§1.3 曲率与挠率
1.3.1 曲率的定义及其几何意义
1. 曲率的解析定义 设曲线C的自然参数方程为r = r(s) , 且r(s)有二阶连续的
导矢量 r¨ , 称 |r¨(s)|为曲线C在弧长为s的点处的曲率 , 记为k(s) = |r¨(s)| , 并称 r¨(s)为C
的曲率向量 , 当k(s) 6= 0时, 称ρ(s) = 1k(s)为曲线在该点处的曲率半径 .
2. 曲率的几何意义 任取曲线C : r = r(s)上的一点P (s)及其邻近点Q(s + ∆s) , P
和Q点处的单位切向量分别为α(s) = r˙(s)和α(s+∆s) = r˙(s+∆s) , 它们的夹角设为∆θ
, 将α(s+∆s)的起点移到P (s)点, 则 |α(s+∆s)−α(s)| = 2 sin ∆θ2 , 于是
|α(s+∆s)−α(s)|
|∆s| =
2 sin ∆θ2
|∆s| =
sin ∆θ2
|∆θ2 |
· |∆θ||∆s| ,
故
k(s) = |r¨(s)|
= lim
∆s→0
∣∣∣∣α(s+∆s)−α(s)∆s
∣∣∣∣
= lim
∆θ→0
∣∣∣∣∣sin ∆θ2∆θ
2
∣∣∣∣∣ · lim∆s→0
∣∣∣∣∆θ∆s
∣∣∣∣
= lim
∆s→0
∣∣∣∣∆θ∆s
∣∣∣∣ ,
这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,
也就是曲线在该点附近切线方向改变的程度, 它反映了曲线的弯曲程度. 如果曲线在某点
处的曲率愈大, 表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快, 因此曲线在该点的弯曲程度愈
大.
3. 直线的特征
定理 3.1 曲线为直线的充分必要条件是曲率k ≡ 0.
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证明 (⇒) 若曲线C : r = r(s)为直线, 则其方程为r = r0 + as , 其中r0为常矢量, a
为直线的单位方向矢量, s为弧长参数. 于是
k = | r¨ | ≡ 0.
(⇐) 若有k ≡ 0 , 则α为常矢量, 对α = r˙两边关于弧长s积分得
r =
∫
α ds = αs+ r0,
这正是直线的方程.¥
Question 1 若曲线上有无穷多个点处曲率都为0 , 此曲线是否为直线? (可考虑正弦
曲线)
1.3.2 挠挠挠率率率的的的定定定义义义及及及其其其几几几何何何意意意义义义
1. 挠率的解析定义 空间曲线不但要弯曲, 而且还要扭曲, 即要离开它的密切平面. 为
了能刻画这一扭曲程度, 等价于去研究密切平面的法矢量(即曲线的副法矢量)关于弧长的
变化率. 为此我们先给出如下引理.
引理 3.2 设自然参数曲线C : r = r(s)的基本向量为α,β和γ , 则 γ˙与β共线.
证明 一方面,因为γ ·α = 0,两边关于弧长s求导,同时注意到 α˙ = kβ,便得 γ˙ ·α = 0
, 即 γ˙垂直于α.
另一方面由于 |γ| = 1, 两边关于弧长s求导便得 γ˙ · γ = 0, 即 γ˙垂直于γ. 这两方面说
明 γ˙与α× γ共线, 即 γ˙与β共线.¥
由 γ˙ = −τ(s)β (负号是为了以后运算方便而引进的)所确定的函数τ(s)称为曲线C
的挠率. 当τ(s) 6= 0时, 它的倒数 1τ(s)称为挠率半径.
2. 挠率的几何意义 由挠率的定义知 |τ(s)| = |γ˙|, 因此挠率的绝对值表示曲线的副法
向量关于弧长的变化率, 换句话说, 挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度. 所以
曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢, 即曲线的扭曲程
度(符号的几何意义将在以后指出).
3. 平面曲线的特征
定理 3.3 曲线为平面曲线的充分必要条件是挠率τ(s) ≡ 0.
证明 (⇒) 若曲线C : r = r(s)为平面曲线, 则γ为常矢量, 于是
τ(s) = −γ˙ · β ≡ 0.
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(⇐) 由于τ(s) ≡ 0 , 即 γ˙ ·β = 0, 而 γ˙共线于β , 所以 γ˙(s) ≡ 0或γ(s)为常矢量, 于是可
直接验证d(r·γ)ds = 0, 即
r · γ = p (常数),
这说明曲线C上的点满足一平面的方程, 即C为平面曲线.¥
1.3.3 曲曲曲率率率和和和挠挠挠率率率的的的计计计算算算公公公式式式 (请读者参考本节第四部分, 自行给出证明)
1. 曲率的计算公式
① 给出曲线C的自然参数方程r = r(s)时:
k(s) = |α˙(s)| = |r¨(s)|.
② 给出曲线C的一般参数方程r = r(t)时:
k(t) =
|r′(t)× r′′(t)|
|r′(t)|3 .
2. 挠率的计算公式
① 给出曲线C的自然参数方程r = r(s)时:
τ(s) =
(r˙(s), r¨(s), ...r (s))
(r¨(s))2
.
② 给出曲线C的一般参数方程r = r(t)时:
τ(t) =
(r′(t), r′′(t), r′′′(t))
(r′(t)× r′′(t))2 .
Question 2 曲线与它关于原点对称的曲线的曲率和挠率之间有何关系?
Question 3 曲率为0的点处挠率如何定义?
1.3.4 曲曲曲率率率和和和挠挠挠率率率关关关于于于刚刚刚性性性运运运动动动及及及参参参数数数变变变换换换的的的不不不变变变性性性
1. 曲率和挠率关于刚性运动的不变性 所谓刚性运动是指R3中的平移, 或旋转, 或平
移与旋转的合成. 祥言之, 设f : R3 → R3是一个刚性运动(简称运动), 意指存在一个向量
b = (b1, b2, b3)和一个正交矩阵A (即A · At =单位矩阵, 这里At表示A的转置矩阵), 使得
对任意 (x, y, z) ∈ R3, 有
f(x, y, z) = (x, y, z)A+ b,
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曲率和挠率关于刚性运动的不变性是指当曲线C经过R3中的一个运动变为 C¯时, C和
C¯上对应点的曲率和挠率皆相等.
设曲线C的自然参数表示是r(s) , 并设曲线C经过运动f变为曲线 C¯ , 那么 C¯有参数表
示 r¯(s) , 使得
r¯(s) = f(r(s)) = r(s) ·A+ b,
于是
dr¯
ds
(s) =
dr
ds
(s) ·A.
从而 ∣∣∣∣dr¯ds (s)
∣∣∣∣2 = ∣∣∣∣drds (s) ·A
∣∣∣∣2
=
(
dr
ds
(s) ·A
)
·
(
dr
ds
(s) ·A
)t
=
dr
ds
(s) ·A ·At ·
(
dr
ds
(s)
)t
=
dr
ds
(s) ·
(
dr
ds
(s)
)t
=
∣∣∣∣drds (s)
∣∣∣∣2 = 1,
故s也是曲线 r¯(s)的弧长参数.
C与 C¯的上述参数表达式r(s)和 r¯(s)有一个特点, 那就是
r¯(s) = f(r(s)),
这表明: 若P0是C上的点, 它经过f变为 C¯上的点 P¯0, 则P0与 P¯0有相同的参数值, 即
s(P0) = s(P¯0).
设曲线r = r(s)的曲率和挠率分别为k和τ , 曲线 r¯ = r¯(s)上相应的曲率和挠率分别为
k¯和 τ¯ , 则因
dr¯
ds
=
dr
ds
·A, d
2r¯
ds2
=
d2r
ds2
·A, d
3r¯
ds3
=
d3r
ds3
·A,
同时注意到detA = 1, 我们有∣∣∣∣dr¯ds
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣drds
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣d2r¯ds2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣d2rds2
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣d3r¯ds3
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣d3rds3
∣∣∣∣ ,
20
从而由曲率的计算公式, 我们有
k¯(s) =
∣∣∣∣d2r¯ds2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣d2rds2 ·A
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣d2rds2
∣∣∣∣ = k(s),
这表明曲率在运动f下不变.
再由挠率的计算公式, 结合上述讨论及解析几何中关于混合积的几何意义, 我们得到
τ¯(s) =
(
dr¯
ds ,
d2r¯
ds2
, d
3r¯
ds3
)
[k¯(s)]2
=
(
dr
ds ·A, d
2r
ds2
·A, d3r
ds3
·A
)
[k(s)]2
=
(
dr
ds ,
d2r
ds2
, d
3r
ds3
)
[k(s)]2
= τ(s),
这表明挠率在运动f下不变. 至此我们证明了曲率和挠率皆是运动不变量.
2. 曲率和挠率关于参数变换的不变性 设曲线C的一般参数方程为r = r(t), t = t(t¯)
是任一容许的参数变换, 由复合函数的链式求导法则, 容易验证
dr
dt¯
=
dr
dt
dt
dt¯
,
d2r
dt¯2
=
d2r
dt2
(
dt
dt¯
)2
+
dr
dt
d2t
dt¯2
,
d3r
dt¯3
=
d3r
dt3
(
dt
dt¯
)3
+ 3
d2r
dt2
dt
dt¯
d2t
dt¯2
+
dr
dt
d3t
dt¯3
,
将以上三式代入曲率和挠率的计算公式, 就可得到
k(t¯) = k(t(t¯)), τ(t¯) = τ(t(t¯)),
这表明曲线在容许的参数变换下, 对应点的曲率和挠率都不变, 即曲率和挠率都是参数变
换下的不变量.
1.3.5 曲曲曲率率率和和和挠挠挠率率率的的的计计计算算算实实实例例例
【例1 】 分别求椭圆C : r(t) = {a cos t, b sin t, 0} (a > b > 0)在长轴上顶点A(a, 0, 0)
及短轴上顶点B(0, b, 0)处的曲率和挠率.
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【解】 注意到点A和点B对应的参数值分别为 t = 0, t = pi/2 , 直接计算得到
|r′(0)| = b, |r′(pi/2)| = a,
|r′ × r′′| = ab,
于是A点处的曲率kA = abb3 , B点处的曲率kB = aba3 , 显然kA > kB , 这正说明椭圆C在长
轴顶点处的弯曲程度比C在短轴顶点处的弯曲程度高, 换句话说, 椭圆C在短轴顶点邻近
比长轴顶点邻近平坦.
至于挠率, 因为曲线C是平面曲线, 其挠率处处为0.
特别地, 若a = b, 即C是圆, 这时, 容易验证圆上每一点处的曲率都相等, 且等于半径的
倒数, 这一方面表明圆在其上每一点处的弯曲程度都相同, 同时也表明半径愈大, 弯曲程度
愈小. 这些事实的几何直观是不言而语的. ¥
Question 4 若椭圆C位于R3中任意非坐标平面的平面内时, 情况会如何?
Question 5 求平面曲线F (x, y) = 0的曲率, 这里F 2x + F 2y 6= 0.
【例2 】 求圆柱螺线r(t) = {a cos t, a sin t, bt}的曲率和挠率, 这里a, b > 0.
【解】 直接计算得到
|r′| =
√
a2 + b2, |r′ × r′′| = a
√
a2 + b2, (r′, r′′, r′′′) = a2b,
代入曲率和挠率的计算公式立即得
k =
a
a2 + b2
, τ =
b
a2 + b2
.
由此可见圆柱螺线的曲率和挠率均为常数, 今后将证明其逆命题也成立, 即曲率和挠率均
为非零常数的曲线一定是圆柱螺线. ¥
【例3 】 求曲线r(t) = {cos3 t, sin3 t, cos 2t}的曲率和挠率, 这里0 < t < pi/2.
【解】 直接计算得到 |r′(t)| = 52 sin 2t , 可见 t不是弧长参数, 所以将r′(t)单位化后得
到
α = r′(t)/|r′(t)| = {−3
5
cos t,
3
5
sin t,−4
5
},
而
β =
r¨
|r¨| =
α˙
|α˙| =
dα
dt
dt
ds∣∣dα
dt
dt
ds
∣∣ = {sin t, cos t, 0},
22
所以
γ = α× β = {4
5
cos t,−4
5
sin t,−3
5
}.
于是曲线的曲率
k =
∣∣∣∣dαds
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣dαdt
∣∣∣∣ · ∣∣∣∣ dtds
∣∣∣∣ =
∣∣dα
dt
∣∣∣∣dr
dt
∣∣ = 625 sin 2t .
为了计算挠率, 由定义τ = −dγds · β , 而 dγds = dγdt · dtds , 故
τ = −
dγ
dt · β∣∣dr
dt
∣∣ .
简单计算得曲线的挠率
τ =
8
25 sin 2t
.
¥
说明: 本题可像例2直接利用公式求曲率和挠率, 但有一定的计算量, 如果曲线的向量
式比较复杂, 这里介绍的方法比较稳妥.
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