把二次型化为标准形的方法

　 把二次型化为形的方法 胡明琼 (武汉冶金科技大学, 武汉 430081) 任何一个二次型 f = ∑ n i, j= 1 a ijx ix j 都可以通过非退化的线性变换变成标准 形 f = Κ1y 21+ Κ2y 22 + ⋯+ Κny 2n. 这个问题不仅在数学上, 而且在物理学、工程学、经济学等领域中都是一个重要的 问题. 变换的方法很多, 但工程数学教材中一般只用了正交变换法和拉格朗日配方法. 现以一 题为例, 介绍偏导数法, 雅可比法和初等变换法, 借以扩大眼界, 开阔思路. 例　将二次型 f (x 1, x 2, x 3) = 2x 21+ 3x 22+ 5x 23+ 4x 1x 2- 4x 1x 3- 8x 2x 3 化为标准形, 并写出所作的变换. 解法一　 (偏导数法) 　设二次型 f = ∑ n i, j= 1 a ij x ix j , 若 a11≠0, 求出 f 1 = 12 5f5x 1 , 则 f = 1a11 (f 1) 2+ Υ, 其中 Υ已不含 x 1. 再求出 Υ1= 12 5Υ5x 2 , 则 f = 1a11 (f 1) 2+ 1a22′(Υ1) 2+ Ω, 其中 Ω已不含 x 2, a22′是 Υ中 x 2 的系数. ⋯, 照此程序继续运算, 则可将二次型化为标准形. 因为　 f (x 1, x 2, x 3) = 2x 21+ 3x 22+ 5x 23+ 4x 1x 2- 4x 1x 3- 8x 2x 3 中 a11= 2≠0, 所以　 f 1= 12 5f5x 1 = 2x 1+ 2x 2- 2x 3= 2 (x 1+ x 2- x 3) , 即　 f = 1 a11 (f 1) 2+ Υ= 12 [ 2 (x 1+ x 2- x 3) ]2+ x 22+ 3x 23- 4x 2x 3 = 2 (x 1+ x 2- x 3) 2+ x 22+ 3x 23- 4x 2x 3. 又因为　 Υ= x 22+ 3x 23- 4x 2x 3 中 a22′= 1≠0, 所以　Υ1= 12 5Υ5x 2 = x 2- 2x 3, 则　Υ= 1a22′(Υ1) 2+ Ω= (x 2- 2x 3) 2- x 23, 其中 Ω= - x 23 已是平方项, 则不需再运算. 所以　 f = 2 (x 1+ x 2- x 3) 2+ (x 2- 2x 3) 2- x 23. 　　此时令　 y 1= x 1+ x 2- x 3, y 2= x 2- 2x 3, y 3= x 3, 得变换　 x 1= y 1- y 2- y 3, x 2= y 2+ 2y 3, x 3= y 3. (或写成X = CY , C = 1 - 1 - 1 0 1 2 0 0 1 为可逆变换矩阵). 所以　 f = 2y 21+ y 22- y 23. 此方法与配方法相同, 但不需要凭观察去配方, 而是根据固定的计算程序求得. 不过要注 意, 当二次型中平方项的系数 a11, a22, ⋯, ann均为零时, 除书本中所讲述的变换方法以外, 也可 以运用偏导数法的另一种计算公式. 即如 a12≠0, 求出 f 1= 12 5f5x 1 , f 2= 12 5f5x 2 , 则 f = 1a12 [ (f 1+ f 2) 2- (f 1- f 2) 2 ]+ Υ, 其中 Υ已不含 x 1, x 2. 对 Υ继续进行上述程序 (如果有平方项, 当然应按 第 14 卷第 1 期 1998 年 2 月 　 工　科　数　学 JOU RNAL O F M A TH EM A T ICS FOR T ECHNOLO GY　 V o l. 14,N o. 1 Feb. 1998 前面的运算公式). 证明略. 解法二　 (雅可比方法)　设二次型 f = ∑ n i, j = 1 a ijx ix j 中,∃1= a11, ∃2= a11 a12 a21 a22 , ⋯, ∃n- 1= a11 a12 ⋯ a1, n- 1a21 a22 ⋯ a2, n- 1 an- 1, 1 an- 1, 2 ⋯ an- 1, n- 1 , ∃n= a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n an1 an2 ⋯ ann , 都不等于零, 那末二次型必可化为如下的标准形. f = ∃1y 21+ ∃2∃1y 22+ ⋯+ ∃n∃n- 1y 2n. 因为　f (x 1, x 2, x 3) = 2x 21+ 3x 22+ 5x 23+ 4x 1x 2- 4x 1x 3- 8x 2x 3 的矩阵 A = 2 2 - 2 2 3 - 4 - 2 - 4 5 中各阶顺序主子式 ∃1= 2, ∃2= 2 2 2 3 = 2,∃3= 2 2 - 22 3 - 4 - 2 - 4 5 = - 2 都不等于零, 所以所给的二次型可化为如下的标准形. f = ∃1y 21+ ∃2∃1y 22+ ∃3∃2y 23= 2y 21+ y 22- y 23. 所作的变换由二次型的矩阵A 通过初等行变换求得. 即 由 A r2- r1 r3+ r1 2 2 - 2 0 1 - 2 0 - 2 3 r1÷2 r3+ 2r2 1 1 - 1 0 1 - 2 0 0 - 1 , 令 y 1= x 1+ x 2- x 3, y 2= x 2- 2x 3, y 3= - x 3, 得 变 换 　 x 1= y 1- y 2+ y 3 x 2= y 2- 2y 3 x 3= - y 3 , 可逆变换矩阵C = 1 - 1 1 0 1 - 2 0 0 - 1 . 解法三　 (初等变换法)　设二次型 f (x 1, x 2, ⋯, x n)的矩阵是A , 若求得可逆矩阵C , 使C′ A C = [Κ1, Κ2, ⋯, Κn ]= + , 此时可作可逆变换X = CY , 使 f (x 1, x 2, ⋯, x n) = X ′A X = (CY )′A (CY ) = Y ′C′A CY = Y ′+Y = Κ1y 21+ Κ2y 22+ ⋯+ Κny 2n. 因此, 现在的问题是如何由A 求得C 和 + , 使得C′A C = + 为对角阵. 若有可逆阵C 及对角阵 + , 使 += C′A C , 由于C 可逆, 所以C 可以写成一些初等矩阵的乘 积, 即C = P 1P 2⋯P S (C′= P S ′⋯P 2′P 1′) , 则+= C′A C = P S ′⋯P 2′P 1′A P 1P 2⋯P S. 又　C = E P 1P 2⋯P S , 于是 A ⋯ E 对A 作成对的初等行, 列变换 对 E 只作相应的初等列变换 + ⋯ C , 或　 (A  E ) 对A 作成对的初等列, 行变换对 E 只作相应的初等行变换 (+ C′). 使其二次型的矩阵A 变为标准形的对角矩阵 + 时, 相应的单位矩阵则演变成所需求的可逆变 换矩阵C 或C 的转置矩阵C′. 如下再用此方法做所给例题. 951第 1 期　　　　　　　胡明琼: 把二次型化为标准形的方法 因为 f (x 1, x 2, x 3) = 2x 21+ 3x 22+ 5x 23+ 4x 1x 2- 4x 1x 3- 8x 2x 3 的矩阵为A (前面已写出) , 由 A E = 2 2 - 2 2 3 - 4 - 2 - 4 5 ⋯ ⋯ ⋯ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r2- r1 2 2 - 2 0 1 - 2 - 2 - 4 5 ⋯ ⋯ ⋯ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 C 2- C 1 2 0 - 2 0 1 - 2 - 2 - 2 5 ⋯ ⋯ ⋯ 1 - 1 0 0 1 0 0 0 1 r3+ r1 2 0 - 2 0 1 - 2 0 - 2 3 ⋯ ⋯ ⋯ 1 - 1 0 0 1 0 0 0 1 C 3+ C 1 2 0 0 0 1 - 2 0 - 2 3 ⋯ ⋯ ⋯ 1 - 1 1 0 1 0 0 0 1 r3+ 2r2 2 0 0 0 1 - 2 0 0 - 1 ⋯ ⋯ ⋯ 1 - 1 1 0 1 0 0 0 1 C 3+ 2C 2 2 0 0 0 1 0 0 0 - 1 ⋯ ⋯ ⋯ 1 - 1 - 1 0 1 2 0 0 1 = + C 其中　+= 2 0 00 1 0 0 0 - 1 , C = 1 - 1 - 1 0 1 2 0 0 1 , 所作的可逆变换为 x 1 x 2 x 3 = 1 - 1 - 1 0 1 2 0 0 1 y 1 y 2 y 3 , 即 x 1= y 1- y 2- y 3, x 2= y 2+ 2y 3, x 3= y 3. 所以　 f (x 1, x 2, x 3) = 2x 21+ 3x 22+ 5x 23+ 4x 1x 2- 4x 1x 3- 8x 2x 3= 2y 21+ y 22- y 23. 此种方法, 与书本中的初等变换结合紧密, 学生容易理解和掌握. 本题所用的三种方法, 求得的标准形都是一致的, 但变换矩阵C 各有不同 (因变换矩阵不 是唯一的) , 若用正交变换法, 不但变换矩阵不同, 而且标准形的平方项系数也可能不同, 但平 方项的个数总是相同的, 因为平方项的个数是由二次型的秩, 也就是二次型的矩阵A 的秩所 唯一确定, 它与所作的变换无关. 061 　　　　　　　　　　　　　　工科数学　　　　　　　　　　　　　　第 14 卷