空洞探测

题目 空洞探测 摘要 本文主要研究空洞探测问题，并建立相应的空洞探测模型，以下就如何解决本题展开研究。 在对山体、坝体、隧洞进行维修或分析的过程中，首先要分析其中空洞探测的问题，然后对空洞进行定位。在对空洞进行探测的过程中，就涉及到我们的探测方法，用弹性波对探测波进行检测，然后根据记录弹性波接收器所接受的时间，与理论时间进行比对，根据时间时间差来判断空洞的有无和大小。 对于问题一，考虑到实际情况，要确定空洞的位置，可以采用简化模型的方法，将矩形平板平分为 个小方格。首先假设该平板内不含有空洞，根据弹性波从出发到到达每个接收器的时间： 并把这些数据以#格#的形式给出（见表 ），然后再与理论时间相减（测量时间减去理论时间），根据时间（表 、表 ）来判定空洞的有无和大小 对于问题二，建立在第一问的基础上，第二小问中题目要求当只根据由 发出的弹性波到达 的时间是否能确定空洞的位置时，根据第一问我们求出的最大偏差可以求出最大的误差距离为 ，然后当只有由 到 的弹性波时，求出两条相邻波之间的距离，如果比 大那么测量出的结果所得到的误差在允许范围之外，就不能当做对问题的求解。所以采取作垂线的方法求出两相邻波之间的最大距离与 进行比较来解决这个问题。 对于第二小问，在能够测出空洞位置的前提下，减少波源和接收器。因为第一问中排除法是将经过空洞的弹性波画出图形来排除没有空洞的方格。因此在减少波源和接收器时应当减少的是经过空洞的，为了使去掉的波源与接收器不会影响到最终的结果，在减少波源与接收器时应当依据一定的准则，准则在问题的具体求解中罗列出来。 关键词：空洞探测 排除法 1、 问题重述 1.1背景分析 在对山体、坝体、隧洞进行维修或分析的过程中，首先要分析其中空洞探测的问题，然后对空洞进行定位。在对空洞进行探测的过程中，就涉及到我们的探测方法，用弹性波对探测波进行检测，然后根据记录弹性波接收器所接受的时间，与理论时间进行比对，根据时间时间差来判断空洞的有无和大小。 1.2需要解决的问题 山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量确定。一个简化的问题可以描述为，一块均匀介质构成的矩形平行板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干个波源，在它们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间，根据弹性波在介质中和在空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题： 一块的矩形的平行板内 的平行板（如下图），在边等距地设置 个波源 边对等地安放七个接收器 ，记录由 发出的弹性波到达 的时间 （秒）；在 边等距地设置个波源 ， 边对等地安放七个接收器 ，记录由 发出的弹性波到达 的时间 （秒）。已知弹性波在介质和在空气中的传播速度分别是 （米/秒）和 （米/秒）,且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。 1） 确定该该平板内空洞的位置。 2） 只根据由 发出的弹性波到达 时间 ，能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够确定空洞的位置的前提下，减少波源和接收器的方法。 2、 模型假设 1、 假设密度和介质密度均匀； 2、 假设题目中所给的测量数据均为可供分析用的可靠数据，即真实可靠； 3、 假设题目中所测量的数据在允许误差范围内； 4、 波在直线中和介质中的传播速度不同，波在边缘的传播速度与在介质中的传播速度是相同的； 三、符号说明 为了方便问题的求解，我们给出以下符号说明： 实际测得的弹性波从 到 所需时间 实际测得的弹性波从 到 所需时间 表示弹性波在介质中的传播速度 表示弹性波在空洞中的传播速度 表示在全介质状态下弹性波从 到 所需时间 表示在全介质状态下弹性波从 到 所需时间 弹性波由 在全介质的情路况下与实际测量值的差值 弹性波由 在全介质的情路况下与实际测量值的差值 过 分别所作 的垂线 四、问题分析 2.1对于问题一的分析 对于第一问，我们考虑到实际情况，要确定空洞的位置，首先将矩形平板平均分是均匀的介质。运用勾股定理求出 ， 的长度，同样在平行板的两个邻边成 个小方格，这样来简化模型。假设该矩形平板内不含有空洞，即该平行板分别等距地设置若干个波源，在它们的对边对等地安放同样多的接收器。根据弹性波在介质和空气的传播速度，可以测出弹性波到达每个接收器的时间， ，并把这些数据以表格的形式给出（见表 ），然后再与理论时间进行减法运算，根据时间差（见表 、表 ）来判定空洞的有无和大小。 对时间差的表格进行分析：时间差表格中所有的负数所代表的波上都不含空洞，因为测量的弹性波传播的时间比理论状态下的传播时间还短，那么这条波上必无空洞；当求出所有的不含空洞的波时，将这些波表示在 的方格中，为了方便确定空洞的位置，规定不含空洞的波所经过的整个方格都认为是不含有空洞。即弹性波所经过的小方格都不存在空洞。通过所画出的弹性波，找出弹性波不经过的区域，即为空洞可能存在的区域。 对于第二问，在第一问的基础上，可以对第二问进行分析求解，题目要求当只根据由 发出的弹性波到达 的时间是否能确定空洞的位置时，根据第一问我们求出的最大偏差可以求出最大的误差距离为 ，然后当只有由 到 的弹性波时，求出两条相邻波之间的距离，如果比 大那么测量出的结果所得到的误差过大就不能当做对问题的求解。所以采取作垂线的方法来解决此问。对于第二小问，在能够测出空洞位置的前提下，减少波源和接收器。根据第一问中得到的空洞位置的结果，如果波源（接收器）所发射（接收）的弹性波没有经过空洞或者只有一小部分经过了空洞，那么我们将这些波源和接收器去除。 五、模型的建立与求解 5.1对于问题一的模型建立与求解： 根据题目所述，将平板划分为 的方格，将平板上的问题转移到一个 单元格的平面上来进行求解。首先假设介质中没有空洞，此时在这种理论状态下弹性波从出发点到接收点有一个时间表见表（），将实际的时间表减去理论状态下的时间表中对应的时间得到一个时间差的表格。然后对时间差的表格进行分析：时间差表格中所有的负数所代表的波上都不含空洞，因为测量的弹性波传播的时间比理论状态下的传播时间还短，那么这条波上必无空洞；因为我们得到的测量值是通过98条波在 的平板进行探测得到的，与实际情况有一定的误差，我们规定在一定的误差范围内也认为某条波上不含空洞。当求出所有的不含空洞的波时，将这些波表示在 的方格中，为了方便确定空洞的位置，规定不含空洞的波所经过的整个方格都认为是不含有空洞。 首先对误差进行求解：如果平板为均匀的纯介质，那么弹性波从射出点到接收点的传播时间应为 （秒），通过对表中所给测量时间分析发现：弹性波 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的时间从 不等，与理论值0.0833秒不相符，最大偏差为0.025，因此我们认定在时间差的表格中小于0.025的表格所代表的波上面也为全介质。 在计算无空洞的时间之前要先计算 49条路径的长度，以及 的49条路径的长度，根据公式： 因为求出 49条路径的长度与 的49条路径的长度 对应相等，将其表示在一个表格中，见下表： 表1 ：从波源 到达接收器 的弹性波穿越空间的总长度 由表1可知从波源 到达接收器 的弹性波穿越空间的总长度 ，在知道弹性波在空气中和介质中传播的速度的情况下，便于下边对时间的计算。弹性波在无空洞的情况下，从波源到接收器的时间 以及 表2：从波源 到达接收器 的弹性波穿越空间所用的时间 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 算出弹性波在无空洞的情况下从波源到接收器的时间表格后与题目中已知的表格中的数据对应相减（题目中的数据减去无空洞状态下的数据），得到时间差值的表格，见下表； 表3 ： 由波源 到接收器 的时间相差表 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 由时间差表格可以采用排除法，首先找出差值小于0.025的数，进而可以确定弹性波所经过的区域不存在空洞，可以进一步确定空洞所在的区域，减少题目求解的难度。 表4 ： 由波源 到接收器 的时间相差表 通过对上面两个表格的分析，可以得出在表格3中时间差小于0.025的波为： ； 在表格4中时间差小于0.025的波为： 将上述波线表示在 的方格中，并且认为这些波所经过的方格内都不含空洞，如下图黑色方块为含空洞的。 图1：空洞存在的区域图 5.2问题二模型的建立与求解： 在解决第一个小问题:只根据由 发出的弹性波到达 的时间是否能确定空洞的位置时，根据第一问我们求出的最大偏差可以求出最大的误差距离为 ，然后当只有由 到 的弹性波时，求出两条相邻波之间的最大间距，如果比 大那么只根据由 发出的弹性波到达 的时间所得到的结果就在误差的允许范围之外，就不能当做对问题的求解。 当只有由 到 的波时，过 分别作 的垂线，并设它们的高分别为 ，如下图所示： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 从图中可以看出 ,那么 ，那么这种测量法会有很多盲区，而这些盲区是在误差允许范围之外的，所以说当只根据由 发出的弹性波到达 的时间不能确定空洞的位置。 对于第二小问:在能够测出空洞位置的前提下，减少波源和接收器。在第一问中我们根据排除法得到空洞的位置，所以在减少波源和接收器时，所减少的波源（接受器）所发出（接收）的波线应当为经过空洞的直线，如果减少的波源（接收器）所发出（接收）的波有大部分没有经过空洞就会使图1中的波线减少，那么就会使排除的空格减少是使得到的结果比原结果所得到的空洞多。下面是减少波源与接收器的准则与证明： 准则1：令L为没有空洞的直线，当L越长时，排除不是空洞的方格越多。 证明：由于L越长，则L经过的表格越多，又因为L为没有空洞的直线段，则L经过的方格就不能是空洞，引理可证。 准则2：对给定的一个波源或接收器，如果所发出（或接收）没有经过空洞的波越多，那么被取出的可能性越大。 证明：没有空洞的直线越多，也就更容易计算空洞的位置，假若这样的波源（接收器）被减去则非空洞直线就减少很多，所以就越难计算空洞的位置，择假设错误。 准则3：假设空洞位置确定则空洞必被一条没有空洞直线在其边界限定它。 证明：如果不存在这一条直线，也就是空洞范围可能变大，使空洞位置不能被确定，这与已知假设矛盾。 根据准则1：距离相对长的直线不能去除假设直线长 ,就使 , , , , , 不能被删去。 根据准则2：可以相对确定 不能被去除（没有空洞的直线个数大于等于2）。 根据准则3：对确定的空洞位置进行分析，确定 , , , 不能去除。 综合上面三个准则可以得出的结论可知: 是不可去除的点。 那么可以减少波源 与接收器 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 。 6、 模型的评价与推广 对于该模型的优点是，对模型进行分格，由所给数据确定每个小方格是介质还是空气，再将这些小方格和起来，观察空洞的分布。这样比预先假设出空洞的形状和数量更简单可行。而且在实际中，山体和隧道的内部空洞形状不规则，数量较多，很难预先定出空洞的形状和大小。 对于该模型的缺点是误差比较大，由于测量误差的局限性，只能探测到沿传播方向上的洞径大于八米的空洞。所以造成了小于八米的空洞不能测出来。有些在对平板进行划分时波线在小格中心穿过的情况有所不同，采取了舍去或放宽约束的方法进行处理，这样使得部分信息没有完全利用。本题探究过程中将弹性波经过的区域不予考虑的存在的可能在一定程度上造成了较大的误差。 空洞探测模型可以适用于精度较低的空洞探测，在精度不高的空洞探测问题中，能够很好的降低成本，达到探测出空洞的目的。合理安排波源和接收器的位置，不仅能够使平板完全被覆盖，同时也能够减少机器的使用，降低能耗，降低成本，减少探测使用的时间，达到最好的效果。但是由于该模型的精度不高，存在的误差较大，以及在连线处也可能存在空洞的问题，应该寻找更精细的模型。 七、模型的检验 对于问题1模型的检验： 假设 为弹性波通过某个方格的距离中空气所占的比例，如下图所示： 图3：弹性波通过方格的距离中空气所占的比例图 波线 在介质中走的距离为： 在空气中走的距离： 且 对上述三个式子整理得： 同理根据同样的原理和方法可以得到一个含36个未知数，84个方程的方程组，假设最终得到的方程组为 ，求解使 最小的x的最优取值 二次规划 利用 求解可得见下表： 表5： 的最优取值 0.021 0.013 0.073 0.025 0.038 0.001 0.006 0.985 0.926 0.002 0.001 0.018 0.058 0.951 0.959 0.057 0.916 0.037 0.113 0.009 0.982 0.997 0.033 0.059 0.047 0.914 0.005 0.065 0.064 0.004 0.084 0.002 0.046 0.051 0.048 0.033 结论：表中 方格中波所走的空气的距离都在 以上，那么就认定上述八个方格为空洞。 利用这种模型求出的与前面求出的空洞的位置相同，那么说明这两种模型都比较准确。 八、参考文献 [1]http://www.doc88.com/p-809819032402.html [2]http://wenku.baidu.com/view/dab2aee8856a561252d36f93.htm [3]http://wenku.baidu.com/view/2c7161e49b89680203d825ee.htm [4] 姜启源. 数学模型[ M] . 北京: 高等教育出版社,1986. [5] COMAP. 数学的原理与实践[M] .北京: 高等教育出版社, 1998. [6] 大学物理[M]. 中国计量出版社, 1995. 9、 附录 附录1 表6：弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间表 tij Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 P1 0.0611 0.0895 0.1996 0.2032 0.4181 0.4923 0.5646 P2 0.0989 0.0592 0.4413 0.4318 0.4770 0.5242 0.3805 P3 0.3052 0.4131 0.0598 0.4153 0.4156 0.3563 0.1919 P4 0.3221 0.4453 0.4040 0.0738 0.1789 0.0740 0.2122 P5 0.3490 0.4529 0.2263 0.1917 0.0839 0.1768 0.1810 P6 0.3807 0.3177 0.2364 0.3064 0.2217 0.0939 0.1031 P7 0.4311 0.3397 0.3566 0.1954 0.0760 0.0688 0.1042 表7：弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间表 τij S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 R1 0.0645 0.0602 0.0813 0.3516 0.3867 0.4314 0.5721 R2 0.0753 0.0700 0.2852 0.4341 0.3491 0.4800 0.4980 R3 0.3456 0.3205 0.0974 0.4093 0.4240 0.4540 0.3112 R4 0.3655 0.3289 0.4247 0.1007 0.3249 0.2134 0.1017 R5 0.3165 0.2409 0.3214 0.3256 0.0904 0.1874 0.2130 R6 0.2749 0.3891 0.5895 0.3016 0.2058 0.0841 0.0706 R7 0.4434 0.4919 0.3904 0.0786 0.0709 0.0914 0.0583 附录2 问题1求解时间的编程： x=40; for i=1:7 for j=1:7 t’(i,j)=x*sqrt(6^2+(i-j)^2)/2880; end end disp(t’); for i=1:7 for j=1:7; Columns 1 through 5 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.1002 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.1002 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.1085 0.1002 0.0932 0.0878 0.0845 0.1179 0.1085 0.1002 0.0932 0.0878 Columns 6 through 7 0.1085 0.1179 0.1002 0.1085 0.0932 0.1002 0.0878 0.0932 0.0845 0.0878 0.0833 0.0845 0.0845 0.0833 >> t’ t’= Columns 1 through 5 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.1002 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.1002 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.1085 0.1002 0.0932 0.0878 0.0845 0.1179 0.1085 0.1002 0.0932 0.0878 Columns 6 through 7 0.1085 0.1179 0.1002 0.1085 0.0932 0.1002 0.0878 0.0932 0.0845 0.0878 0.0833 0.0845 0.0845 0.0833 >>=[0.0611 0.0895 0.1996 0.2032 0.4181 0.4923 0.5646; 0.0989 0.0592 0.4413 0.4318 0.4770 0.5242 0.3805; 0.3052 0.4131 0.0598 0.4153 0.4156 0.3563 0.1919; 0.3221 0.4453 0.4040 0.0738 0.1789 0.0740 0.2122; 0.3490 0.4529 0.2263 0.1917 0.0839 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http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=42764&fromuid=5 静载荷资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=43182&fromuid=5 单孔检测资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=42307&fromuid=5 空洞检测资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=41798&fromuid=5 裂缝检测资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=41380&fromuid=5 无损 检测报告资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=42180&fromuid=5 CFG检测资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=41169&fromuid=5 承载力检测资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=41891&fromuid=5 动力触探报告资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=42622&fromuid=5 松动圈资料汇总（一） http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=41765&fromuid=5 松动圈资料汇总（二） http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=41766&fromuid=5 混凝土缺陷检测资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=42774&fromuid=5 钻孔灌注桩承载力资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=42616&fromuid=5 超声波侧密实度资料汇总 http://bbs.chinatesting.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=41409&fromuid=5 15 _1234568017.unknown _1234568145.unknown _1234568209.unknown _1234568241.unknown _1234568257.unknown _1234568275.unknown _1234568283.unknown _1234568291.unknown _1234568295.unknown _1234568297.unknown _1234568299.unknown _1234568300.unknown _1234568298.unknown _1234568296.unknown _1234568293.unknown _1234568294.unknown _1234568292.unknown _1234568287.unknown _1234568289.unknown _1234568290.unknown _1234568288.unknown _1234568285.unknown _1234568286.unknown _1234568284.unknown _1234568279.unknown _1234568281.unknown _1234568282.unknown _1234568280.unknown _1234568277.unknown _1234568278.unknown _1234568276.unknown _1234568267.unknown _1234568271.unknown _1234568273.unknown _1234568274.unknown _1234568272.unknown _1234568269.unknown 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