《数学分析》教学目标细目

前 言 《数学分析》是师院数学专业的主修必修课程，它既是学生学习现代数学的重要基础课程，也是培养学生数学能力的主要数学课程，这门课程横跨第一、第二、第三个学期，占用312课时，位列各门课程之首，这门课程的教学质量，对于学生整体专业水平，占有举足轻重的地位。 为了搞好本课程的建设，深入开展教学改革，为考核和评估提供依据，不断提高教学质量，我们编写了这份材料，其中包括“《数学分析》对学生专业能力的培养目标”，“《数学分析》教学目标分类表”以及“《数学分析》教学目标细目”。 这份材料客观而充分地反映了本科院校数学专业《数学分析教学大纲》对学生知识和能力两方面的要求，详细列出本课程的知识点及能力培养要求，这对于教师组织教学工作，编制试题，分析教学质量，都是一个重要的依据。 参加这份材料编写工作的有陈克军、钱明忠、张爱武、何新龙、韩诚、姜海波、李高林、李万斌等老师，采取分类编制，集体讨论定稿，并得到了数学科学学院领导的大力支持和其他课程组老师的协助。 《数学分析》对学生专业能力的培养目标 师院教学专业学生的专业能力，主要是应用数学知识分析和解决问题的能力，具体地说，就是逻辑思维能力，运算能力以及空间想象能力，为了实现学生从高中生到中学数学教师的转变，从专业上讲，不仅应向学生传授一定量的数学知识，而目更应加强学生专业能力的培养。 《数学分析》是师院数学专业的主干课程，横跨三个学期，占用三百多课时，居各门课程之首。该课程以它的系统性、简洁性、实践性而著称，它既是现代数学的重要基础，又和应用科学联系密切，包含了极其丰富，极其重要的数学知识，数学方法和数学思想。因此，在该课程中明确对学生专业能力的培养目标，用以指导教学实践，无疑是十分必要的。 下面先就三个专业能力作一些说明，然后再结合大纲，教材，列出三个专业能力的能力点。 一、逻辑思维能力 整个数学体系，是严格地按照形式逻辑的规则建立起来的，高等数学是如此，初等数学也是如此，作为一个合格的中学数学教师，逻辑思维能力是最重要的专业能力，而这也是师院学生最弱的专业能力。 教学中应加强逻辑思维能力的训练，逐步向学生渗透形式逻辑的基本知识，迅速使学生养成合乎逻辑的思维习惯，切实让学生掌握数学中常用的逻辑推理方法，教导学生自觉地按照逻辑思维规律去汲取知识，发现知识。教学中要向学生讲清概念的来龙去脉，分析命题的条件，结论及其逻辑联系，给出严格的证明，并通过适当的证明题作业，使学生掌握数学归纳法等直接证明方法，以及反证法，同一法，归谬法等间接证明方法，让学生经常运用演绎、归纳、分析、综合、类比、假说等一系列逻辑思维方法，同时，也应逐步向学生介绍函数论中十分精彩的举反例方法，变量代换方法，辅助函数方法，提高学生分析和解决证明题的能力。 二、运算能力 运算能力对于一个合格的中学数学教师是十分重要的，它包括运算速度和准确性两个方法，教学中许多老师均感到不少学生运算能力较差，考试中在运算方面失分较多，必须加强对学生进行运算能力的训练，教学中应适当增加运算的复杂性和运算量，逐步向学生介绍提高运算速度以及保证运算正确性的各种技巧，巩固学生在中学学到的各种运算方法，加强学生的恒等变形能力。《数学分析》中包含了各种常用的运算方法及许多计算技巧。 三、空间想象能力 空间想象能力的培养也是不可忽视的。教学中应通过有关概念、命题的几何意义，几何应用，通过函数与图形的联系，通过空间实物，模型的演示，逐步增强学生的空间形体观念，不断提高学生的空间想象能力。 以下我们分别列出以上三种能力的能力点，以资教学中参考。 I 逻辑思维能力能力点 一、概念(定义) l、函数概念 2、极限概念 3、一致连续性概念 4、导数概念 5、定积分概念 6、级数的一致收敛性概念 二、判断(命题) 1、反函数存在性条件 2、数列极限的等价定义 3、数列的收敛性与有界性的关系 4、实数连续性的公理 5、数列收敛的柯西准则 6、海涅定理的逆命题 7、实数连续性的几个等价的关系 8、连续性与一致连续性的关系 9、连续性与可导性的关系 10、可导与可微的关系 11、三个微分中值定理之间的关系 12、单调性条件 13、连续性与可积性的关系 14、级数收敛必要条件的运用 15、级数的收敛与绝对收敛的关系 16、函数项级数的收敛性与一致收敛性的关系 17、多元函数可偏导与可微的关系 18、曲线积分与路径无关的条件 三、推理与证明 1、反函数存在性定理 2、极限理论 3、函数的连续性 4、微分中值定理 5、实数连续性基本理论 6、闭区间上连续函数的基本性质 7、函数的可积性理论 8、微积分学基本定理 9、函数项级数一致收敛理论 10、函数项级数和函数的分析性质 11、隐函数存在性定理 12、闭回路曲线积分理论 13、含参变量广义积分的一致收敛理论 14、一元理论向多元理论的类比推理 Ⅱ 运算能力能力点 1、 函数值的计算 2、函数定义域的计算 3、求数列或函数的极限 4、求函数的导数或偏导数 5、求函数的极值或条件极值 6、求函数的不定积分，定积分，重积分或曲线、曲面积分 7、求函数级数的收敛域，和函数求函数的泰勒级数，傅里叶级数 8、求曲线的切线，法线及弧长 9、求曲面的切平面，法线及面积 10、求立体的体积及侧面积 11、求物体运动的速度，加速度及质量 12、求变力作功 13、求液体压力 14、求物体的重心 Ⅲ 空间想象能力能力点 1、函数与图形的结合 2、导数与切线斜率 3、函数单调性，凹凸性的研究 4、定积分与曲边梯形的面积 5、偏导数与空间曲面的切平面 6、重积分与空间立体的体积 7、相贯体上三重积分的计算 8、柱面、球面坐标的直观演示 最后，我们申明两点： 1、《数学分析》中充满了辩证法，教学中应注意渗透辩证法的变化，发展以及联系的观点，让学生学会辨证思维方法． 2、学生专业能力的培养，是一项长期而又艰巨的工作，光靠一门课程，一个教师的工作是不够的，需要全体任课教师通力协作，一丝不苟的努力． 《数学分析》教学目标分类表 类别 代号 分类目标说明 识记 A 这是本目标分类中的最低层次，应达到以下的要求： （1）对所授知识以原有形式存入大脑，并能准确地再现； （2）能应用所记知识进行直接的判断，填空和计算． 理解 B 在已达识记目标的基础上，应达到以下的要求 （1）理解所授知识的含义，与已接受知识建立联系，使之系统化； （2）了解知识的来龙去脉，弄懂知识形成的思维方法和逻辑推演过程． 《数学分析》知识极其丰富，学生对知识系统和逻辑结构的掌握，是至关重要的，这是教学工作的主要目标． 简单应用 C 在已理解目标的基础上，应达到以下的要求： （1）能应用掌握的知识，熟练地解答一般难度的计算题和应用题； （2）能应用掌握的知识，进行简单的、合乎逻辑的推理论证． 《数学分析》知识的掌握程度，总是以解题的形式来检查的，因此，在教学工作中，应保证学生有足够多的解题实践． 综合应用 D 这是本目标分类中的最高层次，应达到以下的要求： （1）能应用所授知识，解答综合性较强的习题； （2）能将所授知识应用于生产实际，解决实际问题； （3）能应用所授知识去获取新知识，建立新知识． 《数学分析》是一门比较成熟，应用性较强的学科，后继课程很多，教学工作中，注意深、广度上引导学生有余力的学生． 《数学分析》教学目标细目 章节名称 序号 知识点 知识点细目 目标等级 第一章 函数 §1.1 函数概念 1 函数概念 设 为实数集， 如 按照对应关系 ， 与 对应，则称对应关系 是定义在数集 上的函数， 称为函数的定义域， 称为 的值域，记成 ． C 2 函数的四则运算 设 ， ， ，则 ， 的和、差、积、商分别由以下各式定义： B 3 函数的三种表示方法 解析法；（2）法；（3）　图像法 A §1.2 几种特殊的函数 4 有界函数 设函数 在数集 上有定义，如果 有 （ⅰ） ，则称 在 上有界； （ⅱ） ，则称 在 上有上界； （ⅲ） ，则称 在 上有下界． C 5 三种有界性之间 的关系 函数 在数集 上有界当且仅当 在 上既有上界，又有下界． B 6 单调函数 设函数 在数集 上有定义，如果 有 （ⅰ） ，则称 在 上单调增加； （ⅱ） ，则称 在 上单调增加； （ⅲ） ，则称 在 上严格增加； （ⅳ） ，则称 在 上严格减少． C 7 奇、偶函数 设 为一个数集， ，有 ， 在数集 上有定义，如果 ， （ⅰ） ，则称 在数集 上是奇函数； （ⅱ） ,　则称 在数集 上是偶函数． B 8 周期函数 设 为一个数集， 为一非零常数， 若 EMBED Equation.DSMT4 设 在数集 上有定义，且 有 ，则称 在 上是周期函数， 称为 的一个周期． B §1.3 复合函数与反函数 9 复合函数的概念 设 的定义域为 ， 的定义域为 ，且 ，则对 满足 ，从而在 上定义了一个函数，称之为函数 与 的复合函数． C 10 反函数的概念 设由函数 ，如果 满足 则在 上定义了一个函数，称之为函数 的反函数，记成 EMBED Equation.DSMT4 ． C 11 反函数的存在条件 若函数 在 上严格增加（减少），则 存在反函数，且 在 上也严格增加（减少）． B 12 初等函数的概念 由常值函数与基本初等函数（幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数），经过有限次四则运算以及有限次复合运算所得的函数统称为初等函数． A 第二章 极限 §2.1数列界限概念 13 定义 若 则称数列 收敛于 ，记成 ． D 14 用定义证明数列极限式 （1） 直接由 解出 ； （2） 利用不等式放大，又由 找出 ． B §2.2 收敛数列的基本性质 15 收敛数列极限的唯一性 若数列 收敛，则它的极限唯一． C 16 收敛数列的有界性 若数列 收敛，则 有界． C 17 收敛数列的保号性 （1）若 （2）若 恒 ． C 18 收敛数列子列的收敛性 设数列 收敛于 ，则 的任一子列 也收敛于 ． B 19 收敛数列的四则运算法则 设数列 EMBED Equation.DSMT4 收敛于 ， ，则 (ⅰ) 收敛于 ； （ⅱ） 收敛于 ； （ⅲ） 时， 收敛于 ． C §2.3 数列收敛的判别法 20 两边夹法则 设三个数列 满足 (ⅰ) ; （ⅱ） ． C 21 单调有界法则 单调有界数列必收敛（取作公理）． C 22 重要极限Ⅰ C 23 柯西准则 数列 收敛 （证明待后）． C §2.4 函数极限的概念 24 定义 （1）设函数 在 上有定义， ： ； （2）设函数 在 上有定义， ： EMBED Equation.DSMT4 ； C （3）设函数 在 时有定义， ： EMBED Equation.DSMT4 ． 25 定义 （1） 设 在 的一个去心邻域内有定义 ： EMBED Equation.DSMT4 ； （2） 设 在 的一个去心邻域内有定义 ，左极限 ： EMBED Equation.DSMT4 ； （3） 设 在 的一个去心邻域内有定义 ，右极限 ： EMBED Equation.DSMT4 ． C 26 极限与单侧极限的关系 B 27 用定义证明函数的极限式 （1） 由 直接求出 ； （2） 利用不等式放大，再由 求出 ． B §2.4 函数极限的基本性质（以 的情形为例）　　　　　　　　　　　　　　　　　　 28 函数极限的唯一性 若函数 在点 存在极限，则极限唯一确定。 C 29 局部有界性 若函数 在点 存在极限，则函数 在点 的某个去心邻域内有界。 C 30 局部保号性 设 (1)如果 ，则 的某个去心邻域内恒有 ； (2)如果在 的某个去心邻域内恒有 ，则 ． C 31 四则运算法则 设 则（ⅰ） ； （ⅱ） ； （ⅲ） 时， ． C §2.4 函数极限存在的判别方法（以 的情形为例） 32 两边夹法则 设 满足 （ⅰ）在 的某个去心邻域内恒有 ； （ⅱ） ，则 ． C 33 重要极限Ⅱ C 34 函数极限与数列极限的关系（Heine） 的充分必要条件是对 定义域中任意数列 ，当 时，有 ． C 35 柯西收敛准则 在 点存在极限的充分必要条件是对任意 存在 ，对 定义域中任意 当 时，总有 ． C §2.7 无穷小与无穷大（以 的情形为例） 36 无穷小的概念 如果 时， ，则称 是 时的无穷小． B 37 无穷小的简单性质 （1） 时的无穷小的和、差、积都 时的无穷小； （2）若 是 时的无穷小，而 在 的某个去心邻域内有界，则 是 时的无穷小． B 38 极限与无穷小的关系 在 点的极限为 的充分必要条件是存在 的无穷小 ，使 ． B 39 设 为 时的无穷小 （ⅰ）若 则称 时， 是比 高阶的无穷小，记成 ． (ⅱ) 若 则称 时， 与 为同阶的无穷小，特别地，当 时，称 时， 与 为等阶无穷小，记成 ∽ ． B 40 无穷小的阶 若 时， 与 为同阶无穷小，则称 是关于 的 阶无穷小． A 41 等价无穷小代换法 若 时， ∽ ，并且 ，则 ． B 42 无穷大的概念 设 在 点的某个去心邻域内有定义， （ⅰ） ： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； （ⅱ） ： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； （ⅲ） ： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． A 43 无穷大与无穷小关系 设 在 点的某个邻域内不为0， 为 时的无穷大 为 时的无穷小． B 第3章 函数的连续性 §3.1 函数连续性的概念 44 函数在一点的连续性概念 设 在 点的某个邻域内有定义，如果 ，则称 在 点连续． C 45 单侧连续性概念 （ⅰ）设 在 点的某个左邻域 有定义，且 ，则称 在 点左连续； （ⅱ）设 在 点的某个右邻域 有定义，且 ，则称 在 点右连续． C 46 函数在区间的连续性概念 （ⅰ）若 在 内每一点连续，则称 在开区间 内连续； （ⅱ）若 在 内连续，且在在 点右连续，在 点左连续，则称 在 上连续； （ⅲ）类似地可定义函数在半开区间或无穷区间的连续性． A 47 连续函数的局部性质 （ⅰ）局部有界性．若 在 点连续，则 在 点的某个邻域内有界； （ⅱ）局部保号性．若 在 点连续，则当 时， 在点 的某个邻域内与 保持一符号． B 48 间断点及其类型 （ⅰ）设 在 点的某个去心邻域内有定义，若 在 点不连续，则称 是 的一个间断点（或不连续点）． （ⅱ）设 是 的一个间断点，且 ， 均存在，则称 是 的一个第一类间断点．特别地，当 时，称 是 的一个可去间断点． （ⅲ）设 是 的一个间断点，且 ， 至少一个不存在，则称 是 的一个第二类间断点． C §3.2 闭区间上连续函数的性质 49 有界性 若 在闭区间 上连续，则 在 上有界（证明留待第六章）． A 50 取最大值、最小值性 若 在闭区间 上连续，则 在 上能取得到最大值和最小值，即存在 ，使对任意 ，总有 ，证明留待第六章． A 51 介値性 若 在闭区间 上连续，则对任意 之间任意一个值 ，存在 ，使 ，其中 ， （证明留待第六章）． A 52 根的存在性 若 在区间 上连续，且 ，则存在 ，使得 ． C §3.3 初等函数的连续性 53 连续函数的四则运算 若 在 点连续，则 EMBED Equation.DSMT4 也在 点连续． C 54 反函数的连续性 若 在区间 上连续且严格增加（或严格减少），则其反函数 在 或 上严格增加（或严格减少）且连续． C 55 复合函数的连续性 若 在区间 上连续， 在 连续，则 在 点连续． C 56 初等函数的连续性 初等函数在其定义域上处处连续． C 第四章 导数与微分 §4.1 导数概念 57 导数定义 设函数 在 的某邻域内有定义，设 在 的改变量是 ，相应地，函数的该变量是 ，如果极限 存在，则称函数 在点 可导，并称极限值为 在 的导数（或微商），记成 ，（或 ），如果以上极限不存在，则称 在 不可导． D 58 单侧导数概念 如果极限 存在，则称函数 在 左方可导，并称极限值为 在 的左导数，记成 ．类似地，可以定义函数 在 右方可导及右导数： B 59 可导与连续的关系 若函数 在 可导，则函数 在 连续，其逆不真． C 60 函数在区间可导、导函数 如果函数 在开区间 内每一点可导，则称 在开区间 可导；如果 在开区间 可导，且在 点右方可导在 点左方可导，则称函数 在闭区间 可导．类似地，可定义函数在一般区间I可导的含义，对于 称为 在I上的导函数，也记成 ． B 61 导数的几何意义 如果曲线的方程是 ，且函数 在 可导，则曲线在 的切线斜率为 ． B 62 由定义求导函数 基本步骤： （Ⅰ） ； （Ⅱ） ； （Ⅲ） ； （Ⅳ） ． C §4.2 求导法则 63 导数的四则运算 设 在 可导，则 （ⅰ） ； （ⅱ） ； （ⅲ） ． C 64 反函数求导法则 若函数 在点 的某邻域内连续且严格单调，在点 可导，且 ，则其反函数 在 可导，并且 ． B 65 复合函数求导法则 若函数 在 可导，函数 在 可导，则复合函数 在 可导，并且 或 ． C 66 导数公式 1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5 ； ； ； （5 ； ； ； 6、 ； ； ；　　 ． C 67 参数方程求导法则 若函数 由参数方程 可导，且 则 ． C 68 隐函数求导法则 设 为非空数集，对任意 ，通过方程 给出，对唯一的 ，这种对应关系 称由方程 所确定的隐函数，以 代入方程，成为 ．应用复合函数求导法则，可以求出隐函数 的导数．（一般结果见第十六章） B §4.3 微分 69 微分的定义 设函数 在 的改变量 与自变量 的改变量 有下列关系 其中 是与 无关的常数，则称 在 可微， 称为 在 的微分，记成 或 ． C 70 可微与可导的关系 函数 在 可微的充分必要条件是函数 在 可导，而且 C 71 微分法则 如果 可微，则 （ⅰ） ； （ⅱ） ； （ⅲ） ． B 72 一阶微分形式的不变性 设 可微，则 ． B 73 微分用于近似计算 若函数 在 可微，则有以下近似公式 ． B §4.4 高阶导数与高阶微分 74 高阶导数的定义 函数 的导数 在 的导数如果存在，称为函数 在 的二阶导数，记成 。一般地， 的 阶导数 的导数，称为 在 的 阶导数，记成 ，（ ）或 ． C 75 莱布尼兹公式 若 都是 的函数，且存在 阶导数，则有 ． A 76 高阶微分的定义 函数 的微分 的微分，称为 的二阶微分，记成 。一般地函数 的 阶微分的微分，称为 的 阶微分，记成 。我们有 EMBED Equation.DSMT4 ． C 第五章 微分中值定理、导数在研究函数方面的应用 §5.1 微分中值定理 77 局部极值的定义 如果存在 对任意 ，当 时， EMBED Equation.DSMT4 ，则称 在 取局部极大值（相应地，局部极小值）．局部极大值，局部极小值，统称局部极值． C 78 费马定理 若函数 在 可导，且在 取局部极小值，则 ． C 79 罗尔中值定理 若函数 满足以下条件 （1）在闭区间 上连续； （2）在开区间 内可导； （3） ， 则存在 ． C 80 拉格朗日中值定理 若 满足以下条件： （1）在闭区间 上连续； （2）在开区间 内可导， 则存在 EMBED Equation.DSMT4 ，或者存在 ． D 81 常函数的特征 函数 在区间 上恒为常数的冲要条件是： ． B 82 柯西中值定理 若函数 满足以下条件： （1）在闭区间 上连续； （2）在开区间 内可导， （3）对任何 则存在 ． C §5.2 罗比塔法则 83 法则1 如果函数 满足如下条件( (1)在点 的某去心邻域内可导，g((x)(0( (2) ； (3) ，那么 EMBED Equation.3 ． C 84 法则2 如果函数 满足如下条件( (1)存在 时可导，且 g((x)(0(； (2) ； (3) ；那么 EMBED Equation.3 ． C 85 法则3 如果函数 满足如下条件( (1)在点 的某去心邻域内可导，g((x)(0(； (2) ； (3) ，那么 EMBED Equation.3 ． C 86 法则4 如果函数 满足如下条件( (1)存在 时可导，且 g((x)(0( (2) ； (3) ，那么 EMBED Equation.3 ． C 87 其他不定型 (1) 型，可以化成 ； (2) 型，可以化成 ； (3) 型，可以先取对数，化成 型，再化成 ． B §5.3 泰勒公式 88 泰勒公式 若函数 在 存在 阶导数则有： ，其中， 称为函数 在 的 阶泰勒多项式。 C 89 麦克劳林公式 若函数 在原点存在 阶导数，则有 ． C 90 泰勒公式余项 余项：（函数 在 的 阶泰勒公式的余项） （1） 皮亚诺型余项 ； （2） 拉格朗日型余项 若函数 在闭区间 存在 阶导数，则 ． B 91 几个常用的泰勒公式 （1） (0<)( (2) （3） （4） （x） (5) C §5.4 导数在研究函数方面的应用 92 严格单调充分条件 若对任何 则函数 在 内严格增加（相应地严格减少）． C 93 单调性充要条件 若函数 在 内可导，则 在 内单调增加（或单调减少）的充要条件是对任何 ，总有 ． C 94 不等式定理 如果函数 满足如下条件( （1） 在闭区间 上可导； （2） 在开区间 内， ； （3） ，则对任何 ． B 95 极值第一判别法 若函数 可导，且 ． EMBED Equation.DSMT4 ，则 在C取局部极大值（局部极小值）． C 96 极值第二判别法 若函数 在C存在n阶导数， EMBED Equation.DSMT4 ， (1)当n为奇数时， 在C不取局部极值； (2)当n为偶数时，如果 则 在C取得极小值；如果 则 在C取得极大值．特别的，n=2时情形常用． C 97 凹凸性定义 如果函数 在 上连续，且对任何 或 ，则称函数 在 上严格上凹（或严格上凸），简称函数 在 上上凹（或凸）． C 98 凹凸性判别法 设函数 在 内存在二阶导数，如果对任何 ，总有 ，则称 在 内凹（或凸）． C 99 拐点的定义 如果曲线 在点 的一侧凹，另一侧凸，则称M是曲线的一个拐点． C 100 拐点的必要条件 设函数 存在二阶导数，且 是曲线 的拐点，则 ．反之不真． C 101 渐进线的定义 当曲线在C上动点P沿曲线C无限远离原点时，如果P点到直线l的距离趋于0，则称直线l是曲线C的一条渐近线． C 102 渐近线种类及求法 （1） 垂直渐近线 若 ，则直线 是曲线 的垂直渐近线． （2） 斜渐近线 若 则直线 是曲线 的斜渐近线。特别的， 时，l是曲线 的一条水平渐近线． C 103 描绘函数图像 （1） 求函数的定义域； （2） 判断函数是否有奇偶性，周期性； （3） 求出函数的间断点、渐近线； （4） 计算函数的一、二阶导数，确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间，拐点；（一般列成一表） （5） 计算曲线上某些特殊点的坐标； （6） 标点、画渐近线、描图像． C 第六章 实数连续性的基本定理，闭区间上连续函数的性质（★） §6.1 实数连续性基本定理 104 闭区间套定理 设有闭区间列 满足： （1） ； （2） ，则存在唯一数l满足： C 105 确界的定义 设 ； （ⅰ）若 满足以下条件； （1） 对任何 ； （2） 对任意 ，则称 为E的上确界，记成 ； （ⅰ）若 满足以下条件； （3） 对任何 ； 对任意 ，则称 为E的下确界，记成 ． C 106 确界定理 若非空数集E有上界（下界），则E必有唯一的上确界（下确界）． C 107 有限覆盖定理 （Heine-Borel） 若开区间集S覆盖了闭区间 ，即 ，则S中存在有限个开区间也覆盖了闭区间 ． C 108 柯西收敛准则的证明 (Bolzano方法) Bolzano方法的要点是设法构造具有性质 的闭区间列，并用闭区间套定理找出满足条件的数． B §6.2 实数连续性基本定理 109 有界性定理的证明 使用有限覆盖定理证明：先设法作出满足局部性质的开覆盖，再有有限覆盖定理得到整体性质． B 110 取最大，最小值性定理的证明 利用有界性定理，使用确界定理及反证明法得到证明． B 111 介値性定理的证明 用反证法证明：根据Bolzano方法，构造闭区间套，找出一个定点c,在 的时候必产生矛盾． B 112 一致连续性的概念 设函数 在区间I上有定义，如果 EMBED Equation.DSMT4 ， 则称函数 在区间I上一致连续． C 113 一致连续性（Cantor）定理 如果函数 在闭区间 上连续，则称函数 在闭区间 上一致连续．（证明方法：使用有限覆盖定理，从 找出通用的 ） C 第七章 不定积分 §7.1 概念、公式与法则 114 原函数概念 设函数 在区间I上有定义，如果存在函数 ，使对任何 ，则称 是函数 （在区间I）上的一个原函数． C 115 原函数一般形式 若 是函数 （在区间I）上的一个原函数，则 的任意原函数可表成 ． B 116 不定积分定义 函数 的所有原函数 ，称函数 的不定积分．表为 ．其中， 称为被积函数， 称为积分表达式， 称为积分常数． D 117 运算法则 （1） （2） （3） (k是常数 k (0) （4） B 118 基本积分表 (1) (k是常数) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) C §7.2 两种积分法 119 分部积分法 设函数 可导，且不定积分 均存在，则有 ． C 120 第一换元积分公式（凑微分公式） 设u((x)在 上可导，且 ，(f(u)在 上有定义并具有原函数 ( 则有换元公式 ． C 121 第二换元积分公式（代换法） 设x ((t)是在 上可导(且 ，f(x)在 上有定义并有原函数F(u)( 有原函数 ， 则有换元公式 ． C §7.3 有理函数积分法 122 有理函数积分法基本步骤 求有理函数 不定积分的基本步骤：（不妨设 为既约分式） 1、 将 分解成实系数的一次因式和二次不可约因式的积的形式； 2、 将 分解成一个多项式与若干个部分分式之和的形式；（待定系数法） 3、 求出各部分分式多项式的不定积分； 4、 合并所得结果，即得到 的不定积分． C 123 四类部分分式的积分 1、 2、 3、 其中， 4、 其中， ， 可转化为 我们有递推公式 ． B §7.3 简单无理及三角有理式的积分法 124 的积分 对于 的积分（其中 ）只需作代换t= 即可将原积分化成有理函数的不定积分． B 125 的积分 运用配方法，可将 化成以下三种积分之一： 我们分别作以下三角代换： 即可化为三角有理式的积分。 B 126 的积分 我们可做代换 ，即可将原积分化成有理函数的积分，但使用 ，一般较繁，在以下几种情形可用其他代换． （1） ； （2） ； （3） ； （4） 当n为奇数时，可用 ； 当n为偶数时，可用 ； 当m,n都是偶数时，可用倍角公式化简降幂． B 第八章 定积分 §8.1 基本概念与可积条件 127 定积分定义 设函数f(x)在[a( b]上有界( 在[a( b]中任意插入若干个分点 a (x0( x1( x2( ( ( (( xn(1( xn(b( 把区间[a( b]分成n个小区间 [x0( x1]( [x1( x2]( ( ( (( [xn(1( xn] ( 各小段区间的长依次为 x1(x1(x0( x2(x2(x1(( ( (( xn (xn (xn(1( 在每个小区间[xi(1( xi]上任取一个点 i (xi(1(  i ( xi)( 作函数值f ( i)与小区间长度xi的乘积 f ( i)xi (i(1( 2(( ( (( n) ( 并作出和 ( 记( ( max{x1( x2(( ( (( xn}( 如果不论对[a( b]怎样分法( 也不论在小区间[xi(1( xi]上点 i 怎样取法( 只要当((0时( 和S 总趋于确定的极限I( 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间[a( b]上的定积分( 记作 ( 即 ( 其中f (x)叫做被积函数( f (x)dx叫做被积表达式( x叫做积分变量( a 叫做积分下限( b 叫做积分上限( [a( b]叫做积分区间(． 如果当 时，和 不存在极限，则称函数f(x)在区间[a( b]上不可积． D 128 可积条件 如果函数f(x)在区间[a( b]上可积，则函数f(x)在区间[a( b]上有界，其逆不真． B 129 小和与大和（达布和） 设函数f(x)在区间[a( b]上有定义且有界，对[a( b]做分割T：a (x0( x1( x2( ( ( (( xn(1( xn(b，记 ，令 ，称 和 为函数f(x)相对于分法T的小和和大和。（统称为达布和） B 139 达布和的性质 （1） 对于分法任意T，有 （2） 对于分法任意T，有 ； （3） 设T是[a( b]的一个分法， 是T的基础上加入新分点构成的，则 ； （4） 对[a( b]的任两个分法T， ，有 ； （5） 我们总有 ． B 131 可积准则 函数f(x)在区间[a( b]上可积的充要条件是 ． B 132 可积函数类 1、 若函数f(x)在区间[a( b]上连续，则函数f(x)在区间[a( b]上可积； 2、 若函数f(x)在区间[a( b]上单调，则函数f(x)在区间[a( b]上可积； ３、若函数f(x)在区间[a( b]上有界，且仅有有限个间断点，则函数f(x)在区间[a( b]上可积． B §8.2 定积分的性质 133 线性性质 1、 2、 ( C 134 积分区间的可加性 、如果f(x)在区间[a( b]上可积，而 ，则 f(x)在 上可积． 如果f(x)在区间[a( c]， 上可积，则f(x) 在区间[a( b]上可积且 ． C 135 积分的保号性 5、如果f (x)在区间[a(b]上可积，且对 f (x)(0( 则 (a(b)． C 136 积分不等式 6、如果f (x),g(x)在区间[a(b]上可积f (x)( g(x) 则 (a(b)( 7、如果f (x)在区间[a(b]上可积,，则函数 在f (x)上可积，且 。 C 137 积分中值定理 8、如果函数f(x)在闭区间[a(b]上连续( 则在积分区间[a(b]上至少存在一个点( 使下式成立( (． 9、如果函数f(x)， g(x)在闭区间[a(b]上连续( g(x)在区间[a(b]上不变号，则在积分区间[a(b]上至少存在一个点( 使下式成立( ． C §8.3 定积分的计算 138 微积分学基本定理 如果函数f(x)在区间[a( b]上连续( 则函数((x) 在[a( b]上可导( 并且(((x) (a(x