广义积分

nullnull第四节 广义积分本节提要：一、无限区间上的广义积分二、无界函数的广义积分null重点、难点：广义积分的概念及求法教学：结合定积分和极限的概念， 给出广义积分的概念教学手段：多面体和面授相结合教学课时：4课时null 前言，在前面所讨论的是定积分中，都假定积分区间 [a,b]是有限的，且 f(x)也是有界的，但是，实际问题中， 常会遇到积分区间是无限的，或者积分区间虽是有限，而 被积函数在积分区间上出现了无界的情形，本节介绍的就 是这两类积分的概念和计算方法。 null 一 无限区间上的广义积分 1、引例 求曲线y= , x轴及直线x=1 右边所围成的 “开口曲边梯形”的面积（图5-11） 说明：这个图形不是封闭的曲边梯形， 它在X轴的正方向是开口的，这时积分 区间是无限区间[1，+ ]，不能用前面 所学的定积分来计算它的面积。 怎么办：任意取一个大于1的数t， 在[1，t]上，曲线y= 围成的曲边梯形面积为 显然：当t改变时，曲边梯形的面积也 随之改变， 此极限值就示了所求“开口曲边梯形”的面积。 null 2、 定义1：设函数f(x)在区间[a,+∞）内连续，对于 任意给定的t>a，积分 都存在，它是t 的函数， 如果极限 存在，则称此极限值为函数f(x)在无限区 间[a,+ ）上的广义积分，记为 即： = 说明： ①若 存在，也称 收敛 若 不存在，也称 发散 ② ∵ 而 是f(x)的原函数。 ∴ 就是原函数 当x->＋ 时的极限。 null 定义2： 如果f(x)在（- ,b］上连续。则 　　 null定义３：如果f(x)在（－ ，＋ ）上连续，则 当 均收敛时， 收敛， 当 有一个发散， 发散 设Ｆ（x）是f(x)的一个原函数，则 记，Ｆ（＋ ）＝ Ｆ（- ）＝ 于是有： 　　　　　 　 说明：从形式上看，上列三个式子与定积分的牛顿—莱布尼兹相似，但应注意，Ｆ（＋ ）和F（－∞）是极限，广义积分是否收敛，取决于这些极限是否存在。 null 例１，   求 解：　 ＝ = 这一结果的几何意义是曲线 y= 与Ｘ轴之间的 图形，虽然可以现两边无限延伸但有有限的面积 null 例２ 讨论广义积分 的收敛性（a>0） 解 当p=１时， ＝ = + 当p 时 ＝ ＝ 　　　　 因此，广义积分 ，当p>1时收敛　　 当p≤1时发散 null 例３　讨论广义积分 的收敛性 　解　　 因为极限 不存在，所以，广义积分发散 例４　求 解 　 因为 所以广义积分 注意这里当x-> - 时，原函数的极限也是 ，只要指明 有一个不存在，按定义即知广义积分 发散 null  ∵当x->0 时， ∴x=0是 的无穷型间断点 给定一个很小的正数 ,在 上， 所围成的 曲边梯形的面积为   显然：当 改变时，曲边梯形的面积也随之改变 此极限值就表示了所求“开口曲边梯形”的面积。 二 无界函数的广义积分 1、引例，求曲线 ，直线x=0,x=1 与x轴所围成的 “开口曲边梯形”的面积。 null 2．定义4：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，当 时， f(x) ，如果极限 存在，则称些极限为函数f(x) 在区间[a,b] 上的广义积分。记作 即 说明：若 存在，也称 收敛 若 不存在，也称 发散 null定义５　：若f(x)在[a,b]上连续，而 则 定义6 ：若f(x)在[a,c]及（c,b]上连续，而 　　　且 广义积分　　　　　与　　　　都收敛，则广义积分 如果广义积分　　　　　　　　　有一个发散，则广义积 分　　　　发散 注意：无界函数的广义积分，在形式上与定积分没有区别， 计算时注意对它的识别 null例 5 求 解∵ ∴ null　　例6         讨论广义积分　　　　　　　的收敛性。 综上所述，广义积分 null上述例题，如果没有考虑到被积函数　　在　　　处有无穷 间断点的情况，仍然按定积分来计算，就会得出如下的错 误结果：