教师版：2009年高考试题解析数学（理科）学科新课标分项版之专题九__立体几何

2009年解析数学(理科）分项版之专题九立体几何教师版 【考查要点】 高考考纲要求 1．掌握直线与平面的位置关系。2．掌握空间的角和距离的计算。3．了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念，了解多面体的欧拉定理。掌握棱柱、正棱锥的性质，及球的表面积、体积。4．画图、读图、想图的要求。 5．9（A）还包括，会用反证法证明简单的问题6．能力要求：以空间想象能力为基础，运用 思维能力、运算能力等，对具体的空间图形进行位置关系的判断、证明和计算 高考分值：一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 考查重点 仍然是直线与平面的位置关系判定、证明及角度与距离的计算。直线平面的平行、垂直作为知识体系的轴心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。角度的计算线线角、线面角、二面角是必考内容，线面角、二面角的出现频率更高些。距离以点面距、异面直线的距离为主，前者的出现频率更高。 考查方式(1)大题以考查直线与平面的位置关系的证明，角度与距离计算为主。大题通常以多面体为载体，如正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥，09年全国大部分试卷中立几以四棱锥为载体；有时出现不规则几何体，或改变常用几何体的放置方式，这些变化提高了空间想象的要求。 (2)小题类型大体有：直线与平面的位置关系的判定，角度、距离的计算（用于覆盖大题未考查到的内容），球的问题，体积、表面积问题，空间想象能力，与其它知识综合的问题（如排列组合等）， 考查难度 立体几何大题一般出现在试卷中第18、19题，难度中等，少数省份出现在20、21或17题位置，难度中等偏上或偏下。小题通常为容易题、中等题，中上难度的题也时有出现。 【名师解题】 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2． 判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4．空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0， ]，直线与平面所成的角θ∈ ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈ 0，π ． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角(－l－(的平面角（记作(）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l上任一点O作棱l的垂面(，设(∩(＝OA，(∩(＝OB，则∠AOB＝( ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面(内一点A，分别作另一个平面(的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则∠ACB＝( 或∠ACB＝(－(； (4) 设A为平面(外任一点，AB⊥(，垂足为B，AC⊥(，垂足为C，则∠BAC＝(或∠BAC＝(－(； (5) 利用面积射影定理，设平面(内的平面图形F的面积为S，F在平面(内的射影图形的面积为S(，则cos(＝ . 5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离． 求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离． 6．棱柱的概念和性质 ⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。 ⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。 ⑶须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。 ⑷关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。 ⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与《直线、平面、简单几何体》第一部分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等．从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点． ７．经纬度及球面距离 ⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O的地轴为NS，圆O是0°纬线，半圆NAS是0°经线，若某地P是在东经120°，北纬40°，我们可以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1交NAS于A，那么则应有：∠AO1P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（线面角）。 ⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。 例如，可以循着如下的程序求A、P两点的球面距离。 线段AP的长 ∠AOP的弧度数 大圆劣弧AP的长 ８．球的表面积及体积公式S球表=4πR2 V球= πR3 ⑴球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”；以球心为顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加，且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时，小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第n个小三棱锥的体积＝ Snhn（Sn为该小三棱锥的底面积,hn为小三棱锥高），所以V球＝ S球面·R＝ ·4πR2·R＝ πR3. ⑵球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。 【09真题全解全析】 考点1：证明空间线面平行与垂直 1山东理5. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4全国1理18．（本小题满分12分）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ，点M在侧棱 上， =60° （I）证明：M在侧棱 的中点 （II）求二面角 的大小。 5四川理19（本小题满分12分）如图，正方形 所在平面与平面四边形 所在平面互相垂直，△ 是等腰直角三角形， （I）求证： ； （II）设线段 的中点为 ，在直线 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，请指出点 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角 的大小。 6辽宁理（18）（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 (Ⅱ)假设直线ME与BN共面，…8分则AB 平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB 平面DCEF。又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB//EN。又AB//CD//EF，所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。 所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分 7宁夏理（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 eq \r(2)倍，P为侧棱SD上的点。 （Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由。 解法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意 。在正方形ABCD中， ，所以 ,得 . (Ⅱ)设正方形边长 ，则 。又 ，所以 , 连 ，由（Ⅰ）知 ,所以 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 且 ,所以 是二面角 的平面角。由 ,知 ,所以 ,即二面角 的大小为 。（Ⅲ）在棱 上存在一点 使 .由（Ⅱ）知 是平面 的一个法向量，且 设 w.w 则 而 即当 时， 而 不在平面 内，故 【考点定位】：本题以三棱锥为载体，考察学生对空间几何体的关系的认识和空间几何体的体积公式，在第二问的处理上要灵活运用线面垂、线线垂直和面面垂直三者之间的转换关系，本题较全面的考察了立体几何的基础知识和基本技巧。 9福建理17（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形， ， ，且MD=NB=1，E为BC的中点 （1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 （2）在线段AN上是否存在点S，使得ES 平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 考点2：求空间图形中的角与距离 1全国1理（7）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为 （A） （B） （C） (D) 4北京理4．若正四棱柱 的底面边长为1， 与底面 成60°角，则 到底面 的距离为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 是正四棱柱，∴ 平面 ， ∴ 是 与底面 所成的角，即 ， 则 ，所以 到底面 的距离为 ，选D. 【考点定位】本题主要考查对线面角、线面距离概念的理解和计算.立体几何中的“空间角”和“空间距离”是高考的重点内容. 5重庆理（9）已知二面角 的大小为500， 为空间中任意一点，则过点 且与平面 和平面 所成的角都是250的直线的条数为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 9四川理15.如图，已知正三棱柱 的各条棱长都相等， 是侧棱 的中点，则异面直线 所成的角的大小是 。 11全国2理5.已知正四棱柱 中， ，E为 中点，则异面直线BE与 所成角的余弦值为 （A） (B) (C) (D) 答案：C 解析：平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于900 12宁夏理（8）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F．且EF= eq \f(\r(2),2)，则下列结论中错误的是 D （A）AC⊥BE （B）EF//平面ABCD （C）三棱锥A—BEF的体积为定值 （D）异面直线AE，BF所成的角为定值 13北京理16．（本小题共14分）如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，点 ， 分别在棱 上，且 （I）求证： 平面 ； （Ⅱ）当 为 的中点时，求 与平面 所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点 使得二面角 为直二面角？并说 明理由。 14全国2理18（本小题满分12分） 如图，直三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点， 平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）证明： （II）设二面角 为60°，求 与平面 所成的角的大小。 分析三：利用空间向量的方法求出面 的法向量 ，则 与平面 所成的角即为 与法向量 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。 15天津理（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，AB AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD 平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值 16重庆理（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 如题（19）图，在四棱锥S-ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS ⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE= ，AS= 求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离； （Ⅱ）二面角E-CD-A的大小。 解：（Ⅰ）因为AD∥BC，且BC 平面BCS，所以AD∥平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离。因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，从而AD⊥DS，由AD∥BC，得BC⊥DS，又由CS⊥DS，又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离。因此，在Rt△ADS中， （Ⅱ）如答（19）图1，过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，故∠EGH为二面角E-CD-A的平面角，记为 ，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连结GF，因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，易知GH⊥GF，故 由于E为BS边中点，故CF= 中， FG⊥CD，从而又可得△CGF~△CSD，因此 ，而在△CSD中， CD= 故 在 ，故所求二面角的大小为 解法二： （Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设 ，因平面 即点A在xoz平面上，因此 又 因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为 . (Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.ΔBCS为直角三角形 ,知 17安徽理（18）（本小题满分13分）如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD= ，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角B－AF－D的大小；（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。 由 ，得 （向量法）以A为坐标原点， 、 、 方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系18山东理（18）（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E、E 、F分别是棱AD、AA 、AB的中点。 （1） 证明：直线EE //平面FCC ； （2） 求二面角B-FC -C的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D 中，取A1B1的中点F1， 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， 所以CD eq \o(=,\s\up8(//))A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D， 又因为E、E 分别是棱AD、AA 的中点，所以EE1//A1D， 所以CF1//EE1，又因为 平面FCC ， 平面FCC ， 所以直线EE //平面FCC . （2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A B C D 中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC -C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中, ,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵ ∴ , 在Rt△OPF中, , ,所以二面角B-FC -C的余弦值为 . 19江西理20．（本小题满分12分）在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， . 以 的中点 为球心、 为直径的球面交 于点 ，交 于点 .（1）求证：平面 ⊥平面 ；（2）求直线 与平面 所成的角的大小；（3）求点 到平面 的距离. 方法二：（1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ；设平面 的一个法向量 ，由 可得： ，令 ，则 。设所求角为 ，则 ， 所以所求角的大小为 。 （3）由条件可得， .在 中， ,所以 ,则 , ，所以所求距离等于点 到平面 距离的 ，设点 到平面 距离为 则 ，所以所求距离为 。 20湖南理18．（本小题满分12分） 如图 ，在正三棱柱 中, , 点 是 的中点，点 在 上，且 . (Ⅰ)证明：平面 平面 ； (Ⅱ)求直线 和平面 所成角的正弦值. 图4 解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱 的性质知  平面 ．又 平面 ，所以 而 ， ，所以 平面 ．又 平面 ，故 平面 平面 ． （Ⅱ）解法1   如图所示，设 是 的中点，连结 ， ， ．由正三棱柱 的性质及 是 的中点知， ， ． 又 ，所以 平面 ． 而 ，所以 平面 ．又 平面 ，故 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ． 过点 作 垂直 于点 ，则 平面 ． 连结 ，则 是直线 和平面 所成的角. 由已知 ，不妨设 ，则 ， ， ， ， ， . 所以  .即直线 和平面 所成角的正弦值为 . 解法2 如图所示，设 是 的中点，以 为原点建立空间直角坐标系. 不妨设 ，则 ，相关各点的坐标分别是 ， ， ， . 易知  ， ， . 设平面 的一个法向量为  ，则有 解得 ， .故可取  . 所以， .由此即知，直线 和平面 所成角的正弦值为 . 21陕西理18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱 中， AB=1， ， ∠ABC=60 .(Ⅰ)证明： ；（Ⅱ）求二面角A— —B的大小。 22上海理19（本题满分14分）如图，在直三棱柱 中， , ,求二面角 的大小。 解 如图，建立空间直角坐标系。则 A ，C ，A1 ， B1 ，C1 ，… 2分设AC的中点为M， BM AC，BM CC1， 23天津（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，AB AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= AD w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD 平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o. 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点 为坐标原点。设 依题意得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以异面直线 与 所成的角的大小为 . 24湖北理18．（本小题满分12分） 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD 平面ABCD，SD=2a， 点E是SD上的点，且 （Ⅰ）求证：对任意的 ，都有 （Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为 EMBED Equation.DSMT4 ，直线BE与平面ABCD所成的角为 ，若 ，求 的值. 18.（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。 SD⊥平面ABCD， BD是BE在平面ABCD上的射影， AC⊥BE （Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= , SD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD, SD⊥CD。 又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF= 。在Rt△BDE中， BD=2a，DE= EMBED Equation.DSMT4 在Rt△ADE中, 从而 在 中， . w由 ， 得 EMBED Equation.DSMT4 .由 ，解得 ，即为所求. 考点3：球体与多面体的组合问题 1全国1理(15)直三棱柱 - 各顶点都在同一球面上.若 ∠ = ，则此球的表面积等于 . 【考点定位】本题考查了同学们对于简单几何体的外接球半径的求解问题运用能力。 2全国2理12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为 上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方 体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标 的面的方位是 （A）南 （B）北 （C）西 （D） 答案：B 解析：空间想象几何体还原能力 5湖北理9.设球的半径为时间t的 。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 【答案】D 【解析】由题意可知球的体积为 ，则 ，由此可得 ，而球的表面积为 ，所以 ， 即 ，故选D 1 6全国2理15.设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成 角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于 ,则球O的表面积等于 . 10浙江（理）17．如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上一动点．现将 沿 折起，使平面 平面 ．在平面 内过点 作 ， 为垂足．设 ，则 的取值范围是 ． 13湖南理14．在半径为 的球面上有 , , 三点， , , , 则 （1）球心到平面 的距离为 ；（2）过 , 两点的大圆面 与平面 所成二面角（锐角）的正切值为 ． 14陕西理15．如图球O的半径为2，圆 是一小圆， ，A、B是圆 上两点，若A，B两点间的球面距离为 ，则 = . 15上海理8.已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ， ，满足的等量关系是___________. 【解析】根据题意 ,得 ，同理得 ， ，代入 得 ，化简可得 . 18广东理18．（本小题满分14分）如图6，已知正方体 的棱长为2，点Ｅ是正方形 的中心，点F、G分别是棱 的中点．设点 分别是点E、G在平面 内的正投影． （1）求以E为顶点，以四边形 在平面 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线 ； （3）求异面直线 所成角的正弦值． 【09命题特点与10备考要点】 09命题特点 立体几何在每一年高考中都有一个解答题，这是不变的，主要考查空间位置关系（线线、线面及面面的平行与垂直）及空间量（线线角、线面角、面面角、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离），一般以三棱柱、四棱柱、三棱 锥、四棱锥作为考查的载体，当然，也有不规则几何体，(1)解答题的考查稳中求新，稳中求活. 解答题在考查中经常涉及的知识及题型有：①证明“平行”和“垂直”，②求多面体的体积，③三种角的计算，④有关距离的计算，⑤多面体表面积的计算.这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等.但近几年来， 也推出了一些新题型，就是开放性试题，也是探索性的问题 (2)依托知识，考查能力.由于近几年加强了对能力的考查，因此应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养，因高考数学是通过知识考能力，本章尤其突出的是空间想象能力，而空间想象能力并不是漫无边际的胡想，而应以题设为根据，以某一几何体为依托，这样会更好的帮助你解决实际问题，提高解题能力. (3)一题两法，支持新课程改革.立体几何解答题的，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革. 10备考要点 立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主。 1、 高考直接考查线面位置关系，以多面体为载体考查线面间位置关系是今后命题的一种趋势。 2、 求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视。 3、 由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，达到快速准确解题的目的。 4立体几何的证明与计算的书写格式要求非常严格，因此在平时的训练中要多加注意书写的格式的严密性。 5熟练掌握通性通法 从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题 1．位置关系：（1）两条异面直线相互垂直 证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。 （2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。 （3）直线和平面垂直证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 （4）平面和平面相互垂直证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。 2．求距离： 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 （1）两条异面直线的距离求法：利用公式法。 （2）点到平面的距离求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。 3．求角 （1）两条异面直线所成的角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是 ，向量所成的角范围是 ，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。 （2）直线和平面所成的角求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为 或 。 （3）平面与平面所成的角求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α E D D1 C1 B1 A1 E1 F C B A E O O1 B A 20090423 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P A G A1 D1 C1 C B D F E B1 图6 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� C B A C1 B1 A1 _1305918345.unknown _1306119814.unknown _1306474991.unknown _1306477190.unknown _1307727680.unknown _1307934944.unknown _1307987454.unknown _1307987488.unknown _1307987548.unknown _1307987539.unknown _1307987469.unknown _1307987371.unknown _1307987436.unknown _1307987362.unknown _1307727682.unknown _1307934934.unknown _1307934221.unknown _1307727681.unknown _1307727676.unknown _1307727678.unknown _1307727679.unknown _1307727677.unknown _1306477336.unknown _1307727674.unknown _1307727675.unknown _1307727673.unknown _1306477348.unknown _1306477284.unknown _1306477323.unknown _1306477261.unknown _1306475235.unknown _1306476928.unknown _1306476979.unknown _1306477066.unknown _1306476949.unknown _1306476874.unknown _1306476889.unknown _1306476848.unknown _1306475140.unknown _1306475185.unknown _1306475212.unknown _1306475168.unknown _1306475032.unknown _1306475054.unknown _1306475015.unknown _1306331562.unknown _1306474709.unknown _1306474857.unknown _1306474924.unknown _1306474954.unknown _1306474881.unknown _1306474798.unknown _1306474807.unknown _1306474742.unknown _1306402675.unknown _1306437446.unknown _1306474656.unknown _1306474687.unknown _1306437559.unknown _1306437683.unknown _1306437458.unknown _1306437336.unknown _1306437385.unknown _1306402686.unknown _1306428793.unknown _1306383758.unknown _1306383874.unknown _1306390295.unknown _1306402665.unknown _1306390262.unknown _1306383846.unknown _1306383746.unknown _1306383691.unknown _1306241669.unknown _1306307355.unknown _1306317501.unknown _1306327455.unknown _1306331125.unknown _1306327416.unknown _1306316921.unknown _1306317454.unknown _1306307496.unknown _1306307519.unknown _1306307391.unknown _1306243292.unknown _1306305724.unknown _1306305753.unknown _1306305818.unknown _1306305832.unknown _1306305840.unknown _1306305770.unknown _1306305740.unknown _1306243524.unknown _1306243545.unknown _1306243514.unknown _1306242984.unknown _1306243077.unknown _1306243239.unknown _1306243018.unknown _1306242842.unknown _1306242954.unknown _1306242563.unknown _1306162980.unknown _1306218418.unknown _1306241622.unknown _1306241641.unknown _1306218825.unknown _1306218968.unknown _1306219043.unknown _1306223270.unknown _1306218876.unknown _1306218549.unknown _1306218731.unknown _1306218454.unknown _1306218040.unknown _1306218179.unknown _1306218312.unknown _1306218332.unknown _1306218182.unknown _1306218117.unknown _1306218073.unknown _1306217678.unknown _1306217689.unknown _1306163081.unknown _1306136977.unknown _1306162851.unknown _1306162913.unknown _1306137024.unknown _1306119857.unknown _1306119991.unknown _1306119837.unknown _1306007643.unknown _1306089984.unknown _1306119635.unknown _1306119767.unknown _1306119783.unknown _1306119727.unknown _1306095870.unknown _1306119554.unknown _1306119595.unknown _1306096433.unknown _1306119502.unknown _1306096493.unknown _1306095942.unknown _1306096245.unknown _1306090050.unknown _1306095812.unknown _1306090004.unknown _1306068807.unknown _1306069591.unknown _1306085381.unknown _1306085499.unknown _1306089929.unknown _1306085510.unknown _1306085482.unknown _1306085348.unknown _1306069508.unknown _1306069524.unknown _1306069495.unknown _1306007680.unknown _1306007697.unknown _1306007715.unknown _1306007790.unknown _1306007830.unknown _1306007703.unknown _1306007685.unknown _1306007669.unknown _1306007672.unknown _1306007658.unknown _1306006506.unknown _1306006632.unknown _1306007577.unknown _1306007604.unknown _1306007606.unknown _1306007610.unknown _1306007588.unknown _1306007596.unknown _1306006642.unknown _1306007573.unknown _1306006638.unknown _1306006524.unknown _1306006592.unknown _1306006598.unknown _1306006520.unknown _1305960241.unknown _1305960349.unknown _1305998164.unknown _1306006014.unknown _1306006240.unknown _1306006306.unknown _1306006079.unknown _1306003646.unknown _1306003473.unknown _1305960402.unknown _1305974795.unknown _1305974870.unknown _1305974916.unknown _1305974839.unknown _1305962825.unknown _1305960412.unknown _1305960368.unknown _1305960381.unknown _1305960358.unknown _1305960301.unknown _1305960322.unknown _1305960332.unknown _1305960312.unknown _1305960265.unknown _1305960280.unknown _1305960251.unknown _1305957380.unknown _1305960220.unknown _1305960231.unknown _1305960212.unknown _1305956349.unknown _1305957245.unknown _1305956267.unknown _1305903669.unknown _1305913157.unknown _1305913617.unknown _1305913621.unknown _1305913729.unknown _1305914668.unknown _1305918315.unknown _1305913782.unknown _1305913801.unknown _1305913758.unknown _1305913658.unknown _1305913660.unknown _1305913661.unknown _1305913662.unknown _1305913659.unknown _1305913623.unknown _1305913624.unknown _1305913622.unknown _1305913619.unknown _1305913620.unknown _1305913618.unknown _1305913233.unknown _1305913615.unknown _1305913616.unknown _1305913283.unknown _1305913312.unknown _1305913249.unknown _1305913177.unknown _1305913197.unknown _1305913169.unknown _1305909292.unknown _1305909391.unknown _1305910419.unknown _1305910421.unknown _1305913100.unknown _1305913145.unknown _1305910424.unknown _1305910420.unknown _1305910415.unknown _1305910417.unknown _1305909469.unknown _1305910395.unknown _1305909343.unknown _1305909192.unknown _1305909243.unknown _1305908823.unknown _1305908857.unknown _1305908885.unknown _1305908842.unknown _1305903709.unknown _1303308594.unknown _1303308873.unknown _1303371508.unknown _1303453620.unknown _1303978050.unknown _1305903583.unknown _1305903598.unknown _1305903660.unknown _1305903633.unknown _1305903589.unknown _1305903558.unknown _1305903573.unknown _1305358537.unknown _1305903540.unknown _1305358507.unknown _1305358515.unknown _1303482147.unknown _1303914843.unknown _1303914875.unknown _1303914861.unknown _1303805090.unknown _1303914769.unknown _1303805162.unknown _1303626273.unknown _1303453847.unknown _1303453899.unknown _1303453924.unknown _1303454000.unknown _1303453890.unknown _1303453722.unknown _1303453785.unknown _1303453659.unknown _1303376010.unknown _1303388775.unknown _1303402933.unknown _1303402955.unknown _1303403015.unknown _1303402606.unknown _1303388774.unknown _1303376047.unknown _1303375912.unknown _1303375996.unknown _1303371743.unknown _1303373166.unknown _1303371755.unknown _1303371539.unknown _1303371660.unknown _1303308987.unknown _1303309172.unknown