常出現在宗教的爭議文中， 例如如果上帝是全能的，他能否做出一顆 自己舉不起來的石頭，即使捨去宗教的問 題，似乎「全能」本身在語句的定義上就 有自身的瑕疵。 2. 說謊者悖論：有一個人說「我說的話都是 假的」，這樣必將導致矛盾，因為這句話不 論是真是假都不能滿足這句敘述本身。這 個悖論的現代版是「本語句為假」，或是「下 一句話是假的；前一句話是真的。」 3. 理髮師悖論：這也是個經典且古老的例 子，在薩維爾村有一個理髮師，他掛出了 一塊招牌規定著：「我替城裡所有不會自己 刮鬍子的男人刮鬍子，我也只替這些人 刮。」於是有人就問他：「你給不給自己刮 鬍子呢？」 許 多 人 為 了 排 除 這 些 悖 論 做 了 許 多 努 力，例如有人藉著區分不同層次的語言解除「本 語句為假」的悖論：塔斯基（Alfred Tarski）區 分了「對象語言」與「後設語言」，以這樣的方 式避免自我互相牽扯的困難；也就是說，他們 認為「本語句」與「本語句為假」是不同層次 的語言，所以不能互相帶入。 不過在各個悖論之中，又以 1901 年，羅 素（Bertrand Russell）提出的悖論最令數學家困 擾，因為羅素悖論直接攻擊集合論，希爾伯特 知道個悖論後，說可能會有「嚴重的災難性後 果」。這個悖論可以看成是理髮師悖論的數學 版。首先我們定義一個集合 A＝｛集合 X｜X 不屬於 X｝，說白話一點，A 集合就是由所有本 身不屬於本身的集合所形成的集合。羅素問：A 是否屬於 A？若 A 屬於 A，則根據 A 的定義， A 應該不屬於 A；若 A 不屬於 A，則根據 A 的 定義，A 應該屬於 A。 如剛剛用以解決「說謊者悖論」的層次區 分無法用在羅素悖論上，如果說「集合的集合」 和「集合」無法互相帶入，看似解決的悖論卻 又帶出了新問題，因為這樣一來，自然數、有 理數、實數中的零將會屬於不同類型，許多重 要理論反而不得證明。最後，羅素悖論在 1908 年被解決，其法有二，一是羅素所提出的「類 型論」（type theory），另一則是公理化集合論（即 在集合論中加入一些公理）。 然而，在當時除了羅素悖論之外，很多很 多不同類型的悖論被提出，攻擊各個數學系統 的一致性和完備性。1920 年代，希爾伯特提出 了「希爾伯特計畫」（Hilbert's program）希望能 一次解決這些問題，其目標為證明各個數學系 統都是完備且一致的。他所希望證明的系統還 包括實分析等等複雜數學系統，其所使用的方 式是先證明數論中不包含矛盾，再以數論為基 礎證明「分析」有一致性，如此下去，終究我 們可以得到一個毫無矛盾的數學系統。 這個計畫雖然龐大但帶給人們很大的希 望 。 1930 年 ， 希 爾 伯 特 接 受 哥 尼 斯 堡 （Königsberg）所頒贈的榮譽市民，在受獎的演 說最後，他說了這樣的話： 我們必須知道，我們將會知道。 （Wir mussen wissen. Wir werden wissen.） 1. 一致性：對所有在系統中的事物，不會經 由推論而導出兩個不同卻矛盾的。 2. 完備性：對所有在系統中的事物，都能被 明確定義，可能定義其是真的，或是假 的，或者是其他特殊定義。 可以想見當時數學家們對於找到「數學的 基礎」是多麼的有信心！ 夢想的破滅 這樣的美夢並沒有持續太久，在希爾伯特 接受榮譽市民的隔一年，哥德爾（Kurt Gödel） 提出了不完備定理（incompleteness theorems）， 粉碎了數學家的夢想。哥德爾不完備定理說明 了兩件事情： 1. 任何一個足夠強的一致公設系統任何一個足夠強的一致公設系統任何一個足夠強的一致公設系統任何一個足夠強的一致公設系統，，，，必定是不必定是不必定是不必定是不 完備的完備的完備的完備的。。。。 如果一個公設集強到足以蘊涵皮亞諾算術 公理（自然數公理），則其中必包含了既不 能證明為真也不能證明為假的命題。 2. 任何相容的形式體系不能用於證明它本身任何相容的形式體系不能用於證明它本身任何相容的形式體系不能用於證明它本身任何相容的形式體系不能用於證明它本身 的相容性的相容性的相容性的相容性。。。。 為了確立某一個系統 A 的相容性，就要構 建另一個系統 B，但是 B 中的證明並不是完 全可信的，除非不使用 A 就能確立 B 的相 容性。 哥德爾不完備定理是非常困難且複雜的 定理，筆者在此不可能將其敘述清楚。但這兩 條定理確實宣告了理性邏輯必有其侷限性，不 完備定理告訴我們「我們永遠不能發現一個萬 能的公理系統能夠證明一切數學真理」。再講白 一點，希爾伯特計畫完全被擊敗，因為整個數 學系統不可能是完備且一致的！ 值得注意的是，哥德爾不完備定理並沒有 說所有的公理系統都不完備，只有「足夠強」 的公理系統才是不完備的，像是經過現代公理 化的歐幾里德幾何即是一個完備的系統。此 外，在無法定義自然數的系統之中，哥德爾不 完備定理並不成立，塔斯基即證明了實數和複 數理論都是完備的公理化系統。 哥德爾不完備定理所帶來最大的影響，就 是告訴我們數學上可能會出現「為真但無法被 證明的命題」，數學家再也不能說：「真的一定 會被證明。」當然，在哥德爾不完備定理被提 出來之後，很多數學家也在尋找是否真的存在 「為真但無法被證明的命題」，一直到了 1978 年才有人找到組合學中的一個命題，它是真 的，但不能用皮亞諾公設來證明，有興趣的同 學可見附錄。 哥德爾不完備定理所帶來的不安全感，似 乎也在我們向全知邁進的路上，放上了莫名的 障礙。如今我們早已習於將理論和邏輯擴展到 許多未知的事物上，但這樣的延伸真能無限 嗎？真的存在所謂的完美理論嗎？我們的世界 會是由一組完備且一致的物理定律所描述的 嗎？在愛因斯坦的自傳裡，他提到： 在 12 歲時，我經驗了第二次完全不同的 驚奇，在學年開始，一本講述歐氏平面幾何的 書到達我的手上，裡面含有命題，例如三角形 的三個高交於一點，這純不明顯，但卻可以證 明，而且是如此地明確以致任何的懷疑都不可 能產生。這種清澈與確定性讓我留下不可名狀 的印象。至於公理必須無證明地接受，這對我 並不構成困擾。無論如何，如果我能夠將證明 安置在似乎不可懷疑的命題上，我就很滿意了。 物理學家也一樣崇尚基礎的理論，或稱 「最終理論」（The theory of everything）。早在 1900 年，希爾伯特所提出的 23 個著名問題 （Hilbert's problems），其中的第六題即為「物理 學 是 否 能 全 盤 公 理 化 」（ Axiomatize all of physics）。這個問題至今未解，即便解決了，我 們也必須要問這組物理學公理是否也被哥德爾 不完備定理所限制，其自身亦為不完備的？ 物理的最終理論 至今，人們並沒有放棄尋找物理的最終理 論。自相對論和量子力學發展之後，物理學家 很努力地在尋找能統一相對論和量子力學的最 終理論。有許多理論被提出，但尚未經過實驗 證明其正確性。當年，物理學的三大運動定律 可說是由猜想而來，如何確定它是正確的呢？ 曾有一段時間人們對其深信不疑，原因來自於 實驗的觀測足以作為證據。但實驗雖然幫助我 們增強對理論的信心，卻無法對理論的正確性 做絕對的證明。果然，嚴重的後果在二十世紀 初爆發，我們深信不疑的運動定律被宣告為某 些情況下的近似，其正確只有當觀測的物體運 動不夠快、或者不夠微小。那麼，當最終理論 被找到的時候，我們又怎能由實驗「證明」這 是對的呢？ 既然如此，我們是否可以不要「證明」前 提？直接由實際的觀察結果來決定這個理論的 前提，也就是相信經由實驗驗證的前提，是否 便能避免完備性和一致性的挑戰？其實這又帶 出了新的問題：我們真能獲得驗證前提所需要 的資料嗎？舉例來說，弦論雖然是物理最終理 論的候選之一，但一直沒有實驗能夠證明。實 驗能達到怎麼樣的精確度，會不會被量子力學 給限制住？這都還是我們必須面對的問題。 即便我們有了最終理論，也並不代表我們 就真的能了解這個世界了。即便發現了最終理 論，科學研究也不會終止，因為我們就算知道 所有基本粒子的運動方式，我們也無法預測一 週後會不會有龍捲風、A 分子和 B 分子會不會 發生反應、某人下一刻會做什麼動作等種種問 題。化學、生物、大氣等學科之所以存在，就 是因為我們平時所面對的系統都太過複雜，並 非瞭解最終理論就能解答。像是混沌理論就說 明了一種我們無法精算的情況：如果有一個非 線性系統在輸入數據時有一點點微小誤差，就 會造成極大的影響，使誤差在系統中不斷地被 放大，永遠無法得到完全肯定的答案，氣象報 告之所以總是報不準，常常錯得惹人破口大 罵，也是因為大氣運動方程都是非線性方程的 關係。 結語 看來，理性邏輯，以至於科學發展，也未 必能讓人擁有無限的能力呢。或者說，它也只 是人類許多能力中，看起來較為發達且實用的 一種，卻未必是達全知夢想的最好方法。其實 除了邏輯推理，人們還擁有許多其他能力，有 些甚至還未開發，又有誰能肯定邏輯是認識真 理唯一且正確的路徑呢？或許不久的將來，我 們的子孫們能找到更好的方法認識這個世界， 例如直覺、第六感……等，那時，或許就像我 們對信神拜佛的長輩們感到可笑一般，也會有 些小孩指著我們這群老人說：「你們怎麼還在相 信邏輯科學啊，真是迷信。」 當然，科學是好用的，或許沒有萬能的理 論，但我們起碼確定一個理論能解決一部分的 問題，且我們也自知能解決哪些部分，不過當 我們認定科學至上的同時，也不能忘記科學所 賴以為支柱的理論與前提，是有其侷限與極限 的，當有人提出科學以外的方法來認識世界， 或許該以更寬闊的心胸去接受不同的聲音。也 許，他們會有更好的方法來達到你我的全知之 夢呢。 參考資料 1. http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_15 _4_11/index.html 2. http://en.wikipedia.org/wiki/Logic 3. http://en.wikipedia.org/wiki/Syllogism 4. http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_logic 5. http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert-style_deducti on_system 6. http://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_parado x 7. http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_program 8. http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_proble ms 9. http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s _incompleteness_theorems 10. http://life.fhl.net/Philosophy/phil02/rational01.ht m 11. http://140.127.47.6/DLMathEd/teacher/Source/M ath_history/%B4X%A6%F3%BE%C7%AA%B A%B0%F2%A5%BB%A9%CA%BD%E8/%B0 %EA%A4%A4%B4X%A6%F3%AD%EC%A5 %BB.htm 附錄 初等皮亞諾公設中所無法證明的問題初等皮亞諾公設中所無法證明的問題初等皮亞諾公設中所無法證明的問題初等皮亞諾公設中所無法證明的問題 「九頭怪蛇」：設 m 和 n 為自然數且 n>1， 我們定義「m 以 n 為底表示法」如下： 先將 m 寫成 n 乘冪的和，（若 m=266, n=2， 那麼 266=28+23+21），現在將每個指數寫成 n 乘冪的和，（如 1122 222266 3 ++= + ），對指 數的指數再繼續這個程序，直到表示法穩定下 來，（如 1122 222266 12 ++= ++ ）。現在我們對 m 和 n 定義一個數 Gn（m）如下︰若 m=0 令 Gn （m）=0，否則令 Gn（m）為將每一個 m 以 n 為底表示法中的 n 改為 n+1，然後再減 1，如 233)266( 1332 13 ++= + + G ，現在對每一個自然數 m 定義由 2 開始的 Goodstein 數列：m0=m, m1=G2 （m0）, m2=G3（m1）, m3=G4（m2）, 例 如 M 10000155 3 516144 2 38133 1 122 0 10~55266 10~144266 10~233266 266222266 15 14 13 12 + + + + += ++= ++= =++= + + + + 同理我們對每一個 m 皆可定義由 n（n>1） 開始的 Goodstein 數列。相信當我們初看到這樣 的數列時，我們都會覺得這數列增加地實在很 快，也就覺得這數列會這樣一直地增加下去， 但令人不可思議的是 Goodstein竟然用皮亞諾公 設以外的方法證明了下面這個定理： 對任何一個 m 存在一個 k，使得 mk=0； 而且對任何的 m 和 n>1（即不限定 n=2），m 由 n 開始的 Goodstein 數列至終都會為零。 這個定理若用數字真的去算的話，即使是 很小的數字算起來也不得了，但我們可用 3, 4, 5 分別去算算 Goodstein 數列的前十項，（35=0）， 也許可以感覺到這個定理有可能是對的。 繼 Goodstein 證明了他的定理後 Kirby 和 Paris 也證明了這個定理是無法用一般的數學歸 納法證明，他們也藉此證明了「九頭怪蛇」這 個問題，只要耐心的砍下去，雖然要砍得很久， 但遲早是會砍完的。