博弈模型-数模

数学建模之——博弈模型重庆邮电大学杨春德教授宇宙间处处存在矛盾、冲突、争斗、合作、共生等现象，这些现象很很早就引起各类学者的重视。数学被认为是科学的语言，能否用数学语言描述各种带有矛盾因素的模型或现象？ 博弈论便是这样一种处理各类带有矛盾因素的模型的数学工具。博弈论现在已被数学、经济学、社会学、军事学、生物学等专家广泛应用于讨论各类带有冲突、矛盾、合作、竞争、进化等问及相关模型之中。博弈论已成为人们分析复杂系统与作重大决策时的有力工具。现在已被数学、经济学、社会学、军事学、生物学等专家广泛应用于讨论各类带有冲突、矛盾、合作、竞争、进化等问题及相关模型之中。博弈论已成为人们分析复杂系统与作重大决策时的有力工具。一、博弈论基本概念世事纷争一棋局 许多冲突模型在游戏中就存在，博弈论早期就是由研究国际象棋开始的，所以被命名为GameTheory。人们很快认识到此种理论可用于经济、政治、军事等领域。 1944年冯·诺曼和奥·摩根斯特恩合著的《竞赛论与经济行为》问世，总结了初期研究成果，奠定了博弈论的基础。由于该理论主要讨论在复杂的矛盾冲突等活动中，局中人（Player）采取何种合理的策略（strategy）而能处于“优越”的地位，以便取得较好效益，所以将它译为博弈论。博弈论（Gametheory）可以被定义为是对智能的理性决策者之间冲突与合作的数学模型的研究。常见的游戏如棋类，两人对奕，此两人便称为局中人，他们各有一套棋路，或善于用马，或长于用炮。在每次轮到一方走子时，他可能有许多走法，这些走法依赖于当时棋局形势以及棋手想要达到的目的，以及他惯用的走法，从而形成他走棋的指导思想。对奕时指导棋手行动的思想便称为策略。对局终了可能有三种结局：甲胜；乙胜；和局。如果用数量表示各种结局，例如胜家赢得彩金若干（设所得彩金由输家付给，则输家当然失去若干），和局时都不能取得彩金，此种表示结局的数称为支付（payoff）。局中人、策略、支付是博弈论中常见的基本概念,下面我们将逐一介绍。（1）参与者 参与者指的是一个博弈中的决策主体，通常又称为参与人或局中人。 博弈参与者集合一般表示为 参与者参加博弈的目的是通过合理选择自己的行动，以期取得最大化自己的收益（或效用）水平。参与者可以是自然人，也可以是企业、团体、国家，甚至是国家组成的集团（如欧盟、OPEC等）。对参与者而言，在博弈过程中，他必须有不同的行动可作应对选择。在博弈的结局中，他能知道或计算出各参与者不同的行动组合产生的效益（或效用）。（2）战略 战略是参与者如何对其他参与者的行动作出反应的行动规则，它规定参与者在什么时候该选择什么行动。或者说。战略是参与者“相机行动”。博弈论中，常用小写表示参与者i的一个战略，用大写表示参与者i的所有可选择的战略集合（又称为参与者i的战略空间）。如果n个参与者每个选择一个战略，那么n维向量称为一个战略组合，其中是参与者i选择的战略。_1202042587.unknown_1202042692.unknown_1202042559.unknown（3）收益函数 在博弈论中，收益指的是在一个特定的战略组合下参与者得到的确定效用或期望效用。效用通常表现为博弈结果中输赢、得失、盈亏。效用必须能用数值刻画其大小。收益是博弈参与者真正关心的问题。注释：博弈论的一个基本特征是一个参与者的收益不仅取决于自己的战略选择，而且取决于所有参与者的战略选择。或者说，收益是所有参与者各选定一个战略形成的战略组合的函数。 在博弈论中，通常用ui表示参与者i的收益，一个战略组合是，每个参与者的收益可以表示为参与者、战略、收益函数是标准博弈的三要素。由前面我们对这三要素的分析，可以得到一个标准博弈的定义： 标准博弈的定义：在一个有n个参与者的博弈中，参与者的战略空间为，收益函数为，标准式表述用表示此博弈。_1202045741.unknown_1202045779.unknown_1202045709.unknown（4）博弈的解—纳什均衡 注释：研究博弈问题就是建立博弈模型，求解博弈的纳什均衡，下面我们用实例来说明我们的理论及应用在n个参与者标准式博弈G＝{S1,…,Sn；u1,…,un}中，如果对于每一个参与者i(i＝1,2,…,n)，si*是针对其他n－1个参与者所选战略(s1*,…,s*i－1,s*i+1,…,sn*）的最优反应战略，即--------------（NE）亦即si*是最优问题的解，则战略组合称为博弈G的一个解或纳什均衡。_1202307156.unknown_1428346038.unknown_1202307085.unknown信息 信息指的是参与者在博弈过程中能了解到和观察到的知识。这些知识包括“自然”的选择，其他参与者的特征和行动等。信息对参与者是至关重要的，因为一个参与者在每一次进行决策之前，必须根据观察到的其他参与者的行动和了解的有关情况作出自己的最佳选择。 由于信息内涵的不同，派生出各种有关信息的概念将博弈论划分成不同的类型，因此寻求博弈间的也不同。这里只就信息有关的两个基本的、重要的概念进行讨论。 首先，关于“共同知识”的概念。一个博弈问题所涉及的“自然”的不同选择、参与者的行动以及相应产生的效用（效果、收益）都是一种知识（信息）。博弈论所谓的共同知识指的是“所有参与者知道，所有参与者知道所有参与者知道，所有参与者知道所有参与者知道所有参与者知道……”的知识。为了说明共同知识的重要性，我引用一个众所周知的寓言。故事发生在一个村庄，村里有100对已婚夫妇，他们都是地道的逻辑学家，但也有一些多少有点奇特的社会风俗。每天晚上，村里的男人们都将点起篝火，绕圈围坐举行一个会议，且每个人都谈论自己的妻子。在会议开始时，如果一个男人有理由认为他的妻子对他总是守贞的，那么他就对在坐的男人们赞扬她的美德。另一方面，如果在当前会议之前的任何时间，只要他发现了他妻子不贞的证据，那他就会悲鸣恸哭，并祈求神灵严厉地惩罚她。再则，如果一个妻子曾有不贞，那她和她的情人将会立即通知村里除她丈夫外所有的男人。所有这些传统都是村民们的共同知识。事实上，每个妻子都已对自己的丈夫不忠。于是，每个丈夫都知道除自己的妻子外都是不贞的女人，而对自己的妻子每晚都要赞扬。这种状况持续了很多年，直到一个传教徒走访到这个村庄。他坐在髯火旁参加了一次会议并听到每个男人都赞扬自己的妻子之后，他站到丈夫们围坐的圆中心，大声地说：“这个村里有一个妻子已经不贞了。”在此后的99个晚上丈夫们继续开会并赞扬他们的妻子，但在第100个晚上，他们全都悲鸣偷哭并祈求严厉地惩罚他们的妻子。 现在，让我们试问一下，这个传教徒告诉了这些丈夫们他们所不知道的什么？每个丈夫都已经知道了99个不贞的妻子，故这对任何人来说都不是新闻。但“这个传教徒对所有男人做了一个声明”是共同知识，从而这个传教徒所声明的内容，即有一个不贞的妻子，也就成了所有男人中间的共同知识。在传教徒宣告之前，每个形如“（每个丈夫知道）有一个不贞的妻子”的判断对于99都是正确的，但对100就不正确了。其次，关于“完全信息”的概念。完全信息是博弈论非常重要的基本概念，有了上述的共同知识概念，这里就可以给出完全信息的严格定义。完全信息指的是所有参与者各自选择的行动的不同组合所决定的各参与者的收益对所有参与者来说是共同知识。简单通俗地说，完全信息是指每一个参与者对自己以及其他参与者的行动，以及各参与者选择的行动组合产生的收益等知识有完全的了解。二、囚徒困境博弈模型分析两个共同作案的犯罪嫌疑人被捕，并受到指控。除非至少一个人招认犯罪，否则警方无充分证据将他们按罪判刑。警方把他们关入不同的牢室，并对他们说明不同行动带来的后果。如果两人都采取沉默的抗拒态度，因警方证据不足，两人将均被判为轻度犯罪入狱1个月；如果双方都坦白，根据案情两人将被判入狱6个月；如果一个招供而另一个拒不坦白，招认者因有主动认罪立功表现将立即释放，而另一人将被判入狱9个月（所犯罪行判6个月，干扰司法加判3个月）。1、问题的提出这两个犯罪嫌疑人是坦白还是拒不坦白呢？3、问题分析 囚徒困境问题可以用图1－1所示的双变量矩阵的形式来描述。注释：在此博弈中，每个囚徒有两种战略可供选择：坦白（或招认）、不坦白（或沉默）。图1-1的矩阵中每一个单元的两个数字表示一组特定的战略组合下两个囚犯的收益（或支付、效用，这里已经开始引用经济学的术语了），其中第1个数字是囚徒1（习惯上是位于矩阵横行上的参与者）的收益，第2个数字是囚徒2（位于竖行上的参与者）的收益。如果囚徒1选择沉默，而囚徒2选择坦白，那么囚徒1的收益是－9（表示判刑9个月），囚徒2的收益为0（表示马上释放）。2、假设：两囚徒都是理性的和智能的。 囚徒2 坦白 沉默 囚徒1 坦白 -6，-6 0，-9 沉默 -9,0 -1，-1图1-14、模型建立 参与者集合：Γ={囚徒1，囚徒2} 战略空间：S1=S2={坦白，沉默}u1(坦白,坦白)=u2(坦白,坦白)＝-6，u1(沉默,坦白)＝u2(沉默,坦白)=-9u1(坦白,沉默)＝u2(坦白,沉默)=0，u1(沉默,沉默)＝u2(沉默,沉默)=-1 收益函数5、模型求解对i＝1,有u1(坦白,坦白)＝－6＝－6＝u1(坦白,坦白)u1(坦白,坦白)＝－6>－9＝u1(沉默，坦白)对i＝2，有u2(坦白,坦白)＝－6＝－6＝u2(坦白,坦白)u2(坦白,坦白)＝－6>－9＝u2(坦白,沉默)所以s*＝(s1*,s2*)＝(坦白,坦白)满足定义不等式（NE）的条件，故s*＝(坦白,坦白)是囚徒困境博弈的一个纳什均衡，即此问题的解。 囚徒2 坦白 沉默 囚徒1 坦白 -6，-6 0，-9 沉默 -9,0 -1，-1图1-16、结果分析战略组合（沉默，沉默），即如果两个人都不坦白，各人只判刑一个月，不是比战略组合（坦白，坦白）带来的各判刑6个月要好吗？注释：这正是囚徒困境的“困境”两个字的体现，如果用经济学中的“有效”的术语的意思来讲，（沉默，沉默）是一个有效结局。有效结局并不是囚徒问题的博弈解。这体现了个人利益和全体利益的矛盾。由于u1(坦白,坦白)＝-6>-9＝u1(沉默,坦白)u1(坦白,沉默)＝0>-1＝u1(沉默,沉默)因此，“坦白”是囚徒1的最优战略，即＝坦白。同样可以验证，囚徒2的最优战略是＝坦白。因此，囚徒困境问题的解是＝(坦白,坦白)。_1202044215.unknown_1202044239.unknown_1202044195.unknown7、模型的推广与应用 与囚徒困境类似的博弈问题在经济、社会等领域有许许多多的版本。应用1：A,B两个公司以高低两种价格向市场竞相销售同一种产品。注释：双方协定以高价格垄断市场，可以使彼此获得满意的利润收益，至少要好于双方都以低价格出售产品的情形。但如果某一方坚持高价，而另一方为了独占市场却将产品以低价格推销，因为协定不被遵守时是不会受处罚，那么后者将获高盈利而前者将损失惨重。市场上商品的价格战，常常出现的结局一般是以低价格销售商品，消费者从中得到好处，如现在的通信三大运营商：移动、电信和联通，这种结果正是博弈论预测的合理结局，你们不妨自己设计一个类似于图1-1的A,B公司的收益矩阵。应用2：军备竞赛问题注释：美苏冷战期间，两个超级大国构成博弈的两方，可供选择的战略是：扩军（增加军费运算）、裁军（减少军费运算）。如果双方都热衷于扩军，两国都要为此付出高额军费（从社会福利角度来看这是一笔庞大的付收益）;如果双方都选择裁军，则可省下这笔钱；如果一方面裁军而另一方面进行扩军，扩军的一方到时候就会以武力相威胁甚至发动战争，这是，战争胜败双方的收益与支付将出现难以估量的差异。博弈论给出军备竞赛问题的是战略组合(扩军，扩军)，博弈理论预测双方都扩军可以达到对抗中的相对稳定，这是一个符合现实的合理结局。 前苏联 扩军 裁军 美国 扩军 -3000，-3000 10000，- 裁军 -,10000 2000，2000_1428243877.unknown_1428243905.unknown三、海滩占位博弈模型分析甲乙两个冷饮摊贩，他们在一个直线状的海滩上，以同样的价格、相同的质量向均匀分布在海滩上的众多游客（他们来此享受海水和阳光，进行日光浴或游泳活动）销售冷饮。既然是做生意，目的总是希望尽可能多赚点钱，甲乙两人又是在同一地点做同样的生意，竞争就是不可避免的事情了。1、问题的提出这两个冷饮摊贩应该如何安置自己的摊位，才能相安无事地做各自的生意呢？3、建模（1）参与者集合：Γ={甲，乙}（2）战略空间：S1=[0,1/2],S2=[1/2,1]（3）收益函数:2、问题分析与假设：（1）两摊贩都是理性的和智能的；（2）游客总是到距离自己最近的摊位购买冷饮；（3）为了叙述方便，不妨将海滩长度标准化为1。对所有x∈S1＝[0,1/2]和y∈S2＝[1/2,1]都成立。在一个标准式两人博弈中，如果战略组合是纳什均衡，那么按照纳什均衡定义不等式（NE）的条件，对甲冷饮摊和乙冷饮摊应有_1428255380.unknown4、模型求解前面的不等式组等价于对对甲冷饮摊和乙冷饮摊，x*，y*应为下面最优化问题:由此可得到模型的解_1428256425.unknown5、结果分析与推广和应用结果分析：按通常的想法，如图1-3，甲在1/4处设摊，乙在3/4处设摊，这样既方便了顾客，又照顾到甲乙二人各占约一半顾客的生意，可谓公平合理。问题不是简单的解决了吗？注释：事情并不像想象的那么简单。甲乙二人做同样的生意，两人之间就存在竞争，这就构成了一个博弈问题。站在甲的角度考虑，只要手段合法，多揽一点顾客就可以多赚一点钱。基于这样的理性想法，甲就会将自己的摊位向右挪动到A点（见图1－3）。这时，从0到M（这里M是A至3/4处的中点）范围内的顾客都会去买甲的冷饮，甲就从乙的手里挖走一部分顾客，即图1－3中阴影所示的1/2到N的那一部分。乙也是一个理性的生意人，他会估计到甲可能作出的动作，因此，他也会将自己的摊位向左边移动。照此下去，最后的结果是甲乙二人都挤在一起，紧接着，在海滩的中点（1/2处）做冷饮生意。推广应用：同一城市的不同航空公司经营的飞往同一目的地的航班，常常出现起飞时刻几乎相同的现象。就是在文化娱乐方面，也能运用海滩占位的博弈结论予以解释。如果把电视中高雅艺术节目与较低档的节目比作海滩的两端，那么众多的电视观众就可以看作是散布在海滩上的游客。电视台常常将黄金时段的电视节目定位在中等档次，以提高收视率。四、智猪争食博弈1、问题的提出 猪圈里喂养两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一边有一个猪食槽，对面的一边装有控制开关。只要猪用鼻头去拱控制开关，就会一次有6个单位的饲料流进猪食槽。如果大猪和小猪都不去拱开关，那么它们都吃不到饲料。如果小猪去拱开关，那么等它跑到另一边的猪食槽时，大猪已将流出的饲料全部都吃光了。如果大猪去拱开关，那么等它跑到猪食槽旁边，小猪差不多已吃掉了5个单位的饲料，结果大猪只能吃到1个单位的饲料。如果大猪、小猪一起去拱开关，再一起跑去吃食，那么大猪可抢到4个单位的饲料，小猪也只能吃掉2个单位的饲料。假定每拱一次开关需要消耗0.5个单位饲料的能量。大小猪分别是去拱还是不去拱开关？2、分析与假设、建模、模型求解大猪和小猪长期在一起进食，上面所说的情况（信息、知识）已为它们所掌握。所以可假设大小猪都是理性的和智能的。 仿照例一囚徒困境的情形，就可以画出如图1－4所示的双变量矩阵。 仿照例一囚徒困境的情形，可以建立出该问题的博弈模型并求出其解。智猪争食问题的博弈论解是战略组合（拱，不拱）注释：在这个博弈中，大猪与小猪都有两种战略选择：拱、不拱。在这个例子中可以发现，不论大猪选择拱还是不供，小猪的最优选择总是不拱。这是因为，如果大猪去拱开关，小猪不拱（等在猪食槽旁边）比拱后再跑回去争食要划算（5>1.5）；如果大猪不去拱开关，小猪不拱顶多都不得食，而去拱就要白白消耗能量，不划算（0>-0.5）。所以，不拱是小猪的占优战略。给定小猪总是选择不拱，大猪的最优选择总是拱。这样，智猪争食问题的博弈论解是战略组合（拱，不拱）。 小猪 拱 不拱 大猪 拱 3.5，1.5 0.5，5 不拱 6,-0.5 0，0图1-43、结果分析与推广和应用 比如股份公司中就有大股东和小股东之分。股东都有监督经理的职能，他们从监督中得到的收益并不一样。在监督成本相同的情况下，大股东从监督中得到的好处显然多于小股东。通常在股份公司里，总是由大股东担当监督任务，而小股东则搭大股东的便车。 股票市场上也有类似现象。一般大户总是重视搜集信息，积极进行行情分析。对小户而言，跟大户是常见现象。 进行产品研究、开发以及新产品广告宣传时，对大企业而言，其资金实力及可望的收益会使大企业有投资的积极性，而小企业往往会得不偿失。小企业通常采取与大企业建立协作生产或移植部分技术的做法。智猪争食模型在社会经济领域也可以找到许多实例。知识的灵活应用五、库诺特双寡头垄断竞争模型这两个企业如何决策产量才会得到最大利润呢？1、问题的提出有两家企业，分别称为企业1和企业2，它们生产相同质量的产品投放市场。设企业1，企业2的产量分别为q1、q2，总供给Q＝q1+q2。P(Q)表示市场单位产品价格函数，Ci(qi)表示企业i生产qi的总成本。考虑最简单的问题：Q＜a时，P(Q)＝a－Q；Q＞a时，P(Q)＝0]，Ci(qi)＝cqi（i＝1,2），即企业不存在固定成本，且生产每单位产品的边际成本为常数c，这里假定c＜a。2、问题的分析与模型建立 为了求出库诺特博弈中的解及纳什均衡，首先要将其转化为标准博弈。（1）参与者集合：Γ={企业1，企业2}（2）战略空间：S1＝S2=[0,+∞）（3）收益函数:注释：接下来就需要把企业1、企业2的收益表示为它自己和另一企业所选战略的函数。假定企业的收益就是其利润额，这样在一般的两个参与者标准式博弈中，企业1和企业2的收益函数就可表示为注释：博弈的标准式表述包含下列三个要素：①博弈的参与者。②每一参与者可以选择的战略。③针对每一个参与者可能选择的战略组合，每个参与者的收益。双寡头垄断竞争模型中当然只有两个参与者，即模型中企业1和企业2。每个参与者（企业）可以选择的战略是其产品产量。假定产品是连续可分割的，由于产出不可能为负，因此每个企业的战略空间就可表示为S1＝S2=[0,+∞）。其中，一个具体的战略si就是所选择的产量q1≥0，q2≥0。也许有的读者会提出，特别大的产量是不可能的，因而不应包括在战略空间之中。不过，由于Q≥a,价格P(Q)＝0，任何企业都不会有qi＞a的产出。 纳什均衡定义不等式（NE）的条件: 均衡（q1*,q2*)对应的最优化问题：注释：在一个标准式两人博弈中，如果战略组合是纳什均衡，那么按照纳什均衡定义不等式（NE）的条件，对企业1和企业2应有_1202755256.unknown注释：对所有q1∈S1＝[0,+∞]和q2∈S2＝[0,＋∞）都成立。上述不等式组等价于对企业1和企业2，q1*，q2*应为下面最优化问题：解法一：微分法3、模型求解注释：利用微积分求极值的办法，对每个企业的收益函数求一阶导数并令其等于零，即可求出纳什均衡。……..(1)注释：那么，要使产量成为纳什均衡，由式（1）可知，两个企业的产量选择必须满足方程组…….(2) 由此得：解方程组（2），得均衡解为这时，将上式代入各自的收益函数。每个企业的纳什均衡利润为解法二：几何法注释：库诺特模型还可以用几何图形的方法找出均衡解。……….（3） 这两个函数称为该博弈最优反应函数。先对式（2）稍做更改，将式（2）中和分别用与替代，产生两个函数_1201610155.unknown_1201610203.unknown_1201610219.unknown_1201610133.unknown注释：事实上，最优反应函数q1＝R1(q2)与q2＝R2(q1)分别是由收益函数的优化问题的一阶条件和定义的。最优反应函数q1＝R1(q2)表示企业2的战略（产量）满足q2＜a－c时，企业1选择战略（产量）q1的最优反应是(a－q2－c)/2。类似的，如果q1＜a－c时，企业2选择战略（产量）q1的最优反应是(a－q1－c)/2。_1201610795.unknown_1201610895.unknown在图形上，两个最优反应函数只有一个交点（见图1-5）。这个交点就是最优产量组合——纳什均衡(q1*,q2*)。图1-5解法法三：运用逐步剔除严格劣战略的方法 首先证明对两个企业来说，产量q0＝(a－c)/2严格优于其他任何更高的产量。对企业1来说，如果它选择产量q1＝q0＝(a－c)/2，而企业2选择产量q2，当Q＝q0＋q2＜a时，企业1的收益（利润）为如果企业1选择产量q1=q0+x(x>0)，企业2选择产量q2，当Q=q0+q2<a时，企业1的利润为比较上面两式结果，就能得出对于企业2来说，类似可导出并且，如果，则p(Q)=0。这时，生产较低的产量利润不会降低。这样，第一步就可以从两企业的原战略空间S1＝S2＝[0,＋∞]剔除严格劣战略，剩下的战略空间为。_1428265993.unknown_1428427014.unknown 第二步：已知上步的战略空间为得企业一第二次删除后剩下的战略空间 第三步：得企业一第三次删除后剩下的战略空间 第四步：已知上步的战略空间为……………. 第2k步：删除后剩下的战略空间为得企业一第四次删除后剩下的战略空间为 第2k+1步：删除后剩下的战略空间为4、结果分析 下面将双寡头垄断竞争与寡头垄断情况作一比较。设寡头垄断企业的最优产量为q*，这时最优化问题是注释：但这样安排存在一个问题，就是每家企业都有动机偏离它。因为寡头垄断产量q较低，相应的市场价格p(q)就比较高，在这一价格下每家企业都会倾向于提高自己的产量，而不顾这种产量的增加会降低市场价格。这又出现了在囚徒困境问题中的个人理性与团体理性冲突的现象。容易算出，最优产量q*＝(a－c)/2。垄断利润应为u＝(a－c)2/4。相比之下，(a－c)2/4>(a－c)2/9，这就是说寡头垄断获得的利润要高。在市场上出现两家企业时，要使两家企业总的利润最大化，两企业的产量和应等于q*，即q1＋q2＝q*。比如，q1＝q2＝q*/2＝(a－c)/4就可以满足这一条件。六、两个博弈论研究著名学者简介1、计算机之父、博弈论创始人——冯·诺伊曼约翰·冯·诺伊曼(JohnVonNeumann，1903—1957)，美籍匈牙利人。1921—1923年在苏黎世大学学习。很快又在1926年以优异的成绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯·诺伊曼年仅22岁。冯·诺伊曼是20世纪最优秀的数学家之一，因1946年发明电子计算机而被西方人誉为“计算机之父”。1957年2月8日在医院逝世，享年53岁。 主要科学研究贡献注释：冯·诺伊曼从小就显示出数学天才，关于他的童年有不少传说。大多数的传说都讲到冯·诺伊曼自童年起在吸收知识和解题方面就具有惊人的速度。六岁时他能心算做八位数乘除法，八岁时掌握微积分，十二岁就读懂领会了波莱尔的大作《函数论》要义。冯·诺依曼的第一篇是和菲克特合写的，是关于车比雪夫多项式求根法的菲叶定理推广，注明的日期是1922年，那时冯·诺依曼还不满18岁。（1）、三项最重要的数学工作：在1930～1940年间，冯·诺依曼在纯粹数学方面取得的成就更为集中，创作更趋于成熟，声誉也更高涨。后来在一张为国家科学院填的问答表中，冯·诺依曼选择了量子理论的数学基础、算子环理论、各态遍历定理三项作为他最重要数学工作。（2）、一般应用数学：1940年，是冯·诺依曼科学生涯的一个转换点。在此之前，他是一位通晓物理学的登峰造极的纯粹数学家；此后则成了一位牢固掌握纯粹数学的出神入化的应用数学家。他开始关注当时把数学应用于物理领域去的最主要工具——偏微分方程。研究同时他还不断创新，把非古典数学应用到两个新领域：对策论和电子计算机。(3)、博弈论冯·诺依曼不仅曾将自己的才能用于武器等研究，而且还用于社会研究。1928年，冯·诺依曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。由他创建的对策论，无疑是他在应用数学方面取得的最为令人羡慕的杰出成就。注释：1944年，冯·诺依曼和摩根斯特思合著的《博弈论和经济行为》是这方面的奠基性著作。将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和理论体系。论文包含了博弈论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际应用的详细说明。这篇论文以及所作的与某些经济理论的基本问题的讨论，引起了对经济行为和某些社会学问题的各种不同研究，时至今日，这已是应用广泛、羽毛日益丰盛的一门学科。有些科学家热情颂扬它可能是“20世纪前半期最伟大的科学贡献之一”。(4)、计算机 对冯·诺依曼声望有所贡献的最后一个课题是电子计算机和自动化理论。1944年，诺伊曼参加原子弹的研制工作，该工作涉及到极为困难的计算。在对原子核反应过程的研究中，要对一个反应的传播做出“是”或“否”的回答。解决这一问题通常需要通过几十亿次的数学运算和逻辑指令，尽管最终的数据并不要求十分精确，但所有的中间运算过程均不可缺少，且要尽可能保持准确。他所在的洛·斯阿拉莫斯实验室为此聘用了一百多名女计算员，利用台式计算机从早到晚计算，还是远远不能满足需要。无穷无尽的数字和逻辑指令如同沙漠一样把人的智慧和精力吸尽。被大型计算所困扰的冯·诺伊曼在一次极为偶然的机会中知道了ENIAC计算机的研制，从此他投身到计算机研制这一宏伟的事业中，建立了一生中最大的丰功伟绩。 逸闻 一次，在一个数学聚会上，有一个年轻人兴冲冲的找到他，向他求教一个问题，他看了看就报出了正确答案。年轻人高兴地请求他告诉自己简便方法，并抱怨其他数学家用无穷级数求解的烦琐。冯·诺依曼却说道：“你误会了，我正是用无穷级数求出的。”可见他拥有过人的心算能力。 据说有一天，冯·诺依曼心神不定地被同事拉上了牌桌。一边打牌，一边还在想他的课题，狼狈不堪地“输掉”了10元钱。这位同事也是数学家，突然心生一计，想要捉弄一下他的朋友，于是用赢得的5元钱，购买了一本冯·诺依曼撰写的《博弈论和经济行为》，并把剩下的5元贴在书的封面，以表明他“战胜”了“赌博经济理论家”，着实使冯·诺依曼“好没面子”。2、孤独的天才——约翰.福布斯.纳什 纳什:生于1928年6月13日。父亲是电子工程师与教师，第一次世界大战的老兵，当时在法国担任负责后勤工作的中尉。纳什小时孤独内向，虽然父母对他照顾有加，但老师认为他不合群不善社交。美国数学家，前麻省理工学院助教，主要研究博弈论、微分几何学和偏微分方程。他的理论被运用在市场经济、计算、演化生物学、人工智能、会计、政策和军事理论。晚年为普林斯顿大学的资深研究数学家。1994年，他和其他两位博弈论学家约翰·C·海萨尼和莱因哈德·泽尔腾共同获得了诺贝尔经济学奖。1950年，纳什获得美国普林斯顿大学的博士学位，他在那篇仅仅27页的博士论文中提出了一个重要概念，也就是后来被称为“纳什均衡”的博弈理论。 博弈论研究 纳什在上大学时就开始从事纯数学的博弈论研究，1948年进入普林斯顿大学后更是如鱼得水。他在普林斯顿大学读博士时刚刚二十出头，但他的一篇关于非合作博弈的博士论文和其他相关文章，确立了他博弈论大师的地位。在20世纪50年代末，他已是闻名世界的科学家了。特别是在经济博弈论领域，他做出了划时代的贡献，是继冯·诺依曼之后最伟大的博弈论大师之一。他提出的著名的纳什均衡的概念在非合作博弈理论中起着核心的作用。后续的研究者对博弈论的贡献，都是建立在这一概念之上的。由于纳什均衡的提出和不断完善为博弈论广泛应用于经济学、管理学、社会学、政治学、军事科学等领域奠定了坚实的理论基础。一个博弈收益图中心点是该博弈的纳什均衡 获奖纳什获诺贝尔经济学奖 1958年的Fields奖，一个由于他的一些结果没有来得及发表而未能如愿的奖。 1994年获得诺贝尔经济学奖注释：正当他的事业如日中天的时候，30岁的纳什得了严重的精神分裂症。他的妻子艾利西亚—麻省理工学院物理系毕业生，表现出钢铁一般的意志：她挺过了丈夫被禁闭治疗、孤立无援的日子，走过了唯一儿子同样罹患精神分裂症的震惊与哀伤……漫长的半个世纪之后，她的耐心和毅力终于创下了了不起的奇迹：和她的儿子一样，纳什教授渐渐康复，并在1994年获得诺贝尔奖经济学奖。注释：在研究领域里，Nash在代数簇理论，黎曼（Riemannian）几何，抛物和椭圆型方程上取得了一些突破。1958年他几乎因为在抛物和椭圆型方程里的工作获得Fields奖，但由于他的一些结果没有来得及发表而未能如愿。 传记电影 影片《美丽心灵》一举获得8项奥斯卡提名。这部影片以1994年度诺贝尔经济学奖得主之一小约翰·纳什与他的（前）妻子艾莉西亚以及普林斯顿的朋友、同事的真实感人的故事为题材，艺术地重现了这个爱心呵护天才的传奇故事。注释：2005年6月，约翰·纳什参加了诺贝尔北京论坛，并提出了中国必须平衡自己的增长和世界的增长。2008年约翰·纳什，13日晚上在青岛接过了青岛大学校长徐建培授予他的青岛大学名誉教授的证书，以及刻有纳什英文名字的水晶印章。 公共地的悲剧问题：有一个关于牧民与草地的故事，说的是当村庄的草地向村民完全开放时，每一个村民都想多养一头牛，因为多养一头牛增加的收益大于其购养成本，是有利润的。尽管因为平均草量下降，增加一头牛可能使整个草地的牛的单位收益下降。试问村民应该如何养羊才能使收益最大呢？练习题 最后要价仲裁问题假定参与争议的双方一方为企业，一方为工会，争议由工资而起。令企业为参与者1，工会为参与者2，它们同时选择自己的战略，即开出自己希望的工资水平，仲裁人对工人的工资有一个理想值，仲裁人选择双方开出的工资距理想值最近的作为仲裁结果。企业和工会应分别开出多少工资呢？现在已被数学、经济学、社会学、军事学、生物学等专家广泛应用于讨论各类带有冲突、矛盾、合作、竞争、进化等问题及相关模型之中。博弈论已成为人们分析复杂系统与作重大决策时的有力工具。