特殊平行四边形的证明

特殊平行四边形的证明 1.在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）. （1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数； （2）设 的△MBN周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 2.如图在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？ 3.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。 （1） 求证：BD=CD； （2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。 4.在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转 得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究： ①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1​​绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明； ②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转 得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. 5.已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F. (1）求证：AM=DM； (2）若DF=2，求菱形ABCD的周长． 6.如图1，在正方形 中， 分别为边 上的点， ，连接 交点为 ． （1）如图2，连接 ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论； （2）将正方形 沿线段 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形 的边长为3cm， ，则图3中阴影部分的面积为_________ ． 7.如图，在边长为5的正方形 中，点 、 分别是 、 边上的点，且 ， . （1）求 ∶ 的值； （2）延长 交正方形外角平分线 （如图 -2），试判断 的大小关系，并说明理由； （3）在图 2的 边上是否存在一点 ，使得四边形 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 8.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将 沿 方向平移，使点E与点C重合，得 ． （1）求证： ； （2）若 ，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形 是菱形？证明你的结论． 9.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于 点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD． （1）求证：AD＝CE； （2）填空：四边形ADCE的形状是 ． 10.如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？ 11.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。 （3） 求证：BD=CD； （4） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。 12.如图 ，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. 求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； 13.如图所示，在菱形中，E、F分别为AB、AD上两点，AE=AF． (1)求证：CE=CF；(2)若∠ECF=60°，=80°，试问BC=CE吗？请说明理由． 14. 已知：正方形 中， ， 绕点 顺时针旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于点 ． 当 绕点 旋转到 时（如图1），易证 ． （1）当 绕点 旋转到 时（如图2），线段 和 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当 绕点 旋转到如图3的位置时，线段 和 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 15. 如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10. (1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积. (2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长. SHAPE \* MERGEFORMAT 16. 如图，在 中， 是 边上的一点， 是 的中点，过点 作 的平行线交 的延长线于 ，且 ，连接 ． （1）求证： 是 的中点； （2）如果 ，试猜测四边形 的形状，并证明你的结论． SHAPE \* MERGEFORMAT 17. 已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F． （1）求证：△BCG≌△DCE； （2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由． 18. 如图，矩形 中， 是 与 的交点，过 点的直线 与 的延长线分别交于 ． （1）求证： ； （2）当 与 满足什么关系时，以 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． 19. 在矩形ABCD中，AB=2，AD= ． （1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明； （2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F． ①求证：点B平分线段AF； ②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由． 20. 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． (1）求证：EG=CG； (2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α. (1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 22. 三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等． 请回答： (1）牧童B的划分方案中，牧童 (填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远； (2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2） 23. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点. (1)已知点A(3,1)，连结OA，平移线段OA，使点O落在点B.设点A落在点C,作如下探究： 探究一：若点B的坐标为(1，2)，请在图1中作出平移后的像，则点C的坐标是 ▲ ；连结AC，BO，请判断O，A，C，B四点构成的图形的形状，并说明理由； 探究二：若点B的坐标为(6，2)，按探究一的方法,判断O，A，B,C四点构成的图形的形状. (温馨提示:作图时,别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔!） (2)通过上面的探究，请直接回答下列问题： ①若已知三点A (a，b)，B(c，d)，C (a+c，b+d)，顺次连结O，A，C，B，请判断所得到的图形的形状； ②在①的条件下，如果所得到的图形是菱形或者是正方形，请选择一种情况，写出a，b，c，d应满足的关系式. 24. 如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H． (1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由； (2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由； (3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90º，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由． 25. 如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 (1）求证：四边形是菱形； (2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？ 26. 阅读下列材料： 小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题： (1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）； (2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）. O A B C M N � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A D F C E G B H F G C D A B E E F G H O A B C D D D D A A A 图3 图2 图1 M N C M N C E F B C G D A � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A D F C E G B � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� N C B M B B 图（1） 图（2） B A F C E D A B C D E F � EMBED Equation.DSMT4 ��� G A E B C O D F D F B A C E 图③ F B A D C E G 图② F B A D C E G 图① y B A O x 图1 1 x O A B y 图2 1 A A A B B B P P P D C C D F F E E G G H H 图1 图2 图3 A D F C E G B PAGE 12 _1276776968.unknown _1307168011.unknown _1308137551.unknown _1308137703.unknown _1308743387.unknown _1308743411.unknown _1335584472.unknown _1335584474.unknown _1335584473.unknown _1335584471.unknown _1308743393.unknown _1308743350.unknown _1308743365.unknown _1308743344.unknown _1308137616.unknown _1308137700.unknown _1308137702.unknown _1308137625.unknown _1308137699.unknown _1308137573.unknown _1308137605.unknown _1308137561.unknown _1308137526.unknown _1308137537.unknown _1308137544.unknown _1308137530.unknown _1307620557.unknown _1308137520.unknown _1307620320.unknown _1307168017.unknown _1276777041.unknown _1307014055.unknown _1307167992.unknown _1307168000.unknown _1307014110.unknown _1307014192.unknown _1307014260.unknown _1307014162.unknown _1307014092.unknown _1305808412.unknown _1307013964.unknown _1307014008.unknown _1307013904.unknown _1305874104.unknown _1276777085.unknown _1305808167.unknown _1276777076.unknown _1276776990.unknown _1276777004.unknown _1276777038.unknown _1276776993.unknown _1276776977.unknown _1276776984.unknown _1276776973.unknown _1276324771.unknown _1276327922.unknown _1276776949.unknown _1276776957.unknown _1276776964.unknown _1276776954.unknown _1276327933.unknown _1276327960.unknown _1276327984.unknown _1276327993.unknown _1276327979.unknown _1276327948.unknown _1276327928.unknown _1276327892.unknown _1276327904.unknown _1276327915.unknown _1276327901.unknown _1276324787.unknown _1276324792.unknown _1276324776.unknown _1276324623.unknown _1276324684.unknown _1276324705.unknown _1276324711.unknown _1276324690.unknown _1276324651.unknown _1276324677.unknown _1276324631.unknown _1274768678.unknown _1276324574.unknown _1276324606.unknown _1276324618.unknown _1276324585.unknown _1276324562.unknown _1276324568.unknown _1276324558.unknown _1275221024.unknown _1234567958.unknown _1274766425.unknown _1274766452.unknown _1274766481.unknown _1274766439.unknown _1234567960.unknown _1273941739.unknown _1234567959.unknown _1234567956.unknown _1234567957.unknown _1234567955.unknown