算数

运 算 数 郭耀武 为什么要研究有理数运算？性质符号正、负号与运算符号加、减号之间是什么关系？为何“负负得正 ”？ 虽然“数学家花了1000年才得到负数的概念，又花了另外1000年才接受了负数的概念” [1]，可是这些问题给人们的感觉还是象是“先有的鸡，还是先有的蛋”这个问题一样难回答.世界上没有讲不明白道理的问题，只有尚未被认识清楚的问题.下面就叫我们一同重新开始“从算术到有理数”的研究. －、运算数与运算律 1. 运算数 问题：某人卖A、B、C三种水果，A种水果亏损20元，B种水果盈利28元，C种水果盈利22元，问该人卖这三种水果获利多少钱？ 这个问题解答时，可列出多种算式： (1) 22－20+28; (2) 22+28－20; (3) 28－20+22; … 我们从这些算式中不难发现减号和数字20是一个密不可分的一个整体.从式子22－20+28=22+28－20可知，当－20要移到数字28的后面时，数字22是无权要求把“－”号留下来的. 在同一级运算中，每个数和它前面的运算符号都是密不可分的，而和它后面的运算符号没有必然的联系.所以在这里我们可以认为：运算符号不是表示两个数的运算关系，而是表示一个数在运算中的作用的符号.正因为如此，我们对加数、减数、因数、除数定义如下： 定义1 在算式2+3中，2和+3叫做加数. 定义2 在算式5－4中，5叫做加数，－4叫做减数. 定义3 在算式6×7中，6和×7都叫做因数. 定义4 在算式9÷8中，9叫做因数，÷8叫做除数. 定义5 把加数、减数、因数、除数这些具有运算意义的数统称为运算数. 2. 运算律 某些算式，其实就是运算数的排列.如6－7－8+9就是运算数6、－7、－8、+9的一个排列；6÷7÷8×9就是运算数6、÷7、÷8、×9的一个排列.每个运算数只对结果负责，与其它的运算数没有必然的联系.运算数在运算中的作用，不会随排列顺序的改变而改变.因此，从“运算数的观点”看，任何同级运算都满足交换律. 同级运算交换律：在同级运算中，交换运算数的位置，结果不变. 接下来，我们再探讨运算数观点下的结合律.首先我们应弄清什么是结合律. “三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变”, 这就是现行数学教材当中对加法结合律的文字表述.三个数 、 、 相加，根据加法交换律则有 ,当交换了加数的位置，自然也就改变了运算顺序.所以加法交换律本身包含改变数的运算顺序而和不变之意.即包含有“三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变”之意.教材当中的加法交换律与结合律，在文字的表述上，前者说交换加数的位置，和不变；后者说改变运算顺序，和不变.我们很难发现结合律的文字表述较交换律有任何一点新意.笔者比较赞同教材当中结合律的字母表达式 .不体现添括号，结合律就失去了它存在的意义.所以说结合律就是括号律.下面我们由两个实际问题探讨运算数所满足的结合律. 问题1 甲拥有100元钱，乙要归还甲30元钱，丙要向甲借80元钱，但在借钱与还钱的过程中，乙把30元钱交给了丙，甲又拿出（80—30）元钱给了丙.这样做的结果是甲最后拥有的钱数不变. 用式子表示这一关系就是 100+30－80=100－（80－30）. 问题2 体积为24厘米的一个长方体，其中两个棱长分别是2厘米和3厘米，则另一个棱长可由式子24÷2÷3求得，也可由式子24÷（2×3）求得.于是我们有 24÷2÷3 =24÷（2×3）. 通过上面的观察与分析并结合我们已有的认识，可得到运算数所满足的结合律. 同级运算结合律：在同级运算中，把某些运算数结合在一起放在前面带“+”或“×”的括号里，结果不变；放在前面带“－”或“÷”的括号里，并同时改变这些运算数的符号，结果也不变. 例1 运用同级运算律进行下列计算 （1）168－72+80－152 ； 　　　　（2）8÷17÷23÷2×34×69 解法一： （1）168－72+80－152 　　　　（2）8÷17÷23÷2×34×69 =168－152+80－72 　　　　 =（8÷2）×（34÷17）×（69÷23） =（168－152）+（80－72） 　　　　=4×2×3 =16+8 =24 =24; 解法二： （1）168－72+80－152 　　　　　（2）8÷17÷23÷2×34×69 =168+80－72－152 =（8×34×69）÷（17×23×2） =（168+80）－（72+152） =18768÷782 =248－224 ＝24 =24 根据同级运算交换律与结合律，可得 －3 －2 = －(2 +3 )= －5 ;2 + －5 =2 -(5 － )=2 －4 .这里实际上计算的是－3 －2 与 －5 .象这样的减法运算就是所谓的“不够减”问题.现在有了同级运算交换律与结合律就可以对这样的算式进行运算. 例2计算： （1）6－8； （2） －2－3. 解： （1）6－8= －（8－6）= －2; （2）－2－3= －（2+3）= －5. 二、有理数 1. 有理数 定义：运算数中的加数、减数及零统称为有理数. 比0大2的数是0+2=+2，所以+2是比0大2的数；比0小3的数是0－3=－3，所以－3是比0小3的数.可见，加数大于零，减数小于零. 在算术加减算式中，由于加数对结果的增加总是起正作用，所以加数通常又叫做正数；减数对结果的增加起负做用，所以减数通常又叫做负数. 说到有理数的应用，其实我们用算术解决实际问题时，就是有理数的应用.这里只是换个角度看问题罢了.然而，角度会改变我们的观念，会给我们带来全新的认识. 我们用算术加减法解答实际问题时，总是把题中对结果的贡献起正作用的量记作大于零的加数，起负作用的量记作小于零的减数，并分别写在算式里.也就是说，列算术加减算式的过程，就是我们用有理数表示实际问题中的量的过程.用有理数表示实际问题中的量，这样的一种计数方法可以推广到数学算式之外. 比0℃高出2℃的温度是0+2=+2（℃），所以比0℃高出2℃的温度可记作+2℃；比0℃低3℃的温度是0－3=－3（℃），所以比0℃低3℃的温度可记作－3℃. 把海平面的高度记为0米，比海平面高出100米的高度就是0+100=+100（米），所以比海平面高出100米的高度可记作+100米；比海平面低300米的高度就是0－300=－300米，所以比海平面低300米的高度可记作－300米. 由于“现库存＝原库存+运进－运出”，所以某仓库运出货物5吨可记作+5吨，运出货物6吨可记作－6吨。 不难发现，用有理数表示实际问题中的量，比“算术数”更具有广泛的意义. 不难发现，用加数表示一个量与用“算术数”表示一个量，无论是在算式中还是在算式外意义都相同，所以加数等同于非零的“算术数”. 2. 有理数加减法 销售某种商品已经售出部分获利50元，剩下的商品的成本是350元.设该种商品的全部售出后的总利润为 元，剩余商品的销售额为 元，则 当 时， .式子 就是有理数加法. 　　人们用加减法解方程组 时，需要把两个方程的两边相加减.为了方便起见，通常是把两边对应的有理数相加减.于是，就出现了 ， ， ， 这样的有理数加减法运算. 　 从运算数角度看,有理数加减法与算术加减法的区别是:算术加减法算式是由相互独立的带有单重符号的有理数组成的;有理数加减法算式是由带有双重符号的有理数组成的.可见若能把双重符号的有理数化成单重符号的有理数,就可以把有理数加减法运算转化为算术加减法运算.这也就解决了有理数加减法的运算问题.如何把带有双重符号的有理数化简为单重符号的有理数呢? 我们根据同级运算结合律可知 　， 　， ， 令 ,则有 ， ， ， 我们不妨再从另外一个角度来研究这个问题.根据同级运算结合律 　　　　　　 又 　　　 所以　　 同理可得, 　　　 , , . 　 综合以上研究可知,同级运算结合律不仅适用于由多个有理数组成的算式的添(去)括号,同时也适用于单个有理数的添(去)括号. 我们由同级运算结合律对单个有理数的添(去)括号也适用,可得如下有理数加减法法则: 有理数相加减,先把双重符号来化简,同号得加,异号得减. 例 3 计算 （1）（+2）－（－3）+（－8）； （2）（－81）+（+21）+（－19）+（+90）. 解： （1）（+2）－（－3）+（－8） （2）（－81）+（+21）+（－19）+（+90） =2+3－8 =－81+21－19+90 =5－8 =90－81+21－19 =－（8－5） =（90－81）+（21－19） =－3 =9+2. =11 ; 例4　　求证： = 证明：因为　 ＝ ， 又因为　 ＝ ， 所以　 = . 3. 有理数乘除法 某商店新进一种水果 千克，以每千克 元售出 千克后，每千克降价 元并全部售出.问降价后的水果共卖了多少钱？ 显然，答案是：　（ - ）( - )元. 我们利用图形的面积或者是数值都可以验证下面的等式成立： （ - ）( - )= . 如何将等式左边的式子经过一定的运算得到等式右边的式子呢？为了计算上的方便，人们通常将等式右边的 , , , 分别看成是由等式左边的有理数 与 ， 与- ，- 与 ，- 与- 的乘积运算得到的.这样就出现了则就出现了 ×（- ），（- ）× 　，（- ）×（- ）这样的有理数乘法运算.由于运算必须满足使 × = ， ×（- ）=- ，（- ）× =- ，（- ）×（- ）= + ，所以，我们规定如下有理数乘法法则： 两个有理数相乘，同号得加，异号得减，并把绝对值相乘. 由除法与乘法的关系，有如下有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得加，异号得减，并把绝对值相除. 为了便于掌握，两个法则可合并为有理数乘除法法则： 两个有理数相乘（除），同号得加，异号得减，并把绝对值相乘（除）. 4. 代数式中的字母取值 对于有理数加法引例中的 ，如令 ，则有 .这里的z为正数、负数及零均有实际意义；y为正数、负数及零也均有实际意义.所以，做为抽象的数学代数式中的字母的取值可以为任意有理数. 例5 当 , 时，求 的值. 解：略. 三、　总结 在同级运算中，运算符号和它后面的数是密不可分的，是一个具有独立数学意义的整体，这就是运算数思想.它所揭示的是数学算式中客观存在的一种最基本的数学规律.运算数思想为我们认识数学世界打开了一扇新的窗口.运算数思想使我们认识到加、减、乘、除四种运算满足统一的运算律.交换律与结合律的适用范围，由加法和乘法两种运算扩展到加、减、乘、除四种运算，由单一的同种运算扩展到同级混合运算.运算数思想使运算律得到了统一，使添（去）括号法则与结合律得到了统一. 某地区夏季高山上的温度从山脚处开始每升高100米降低0.6℃.如果山脚温度是28℃，那么山上5000米处的温度就是28－0.6× ＝28－30＝－2（℃）.这个－2℃是列数学算式计算后自然产生的.这里绝对没有什么刻意的“规定”.人们把亏损200元记作－200元.这－200元是由“售价－成本”这样的运算得来的，也不是由某种规定得来的.可以说生活中出现的负数均来自于数学算式，都是运算数.有理数是运算数的观点，使性质符号正、负号与运算符号加、减号得到了统一.有理数是运算数的观点，更进一步地使结合律、添（去）括号法则、“双重性质符号化简法则”、有理数加（减）法法则四者得到了有机的统一，使有理数运算与算术运算得到了统一。有理数运算是建立在算术运算基础上的一种运算.有理数运算所要解决的不是实际问题.有理数运算所要解决的是在某些特殊情况下，算术运算应该怎样算的问题.有理数运算只是特殊情况下的算术运算的巧妙算法.有理数运算是为算术运算的运算服务的.有理数运算的进步意义体现在用字母表示数的算术运算当中，体现在数形结合方面.从有理数是运算的观点看，负数均来自于求“差”的运算.所以，负数均来自于多项式.有理数乘法均来自于多项式乘以单项式和多项式乘以多项式.有理数乘法法则同多项式乘以单项式、多项式乘以多项式运算法则是一个有机整体.在数学中如果没有多项式乘以单项式、多项式乘以多项式运算法则，也就没有建立有理数乘法法则的必要；反之，如果没有理数乘法法则做依托，多项式乘以多项式的运算法则也就不能成立.对于有理乘法法则的理解，一定要放在多项式乘以多项式的运算中来理解.我们不能象理解 的意义那样来理解 的意义；同样，也不能象理解 的意义那样来理解 的意义.任何情况下的“负乘负”都没有实际意义，只有运算上的意义.有理数乘法法则同零指数幂、负整指数幂的意义的规定有类似之处：要那样去运算，为了使运算能够成立，就要做这样的规定.有理数是运算的观点，使有理数运算变得非常容易理解和掌握.使数学理论体系更加和谐与统一. 　参考文献 [1]张奠宙、黄荣良，建设符合中国国情的合作学习[J].中学数学教学参考，2007，1－2期 PAGE 1 _1266836742.unknown _1266837893.unknown _1267859965.unknown _1269076325.unknown _1269252094.unknown _1269252158.unknown _1269162480.unknown _1269252091.unknown _1269076345.unknown _1267860100.unknown _1267860349.unknown _1269076289.unknown _1267860382.unknown _1267860332.unknown _1267860061.unknown _1266837941.unknown _1267262747.unknown _1267263590.unknown _1267263722.unknown _1267263782.unknown _1267263502.unknown _1266837954.unknown _1267262695.unknown _1267262504.unknown _1267262585.unknown _1266837958.unknown _1266837945.unknown _1266837949.unknown _1266837933.unknown _1266837937.unknown _1266837921.unknown _1266837925.unknown _1266837906.unknown _1266837916.unknown _1266837903.unknown _1266836876.unknown _1266837222.unknown _1266837865.unknown _1266837873.unknown _1266837877.unknown _1266837869.unknown _1266837697.unknown _1266837173.unknown _1266837221.unknown _1266836949.unknown _1266837044.unknown _1266836843.unknown _1266836863.unknown _1266836801.unknown _1266836819.unknown _1266836785.unknown _1266836253.unknown _1266836461.unknown _1266836622.unknown _1266836653.unknown _1266836740.unknown _1266836519.unknown _1266836313.unknown _1266836367.unknown _1266836287.unknown _1266835801.unknown _1266835964.unknown _1266836117.unknown _1266836207.unknown _1266836151.unknown _1266836092.unknown _1266835870.unknown _1266835903.unknown _1266835820.unknown _1266835162.unknown _1266835285.unknown _1266659701.unknown _1266660120.unknown _1254049442.unknown _1254049093.unknown