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上海高考函数大题整理

2017-06-05 22页 doc 2MB 18阅读

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上海高考函数大题整理 (2012)20.已知函数. (1)若,求的取值范围;(6分) (2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数 的反函数.(8分) [解](1)由,得. 由得. ……3分 因为,所以,. 由得. ……6分 (2)当x([1,2]时,2-x([0,1],因此 . ……10分 由单调性可得. 因为,所以所求反函数是,. ……14分 【点评】本...
上海高考函数大题整理
(2012)20.已知函数. (1)若,求的取值范围;(6分) (2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数 的反函数.(8分) [解](1)由,得. 由得. ……3分 因为,所以,. 由得. ……6分 (2)当x([1,2]时,2-x([0,1],因此 . ……10分 由单调性可得. 因为,所以所求反函数是,. ……14分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识.考查数形结合,熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,属于中档题. (2012春)20. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.    某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 千米(忽略内、外环线长度差异). (1)当 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 分钟,求内环线列车的最小平均速度; (2)新调整的要求内环线列车平均速度为 千米/小时,外环线列车平均速度为 千米/小时.现内、外环线共有 列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行? (2012春)23. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分. 定义向量 的“相伴函数”为 函数 的“相伴向量”为 (其中 为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 (1)设 求证: (2)已知 且 求其“相伴向量”的模; (3)已知 为圆 上一点,向量 的“相伴函数” 在 处取得最大值.当点 在圆 上运动时,求 的取值范围. 当 时,函数 单调递减,∴ ; 当 时,函数 单调递减,∴ . 综上所述, . (2011)20、(12分)已知函数 ,其中常数 满足 。 ⑴ 若 ,判断函数 的单调性; ⑵ 若 ,求 时 的取值范围。 20、解:⑴ 当 时,任意 ,则 ∵ , , ∴ ,函数 在 上是增函数。 当 时,同理,函数 在 上是减函数。 ⑵ 当 时, ,则 ; 当 时, ,则 。 22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分, 第3小题满分4分. 定义域为 ,且对任意实数 都满足不等式 的所有函数 组成的集合记为 .例如 . (1) 已知函数 证明: ; (2) 写出一个函数 ,使得 ,并说明理由; (3) 写出一个函数 ,使得数列极限 , . 【解】(1) 当 时, ,则 不等式 成立; 当 时, ,则 不等式 成立; 当 ,且 时, ,则 不等式 成立; 当 ,且 时, ,则 不等式 成立. 综合以上,不等式 成立.所以 . (2) 例如函数 , 取 , , 则  , . 所以 . 也可以从 的图象看出, ,不满足 .所以 . (3) 例如函数 满足 , , . 22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分10分。 若实数 、 、 满足 ,则称 比 远离 . (1)若 比1远离0,求 的取值范围; (2)对任意两个不相等的正数 、 ,证明: 比 远离 ; (3)已知函数 的定义域 .任取 , 等于 中远离0的那个值.写出函数 和 的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明). 解析:(1) . 单调递减,k(Z, 4(函数f(x)的值域为 单调递增,在区间 , 3(函数f(x)在区间 , 性质:1(f(x)是偶函数,图像关于y轴对称,2(f(x)是周期函数,最小正周期 ; (3) ,即a3(b3比a2b(ab2远离 , 所以 , 因为 , ; (2) 对任意两个不相等的正数a、b,有 20(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。 有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数( ), 表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关。 (1) 证明:当 时,掌握程度的增加量 总是下降; (2) 根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 , , 。当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科。 20.证明(1)当 而当 ,函数 单调递增,且 >0……..3分 故 单调递减 当 ,掌握程度的增长量 总是下降……………..6分 (2)由题意可知0.1+15ln =0.85……………….9分 整理得 解得 …….13分 由此可知,该学科是乙学科……………..14分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。 已知函数 的反函数。定义:若对给定的实数 ,函数 与 互为反函数,则称 满足“ 和性质”;若函数 与 互为反函数,则称 满足“ 积性质”。 (1) 判断函数 是否满足“1和性质”,并说明理由; (2) 求所有满足“2和性质”的一次函数; (3) 设函数 对任何 ,满足“ 积性质”。求 的表达式。 22(1)解,函数 的反函数是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 而 其反函数为 故函数 不满足“1和性质” (2)设函数 满足“2和性质”, …….6分 而 得反函数 ………….8分 由“2和性质”定义可知 = 对 恒成立 即所求一次函数为 ………..10分 (3)设 , ,且点 在 图像上,则 在函数 图象上, 故 ,可得 ,   ......12分 ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 ,则 。 EMBED Equation.DSMT4 ,即 。    ......14分 综上所述, EMBED Equation.DSMT4 ,此时 ,其反函数就是 , 而 ,故 与 互为反函数 。 ......16分 20. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分10分. 设函数 ,其中 为正整数. (1)判断函数 的单调性,并就 的情形证明你的结论; (2)证明: ; (3)对于任意给定的正整数 ,求函数 的最大值和最小值. 解:(1) 在 上均为单调递增的函数. 潜在的知识与需求(单调函数的运算) 对于函数 ,设 ,则 EMBED Equation.3 , 潜在的知识与方法需求(函数的表示形式) EMBED Equation.3 , 函数 在 上单调递增. 数学模式识别能力(单调函数的证明) (2) 原式左边 潜在的知识与方法需求(函数的表示形式) . 计算能力(三角函数的化简) 又 原式右边 . 计算能力(三角函数的化简) . 准备知识需求(等量代换) (3)当 时,函数 在 上单调递增, 数学模式识别能力(单调函数的运算) 的最大值为 ,最小值为 . 数学模式识别能力(用函数单调性求最值) 当 时, , 函数 的最大、最小值均为1. 计算能力(三角函数的化简) 当 时,函数 在 上为单调递增. 数学模式识别能力(单调函数的运算) 的最大值为 ,最小值为 . 数学模式识别能力(用函数单调性求最值) 当 时,函数 在 上单调递减, 数学模式识别能力(单调函数的运算) 的最大值为 ,最小值为 . 数学模式识别能力(用函数单调性求最值) 下面讨论正整数 的情形: 当 为奇数时,对任意 且 , 潜在的知识与方法需求(函数的表示形式) 以及 , ,从而 . 显现的知识与方法 需求(不等式的性质) 在 上为单调递增,则 数学模式识别能力(函数单调性的证明) 的最大值为 ,最小值为 . 数学模式识别能力(用单调性求函数最值) 当 为偶数时,一方面有 . 显现的知识与方法需求(不等式性质) 另一方面,由于对任意正整数 ,有 , 数学模式识别能力(判断函数的单调性) . 准备知识需求(不等式性质) 函数 的最大值为 ,最小值为 . 数学模式识别能力(用单调性求函数最值) 综上所述,当 为奇数时,函数 的最大值为 ,最小值为 . 当 为偶数时,函数 的最大值为 ,最小值为 . 18.(本题满分15分)本题共有2个小题,第1个题满分5分,第2小题满分10分. 已知函数 , EMBED Equation.3 ,直线 与函数 的图像分别交于M、N两点。 (1) 当 时,求 值; (2) 求 在 时的最大值. [解] 19.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分. 已知函数 。 (1) 若 ,求 的值; (2) 若 + ≥0对于 恒成立,求实数 的取值范围。 [解] 19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。 已知函数 。 (1)求证:函数 在 内单调递增; (2)记 为函数 的反函数。若关于 的方程 在 上有解,求 的取值范围。 19.[证明](1)任取 ,则 , , , ,即函数 在 内单调递增。……6分 [解](2) ,……9分 [解法一] ,……11分 当 时, , 的取值范围是 。……14分 [解法二]解方程 ,得 。……11分 , 解得 。 的取值范围是 ……14分 18、近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快,已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦,年增长率为34%。在此后的四年里,增长率以每年2%的速度增长(例如2003年的年生产量增长率为36%) (1)求2006年的太阳能年生产量(精确到0.1兆瓦) (2)已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦,在此后的4年里年生产量保持42%的增长率,若2010年的年安装量不少于年生产量的95%,求4年内年安装量的增长率的最小值(精确到0.1%) 【解析】(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 , , , . 则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦). (2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为 ,则 .解得 . 因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 . 19、已知函数 (1)判断 的奇偶性 (2)若 在 是增函数,求实数 的范围 【解析】(1)当 时, , 对任意 , , 为偶函数. 当 时, , 取 ,得 , , 函数 既不是奇函数,也不是偶函数. (2)解法一:设 , EMBED Equation.3 , 要使函数 在 上为增函数,必须 恒成立. ,即 恒成立. 又 , . 的取值范围是 . 22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分) 已知函数 = + 有如下性质:如果常数 >0,那么该函数在 0, EMBED Equation.3 上是减函数,在 EMBED Equation.3 ,+∞ 上是增函数. (1)如果函数 = + ( >0)的值域为 6,+∞ ,求 的值; (2)研究函数 = + (常数 >0)在定义域内的单调性,并说明理由; (3)对函数 = + 和 = + (常数 >0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数 = + ( 是正整数)在区间[ ,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论). [解](1)函数y=x+ (x>0)的最小值是2 ,则2 =6, ∴b=log29. (2) 设0y1, 函数y= 在[ ,+∞)上是增函数; 当00),其中n是正整数. 当n是奇数时,函数y= 在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞) 上是增函数, 在(-∞,- ]上是增函数, 在[- ,0)上是减函数; 当n是偶数时,函数y= 在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞) 上是增函数, 在(-∞,- ]上是减函数, 在[- ,0)上是增函数; F(x)= + = 因此F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 所以,当x= 或x=2时,F(x)取得最大值( )n+( )n; 当x=1时F(x)取得最小值2n+1; 19. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分. 已知函数 . (1)若 ,求函数 的值; (2)求函数 的值域. 19. [解](1) , ……2分 ……4分 . ……8分 (2) , ……10分 , , , 函数 的值域为 . 21. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. 设函数 . (1)在区间 上画出函数 的图像; (2)设集合 . 试判断集合 和 之间的关系,并给出证明; (3)当 时,求证:在区间 上, 的图像位于函数 图像的上方. 21. [解](1) ……4分 (2)方程 的解分别是 和 ,由于 在 和 上单调递减,在 和 上单调递增,因此 . ……8分 由于 . ……10分 (3)[解法一] 当 时, . , ……12分 EMBED Equation.3 . 又 , ① 当 ,即 时,取 , EMBED Equation.3 . , 则 . ……14分 ② 当 ,即 时,取 , = . 由 ①、②可知,当 时, , . 因此,在区间 上, 的图像位于函数 图像的上方. ……16分 [解法二] 当 时, . 由 得 , 令 ,解得 或 , ……12分 在区间 上,当 时, 的图像与函数 的图像只交于一点 ; 当 时, 的图像与函数 的图像没有交点. ……14分 如图可知,由于直线 过点 ,当 时,直线 是由直线 绕点 逆时针方向旋转得到. 因此,在区间 上, 的图像位于函数 图像的上方. ……16分 21.(本题满分16分)(4+6+6=16分)对定义域是 、 的函数 、 ,规定:函数 . (1)若函数 , ,写出函数 的解析式; (2)求问题(1)中函数 的值域; (3)若 ,其中 是常数,且 ,请设计一个定义域为R的函数 ,及一个 的值,使得 ,并予以证明. 21.解(1) (2)当 若 其中等号当x=2时成立, 若 其中等号当x=0时成立, ∴函数 (3)[解法一]令 则 于是 [解法二]令 , 则 于是 18、(本题满分12分) 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 18、【解】由题意得 ,∴ ( ). 于定, 框架用料长度为 . 当 ,即 时等号成立. 此时, x≈2.343,y=2 ≈2.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省. 19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分 记函数 的定义域为 , ( ) 的定义域为B. (1) 求 ; (2) 若 , 求实数a的取值范围. 19、【解】(1) , 得 , 或 即A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞) (2) 由 , 得 . ∵ ,∴ , ∴ . ∵ , ∴ 或 , 即 或 , 而 , ∴ 或 , 故当 时, 实数 的取值范围是(-∞,-2]∪[ ,1) 20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分 已知二次函数 的图象以原点为顶点且过点 ,反比例函数 的图象与直线 的两个交点间距离为8, . (1) 求函数 的表达式; (2) 证明:当 时,关于 的方程 有三个实数解. 20、【解】(1)由已知,设 ,由 ,得 , ∴ . 设 (k>0),它的图象与直线 的交点分别为 , 由 ,得 , ∴ .故 . (2) 【证法一】 ,得 , 即 . 在同一坐标系内作出 和 的大致图象,其中 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, 与的图象是以 为顶点,开口向下的抛物线. 因此 与 的图象在第三象限有一个交点, 即 有一个负数解. 又∵ , 当 时, , ∴当 时,在第一象限 的图象上存在一点 在 图象的上方. ∴ 与 的图象在第一象限有两个交点,即 有两个正数解. 因此,方程 有三个实数解. 【证法二】由 ,得 , 即 ,得方程的一个解 . 方程 化为 , 由 , ,得 , , ∵ , ∴ ,且 . 若 ,即 ,则 , , 得 或 ,这与 矛盾, ∴ . 故原方程 有三个实数解. 19. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第一小题满分6分,第2小题满分8分. 某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门于2004年投入128辆电力型公交车, 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问: (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车? (2) 到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ? 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 ,其中 则在2010年应该投入的电力型公交车为 (辆) (2)记 ,依据题意,得 于是 (辆),即 , 则有 因此 所以,到2011年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. 已知函数 , ( 为正常数),且函数 与 的图象在 轴上的截距相等 (1)求 的值; (2)求函数 的单调递增区间; (3)若 为正整数,证明: . 21.(1)由题意, , 又 ,所以 (2) 当 时, ,它在 上单调递增; 当 时, ,它在 上单调递增 (3)设 ,考查数列 的变化规律: 解不等式 ,由 ,上式化为 解得 ,因 得 ,于是 ,而 所以 _1338019909.unknown _1386228569.unknown _1386228822.unknown _1386228904.unknown _1388149862.unknown _1388149948.unknown _1388150063.unknown _1388150255.unknown _1388150011.unknown _1388149870.unknown _1386228927.unknown _1388149784.unknown _1386228914.unknown _1386228866.unknown _1386228881.unknown _1386228846.unknown _1386228699.unknown _1386228749.unknown _1386228793.unknown _1386228725.unknown _1386228647.unknown _1386228668.unknown _1386228601.unknown _1338022861.unknown _1386227336.unknown _1386227451.unknown _1386228399.unknown _1386227524.unknown _1386228370.unknown _1386227371.unknown _1354627333.unknown _1354627602.unknown _1354629670.unknown _1386227162.unknown _1386227233.unknown _1354629904.unknown _1354630027.unknown _1386227032.unknown _1354630074.unknown _1354629965.unknown _1354629805.unknown _1354629864.unknown _1354629795.unknown _1354629057.unknown _1354629661.unknown _1354629094.unknown _1354629622.unknown _1354628909.unknown _1354628942.unknown _1354627751.unknown _1354628879.unknown _1354627353.unknown _1354627531.unknown _1354627560.unknown _1354626985.unknown _1354627011.unknown _1354627143.unknown _1354627218.unknown _1354627078.unknown _1354626848.unknown _1354626961.unknown _1354626890.unknown _1354626820.unknown _1338020575.unknown _1338022389.unknown _1338022720.unknown _1338022722.unknown _1338022842.unknown _1338022860.unknown _1338022721.unknown _1338022485.unknown _1338022557.unknown _1338022580.unknown _1338022640.unknown _1338022639.unknown _1338022558.unknown _1338022555.unknown _1338022556.unknown _1338022553.unknown _1338022554.unknown 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