为了正常的体验网站,请在浏览器设置里面开启Javascript功能!
首页 > 电磁波的辐射

电磁波的辐射

2010-07-15 18页 pdf 305KB 115阅读

用户头像

is_986893

暂无简介

举报
电磁波的辐射 第五章 电磁波的辐射 高频交变电流辐射电磁波, 微观辐射留给第七章; 电流与电磁场相互作用: 忽略辐射阻尼,给定电流分 布,计算辐射电磁波; 推广势的概念到时变电磁 场; 从势的唯一性引入规范变 换,达朗贝尔方程; 由相互作用非超距的,引入 推迟势; 由推迟势辐射场,小区域电 流,电电电偶偶偶极极极矩矩矩辐辐辐射射射、半波天 线; 电磁理论推到惠更斯原理, 次级光源; 辐射压力; 内 容 提 要 1 电磁场的矢势和标势 1 1.1 矢势和标势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
电磁波的辐射
第五章 电磁波的辐射 高频交变电流辐射电磁波, 微观辐射留给第七章; 电流与电磁场相互作用: 忽略辐射阻尼,给定电流分 布,计算辐射电磁波; 推广势的概念到时变电磁 场; 从势的唯一性引入变 换,达朗贝尔方程; 由相互作用非超距的,引入 推迟势; 由推迟势辐射场,小区域电 流,电电电偶偶偶极极极矩矩矩辐辐辐射射射、半波天 线; 电磁理论推到惠更斯原理, 次级光源; 辐射压力; 内 容 提 要 1 电磁场的矢势和标势 1 1.1 矢势和标势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 规范变换和规范不变性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 库仑规范与洛伦兹规范 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 达朗贝尔(d' Alembert)方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 例 求平面电磁波的势。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 推迟势 5 2.1 时变点电荷的标势ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 标势ϕ的解为发散球面波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 发散球面波解与电量的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4 标势解的验证 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.5 空间分布的变化电荷激发标势和矢势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.6 验证洛伦兹条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.7 推迟势的物理意义及小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 电偶极辐射 10 3.1 定域振荡源的辐射场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 辐射场的划分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 小区域电流电荷分布的多极展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.4 电单极势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.5 电偶极辐射的标势与矢势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.6 电偶极辐射的电磁场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.7 电偶极辐射的偏振方向 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.8 偶极辐射的能流以及角分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.9 偶极辐射功率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.10 短天线的辐射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.11 电磁场的动量密度与动量流密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.12 例一求平面电磁波的动量流密度张量。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.13 例二求平面电磁波对理想导体的辐射压强。 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.14 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 第第第一一一节节节 电电电磁磁磁场场场的的的矢矢矢势势势和和和标标标势势势 § 1.1 矢势和标势 引入势:方便;量子力学、 相对论中A, ϕ很重要 ∇ ·E = ρ ε0 1 ∇×E = −∂B ∂t ∇ ·B = 0 ∇×B = µ0J + µ0ε0 ∂E ∂t 由B的无源性引入矢势A: A的物理意义:通量 ∇ ·B = 0 ⇒ B = ∇×A E ? = −∇ϕ 时变电磁场的E不再是无旋的! 矢势和标势(续) ∇×E = −∂B ∂t ⇒ ∇× (E + ∂A ∂t ) = 0 由(E + ∂A ∂t )的无旋性引入标势ϕ: ∇× (E + ∂A ∂t ) = 0 ⇒ E + ∂A ∂t = −∇ϕ 一般而言: E = −∇ϕ− ∂A ∂t 【讨论】 I 电场E不再是保守力场,势能、电压的概念失去原来意义; I 时变电磁场中,磁场和电场是相互耦合的整体:矢势和标势缺一不可! I E、B、J、A均可分为两部分:横场(∇ · fT = 0)与纵场(∇× fL = 0); § 1.2 规范变换和规范不变性 从∇×A = B可看出:要确定A还需要另加条件; 存在额外自由度 用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一! A→ A′ = A+∇ψ (1) ϕ→ ϕ′ = ϕ− ∂ψ ∂t (2) (A, ϕ)与(A′, ϕ′)描述同一种电磁场: ∇×A′ = ∇×A = B −∇ϕ′ − ∂A ′ ∂t = −∇ϕ− ∂A ∂t = E 【定义】 变换(1)和(2)式称为势的规范变换; 【定义】 描述相同的(E,B)的每一组(A, ϕ)称为一种规范。 2 规范变换和规范不变性(续) 规范:明文规定或约定俗成的,一种限制; guage:量计、标准度量; 规:有法度也。|《说文》;规者,正圆之器也。|《诗 · 沔水》序 · 笺 【定义】 当势作规范变换时,所有物理量和物理规律都保持不变,这种不变性称为规范不 变性。 【定义】 规范不变性是决定相互作用形式的一条基本原理,传递这些相互作用的场称为规 范场。电磁场是一种规范场。 § 1.3 库仑规范与洛伦兹规范 规范的选择是多样的:挑选出计算方便简化,且物理意义明显的规范,有两种:库仑 规范与洛伦兹规范。 库仑规范 ∇ ·A = 0 库仑规范纵横分明:库仑场和感应场 E = EL +ET , EL = −∇ϕ , ET = −∂A ∂t 洛伦兹规范 ∇ ·A+ 1 c2 ∂ϕ ∂t = 0 库仑规范简化了一个方程,洛伦兹规范对称了一对方程。 洛伦兹规范仍有多余的自由度! § 1.4 达朗贝尔(d' Alembert)方程 为什么麦克斯韦方程只写两 个? B = ∇×A E = −∇ϕ− ∂A ∂t ∇ ·E = ρ ε0 ∇×B = µ0J + µ0ε0 ∂E ∂t ∇ · ( ∇ϕ+ ∂A ∂t ) = ∇2ϕ+ ∂ ∂t ∇ ·A = − ρ ε0 (3) ∇× (∇×A) = µ0J − µ0ε0 ∂ ∂t ( ∇ϕ+ ∂A ∂t ) ∇2A− 1 c2 ∂2A ∂t2 −∇ ( ∇ ·A+ 1 c2 ∂ϕ ∂t ) = −µ0J (4) 3 达朗贝尔(d' Alembert)方程(续一) 利用库仑规范,(3)式和(4)式可改写为: ∇2ϕ = − ρ ε0 ∇2A− 1 c2 ∂2A ∂t2 − 1 c2 ∂ ∂t ∇ϕ = −µ0J ∇ ·A = 0 库仑规范的特点:标势ϕ所满足的方程与静电场情形相同,其解是库仑势。 但注意电场不同! 达朗贝尔(d' Alembert)方程(续二) 利用洛伦兹规范:(3)式和(4)式可改写为: ∇2A− 1 c2 ∂2A ∂t2 = −µ0J (5) ∇2ϕ− 1 c2 ∂2ϕ ∂t2 = − ρ ε0 (6) ∇ ·A+ 1 c2 ∂ϕ ∂t = 0 (7) 方程(5)和(6)称为达朗贝尔方程。 I 达朗贝尔方程是自由项为电流密度和电荷密度的非齐次的波动方程; 在电荷电流为零的区域中, 矢势、标势、电磁场都以波 动形式在空间中传播;I 尽管洛伦兹规范给出波动形式的方程,但E和B的波动性质是场本身的性质而和规范 无关。 I 方程(5)、(6)和(6)构成电动力学基本方程组; 良好的对称性:以后工作的 好基础 § 1.5 例 求平面电磁波的势。 【解】 ∇2A− 1 c2 ∂2A ∂t2 = 0 , ∇2ϕ− 1 c2 ∂2ϕ ∂t2 = 0 ∇ ·A+ 1 c2 ∂ϕ ∂t = 0 A = A0 exp [i (k · x− ωt)] , ϕ = ϕ0 exp [i (k · x− ωt)] ϕ0 = c2 ω k ·A0 = cek ·A0 B = ∇×A = ik×A E = −∇ϕ− ∂A ∂t = −ik (cek ·A) + iωA = iω [A− ek (ek ·A)] = iω [(ek ×A)× ek] = −cek ×B 4 例 求平面电磁波的势(续一) 注意到平面波电磁场只依赖于矢势A的横向分量,对A0加上任意纵向部分αek(同时 对ϕ0加上cα,α为任意常数)都不影响电磁场值。 也即加上洛伦兹条件后,还存在剩余规范变换自由度。 最简单的选择是取A只有横向部分,k ·A = 0,因而ϕ = 0,用该规范时有: B = ik×A , E = iωA , k ·A = 0 如果采用库仑规范: ∇2A− 1 c2 ∂2A ∂t2 − 1 c2 ∂ ∂t ∇ϕ = 0 ∇2ϕ = 0 ∇ ·A = 0 例 求平面电磁波的势(续二) 由于全空间ρ = 0,故此库仑场标势ϕ为零或常数,不失一般性可取ϕ = 0;代入方程可 得: ∇2A− 1 c2 ∂2A ∂t2 = 0 A = A0 exp [i (k · x− ωt)] , ϕ = 0 由库仑条件∇ ·A = 0可得A只有横向分量,故此B、E可得: B = ik×A , E = iωA , k ·A = 0 两种规范求出的场一致! 库仑规范的优点:其标势ϕ描述库仑作用,可直接由电荷分布ρ求出;而其矢势只有横 向分量,刚好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振! § 1.6 小结 I 时变电磁场可以用矢势和标势描述出来; I 高频电场中势能、电压的概念失去原来意义,磁场和电场是相互耦合的整体:矢势和 标势缺一不可! I 用矢势A与标势ϕ描述电磁场并不唯一,由此引入规范条件; I 两种常用规范|库仑规范与洛伦兹规范各有特色: • 库仑规范中库仑场和感应场纵横分明; • 库仑规范简化了一个方程,洛伦兹规范对称了一对方程; • 洛伦兹规范仍有多余的自由度; I 利用洛伦兹规范给出的达朗贝尔方程具有波动的形式,是电动力学势的基本方程组。 【习题】 Page 224:1,2 5 第第第二二二节节节 推推推迟迟迟势势势 § 2.1 时变点电荷的标势ϕ 【已知】 无界空间中,达朗贝尔方程为 ∇2ϕ− 1 c2 ∂2ϕ ∂t2 = − ρ ε0 (8) ∇2A− 1 c2 ∂2A ∂t2 = −µ0J ∇ ·A+ 1 c2 ∂ϕ ∂t = 0 其中源项为时变的点电荷 普遍情况可由线线线性性性叠叠叠加加加原理 积分求得 当取Q(t) = δ(t)时为推推推 迟迟迟格格格林林林函函数数 ρ(x, t) = Q(t)δ(x) 【求解】 标势ϕ(x, t)? § 2.2 标势ϕ的解为发散球面波 【解】 由球对称性设ϕ(x, t) = ϕ(r, t), 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ∂ϕ ∂r ) − 1 c2 ∂2ϕ ∂t2 = − 1 ε0 Q(t)δ(r) (9) 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ∂ϕ ∂r ) − 1 c2 ∂2ϕ ∂t2 = 0 , (r 6= 0) (10) 式(10)的解为球面波。设ϕ(r, t) = u(r,t) r 并作代换: ∂2u ∂r2 − 1 c2 ∂2u ∂t2 = 0 u(r, t) = f(t− r c ) + g(t+ r c ) ϕ(r, t) = f(t− r c ) r + g(t+ r c ) r 考虑到研究的是辐射问题,故仅取发散球面波而令g = 0: 与初始条件有关:只取推迟 势略去超前势 ϕ(r, t) = f(t− r c ) r § 2.3 发散球面波解与电量的关系 【回顾】 静电场下点电荷激发的电势:ϕ(r) = Q 4piε0r 【推想】 时变点电荷的标势为: ϕ(r, t) = Q(t− r c ) 4piε0r (11) 【验证】 式(11)是满足方程(9)的解。 6 I 当r 6= 0时,由前所述可知:式(11)的确是波动方程(10)的解; I 现在可证明当r = 0时,式(11)满足方程(9); • 当r = 0时式(11)致使∇2ϕ− 1 c2 ∂2ϕ ∂t2 →∞ • 以r = 0为圆心、小量η为半径的球作体积分,积分结果应为−Q(t) ε0 。 § 2.4 标势解的验证 ∫∫∫ dV ( ∇2 − 1 c2 ∂2 ∂t2 ) Q(t− r c ) 4piε0r = 1 ε0 η∫ 0 r2dr∇2Q(t− r c ) r − 1 ε0 η∫ 0 rdr 1 c2 ∂2 ∂t2 Q(t− r c ) = 1 ε0 η∫ 0 r2dr [ Q∇2 1 r + 2∇Q · ∇1 r + 1 r ∇2Q ] ≈ 1 ε0 η∫ 0 r2dr Q∇2 1 r = −Q(t) ε0 即:当r → 0时在半径为η的小球内Q(t− r c )→ Q(t),故 ∇2 1 r = −4piδ(r)∫∫∫ ∇2Q(t− r c ) 4piε0r dV → Q(t) 4piε0 ∫∫∫ ∇2 1 r dV = −Q(t) ε0 § 2.5 空间分布的变化电荷激发标势和矢势 位于原点的时变点电荷激发标势为: 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ∂ϕ ∂r ) − 1 c2 ∂2ϕ ∂t2 = − 1 ε0 Q(t)δ(r) ϕ(r, t) = 1 4piε0 Q(t− r c ) r 位于x′处的时变点电荷Q(t)δ(x− x′)产生标势(设r = x− x′): ϕ(x, t) = 1 4piε0 Q(x′, t− |x−x ′| c ) |x− x′| = 1 4piε0 Q(x′, t− r c ) r 空间分布的变化电荷激发标势: 线性叠加 ϕ(x, t) = 1 4piε0 ∫∫∫ ρ(x′, t− r c ) r dV ′ 空间分布的变化电荷激发矢势: 是否满足洛伦兹规范? A(x, t) = µ0 4pi ∫∫∫ J(x′, t− r c ) r dV ′ 7 § 2.6 验证ϕ和A满足洛伦兹条件 ∇ ·A+ 1 c2 ∂ϕ ∂t = 0 设 t′ = t− r c , ∇ = −∇′ 复合函数的微分运算 ∇ · f(r, ψ(r)) = ∂fx(r, ψ(r)) ∂x + ∂fy(r, ψ(r)) ∂y + ∂fz(r, ψ(r)) ∂z = ( ∂fx ∂x + ∂fx ∂ψ ∂ψ ∂x ) + ( ∂fy ∂y + ∂fy ∂ψ ∂ψ ∂y ) + ( ∂fz ∂z + ∂fz ∂ψ ∂ψ ∂z ) = ( ∂fx ∂x + ∂fy ∂y + ∂fz ∂z ) + ( ∂fx ∂ψ ∂ψ ∂x + ∂fy ∂ψ ∂ψ ∂y + ∂fz ∂ψ ∂ψ ∂z ) = ∇r · f +∇ψ · ∂f ∂ψ 验证ϕ和A满足洛伦兹条件(续一) ∇ ·A(x, t) = µ0 4pi ∫∫∫ ∇ · J(x ′, t′(r)) r dV ′ = µ0 4pi ∫∫∫ [∇r · J(x ′, t′) r +∇t′(r) · ∂J(x ′, t′) ∂t′ ] dV ′ = µ0 4pi ∫∫∫ [J(x′, t′) ( ∇r · 1 r ) +∇t′ · ∂J(x ′, t′) ∂t′ ] dV ′ = µ0 4pi ∫∫∫ [−J(x′, t′) ( ∇′r · 1 r ) −∇′t′ · ∂J(x ′, t′) ∂t′ ] dV ′ = µ0 4pi ∫∫∫ [− ( ∇′r · J r − 1 r ∇′r · J ) −∇′t′ · ∂J ∂t′ ] dV ′ = µ0 4pi ∫∫∫ [ 1 r ∇′r · J − ( ∇′r · J r +∇′t′ · ∂J ∂t′ ) ] dV ′ = µ0 4pi ∫∫∫ [ 1 r ∇′r · J(x′, t′)−∇′ · J(x′, t′(r)) r ] dV ′ = µ0 4pi ∫∫∫ 1 r ∇′r · J(x′, t′) dV ′ − µ0 4pi ∮ J(x′, t′) r · dS′ 验证ϕ和A满足洛伦兹条件(续二) ϕ(x, t) = 1 4piε0 ∫∫∫ ρ(x′, t− r c ) r dV ′ 8 ∂ ∂t ϕ(x, t) = 1 4piε0 ∫∫∫ ∂ ∂t ρ(x′, t′) r dV ′ = 1 4piε0 ∫∫∫ 1 r ∂ ∂t′ ρ(x′, t′) dV ′ ∇ ·A+ 1 c2 ∂ ∂t ϕ = µ0 4pi ∫∫∫ [ 1 r ∇′r · J(x′, t′) + 1 r ∂ ∂t′ ρ(x′, t′)] dV ′ = µ0 4pi ∫∫∫ 1 r [∇′r · J(x′, t′) + ∂ ∂t′ ρ(x′, t′)] dV ′ ∂ ∂t′ ρ(x′, t′) +∇′r · J(x′, t′) = 0 ∇ ·A+ 1 c2 ∂ ∂t ϕ = 0 § 2.7 推迟势的物理意义及小结 ϕ(x, t) = 1 4piε0 ∫∫∫ ρ(x′, t− r c ) r dV ′ , A(x, t) = µ0 4pi ∫∫∫ J(x′, t− r c ) r dV ′ 由 于 辐 射 阻 尼 的 作 用,ρ与J不能任意规定 B = ∇×A , E = −∇ϕ− ∂A ∂t I 空间各点处的矢势与标势,是由电荷电流分布激发的; I 空间某点x在某时刻t的场值并不是依赖于同一时刻的电荷电流分布,而是决定于较早 时刻t− r c 的电荷电流分布|推迟势; I 推迟的时间 r c 受两个因素的制约:传播速度与距离; • 电磁相互作用以有限的速度传播; • 不仅仅电磁相互作用,其实任何相互作用都满足以上规律; • 只有非超距作用,才会有传播速度的概念; • 从速度有限可知:相互作用传播速度存在某个最大值:光速!这正是相对论时空 观的基础; 不仅仅是电磁! I 从推迟的时间受距离影响可知:点x处t时刻测量到的电磁场是由不同位置不同时刻的 电荷电流激发叠加而来。 9 习题5.5 设 A 和 ϕ 是满足洛伦兹规范的矢势和标势, (1) 引入一矢量函数 Z(x, t) (赫兹矢量),若令 A = 1 c2 ∂Z ∂t ,证明: ϕ = −∇ ·Z (2) 若令 J = ∂P ∂t 证明 Z 满足方程 ∇2Z − 1 c2 ∂Z ∂t = −c2µ0P 并写出在真空中的推迟解。 (3) 证明 E 和 B 可通过 Z 用下列公式表出。 E = ∇× (∇×Z)− c2µ0P , B = 1 c2 ∂ ∂t ∇×Z 【习题】 Page 225: 3,4,5 第第第三三三节节节 电电电偶偶偶极极极辐辐辐射射射 § 3.1 定域振荡源的辐射场 这种取法是具有普遍意义的 J(x′, t) = J(x′)e−iωt , ρ(x′, t) = ρ(x′)e−iωt A(x, t) = µ0 4pi ∫∫∫ J(x′, t− r c ) r dV ′ = µ0 4pi ∫∫∫ J(x′) e−i(ωt−kr) r dV ′ = e−iωt · µ0 4pi ∫∫∫ J(x′) eikr r dV ′ = A(x) e−iωt A(x) = µ0 4pi ∫∫∫ J(x′) eikr r dV ′ 其中eikr为推迟作用因子,k = ω c 为波数 与静磁场相仿,只多了时间 项、推迟项 推迟相因子|推迟势 定域振荡源的辐射场(续) ϕ(x, t) = 1 4piε0 ∫∫∫ ρ(x′, t− r c ) r dV ′ = 1 4piε0 ∫∫∫ ρ(x′) e−i(ωt−kr) r dV ′ = e−iωt · 1 4piε0 ∫∫∫ ρ(x′) eikr r dV ′ = ϕ(x) e−iωt 10 ϕ(x) = 1 4piε0 ∫∫∫ ρ(x′) eikr r dV ′ B = ∇×A , E = −∇ϕ− ∂A ∂t 源外(J = 0)区域: 其好处在于可以只求A不 算ϕ B = ∇×A ∇×B = µ0J + µ0ε0 ∂E ∂t = − iω c2 E ⇒ E = ic k ∇×B 和电磁波方程一样,为什 么? § 3.2 辐射场的划分 描述辐射场的三种特征长度: 电流源的区域线度l = max |x′1 − x′2|、电磁波长λ = 2pik 、电荷到场点的距离r =|x− x′| 本节研究小区域内电流产生的辐射:l¿ λ and l¿ r 依λ与r的关系划分三种不同的区域 近场有纵向分量,与电单极 静态势无关。 I  近(静态)区:l¿ r ¿ λ ⇒ kr ¿ 1 , eikr → 1 B存在纵向分量、场 分布精确依赖于源分布、具有静态特征; 如图5.4,近区场分布受受受 源源源影影影响响响必会存在纵向分量 近场:交流电,辐射忽略, 似稳; 由于纵场辐射不出去、远区 必横场,而库仑规范纵横分 明,故此又称辐辐辐射射射规规规范范范 I 中间(感应)区:l¿ r ∼ λ ⇒过渡区域 I  远(辐射)区:l ¿ λ ¿ r ⇒ kr À 1 , eikr波动效应显著、场与矢径垂 直、场正比于r−1、典型辐射场; 辐射阻抗、天线、发射系统:近场、感应场 接受电磁波、辐射功率、辐射角分布:远场 § 3.3 小区域电流电荷分布的多极展开 f(x0 + h, y0 + k, z0 + l) ≈ f(x0, y0, z0) + n∑ m=1 1 m! ( h ∂ ∂x + k ∂ ∂y + l ∂ ∂z )m f(x, y, z) ∣∣∣∣ r=r0 f(x− x′) ≈ f(x) + n∑ m=1 1 m! (−x′ · ∇)m f(x) ∣∣∣∣ x′=0 选取坐标原点在电荷分布区域内,由小区域l¿ λ 且 l¿ r,故: r = |x− x′| ≈ |x| − er · x′ = r0 − er · x′ ρ(x′) eikr r = ρ(x′) eikr r ∣∣∣∣ r=r0 − (x′ · ∇) ρ(x ′) eikr r ∣∣∣∣ r=r0 + 1 2 x′x′ : ∇∇ ρ(x ′) eikr r ∣∣∣∣ r=r0 + · · · 11 小区域电流电荷分布的多极展开(续) 用[ρ]表示ρ(x′) eikr,[J ]表示J(x′) eikr ϕ(x) = 1 4piε0 ∫∫∫ { [ρ]0 r0 − x′ · ∇ [ρ]0 r0 + 1 2 x′x′ : ∇∇ [ρ]0 r0 + · · · } dV ′ A(x) = µ0 4pi ∫∫∫ { [J ]0 r0 − x′ · ∇ [J ]0 r0 + 1 2 x′x′ : ∇∇ [J ]0 r0 + · · · } dV ′ § 3.4 电单极势 标势ϕ展开中的第一项为电单极势: ϕ(0)(x) e−iωt = 1 4piε0 ∫∫∫ [ρ]0 r0 e−iωt dV ′ = 1 4piε0 ∫∫∫ ρ(x′, t− r0 c ) r0 dV ′ = 1 4piε0 Q r0 由于电荷守恒,故电单极势是静态的: 电单极势无法写成e−iωt的形式; 随时间谐振的场中不存在单极子项 § 3.5 电偶极辐射的标势与矢势 标势ϕ展开中的第二项为电偶极势: ϕ(1)(x) = − 1 4piε0 ∫∫∫ x′ · ∇ [ρ]0 r0 dV ′ = − 1 4piε0 ∫∫∫ ∇ · x ′[ρ]0 r0 dV ′ = − 1 4piε0 ∇ · ( 1 r0 ∫∫∫ x′[ρ]0 dV ′ ) = − 1 4piε0 ∇ · [p] r0 其中[p] = ∫∫∫ x′[ρ]0 dV ′,对应着系统的电偶极矩; 矢势A展开中的第一项描述了系统电偶极矩随时间的变化激发的矢势: A(0)(x) = µ0 4pi ∫∫∫ [J ]0 r0 dV ′ = µ0 4pir0 ∫∫∫ [J ]0 dV ′ = µ0 4pir0 [ dp dt ] = µ0 4pir0 [p˙] 回顾静磁场多极矩展开中利用了∇′ · J = 0,才致使A(0)(x) = 0。 ∇′ · (Jx′) = (∇′ · J)x′ + (J · ∇′)x′ = J 12 § 3.6 电偶极辐射的电磁场 ϕ(1)(x) = − 1 4piε0 ∇ · [p] r0 , A(0)(x) = µ0 4pir0 [p˙] B = ∇×A = µ0 4pi ∇× [p˙] r0 E = −∇ϕ− ∂A ∂t = 1 4piε0 ( ∇∇ · [p˙] r0 − 1 c2 [p¨] r0 ) 在源外区域: E = ic k ∇×B 在辐射区(l¿ λ¿ r)可以写出电偶极辐射的场为: A(0)(x) = µ0eikr0 4pir0 p˙ 电偶极辐射的电磁场(续一) B = ∇×A = µ0 4pi ∇× ( eikr0 r0 p˙ ) = µ0eikr0 4pi ( ∇ 1 r0 × p˙ ) + µ0 4pir0 (∇eikr0 × p˙) = µ0eikr0 4pi ( −er r20 × p˙ ) + µ0 4pir0 ( ikeikr0er × p˙ ) = µ0eikr0 4pir0 (er × p˙) ( − 1 r0 + i 2pi λ ) ( 1 r0 ¿ 2pi λ ) ≈ iµ0k 4pir0 eikr0 (er × p˙) eikr0 ⇒ ∇→ iker , e−iωt ⇒ ∂ ∂t → −iω , ik = iω c → −1 c ∂ ∂t 电偶极辐射的电磁场(续二) A(0)(x) = µ0eikr0 4pir0 p˙ B = iµ0k 4pir0 eikr0 (er × p˙) = e ikr0 4piε0c3r0 (p¨× er) E = ic k ∇×B = cB × er = e ikr0 4piε0c2r0 (p¨× er)× er 13 § 3.7 电偶极辐射的偏振方向 选取坐标原点在电荷分布区域内,并以p方向为极轴: B = eikr0 4piε0c3r0 |p¨| sin θ eφ E = eikr0 4piε0c2r0 |p¨| sin θ eθ I B沿纬线振荡;E沿经线振荡; I 磁感应线是围绕极轴的圆周,B总保持横向; 静磁多极矩的方向? I 电场线是经面上的闭合曲线(∇ ·E = 0),E近似为横向; 略去 1 r0 高次项后 静电多极矩的方向?I 电偶极辐射是空间中的TM波; I 在r很大时,球面波可看作平面波,此时的偏振为TEM波; § 3.8 偶极辐射的能流以及角分布 辐射平均能流密度: S¯ = 1 2 Re (E∗ ×H) = c 2µ0 Re [(B∗ × er)×B] = c 2µ0 |B|2 er = 1 32pi2ε0c3r20 |p¨|2 sin2 θ er 电偶极辐射的角分布(方向性):S¯ ∝ sin2 θ er 可以由此判断源的性质 在θ = pi 2 的平面上辐射最强; 沿电偶极矩轴线方向θ = 0, pi时没有辐射。 § 3.9 偶极辐射功率 总辐射功率P P = ∮ S¯ · dσ = ∮ ∣∣S¯∣∣ r20 · dΩ = 1 32pi2ε0c3 |p¨|2 ∮ sin2 θdΩ = 1 12piε0c3 |p¨|2 由通量守恒可知:只有场强正比于r−10 的项,才能辐射出去! 静电、磁的多极矩展开正比于r−n0 ,注意相互区别! ϕ(0) ∝ 1 r0 , ϕ(1) ∝ 1 r20 , ϕ(2) ∝ 1 r30 A(1) ∝ 1 r20 , ϕ (1) m ∝ 1 r20 14 § 3.10 短天线的辐射 【已知】 中心馈电的短天线(l ¿ λ),在馈点处载有电流最大值I0,天线两端电流为零, 设: 其实这是边值问题:但假设 知道电流分布 J(r′, t) = I(z′)δ(x′)δ(y′)e−iωt ez I(z′) = I0(1− 2 l |z′|) , |z′| ≤ l 2 【求解】 辐射场与辐射电阻。 【解】 l¿ λ时即为电偶极辐射: p˙ = ∫∫∫ J(x′, t) dV ′ = l/2∫ −l/2 I(z′)e−iωt ez dz′ = 1 2 I0l e −iωt ez p¨ = −iω 2 I0l e −iωt ez 短天线的辐射(续) P = 1 12piε0c3 |p¨|2 = I 2 0ω 2l2 48piε0c3 = I20 l 2 48piε0c3 ( 2pi λ )2 c2 = piI20 12ε0c ( l λ )2 短天线的辐射功率正比于I0、( lλ)2: P = 1 2 [ pi 6ε0c ( l λ )2] I20 = 1 2 RrI 2 0 Rr = pi 6 √ µ0 ε0 ( l λ )2 , (l¿ λ) 天线的辐射电阻越大,也即输入电流I0给定时的辐射功率P越大|表征了天线辐射能 力; 辐射电阻正比于( l λ )2|要提高辐射能力就必须加大l|半波天线l = λ 2 § 3.11 电磁场的动量密度与动量流密度 电磁场动量密度g为 g = ε0E ×B 电磁场动量密度与能流密度间的关系: g = ε0E ×B = ε0µ0E ×H = 1 c2 S 电磁场动量流密度T为 15 T = −ε0EE − 1 µ0 BB + 1 2 I(ε0E 2 + 1 µ0 B2) 电磁场动量守恒的积分形式 d dt ∫∫∫ g dV = − ∫∫∫ f dV − ∮ dσ · T § 3.12 例一求平面电磁波的动量流密度张量。 平面电磁波E、B、k构成正交坐标,故此分解张力张量如下: E · T = E · [ −ε0EE − 1 µ0 BB + 1 2 I(ε0E 2 + 1 µ0 B2) ] = −ε0E2E − 1 µ0 (E ·B)B + 1 2 E(ε0E 2 + 1 µ0 B2) = −1 2 ε0E 2E + 1 2µ0 B2E = 0 B · T = 0 , T ·E = T ·B = 0 k · T = T · k = 1 2 k(ε0E 2 + 1 µ0 B2) = $k 故此: 注意量纲 T = $ekek = cgekek § 3.13 例二求平面电磁波对理想导体的辐射压强。 【定义】 由电磁波具有动量,致使入射于物体上时会对其施加一定的压力,这种压力称 为辐射压力。 【解】 入射电磁波切线分量动量不产生辐射压强;电磁波法向分量平均动量为: g¯c cos θ = $¯i cos θ 每秒入射于导体表面单位面积的法向分量动量为(面积为 1 cos θ ) g¯c cos θ 1 cos θ = $¯i cos 2 θ 由于电磁波被反射回去,故此导体表面所受辐射压强为: P = 2$¯i cos 2 θ 在导体外部,总电场为入射波电场Ei加反射波电场Er: 干涉项平均为零 16 例二(续) E = Ei +Er , E 2 = E2i + E 2 r + 2Re(E ∗ i ·Er) 当全反射时有:$¯ = $¯i + $¯r = 2$¯i 对 完 全 吸 收 电 磁 波 有:E = Ei,$¯ = $¯i结论同样成立 P = $¯ cos2 θ P¯ = 1 2pi 2pi∫ 0 pi 2∫ 0 $¯ sin θ cos2 θ dθdφ = $¯ 3 【另解】 对于s偏振电磁波入射在导体表面: 光压,ICF E = Er +Ei = 0 , B = 2Bi cos θ ex n · T = 1 2 n ( B2 µ0 ) = 2 µ0 B2i cos 2 θn = 2$i cos 2 θn P = 2$¯i cos 2 θ § 3.14 小结 I 已知定域振荡源,即可求出其辐射场:A(x) = µ0 4pi ∫∫∫ J(x′) eikr r dV ′,其中eikr为推 迟作用因子; I 依辐射场的三种特征长度(l, λ, r)可将空间划分为:近(静态)区,中间(感应) 区,远(辐射)区; I 对小区域电流电荷分布作多极展开,可求其辐射区的电磁场; I 由于电荷守恒,故电单极势是静态的; I 辐射区电磁场E、B、A正比于r−10 ,辐射区能流S¯正比于r−20 ; I 辐射总功率P与r0无关:符合能流通量守恒; I 电、磁偶极辐射能流S¯以及功率P正比于ω4,电四极辐射正比于ω6; 频率越高:甩得越快,做功 越多 I 电偶极辐射能流S¯以及功率P正比于( l λ )2,磁偶极、电四极辐射正比于( l λ )4; I 必须有p¨ 6= 0才会存在电偶极辐射; I 电磁波具有动量,会对照射物体产生辐射压力; 【习题】 Page 225: 7,11 17 附:静电、静磁偶极产生的E与B E = −∇ϕ(1) = −∇( p · r0 4piε0r30 ) = − 1 4piε0 [ p× (∇× r0 r30 ) + (p · ∇)r0 r30 ] = − 1 4piε0 [ −p× (∇×∇1 r ) + (p · ∇)(r0 1 r30 ) ] = − 1 4piε0 [ 1 r30 (p · ∇)r0 + r0 · (p · ∇) 1 r30 ] = − 1 4piε0 [ p r30 − 3(p · er)er r30 ] B = −µ0 4pi (m · ∇)r0 r30 = −µ0 4pi [ m r30 − 3(m · er)er r30 ] 附:证明 dp dt = p˙ = ∫∫∫ J(x′, t) dV ′ 【证】 p(t) = ∫∫∫ ρ(x′, t)x′ dV ′ dp dt = d dt ∫∫∫ ρ(x′, t)x′ dV ′ = ∫∫∫ { ∂ρ(x, t)x′ ∂t +∇′ · [ρ(x′, t)vx′] } dV ′ = ∫∫∫ { ∂ρ ∂t x′ +∇′ · (ρv)x′ + (ρv · ∇′)x′ } dV ′ = ∫∫∫ { x′ ( ∂ρ ∂t +∇′ · (ρv) ) + (ρv · ∇′)x′ } dV ′ = ∫∫∫ ρv dV ′ = ∫∫∫ J dV ′ 18 1 电磁场的矢势和标势 1.1 矢势和标势 1.2 规范变换和规范不变性 1.3 库仑规范与洛伦兹规范 1.4 达朗贝尔(d' Alembert)方程 1.5 例 求平面电磁波的势。 1.6 小结 2 推迟势 2.1 时变点电荷的标势 2.2 标势的解为发散球面波 2.3 发散球面波解与电量的关系 2.4 标势解的验证 2.5 空间分布的变化电荷激发标势和矢势 2.6 验证洛伦兹条件 2.7 推迟势的物理意义及小结 3 电偶极辐射 3.1 定域振荡源的辐射场 3.2 辐射场的划分 3.3 小区域电流电荷分布的多极展开 3.4 电单极势 3.5 电偶极辐射的标势与矢势 3.6 电偶极辐射的电磁场 3.7 电偶极辐射的偏振方向 3.8 偶极辐射的能流以及角分布 3.9 偶极辐射功率 3.10 短天线的辐射 3.11 电磁场的动量密度与动量流密度 3.12 例一 求平面电磁波的动量流密度张量。 3.13 例二 求平面电磁波对理想导体的辐射压强。 3.14 小结
/
本文档为【电磁波的辐射】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑, 图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。 本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。 网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。

历史搜索

    清空历史搜索