排列组合

典型例题 　　例1 用0到9这个个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 　　：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 　　如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 　　如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 　　如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 　　解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有 个； 　　当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 （个）． 　　∴ 没有重复数字的四位偶数有 个． 　　解法2：当个位数上排“0”时，同解一有 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得： 个 　　∴  没有重复数字的四位偶数有 个． 　　解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 个 　　干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 个 　　∴ 没有重复数字的四位偶数有 个． 　　解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数． 　　没有重复数字的四位数有 个． 　　其中四位奇数有 个 　　∴ 没有重复数字的四位偶数有 个 　　说明；这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用． 　　例2 三个女生和五个男生排成一排 　　（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ 　　（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ 　　（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ 　　（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 　　解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有 对种不同的排法，因此共有 种不同的排法． 　　（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 种方法，因此共有 种不同的排法． 　　（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 种排法，所以共有 种不同的排法． 　　解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法． 　　解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法， 　　（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 种不同的排法；如果首位排女生，有 种排法，这时末位就只能排男生，有 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有 种不同的排法，这样可有 种不同排法．因此共有 种不同的排法． 　　解法2：3个女生和5个男生排成一排有 种排法，从中扣去两端都是女生排法 种，就能得到两端不都是女生的排法种数． 　　因此共有 种不同的排法． 　　说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法． 　　若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件． 　　若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素． 　　间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快． 　　捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用． 　　例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 　　（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ 　　（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 　　解：（1）先排歌唱节目有 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有： ＝43200. 　　（2）先排舞蹈节目有 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有： ＝2880种方法。 　　说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题（2）中，若先排歌唱节目有 ，再排舞蹈节目有 ，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。 　　例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 　　分析与解法1：6六门课总的排法是 ，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有 种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有 种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： （种）． 　　分析与解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况： 　　（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有 种； 　　（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法 种； 　　（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法 种； 　　（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法 　　这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有： （种）． 　　分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述4种情况： 　　（1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有 种排法； 　　（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法； 　　（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法； 　　（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法． 　　上述 21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种 ，故总排法数为 （种）． 　　下面再提出一个问题，请予解答． 　　问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法． 　　请读者完成此题． 　　说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法． 返回 典型例题 　　例1 用0到9这个个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 　　分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 　　如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 　　如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 　　如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 　　解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有 个； 　　当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 （个）． 　　∴ 没有重复数字的四位偶数有 个． 　　解法2：当个位数上排“0”时，同解一有 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得： 个 　　∴  没有重复数字的四位偶数有 个． 　　解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 个 　　干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 个 　　∴ 没有重复数字的四位偶数有 个． 　　解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数． 　　没有重复数字的四位数有 个． 　　其中四位奇数有 个 　　∴ 没有重复数字的四位偶数有 个 　　说明；这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用． 　　例2 三个女生和五个男生排成一排 　　（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ 　　（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ 　　（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ 　　（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 　　解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有 对种不同的排法，因此共有 种不同的排法． 　　（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 种方法，因此共有 种不同的排法． 　　（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 种排法，所以共有 种不同的排法． 　　解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法． 　　解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法， 　　（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 种不同的排法；如果首位排女生，有 种排法，这时末位就只能排男生，有 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有 种不同的排法，这样可有 种不同排法．因此共有 种不同的排法． 　　解法2：3个女生和5个男生排成一排有 种排法，从中扣去两端都是女生排法 种，就能得到两端不都是女生的排法种数． 　　因此共有 种不同的排法． 　　说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法． 　　若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件． 　　若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素． 　　间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快． 　　捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用． 　　例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 　　（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ 　　（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 　　解：（1）先排歌唱节目有 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有： ＝43200. 　　（2）先排舞蹈节目有 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有： ＝2880种方法。 　　说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题（2）中，若先排歌唱节目有 ，再排舞蹈节目有 ，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。 　　例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 　　分析与解法1：6六门课总的排法是 ，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有 种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有 种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： （种）． 　　分析与解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况： 　　（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有 种； 　　（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法 种； 　　（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法 种； 　　（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法 　　这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有： （种）． 　　分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述4种情况： 　　（1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有 种排法； 　　（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法； 　　（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法； 　　（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法． 　　上述 21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种 ，故总排法数为 （种）． 　　下面再提出一个问题，请予解答． 　　问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法． 　　请读者完成此题． 　　说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法． 返回 习题精选 一、填空题 　　1．6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法． 　　2．5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有________种不同的排法． 　　3． 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法有_______种． 　　4．0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是　　　　　． 二、选择题 1．下列各式中与排列数 相等的是（  ）． 　　A． 　　B． 　　C．  　　D． 2． ，且 ，则 等于（  ）． 　　A．　　B． 　　C． 　　D． 3．若 ，则 的个位数字是（  ）． 　　A．8　　B．5 　　 C．3　　D．0 4．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（  ）． 　　A．720种　　B．360种　　 C．1440种　　D．120种 三、解答题 1．求和 . 2．5名男生、2名女生站成一排照像： 　　（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？ 　　（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？ 　　（3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？ 　　（4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？ 　　（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？ 　　（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 参考答案： 一、填空题：1．504  2．17280  3．9  4．3140 二、选择题：1．D   2．D  3．C  4．C  三、解答题： 1．∵ ， . ∴ 2．（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排； （种）； 　（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生； （种）； 　（3）把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列； （种）； 　（4）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生； （种）； 　（5）七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的； （种）； 　（6）采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的 个，再去掉女生乙在右端的 个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的 种排除了两次，要找回来一次． （种）． 扩展资料 我国历史上对排列的研究 　　排列的历史可以上溯到殷周之际的占卜术，较完整的文字记载则见于《易经》．“易”含变化的意思，书中称：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”“两仪”可用两种基本符号阳爻—和阴爻—表示，每次取两个，就有 种不同的排列，称为“四象”，即太阳、少阴、少阳、太阴；每次取三个，共有 种不同的排列，称为“八卦”，即乾≡、兑 、离 、震 、巽 、坎 、艮 、坤 ；若每次取六爻，则可得 种不同的排列，叫做“六十四卦”．这是一种特殊的排列问题，即从几种事物中每次取 件而允许重复的排列数，答案应是 ．但是古代没有指数概念，对于很大的 来说，求出答数并非易事．唐代张遂（683–727）、宋代沈括（l031–l095）都曾计算过棋局都数，即围棋盘上所有可能的不同布局的总数，这相当于从事物（黑子、白子、空位）中每次取出361个（围棋盘的格点数）的排列数，与《易经》中的卦象数目是同一类数学问题．沈括在《梦溪笔谈》中详细地记述了计算棋局都数的理论根据和过程． 排列数公式的变形使用举例 　　排列数公式在解方程、解不等式及证明题中有首广泛的应用。 　　1．全排列数 　　 　　2．阶乘变形 　　（1） 　　（2） 　　（3） 　　（4） 　　（5） 典型例题 　　例1 计算：（1） ；  （2） ． 　　分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第（1）题中， ，经此变形后，可继续使用组合数性质．第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形 ，求和；另一方面，变形 ，接着 ， …，反复使用公式． 　　解：（1）原式 　　　　　　　　 ． 　　　　（2）原式 　　　　　　　　 ． 　　另一方法是：原式 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ． 　　说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论： 　　 ． 　　左边 右边． 　　例2 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ 　　（1） 、 必须当选；（2） 、 都不当选；（3） 、 不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任． 　　分析：本题是组合应用题中典型的选代表问题，通过一些明确的条件对结果进行限制．问题（1） 、 必须当选，它们就不必再考虑，只要再选出余下的代表．问题（2） 、 必须不当选，实际上就是去掉这几个元素不予考虑．问题（3） 、 不全当选可以从正反两方面考虑．从正面考虑可以按 、 全不选和 、 选一个分类，从反面考虑可用间接法，去掉 、 全选的情况．问题（4）可以按女生选2人、3人…进行分类，当然也可以从反面考虑用间接法．问题（5）可以先处理特殊位置的体育班委与文娱班委． 　　解：（1）除 、 选出外，从其它10个人中再选3人，共有的选法种数为 （种）． 　　（2）去掉 、 ，从其它10人中任选5人，共有的选法种数为： （种）． 　　（3）按 、 的选取情况进行分类： 、 全不选的方法数为 ， 、 选1人的方法数为 ，共有选法 （种）． 　　本小题的另一解法：从12人中选5人的选法中去掉 、 全选的情况，所有选法只有 （种）． 　　方法一：按女同学的选取情况分类： 　　选2名女同学、3名男同学；选3名女同学2名男同学；选4名女同学1名男同学；选5名女同学．所有选法数为： 　　 （种）． 　　方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为： （种）． 　　（5）选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取3人担任其它3个班委．用分步计数原理可得到所有方法总数为： （种）． 　　说明：对于本题第（4）小题，“至少有2名女生当选”，我们可能还有另外一种考虑，先从5名女生中选出2人，然后在剩下的10人中任选3人，得到的方法数为 （种），与上述答案比较，结果明显增多了，为什么会出现以上情况？上述步骤得到的选取结果虽然符合了有2名女生的要求，但在计数时出现了重复，比如先选两女生为 、 ，剩下的10人中如果又选出了女生 ，与先选两名女生为 、 后又选出了女生 ，出现了同样的结果，因为选取问题仅考虑选出了哪些元素，至于先选后选并不考虑．这里需要我们引起注意的是以后遇到“至少”类型的问题，一般采用分类法或间接法解决，在选取问题中尽可能避免出现重复计数，我们还可以进一步从下一个例子加深理解． 　　例3 空间10个点，其中有5点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这些点为顶点，共可构成多少个四面体？ 　　分析：本题如果从正面考虑可以按5个共面的点的选用情况进行分类．如果从反面考虑用间接法，只要去掉从5个共面的点中任取四个点的情况，因为共面的四个点不能构成四面体的四个顶点． 　　解：方法一：可以按共面的点取0个、1个、2个、3个进行分类，得到所有的取法总数为： 个． 　　　　方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的方法数为： （个）． 　　说明：以几何为背景的此类应用题中，间接方法用得比较多，在考虑去掉不符合要求的选法时，既不能多去，也不能少去，此外有时还需去掉一些重复计数的情况．比如：四面体的顶点和各条棱的中点共10个点，任取其中的4个点，其中不共面的取法有多少种？我们可以从10个点中任取4点．共有 种取法，然后去掉下面几种情况，4个点取在四面体的同一个面上，有 种取法；四个中点连成平行四边形的情形，有3种取法，还有3点在四面体的一条棱上，另一点是其它点，不考虑已计算的四点在四面体同一面上的情况，共有6种取法．用间接法可得不同的取法共有： （种）． 　　例4 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数． 　　分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。 　　解：第一类：五位数中不含数字零。 　　第一步：选出5个数字，共有 种选法． 　　第二步：排成偶数—先排末位数，有 种排法，再排其它四位数字，有 种排法． 　　∴ （个） 　　第二类：五位数中含有数字零． 　　第一步：选出5个数字，共有 种选法。 　　第二步：排顺序又可分为两小类； 　　（1）末位排零，有 种排列方法； 　　（2）末位不排零．这时本位数有 种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 种排法，其余3个数字则有 种排法． 　　∴ 　　∴ 符合条件的偶数个数为 　　 　　　 （个） 　　说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解．请读者自行完成． 　　例5 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？ 　　分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人} 　　先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。 　　第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在 中选3人，即有 种选法。因是分步问题，所以有 种选法。第②类，划左舷的人在A中选2人，有 种选法，在C中选1人，有 种选法，划右舷的在 中剩下的8个人中选3人，有 种选法。因是分步问题，所以有 种选法。类似地，第③类，有 种选法。第④类有 种选法。 　　因为是分类，所以一共有 种选法。 　　解： 　　  　　 种 　　答：一共有2174种不同选法． 　　说明：这种比较复杂的在若干个集合中选取元素的问题，只要能运用分类思想正确对所求选法分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步骤，就可以顺利地求得解．在分类时，要注意做到既不重复也不遗漏． 　　这里是以集合A为基准进行分类，也可以集合B或集合C为基准进行分类，其结果是相同的，但一般都选择元素个数较少的集合作为基准来分类，这样可以减少分类，方便运算． 　　例6 甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方由1号队员出赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，试求所有可能出现的比赛过程的种类． 　　分析与解：若甲队取胜，比赛结果可能是 ， ， ， ， ， ， ． 　　 只有一个过程； 　　 共8场，乙队在前7场中胜一场，有 种不同的过程； 　　     共9场，乙队在前8场中胜二场，有 种不同的过程； 　　 共10场，乙队在前9场中胜三场，有 种不同的过程； 　　……………… 　　∴ 甲队取胜的过程种数是： 　　类似乙队取胜也有同样的过程种数 　　∴ 共有 种不同的比赛过程． 　　小结：一个排列与另一个排列的区别有两点，一点是元素不同，另一点是顺序不同（在元素相同时）；而一个组合与另一个组合不同点仅是元素不同，由此可知，排列是有顺序问题，组合是无顺序问题．本题是一应用问题，根据实际确定是组合问题． 　　例7 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： 　　（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？ 　　（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？ 　　（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ 　　（4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ 　　分析与解：（l）分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有 种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有 种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有 种情况，所以符合题意的七位数有 个． 　　（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有 个． 　　（3）上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有 　　 个． 　　（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有 个． 　　说明；对于有限制条件的排列问题，常可分步进行，先组合再排列，这是乘法原理的典型应用． 　　例8 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ 　　（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本； 　　（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； 　　（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本； 　　（4）平均分给甲、乙、丙三人； 　　（5）平均分成三堆． 　　分析与解：（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有 种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有 种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有 种取法，故共有分法 种． 　　（2）由（1）知．分成三堆的方法有 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为 种． 　　（3）由（1）知，分成三堆的方法有 种，但每一种分组方法又有 不同的分配，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有 （种）． 　　（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有 种方法． 　　（5）把6本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应 种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种． 　　所以 ，则 （种） 　　说明：本问题中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，其中 　　（1）属非均匀分组问题．　　　（2）属非均匀定向分配问题． 　　（3）属非均匀不定向分配问题．（4）属均匀不定向分配问题． 　　（5）属均匀分组问题． 　　例9 有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人． 　　（1）如果每人得两本，有多少种不同的分法； 　　（2）如果一个人得一本，一个人得2本，一个人得3本有多少种不同的分法； 　　（3）如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法． 　　分析与解：（1）假设甲先拿，则甲从6本不同的书中选取2本有 种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有 种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有 种方法，由乘法原理得一共有 种不同分法． 　　（2）先假设甲得1本，乙得2本，丙得3本则有 种法，一共有 种不同的分法． 　　（3）把6本书分成三堆，每堆2本，与次序无关． 　　所以一共有 种不同分法． 　　说明：本题的三个问题要注意区别和联系，不要混淆． 　　6本书分给甲、乙、丙三人每人两本和分成3堆每堆两本是有区别的，前者虽然也属均分问题，但要甲、乙、丙三个人一个人一个人的去拿，而后者属均分问题又是无序问题，所以必须除以 ．一般地， 个元素中有 个元素（ ）均分成m堆一定要除以 ． 　　例如：有17个桃，分成8堆，其中一堆一个，一堆4个，另外6堆每堆都是2个，有多少种不同的分法． 　　一共有 种不同分法． 典型例题 　　例1 计算：（1） ；  （2） ． 　　分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第（1）题中， ，经此变形后，可继续使用组合数性质．第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形 ，求和；另一方面，变形 ，接着 ， …，反复使用公式． 　　解：（1）原式 　　　　　　　　 ． 　　　　（2）原式 　　　　　　　　 ． 　　另一方法是：原式 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ． 　　说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论： 　　 ． 　　左边 右边． 　　例2 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ 　　（1） 、 必须当选；（2） 、 都不当选；（3） 、 不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任． 　　分析：本题是组合应用题中典型的选代表问题，通过一些明确的条件对结果进行限制．问题（1） 、 必须当选，它们就不必再考虑，只要再选出余下的代表．问题（2） 、 必须不当选，实际上就是去掉这几个元素不予考虑．问题（3） 、 不全当选可以从正反两方面考虑．从正面考虑可以按 、 全不选和 、 选一个分类，从反面考虑可用间接法，去掉 、 全选的情况．问题（4）可以按女生选2人、3人…进行分类，当然也可以从反面考虑用间接法．问题（5）可以先处理特殊位置的体育班委与文娱班委． 　　解：（1）除 、 选出外，从其它10个人中再选3人，共有的选法种数为 （种）． 　　（2）去掉 、 ，从其它10人中任选5人，共有的选法种数为： （种）． 　　（3）按 、 的选取情况进行分类： 、 全不选的方法数为 ， 、 选1人的方法数为 ，共有选法 （种）． 　　本小题的另一解法：从12人中选5人的选法中去掉 、 全选的情况，所有选法只有 （种）． 　　方法一：按女同学的选取情况分类： 　　选2名女同学、3名男同学；选3名女同学2名男同学；选4名女同学1名男同学；选5名女同学．所有选法数为： 　　 （种）． 　　方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为： （种）． 　　（5）选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取3人担任其它3个班委．用分步计数原理可得到所有方法总数为： （种）． 　　说明：对于本题第（4）小题，“至少有2名女生当选”，我们可能还有另外一种考虑，先从5名女生中选出2人，然后在剩下的10人中任选3人，得到的方法数为 （种），与上述答案比较，结果明显增多了，为什么会出现以上情况？上述步骤得到的选取结果虽然符合了有2名女生的要求，但在计数时出现了重复，比如先选两女生为 、 ，剩下的10人中如果又选出了女生 ，与先选两名女生为 、 后又选出了女生 ，出现了同样的结果，因为选取问题仅考虑选出了哪些元素，至于先选后选并不考虑．这里需要我们引起注意的是以后遇到“至少”类型的问题，一般采用分类法或间接法解决，在选取问题中尽可能避免出现重复计数，我们还可以进一步从下一个例子加深理解． 　　例3 空间10个点，其中有5点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这些点为顶点，共可构成多少个四面体？ 　　分析：本题如果从正面考虑可以按5个共面的点的选用情况进行分类．如果从反面考虑用间接法，只要去掉从5个共面的点中任取四个点的情况，因为共面的四个点不能构成四面体的四个顶点． 　　解：方法一：可以按共面的点取0个、1个、2个、3个进行分类，得到所有的取法总数为： 个． 　　　　方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的方法数为： （个）． 　　说明：以几何为背景的此类应用题中，间接方法用得比较多，在考虑去掉不符合要求的选法时，既不能多去，也不能少去，此外有时还需去掉一些重复计数的情况．比如：四面体的顶点和各条棱的中点共10个点，任取其中的4个点，其中不共面的取法有多少种？我们可以从10个点中任取4点．共有 种取法，然后去掉下面几种情况，4个点取在四面体的同一个面上，有 种取法；四个中点连成平行四边形的情形，有3种取法，还有3点在四面体的一条棱上，另一点是其它点，不考虑已计算的四点在四面体同一面上的情况，共有6种取法．用间接法可得不同的取法共有： （种）． 　　例4 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数． 　　分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。 　　解：第一类：五位数中不含数字零。 　　第一步：选出5个数字，共有 种选法． 　　第二步：排成偶数—先排末位数，有 种排法，再排其它四位数字，有 种排法． 　　∴ （个） 　　第二类：五位数中含有数字零． 　　第一步：选出5个数字，共有 种选法。 　　第二步：排顺序又可分为两小类； 　　（1）末位排零，有 种排列方法； 　　（2）末位不排零．这时本位数有 种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 种排法，其余3个数字则有 种排法． 　　∴ 　　∴ 符合条件的偶数个数为 　　 　　　 （个） 　　说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解．请读者自行完成． 　　例5 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？ 　　分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人} 　　先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。 　　第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在 中选3人，即有 种选法。因是分步问题，所以有 种选法。第②类，划左舷的人在A中选2人，有 种选法，在C中选1人，有 种选法，划右舷的在 中剩下的8个人中选3人，有 种选法。因是分步问题，所以有 种选法。类似地，第③类，有 种选法。第④类有 种选法。 　　因为是分类，所以一共有 种选法。 　　解： 　　  　　 种 　　答：一共有2174种不同选法． 　　说明：这种比较复杂的在若干个集合中选取元素的问题，只要能运用分类思想正确对所求选法分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步骤，就可以顺利地求得解．在分类时，要注意做到既不重复也不遗漏． 　　这里是以集合A为基准进行分类，也可以集合B或集合C为基准进行分类，其结果是相同的，但一般都选择元素个数较少的集合作为基准来分类，这样可以减少分类，方便运算． 　　例6 甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方由1号队员出赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，试求所有可能出现的比赛过程的种类． 　　分析与解：若甲队取胜，比赛结果可能是 ， ， ， ， ， ， ． 　　 只有一个过程； 　　 共8场，乙队在前7场中胜一场，有 种不同的过程； 　　     共9场，乙队在前8场中胜二场，有 种不同的过程； 　　 共10场，乙队在前9场中胜三场，有 种不同的过程； 　　……………… 　　∴ 甲队取胜的过程种数是： 　　类似乙队取胜也有同样的过程种数 　　∴ 共有 种不同的比赛过程． 　　小结：一个排列与另一个排列的区别有两点，一点是元素不同，另一点是顺序不同（在元素相同时）；而一个组合与另一个组合不同点仅是元素不同，由此可知，排列是有顺序问题，组合是无顺序问题．本题是一应用问题，根据实际确定是组合问题． 　　例7 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： 　　（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？ 　　（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？ 　　（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ 　　（4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ 　　分析与解：（l）分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有 种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有 种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有 种情况，所以符合题意的七位数有 个． 　　（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有 个． 　　（3）上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有 　　 个． 　　（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有 个． 　　说明；对于有限制条件的排列问题，常可分步进行，先组合再排列，这是乘法原理的典型应用． 　　例8 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ 　　（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本； 　　（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； 　　（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本； 　　（4）平均分给甲、乙、丙三人； 　　（5）平均分成三堆． 　　分析与解：（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有 种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有 种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有 种取法，故共有分法 种． 　　（2）由（1）知．分成三堆的方法有 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为 种． 　　（3）由（1）知，分成三堆的方法有 种，但每一种分组方法又有 不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有 （种）． 　　（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有 种方法． 　　（5）把6本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应 种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种． 　　所以 ，则 （种） 　　说明：本问题中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，其中 　　（1）属非均匀分组问题．　　　（2）属非均匀定向分配问题． 　　（3）属非均匀不定向分配问题．（4）属均匀不定向分配问题． 　　（5）属均匀分组问题． 　　例9 有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人． 　　（1）如果每人得两本，有多少种不同的分法； 　　（2）如果一个人得一本，一个人得2本，一个人得3本有多少种不同的分法； 　　（3）如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法． 　　分析与解：（1）假设甲先拿，则甲从6本不同的书中选取2本有 种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有 种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有 种方法，由乘法原理得一共有 种不同分法． 　　（2）先假设甲得1本，乙得2本，丙得3本则有 种法，一共有 种不同的分法． 　　（3）把6本书分成三堆，每堆2本，与次序无关． 　　所以一共有 种不同分法． 　　说明：本题的三个问题要注意区别和联系，不要混淆． 　　6本书分给甲、乙、丙三人每人两本和分成3堆每堆两本是有区别的，前者虽然也属均分问题，但要甲、乙、丙三个人一个人一个人的去拿，而后者属均分问题又是无序问题，所以必须除以 ．一般地， 个元素中有 个元素（ ）均分成m堆一定要除以 ． 　　例如：有17个桃，分成8堆，其中一堆一个，一堆4个，另外6堆每堆都是2个，有多少种不同的分法． 　　一共有 种不同分法． 典型例题 　　例1 计算：（1） ；  （2） ． 　　分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第（1）题中， ，经此变形后，可继续使用组合数性质．第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形 ，求和；另一方面，变形 ，接着 ， …，反复使用公式． 　　解：（1）原式 　　　　　　　　 ． 　　　　（2）原式 　　　　　　　　 ． 　　另一方法是：原式 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ． 　　说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论： 　　 ． 　　左边 右边． 　　例2 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ 　　（1） 、 必须当选；（2） 、 都不当选；（3） 、 不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任． 　　分析：本题是组合应用题中典型的选代表问题，通过一些明确的条件对结果进行限制．问题（1） 、 必须当选，它们就不必再考虑，只要再选出余下的代表．问题（2） 、 必须不当选，实际上就是去掉这几个元素不予考虑．问题（3） 、 不全当选可以从正反两方面考虑．从正面考虑可以按 、 全不选和 、 选一个分类，从反面考虑可用间接法，去掉 、 全选的情况．问题（4）可以按女生选2人、3人…进行分类，当然也可以从反面考虑用间接法．问题（5）可以先处理特殊位置的体育班委与文娱班委． 　　解：（1）除 、 选出外，从其它10个人中再选3人，共有的选法种数为 （种）． 　　（2）去掉 、 ，从其它10人中任选5人，共有的选法种数为： （种）． 　　（3）按 、 的选取情况进行分类： 、 全不选的方法数为 ， 、 选1人的方法数为 ，共有选法 （种）． 　　本小题的另一解法：从12人中选5人的选法中去掉 、 全选的情况，所有选法只有 （种）． 　　方法一：按女同学的选取情况分类： 　　选2名女同学、3名男同学；选3名女同学2名男同学；选4名女同学1名男同学；选5名女同学．所有选法数为： 　　 （种）． 　　方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为： （种）． 　　（5）选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取3人担任其它3个班委．用分步计数原理可得到所有方法总数为： （种）． 　　说明：对于本题第（4）小题，“至少有2名女生当选”，我们可能还有另外一种考虑，先从5名女生中选出2人，然后在剩下的10人中任选3人，得到的方法数为 （种），与上述答案比较，结果明显增多了，为什么会出现以上情况？上述步骤得到的选取结果虽然符合了有2名女生的要求，但在计数时出现了重复，比如先选两女生为 、 ，剩下的10人中如果又选出了女生 ，与先选两名女生为 、 后又选出了女生 ，出现了同样的结果，因为选取问题仅考虑选出了哪些元素，至于先选后选并不考虑．这里需要我们引起注意的是以后遇到“至少”类型的问题，一般采用分类法或间接法解决，在选取问题中尽可能避免出现重复计数，我们还可以进一步从下一个例子加深理解． 　　例3 空间10个点，其中有5点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这些点为顶点，共可构成多少个四面体？ 　　分析：本题如果从正面考虑可以按5个共面的点的选用情况进行分类．如果从反面考虑用间接法，只要去掉从5个共面的点中任取四个点的情况，因为共面的四个点不能构成四面体的四个顶点． 　　解：方法一：可以按共面的点取0个、1个、2个、3个进行分类，得到所有的取法总数为： 个． 　　　　方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的方法数为： （个）． 　　说明：以几何为背景的此类应用题中，间接方法用得比较多，在考虑去掉不符合要求的选法时，既不能多去，也不能少去，此外有时还需去掉一些重复计数的情况．比如：四面体的顶点和各条棱的中点共10个点，任取其中的4个点，其中不共面的取法有多少种？我们可以从10个点中任取4点．共有 种取法，然后去掉下面几种情况，4个点取在四面体的同一个面上，有 种取法；四个中点连成平行四边形的情形，有3种取法，还有3点在四面体的一条棱上，另一点是其它点，不考虑已计算的四点在四面体同一面上的情况，共有6种取法．用间接法可得不同的取法共有： （种）． 　　例4 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数． 　　分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。 　　解：第一类：五位数中不含数字零。 　　第一步：选出5个数字，共有 种选法． 　　第二步：排成偶数—先排末位数，有 种排法，再排其它四位数字，有 种排法． 　　∴ （个） 　　第二类：五位数中含有数字零． 　　第一步：选出5个数字，共有 种选法。 　　第二步：排顺序又可分为两小类； 　　（1）末位排零，有 种排列方法； 　　（2）末位不排零．这时本位数有 种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 种排法，其余3个数字则有 种排法． 　　∴ 　　∴ 符合条件的偶数个数为 　　 　　　 （个） 　　说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解．请读者自行完成． 　　例5 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？ 　　分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人} 　　先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。 　　第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在 中选3人，即有 种选法。因是分步问题，所以有 种选法。第②类，划左舷的人在A中选2人，有 种选法，在C中选1人，有 种选法，划右舷的在 中剩下的8个人中选3人，有 种选法。因是分步问题，所以有 种选法。类似地，第③类，有 种选法。第④类有 种选法。 　　因为是分类，所以一共有 种选法。 　　解： 　　  　　 种 　　答：一共有2174种不同选法． 　　说明：这种比较复杂的在若干个集合中选取元素的问题，只要能运用分类思想正确对所求选法分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步骤，就可以顺利地求得解．在分类时，要注意做到既不重复也不遗漏． 　　这里是以集合A为基准进行分类，也可以集合B或集合C为基准进行分类，其结果是相同的，但一般都选择元素个数较少的集合作为基准来分类，这样可以减少分类，方便运算． 　　例6 甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方由1号队员出赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，试求所有可能出现的比赛过程的种类． 　　分析与解：若甲队取胜，比赛结果可能是 ， ， ， ， ， ， ． 　　 只有一个过程； 　　 共8场，乙队在前7场中胜一场，有 种不同的过程； 　　     共9场，乙队在前8场中胜二场，有 种不同的过程； 　　 共10场，乙队在前9场中胜三场，有 种不同的过程； 　　……………… 　　∴ 甲队取胜的过程种数是： 　　类似乙队取胜也有同样的过程种数 　　∴ 共有 种不同的比赛过程． 　　小结：一个排列与另一个排列的区别有两点，一点是元素不同，另一点是顺序不同（在元素相同时）；而一个组合与另一个组合不同点仅是元素不同，由此可知，排列是有顺序问题，组合是无顺序问题．本题是一应用问题，根据实际确定是组合问题． 　　例7 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： 　　（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？ 　　（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？ 　　（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ 　　（4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ 　　分析与解：（l）分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有 种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有 种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有 种情况，所以符合题意的七位数有 个． 　　（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有 个． 　　（3）上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有 　　 个． 　　（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有 个． 　　说明；对于有限制条件的排列问题，常可分步进行，先组合再排列，这是乘法原理的典型应用． 　　例8 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ 　　（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本； 　　（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； 　　（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本； 　　（4）平均分给甲、乙、丙三人； 　　（5）平均分成三堆． 　　分析与解：（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有 种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有 种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有 种取法，故共有分法 种． 　　（2）由（1）知．分成三堆的方法有 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为 种． 　　（3）由（1）知，分成三堆的方法有 种，但每一种分组方法又有 不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有 （种）． 　　（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有 种方法． 　　（5）把6本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应 种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种． 　　所以 ，则 （种） 　　说明：本问题中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，其中 　　（1）属非均匀分组问题．　　　（2）属非均匀定向分配问题． 　　（3）属非均匀不定向分配问题．（4）属均匀不定向分配问题． 　　（5）属均匀分组问题． 　　例9 有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人． 　　（1）如果每人得两本，有多少种不同的分法； 　　（2）如果一个人得一本，一个人得2本，一个人得3本有多少种不同的分法； 　　（3）如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法． 　　分析与解：（1）假设甲先拿，则甲从6本不同的书中选取2本有 种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有 种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有 种方法，由乘法原理得一共有 种不同分法． 　　（2）先假设甲得1本，乙得2本，丙得3本则有 种法，一共有 种不同的分法． 　　（3）把6本书分成三堆，每堆2本，与次序无关． 　　所以一共有 种不同分法． 　　说明：本题的三个问题要注意区别和联系，不要混淆． 　　6本书分给甲、乙、丙三人每人两本和分成3堆每堆两本是有区别的，前者虽然也属均分问题，但要甲、乙、丙三个人一个人一个人的去拿，而后者属均分问题又是无序问题，所以必须除以 ．一般地， 个元素中有 个元素（ ）均分成m堆一定要除以 ． 　　例如：有17个桃，分成8堆，其中一堆一个，一堆4个，另外6堆每堆都是2个，有多少种不同的分法． 　　一共有 种不同分法． 习题精选 一、选择题 1．掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（  ）． 　　A． 种　　B． 种 　　C． 种　　　　　D．不同于A、B、C的结论 2．从 五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（  ）． 　　A．24　　B．48　　C．121　　D．72 3．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为（  ）． 　　A．672　　B．784　　C．840　　D．896 4． …， 为100条共面且不同的直线，若其中编号为 的直线互相平行，编号为 的直线都过某定点 ．则这100条直线的交点个数最多为（  ）． 　　A．4350　　B．4351　　C．4900　　D．4901 二、填空题 1．在数字0，1，2，3，4， 5，6中，任取3个不同的数字为系数 ，组成二次函数 ，则一共可以组成__________个不同的解析式？ 2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包一项，丙、丁公司各承包2项，则共有_________种承包方式． 3．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有______种． 4．某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男、女运动员各3名参加三场混合双打比赛（每名运动员只限参加一场比赛），共有＿＿＿种不同的选赛方法． 三、解答题 1．有7本不同的书：（1）全部分给6个人，每人至少一本；（2）全部分给5个人，每人至少一本，求各有多少种不同的分法． 2．九张卡片分别写着数字0，l，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？ 参考答案： 一、选择题：1．A   2．D   3．C  4．B 二、填空题：１．180  ２．1680  ３．144  ４．3628800 三、解答题： 1．（l）先取两本书作为一份，其余每本书为一份，将这六份书分给6个人，有 种分法．（2）有两类办法：一人得3本，其余4人各得一本，方法数为 ；两人各得2本，其余3人各得一本，方法数为 ，所以所求方法种数为 . 2．以是否取卡片6分成两类，每类中再注意三位数中0不能在首位．（l）不取卡片6，组成三位数的个数为 ；（2）取卡片6，又分成两类，（i）当6用时组成的三位数的个数为 ；（ii）当9用时同样有个 ．根据加法原理得所求三位数的个数为： . 习题精选 一、选择题 1．掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（  ）． 　　A． 种　　B． 种 　　C． 种　　　　　D．不同于A、B、C的结论 2．从 五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（  ）． 　　A．24　　B．48　　C．121　　D．72 3．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为（  ）． 　　A．672　　B．784　　C．840　　D．896 4． …， 为100条共面且不同的直线，若其中编号为 的直线互相平行，编号为 的直线都过某定点 ．则这100条直线的交点个数最多为（  ）． 　　A．4350　　B．4351　　C．4900　　D．4901 二、填空题 1．在数字0，1，2，3，4， 5，6中，任取3个不同的数字为系数 ，组成二次函数 ，则一共可以组成__________个不同的解析式？ 2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包一项，丙、丁公司各承包2项，则共有_________种承包方式． 3．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有______种． 4．某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男、女运动员各3名参加三场混合双打比赛（每名运动员只限参加一场比赛），共有＿＿＿种不同的选赛方法． 三、解答题 1．有7本不同的书：（1）全部分给6个人，每人至少一本；（2）全部分给5个人，每人至少一本，求各有多少种不同的分法． 2．九张卡片分别写着数字0，l，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？ 参考答案： 一、选择题：1．A   2．D   3．C  4．B 二、填空题：１．180  ２．1680  ３．144  ４．3628800 三、解答题： 1．（l）先取两本书作为一份，其余每本书为一份，将这六份书分给6个人，有 种分法．（2）有两类办法：一人得3本，其余4人各得一本，方法数为 ；两人各得2本，其余3人各得一本，方法数为 ，所以所求方法种数为 . 2．以是否取卡片6分成两类，每类中再注意三位数中0不能在首位．（l）不取卡片6，组成三位数的个数为 ；（2）取卡片6，又分成两类，（i）当6用时组成的三位数的个数为 ；（ii）当9用时同样有个 ．根据加法原理得所求三位数的个数为： . 习题精选 一、选择题 1．掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（  ）． 　　A． 种　　B． 种 　　C． 种　　　　　D．不同于A、B、C的结论 2．从 五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（  ）． 　　A．24　　B．48　　C．121　　D．72 3．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为（  ）． 　　A．672　　B．784　　C．840　　D．896 4． …， 为100条共面且不同的直线，若其中编号为 的直线互相平行，编号为 的直线都过某定点 ．则这100条直线的交点个数最多为（  ）． 　　A．4350　　B．4351　　C．4900　　D．4901 二、填空题 1．在数字0，1，2，3，4， 5，6中，任取3个不同的数字为系数 ，组成二次函数 ，则一共可以组成__________个不同的解析式？ 2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包一项，丙、丁公司各承包2项，则共有_________种承包方式． 3．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有______种． 4．某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男、女运动员各3名参加三场混合双打比赛（每名运动员只限参加一场比赛），共有＿＿＿种不同的选赛方法． 三、解答题 1．有7本不同的书：（1）全部分给6个人，每人至少一本；（2）全部分给5个人，每人至少一本，求各有多少种不同的分法． 2．九张卡片分别写着数字0，l，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？ 参考答案： 一、选择题：1．A   2．D   3．C  4．B 二、填空题：１．180  ２．1680  ３．144  ４．3628800 三、解答题： 1．（l）先取两本书作为一份，其余每本书为一份，将这六份书分给6个人，有 种分法．（2）有两类办法：一人得3本，其余4人各得一本，方法数为 ；两人各得2本，其余3人各得一本，方法数为 ，所以所求方法种数为 . 2．以是否取卡片6分成两类，每类中再注意三位数中0不能在首位．（l）不取卡片6，组成三位数的个数为 ；（2）取卡片6，又分成两类，（i）当6用时组成的三位数的个数为 ；（ii）当9用时同样有个 ．根据加法原理得所求三位数的个数为： . 习题精选 一、选择题 1．掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（  ）． 　　A． 种　　B． 种 　　C． 种　　　　　D．不同于A、B、C的结论 2．从 五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（  ）． 　　A．24　　B．48　　C．121　　D．72 3．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为（  ）． 　　A．672　　B．784　　C．840　　D．896 4． …， 为100条共面且不同的直线，若其中编号为 的直线互相平行，编号为 的直线都过某定点 ．则这100条直线的交点个数最多为（  ）． 　　A．4350　　B．4351　　C．4900　　D．4901 二、填空题 1．在数字0，1，2，3，4， 5，6中，任取3个不同的数字为系数 ，组成二次函数 ，则一共可以组成__________个不同的解析式？ 2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包一项，丙、丁公司各承包2项，则共有_________种承包方式． 3．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有______种． 4．某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男、女运动员各3名参加三场混合双打比赛（每名运动员只限参加一场比赛），共有＿＿＿种不同的选赛方法． 三、解答题 1．有7本不同的书：（1）全部分给6个人，每人至少一本；（2）全部分给5个人，每人至少一本，求各有多少种不同的分法． 2．九张卡片分别写着数字0，l，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？ 参考答案： 一、选择题：1．A   2．D   3．C  4．B 二、填空题：１．180  ２．1680  ３．144  ４．3628800 三、解答题： 1．（l）先取两本书作为一份，其余每本书为一份，将这六份书分给6个人，有 种分法．（2）有两类办法：一人得3本，其余4人各得一本，方法数为 ；两人各得2本，其余3人各得一本，方法数为 ，所以所求方法种数为 . 2．以是否取卡片6分成两类，每类中再注意三位数中0不能在首位．（l）不取卡片6，组成三位数的个数为 ；（2）取卡片6，又分成两类，（i）当6用时组成的三位数的个数为 ；（ii）当9用时同样有个 ．根据加法原理得所求三位数的个数为： .