数学立体，排列

梅州教育城域网http://gzxk.mzedu.com/Sx/index.html谢胜青 高考数学复习易做易错选 立体几何 一、选择题： 1．（石庄中学）设ABCD是空间四边形，E，F分别是AB，CD的中点，则 满足（ ） A 共线 B 共面 C 不共面 D 可作为空间基向量 正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。 2．（石庄中学）在正方体ABCD-A B C D ,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD 、D C 的中点，则直线OM( ) A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN C 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直 正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。 3．（石庄中学）已知平面 ∥平面 ，直线L 平面 ,点P 直线L,平面 、 间的距离为8，则在 内到点P的距离为10，且到L的距离为9的点的轨迹是（ ） A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点 正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。 4．（石庄中学）正方体ABCD-A B C D 中，点P在侧面BCC B 及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD ,则动点P的轨迹（ ） A 线段B C B BB 的中点与CC 中点连成的线段 C 线段BC D CB中点与B C 中点连成的线段 正确答案：A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。 5． （石庄中学）下列命题中： 1 若向量 、 与空间任意向量不能构成基底，则 ∥ 。 2 若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ . 3 若 、 、 是空间一个基底，且 = EMBED Equation.3 ＋ ＋ EMBED Equation.3 ,则A、B、C、D四点共面。 4 若向量 + ， + ， + 是空间一个基底，则 、 、 也是空间的一个基底。其中正确的命题有（ ）个。 A 1 B 2 C 3 D 4 正确答案：C 错因：学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。 6．(磨中)给出下列命题：①分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a⊥b④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是( ) 正确答案：① 错误原因：空间观念不明确，三垂线定理概念不清 7．(磨中)已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个面重合，所得多面体的面数有( ) A、7 B、8 C、9 D、10 正确答案：A 错误原因：4+8—2=10 8．(磨中)下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( ) 正确答案：D 错误原因：空间观点不强 9．(磨中)a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面( ) A、有且只有一个 B、一个面或无数个 C、可能不存在 D、可能有无数个 正确答案：C 错误原因：过a与b垂直的夹平面条件不清 10．（一中）给出下列四个命题： （1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱. （2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V、面数F满足的关系式为2F－V=4. （3）若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β. （4）命题“异面直线a、b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直”的否定. 其中，正确的命题是 （ ） A．（2）（3） B．（1）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4） 正确答案：A 11．（一中）如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（ ） A．75° 　B．60° 　 　C．50° 　D．45° 正确答案：C 12．（蒲中）一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（ ） A、α+β<900 B、α+β≤900 C、α+β>900 D、α+β≥900 答案：B 点评：易误选A，错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况。 13．（蒲中）在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（ ） A、2个 B、4个 C、6个 D、8个 答案：B 点评：易瞎猜，6个面不合，6个对角面中有4个面适合条件。 14．（蒲中）△ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将△ABC沿AD折成大小为θ的二面角B-AD-C，若 ，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（ ） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、形状与a、b的值有关的三角形 答案：C 点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。 15．（江安中学）设a，b，c表示三条直线， 表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）。 A. ，若 ，则 B. ， ，若 ，则 C. ，若 ，则 D. ， 是 在 内的射影，若 ，则 正解：C C的逆命题是 ,若 ，则 显然不成立。 误解：选B。源于对C是 在 内的射影理不清。 16．（江安中学） 和 是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面 和 平行的是（ ）。 A. 和 都垂直于平面 B. 内不共线的三点到 的距离相等 C. 是 平面内的直线且 D. 是两条异面直线且 正解：D 对于 可平行也可相交；对于B三个点可在 平面同侧或异侧；对于 在平面 内可平行，可相交。 对于D正确证明如下：过直线 分别作平面与平面 相交，设交线分别为 与 ，由已知 得 ，从而 ，则 ，同理 ， 。 误解：B 往往只考虑距离相等，不考虑两侧。 17．（江安中学）一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ） A. B. C. D. 正解：D。 当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多 最多可盛原来水得1－ 误解：A、B、C。由过D或E作面ABC得平行面，所截体计算而得。 18．（江安中学）球的半径是R，距球心4R处有一光源，光源能照到的地方用平面去截取，则截面的最大面积是（ ）。 A. B. C. D. 正解：B。 如图，在 中， 于 则 即 又 以 为半径的圆的面积为 误解：审题不清，不求截面积，而求球冠面积。 19．（江安中学）已知AB是异面直线的公垂线段，AB=2，且 与 成 角，在直线 上取AP=4，则点P到直线 的距离是（ ）。 E. F. 4 G. H. 或 正解：A。过B作BB’∥ ，在BB’上截取BP’=AP，连结PP’，过P’作P’Q 连结PQ， PP’ 由BB’和 所确定的平面， PP’ PQ即为所求。在Rt PQP’中，PP’=AB=2,P’Q=BP’, =AP EMBED Equation.3 =2, PQ= 。 误解：D。认为点P可以在点A的两侧。本题应是由图解题。 20．（丁中）若平面 外的直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D） 错解：C 错因：直线在平面 外应包括直线与平面平行的情况，此时直线 与平面 所成的角为0 正解：D 21．（薛中）如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a , b都相交；（2）过P一定可作直线L与a , b都垂直；（3）过P一定可作平面 与a , b都平行；（4）过P一定可作直线L与a , b都平行，其中正确的结论有（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 答案：B 错解：C 认为（1）（3）对 D 认为（1）（2）（3）对 错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。 22．（薛中）空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 答案：C 错解：D 错因：误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不深刻。 23．（案中）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是 A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥 正确答案：（D） 错误原因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D 24．（案中）给出下列四个命题： （1） 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 （2） 若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶点数V，面数F满足的关系式为2F-V=4 （3） 若直线L⊥平面α，L∥平面β，则α⊥β （4） 命题“异面直线a,b不垂直，则过a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正确的命题是 （ ） A、（2）（3） B、（1）（4） C、（1）（2）（3） D、（2）（3）（4） 正确答案：（A） 错误原因：易认为命题（1）正确 二填空题： 1. （如中）有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________. 错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a，球的表面积为 。这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为 ，所以正确答案为： 。 2. （如中）一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为 ，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为________。 错解：答 。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案为： 。 3. （如中）已知正三棱柱 底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成 角的截面面积是___________________。 错解： 。学生用面积射影公式求解： 。错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是： 。 4. （如中）过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。 错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。 正确答案是不能确定。 5. （如中）判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面。 正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。 6. （如中）平面 外有两点A,B，它们与平面 的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面 的距离为_________________. 错解为： 。错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是： 。 7. （如中）点AB到平面 距离距离分别为12，20，若斜线AB与 成 的角，则AB的长等于_____. 错解：16. 错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：16或64。 8. （如中）判断若a,b是两条异面直线，p为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行。 错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面时恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行。 9．(磨中)与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个。 正确答案：7个 错误原因：不会分类讨论 10．(磨中)在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。 正确答案： 错误原因：不会找射影图形 11．(磨中)△ABC是简易遮阳板，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为使遮阴的阴影面ABD面积最大，遮阳板ABC与地面所成角应为_________。 正确答案：50° 错误原因：不会作图 12．(磨中)平面α与平面β相交成锐角θ，面α内一个圆在面β上的射影是离心率为 的椭圆，则角θ等于_______。 正确答案：30° 错误原因：分析不出哪些线段射影长不变，哪些线段射影长改变。 13．(磨中)把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。 正确答案：( )r  错误原因：错误认为四个小球球心在同一平面上 14．（一中）AB垂直于 所在的平面， ，当 的面积最大时，点A到直线CD的距离为 。正确答案： 15．（蒲中）在平面角为600的二面角 内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱l的距离为____________ 答案： cm 点评：将空间问题转化为平面问题利用正弦定理求解，转化能力较弱。 16．（蒲中）已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________ 答案：600 点评：以PD为对角线构造长方体，问题转化为对角线PD与棱PC的夹角，利用cos2450+cos2600+cos2α=1得α=600，构造模型问题能力弱。 17．（蒲中）正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，试写出满足条件的一个截面____________ 答案：面AD1C 点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C，易瞎猜。 18．（江安中学）一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直三面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____议程。 正解： 。 设 为二面角的平面角， EMBED Equation.3 误解：折叠后仍然 判断不了，找不到 的长求不出。 19．（江安中学）某地球仪上北纬 ，纬线的长度为 ，该地球仪的半径是_____cm，表面积是_____ cm2。 正解： 设地球仪的半径为R，纬线的半径为r 。 由已知 ， 。 误解：误将 20．（江安中学）自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则 =_____。 正解: ,可将PA,PB,PC看成是球内接矩形的三度,则 应是矩形对角线的平方,即球直径的平方。 误解：没有考虑到球内接矩形，直接运算，易造成计算错误。 21．（丁中）直二面角α－ －β的棱 上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与 成450，AB ，则∠BAC= 。 错解：600 错因：画图时只考虑一种情况 正解：600或1200 22．（丁中）直线 与平面α成角为300， 则m与 所成角的取值范围是 错解：[ 300 , 1200] 错因：忽视两条直线所成的角范围是 正解：[ 300 , 900] 23．（丁中）若 的中点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ，则点 到平面 的距离为_________ 。 错解：2 错因：没有注意到点A、B在平面 异侧的情况。 正解：2、14 24．（薛中）已知直线L∩平面 =O，A、B∈L， = 4 ， ；点A到平面 距离为1，则点B到平面 的距离为 。 答案：1或3 错解：3 错因：考虑问题不全面，点A，B可能在点O的同侧，也可能在O点两侧。 25．（薛中）异面直线a , b所成的角为 ，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为 ，这样的直线L有 条。 答案：三条 错解：一条 错因：没有能借助于平面衬托，思考问题欠严谨。过P作 确定一平面 ，画 相交所成角的平分线m、g，过m, g分别作平面 的垂面 ，则在 中易找到所求直线共有3条。 26．（薛中）点P是 ABC所在平面外一点，且P在 ABC三边距离相等，则P点在平面ABC上的射影是 ABC的 心。 答案：内心或旁心 错解：内心 错因：P在平面ABC内的正射影可能在 ABC内部，也可能在 ABC外部。 27．（案中）四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成x的函数f(x)，则f(x)的增区间为 ，减区间为 。 正确答案：（0， EMBED Equation.3 错误原因：不能正确写出目标函数，亦或者得到目标函数以后，不能注意x的隐藏范围。 28．（案中）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A1到平面为EF的距离为 正确答案： 错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。 29．（案中）点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是 正确答案： 错误原因：找不到解题思路 三、解答题： 1. （如中）由平面 外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC，O为⊿ABC的外心，求证： 。 错解：因为O为⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以 POA＝ POB＝ POC＝RT ，所以 。 错解分析：上述解法中 POA＝ POB＝ POC＝RT ，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。 正解：取BC的中点D，连PD，OD， 2. （如中）一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。 错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。 错误原因是空间想像力不够。 正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为： ，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个 的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为 。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为： 。 3．（石庄中学）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求： (1) ； (2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小； (3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的大小. 解：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线 为x轴，y轴，z轴. 则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4) ) ∵ ∴ (2) 由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN， 平面AMN，垂足为N. 因此AD与平面所成的角即是 易知 (3) ∵ 平面ABCD，A1N 平面AMN， ∴ 分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。 设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为 ，则 4．（一中）点 是边长为4的正方形 的中心，点 ， 分别是 ， 的中点．沿对角线 把正方形 折成直二面角D－AC－B． （Ⅰ）求 的大小； （Ⅱ）求二面角 的大小． 解法一：（Ⅰ）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则 ， ． 因为二面角D－AC－B为直二面角， 又在 中， ， ． ． （Ⅱ）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM． ∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF． ∴ 就是二面角 的平面角． 在Rt EGM中， ， ， ， ∴ ．∴ ． 所以，二面角 的大小为 ． 解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O－xyz， 则 ， ． ． ． （Ⅱ）设平面OEF的法向量为 ． 由 得 解得 ． 所以， ． 又因为平面AOF的法向量为 ， ．∴ ． 所以，二面角 的大小为 ． 5．（蒲中）斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积。 解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公用边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450= a，∴BMC周长为2x a+a=(1+ )a，且棱长为b，∴S侧=(1+ )ab 点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC ∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证。 6．（江安中学）如图在三棱柱ABC- 中，已知底面ABC是底角等于 ，底边AC= 的等腰三角形，且 ，面 与面ABC成 ， 与 交于点E。 1) 求证： ； 2) 求异面直线AC与 的距离； 3) 求三棱锥 的体积。 正解：①证：取AC中点D，连ED， // 又 是底角等于 的等腰 ， ②解：由①知 在 EMBED Equation.3 是异面直线AC与 的距离，为 ③连 误解：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后错解。 7．（江安中学）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为 ，设这条最短路线与C1C的交点为N。求 4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 5) PC和NC的长； 6) 平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示） 正解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 ②如图1，将侧面BC1旋转 使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线。 设PC＝ ，则P1C＝ ， 在 ③连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH 于H，又CC1 平面ABC，连结CH，由三垂线定理得， 。 误解：①不会找 的线段在哪里。 ②不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解。 ③不会找二面角的平面角。 解析几何 一、选择题： 1. （如中）若双曲线 的离心率为 ，则两条渐近线的方程为 A B C D 解 答：C 易错原因：审题不认真，混淆双曲线方程中的a和题目中方程的a的意义。 2. （如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 A B C D 解 答：D 易错原因：短轴长误认为是 3．（如中）过定点（1，2）作两直线与圆 相切，则k的取值范围是 A k>2 B -32 D 以上皆不对 解 答：D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑 4．（如中）设双曲线 的半焦距为C，直线L过 两点，已知原点到直线L的距离为 ，则双曲线的离心率为 A 2 B 2或 C D 解 答：D 易错原因：忽略条件 对离心率范围的限制。 5．（如中）已知二面角 的平面角为 ，PA ，PB ，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱 的距离为别为 ，当 变化时，点 的轨迹是下列图形中的 A B C D 解 答： D 易错原因：只注意寻找 的关系式，而未考虑实际问题中 的范围。 6．（如中）若曲线 与直线 +3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A B C D 解 答：C 易错原因：将曲线 转化为 时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线 平行的直线与双曲线的位置关系。 7．（石庄中学）P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR︱＋︱RQ︱最小，则m=（ ） A B 0 C –1 D - 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。 8．（石庄中学）能够使得圆x +y -2x+4y+1=0上恰好有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的一个值为（ ） A 2 B C 3 D 3 正确答案： C 错因：学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。 9．（石庄中学）P (x ,y )是直线L：f(x,y)=0上的点，P (x ,y )是直线L外一点，则方程f(x,y)+f(x ,y )+f(x ,y )=0所表示的直线（ ） A 相交但不垂直 B 垂直 C 平行 D 重合 正确答案： C 错因：学生对该直线的解析式看不懂。 10．（石庄中学）已知圆 EMBED Equation.3 +y =4 和 直线y=mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点， 则︱OP︱·︱OQ︱=( ) A 1+m B C 5 D 10 正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的平方来解题。 11．（石庄中学）在圆x +y =5x内过点（ ， ）有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首项a ,最长弦长为a ，若公差d EMBED Equation.3 ，那么n的取值集合为（ ） A B C D 正确答案：A 错因：学生对圆内过点的弦何时最长、最短不清楚，不能借助d的范围来求n. 12．（石庄中学）平面上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,则动点P的轨迹方程为（ ） A y =2x B y =2x 和 C y =4x D y =4x 和 正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。 13．（石庄中学）设双曲线 － ＝1与 － ＝1（a＞0,b＞0）的离心率分别为e 、e ，则当a、 b变化时，e +e 最小值是（ ） A 4 B 4 C D 2 正确答案：A 错因：学生不能把e +e 用a、 b的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。 14．（石庄中学）双曲线 － ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ） A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在 正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。 15．（石庄中学）已知 是三角形的一个内角，且sin +cos = 则方程x sin －y cos =1表示（ ） A 焦点在x轴上的双曲线 B 焦点在y轴上的双曲线 C 焦点在x轴上的椭圆 D 焦点在y轴上的椭圆 正确答案：D 错因：学生不能由sin +cos = 判断角 为钝角。 16．（石庄中学）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线交抛物线于M﹑N两点,则M﹑N﹑F三点 A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律 正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 17．(磨中)曲线xy=1的参数方程是( ) A x=t B x=Sinα C x=cosα D x=tanα y=t y=cscα y=Seeα y=cotα 正确答案：选D 错误原因：忽视了所选参数的范围，因而导致错误选项。 18．(磨中)已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是( ) A、 B、4 C、5 D、2 正确答案：B 错误原因：忽视了条件中x的取值范围而导致出错。 19．（城西中学）双曲线 eq \f(x2,n) －y2=1(n>1)的焦点为F1、F2，，P在双曲线上 ，且满足：｜PF1|+|PF2|=2eq \r(n+2) ，则ΔPF1F2的面积是 A、1 B、2 C、4 D、 eq \f(1,2) 正确答案： A 错因：不注意定义的应用。 20．（城西中学）过点(0,1)作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直线有（　） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案：C 错解：设直线的方程为 ，联立 ，得 ， 即： ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A. 剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。 21．（城西中学）已知动点P（x,y）满足 ，则P点的轨迹是 （ ） A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 正确答案：A 错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。 22．（城西中学）在直角坐标系中，方程 所表示的曲线为（　） A．一条直线和一个圆 　B．一条线段和一个圆 C．一条直线和半个圆 　　D．一条线段和半个圆 正确答案：D 错因：忽视定义取值。 23．（城西中学）设坐标原点为O，抛物线 与过焦点的直线交于A、B两点，则 =（ ） A． B． C．3 D．-3 正确答案：B。 错因：向量数量积应用，运算易错。 24．（城西中学）直线 与椭圆 相交于A、B两点，椭圆上的点P使 的面积等于１２，这样的点P共有（　　）个 A．１ B．２ C．３ D．４ 正确答案：D 错因：不会估算。 25．（一中）过点（1，2）总可作两条直线与圆 相切，则实数k的取值范围是（ ） A B C 或 D 都不对 正确答案：D 26．（一中）已知实数 ， 满足 ，那么 的最小值为 A． B． C． D． 正确答案：A 27．（一中）若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 正确答案：D 28．（一中）设ｆ(x)= x2+ax+b，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a，b)在aOb平面上的 区域的面积是 A． B．1 C．2 D． 正确答案：B 29．（一中）当 、 满足约束条件 （ 为常数）时，能使 的最大值为12的 的值为 A．－9 B．9 C．－12 D．12 正确答案：A 30．（一中）已知关于 的方程 有两个绝对值都不大于1的实数根，则点 在坐标平面内所对应的区域的图形大致是 正确答案：A 31．（一中）能够使得圆 上恰有两个点到直线 距离等于1的 的一个值为（ ） A．2 Ｂ． C．3 D． 正确答案：C 32．（蒲中）抛物线y=4x2的准线方程为（ ） A、x=－1 B、y=－1 C、x= D、y= 答案：D 点评：误选B，错因把方程当成标准方程。 33．（蒲中）对于抛物线C：y2=4x，称满足y02<4x0的点M(x0，y0)在抛物线内部，若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y=2(x+x0)与曲线C（ ） A、恰有一个公共点 B、恰有两个公共点 C、可能有一个公共点也可能有2个公共点 D、无公共点 答案：D 点评：条件运用不当，易误选C。 34．（江安中学）直线 过点，那么直线 倾斜角 的取值范围是（ ）。 A. [0, ) B. [0, ] ( , ) C. [ , ] D. [0, ] ( , ) 正解：B EMBED Equation.3 点A与射线 ≥0)上的点连线的倾斜角，选B。 误解：选D，对正切函数定义域掌握不清，故 时，正切函数视为有意义。 35．（江安中学）设F1和F2为双曲线 的两个焦点，点在双曲线上且满足 ，则 的面积是（ ）。 A. 1 B. C. 2 D. 正解：A ① 又 EMBED Equation.3 ② 联立①②解得 EMBED Equation.3 误解：未将 两边平方，再与②联立，直接求出 。 36．（江安中学）已知直线 和 夹角的平分线为 ，若 的方程是 ，则 的方程是（ ）。 A. B. C. D. 正解：A 法一： ： ，而 与 关于直线 对称，则 所表示的函数是 所表示的函数的反函数。 由 的方程得 选A 法二：找对称点（略） 误解：一般用找对称点法做，用这种方法有时同学不掌握或计算有误。 37．（江安中学）直线 ，当 变化时，直线被椭圆 截得的最大弦长是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 不能确定 正解：C 直线 ，恒过P(0,1)，又是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q 。 ，故选C 误解：不能准确判断 的特征：过P(0,1)。若用标准方程求解，计算容易出错。 38．（江安中学）已知直线 和直线 ，则直线 与 （ ）。 I. 通过平移可以重合 J. 不可能垂直 K. 可能与 轴围成等腰直角三角形 L. 通过 上某一点旋转可以重合 正解：D。 只要 ，那么两直线就相交，若相交则可得到（D）。 误解：A，忽视了 的有界性，误认为 误解：B、C，忽视了 的有界性。 39．（江安中学）已知 ，且 ，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 正解：C。 由 = 1 \* GB3 ①，又 = 2 \* GB3 ② 由① = 2 \* GB3 ② EMBED Equation.3 得 同理由 得 综上： 误解：D，不等式两边同乘－1时，不等号未变号。 40．（江安中学）一条光线从点M（5，3）射出，与 轴的正方向成 角，遇 轴后反射，若 ，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 正解：D。 直线MN； ， 与 轴交点 ，反射光线方程为 ，选D。 误解：反射光线 的斜率计算错误，得 或 。 41．（江安中学）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 ，若双曲线上有一点M（ ），使 ，那双曲线的交点（ ）。 A. 在 轴上 B. 在 轴上 C. 当 时在 轴上 D. 当 时在 轴上 正解：B。 由 得 ，可设 ，此时 的斜率大于渐近线的斜率，由图像的性质，可知焦点在 轴上。所以选B。 误解：设双曲线方程为 ，化简得： ， 代入 ， ， ， 焦点在 轴上。这个方法没错，但 确定有误，应 ， 焦点在 轴上。 误解：选B，没有分组。 42．（江安中学）过抛物线 的焦点作一条直线交抛物线于 ，则 为（ ） A. 4 B. －4 C. D. 正解：D。 特例法：当直线垂直于 轴时， 注意：先分别求出 用推理的方法，既繁且容易出错。 43．（江安中学）过点A（ ，0）作椭圆 的弦，弦中点的轨迹仍是椭圆，记为 ,若 和 的离心率分别为 和 ，则 和 的关系是（ ）。 A. ＝ B. ＝2 C. 2 ＝ D. 不能确定 正解：A。设弦AB中点P（ ，则B（ 由 + =1， + =1* = 误解：容易产生错解往往在*式中前一式分子不从括号里提取4，而导致错误。 44．（江安中学）直线 的倾斜角是（ ）。 A. B. C. D. 正解：D。由题意得：κ= 在[0，π]内正切值为κ的角唯一 倾斜角为 误解:倾斜角与题中显示的角 混为一谈。 45．（丁中）过点（1，3）作直线 ，若 经过点 和 ，且 ，则可作出的 的条数为（　 ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 多于3 错解: D． 错因：忽视条件 ,认为过一点可以作无数条直线. 正解: B． 46．（丁中）已知直线 与 平行，则实数a的取值是 A．－1或2 B．0或1 C．－1 D．2 错解：A 错因：只考虑斜率相等，忽视 正解：C 47．（丁中）若圆 上有且仅有两个点到直线 的距离为1，则半径r的取值范围是（ 　）． A．（4，6）　　 B．[4， 　　 C．（4， 　　　D．[4，6] 错解: B或 C 错因：:数形结合时考虑不全面,忽视极限情况,当r =4时,只有一点,当 r =6时,有三点. 正解: A 48．（丁中）半径不等的两定圆 无公共点，动圆 与 都内切，则圆心O是轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 双曲线的一支或椭圆 D. 抛物线或椭圆 错解: A或 B 错因：两定圆 无公共点，它们的位置关系应是外离或内含,只考虑一种二错选. 正解: C. 49．（薛中）与圆 相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ ） A、2条 B、3条 C、4条 D、6条 答案：C 错解：A 错因：忽略过原点的圆C的两条切线 50．（薛中）若双曲线 的右支上一点P（a,b）直线y=x的距离为 ，则a+b 的值是（ ） A、 B、 C、 D、 答案：B 错解：C 错因：没有挖掘出隐含条件 51．（薛中）双曲线 中，被点P（2，1）平分的弦所在的直线方程为（ ） 　　 A、 B、 C、 D、不存在 答案：D 错解：A 错因：没有检验出 与双曲线无交点。 52．（案中）已知圆 (x-3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则 的值为 （ ） A、1+m2 B、 C、5 D、10 正确答案：（C） 错误原因：遗忘了初中平几中的相关知识 53．（案中）能够使得圆x2+y2-2x+4y=0上恰有两个点到直线2x+y+C=0的距离等于1的C的一个值为（ ） A、2 B、 C、3 D、3 正确答案：C 错误原因：不会结合图形得出已知条件的可行性条件。 54．（案中）设f(x)=x2+ax+b, 且 则点(a,b)在aob平面上的区域的面积是 ( ) A、 B、1 C、2 D、 正确答案：（B） 错误原因：未能得出准确平面区域 55．（案中）设P为双曲线 右支异于顶点的任一点，F1，F2为两个焦点，则△PF1F2的内心M的轨迹方程是 （ ） A、x=4, (y≠) B、x=3 ,(y≠) C、x=5 ,(y≠) D、x= , (y≠) 正确答案：(A) 错误原因：未能恰当地运用双曲线的定义解题。 56．（案中）过函数y=- 的图象的对称中心，且和抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线的条数共有（ ） A、1条 B、2条 C、3条 D、不存在 正确答案：（B） 错误原因 ：解本题时极易忽视中心（2，4）在抛物线上，切线只有1条，又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。 二填空题： 1．（如中）若直线 与抛物线 的两个交点都在第二象，则k的取值范围是______________. 解 答： (-3, 0) 易错原因：找不到确当的解答方法。本题最好用数形结合法。 2．（搬中）双曲线上的点P到点(5,0)的距离为8.5，则点P到点()的距离_______。 错解 设双曲线的两个焦点分别为,, 由双曲线定义知 所以或 剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1, 所以不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P只能在右支上，所求 3．(磨中)直线xCosx+y—1=0的倾斜角θ的取值范围为__________。 正确答案：θ∈[0， ]∪[ ，π] 错误原因：由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误；或忽视直线倾角的定义范围而得出其它错误答案。 4．(磨中)已知直线l1：x+y—2=0 l2：7x—y+4=0 则l1与l2夹角的平分线方程为______。 正确答案：6x+2y—3=0 错语原因：忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。 5．(磨中)过点(3，—3)且与圆(x—1)2+y2=4相切的直线方程是：___________。 正确答案：5x+12y+21=0或x=3 错误原因：遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。 6．(磨中)已知双曲线的右准线为x=4，右焦点F(10，0)离心率e=2，则双曲线方程为______。 正确答案： 错误原因：误认为双曲线中心在原点，因此求出双曲线的标准方程而出现错误。 7．(磨中)过点(0，2)与抛物线y2=8x只有一个共点的直线有______条。 正确答案：3 错误原因：认为与抛物线只有一个共点的直线只能与抛物线相切而出错。 8．(磨中)双曲线 的离心率为e，且e∈(1，2)则k的范围是________。 正确答案：k∈(—12，0) 错误原因：混淆了双曲线和椭圆的标准方程。 9．(磨中)已知P是以F1、F2为焦点的双曲线 上一点，PF1⊥PF2且tan∠PF1F2= ，则此双曲线的离心率为_______________。 正确答案： 错误原因：忽视双曲线定义的应用。 10．(磨中)过点M(—1，0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1，P2两点，记线段P1P2的中点为P，过P和这个抛物线的焦点F的直线为l2，l1的斜率为K，试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数，其解析式为________，此函数定义域为________。 正确答案：f(k)= (—1，0)∪(0，1) 错误原因：忽视了直线l1与抛物线相交于两点的条件，得出错误的定义域。 11．（城西中学）已知F1、F2是椭圆　　 　的焦点，P是椭圆上一点， 且∠F1PF2=90°， 则椭圆的离心率e的取值范围是 。 答案： 错因：范围问题主要是找不等关系式，如何寻求本题中的不等关系，