线性代数新版教案

.皖西学院教案2014-2015学年第2学期 课程名称 线性代数 授课专业班级 14级合班 授课教师 汪轶 职称 讲师 教学单位 金数学院 教研室 高数学期授课说明 课程类别 必修 总学分 3 总学时 48 本学期学时 教学周次 周学时 学时分配 48 16 3 讲授 实验 上机 考查 其他 48 教学目的要求 教学目的通过本课程的教学，使学生掌握线性代数的基础理论与方法，培养学生正确运用数学知识来解决实际问的能力，并为进一步学习后续课程与相关课程打好基础。基本要求通过本课程的教学，使学生系统地掌握行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型的基本概念、基本理论及基本方法，具有比较热练的运算能力、一定的逻辑推理能力和抽象思维能力，并且培养学生运用获取的基本知识和基本理论去分析问题和解决问题的能力。 教学重点难点 教学重点线性方程组解的结构；线性变换应用。教学难点矩阵和向量组的秩及其性质；线性无关概念。 选用教材 同济大学应用数学系，《线性代数》（第五版），高等教育出版社，2007年 主要参考资料 [1]张禾瑞，郝炳新：《高等代数》（第四版），高等教育出版社，1999年；[2]胡金德，王飞燕：《线性代数》（第二版），清华大学出版社，1995年[3]李永乐：《线性代数辅导讲义》，西安交大大学出版社，2010年 备注 教案 知识单元主题 第一章行列式 学时 10 教学内容（摘要） §1　二阶与三阶行列式§2　全排列及其逆序数§3　阶行列式的定义§4　对换§5　行列式的性质§6　行列式按行（列）展开§7　克拉默法则 教学目的要求 1.会计算二阶和三阶行列式，了解阶行列式的定义；2.理解代数余子式的定义及性质；3.会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的阶行列式；4.掌握克拉默法则。 教学重点难点 重点：1.行列式的性质及其计算；2.克拉默法则。难点：阶行列式的定义；对换。 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 教学后记 对n阶行列式定义的理解有点困难，需要通过对二三阶行列式展开式的特点逐渐引入.需适当加强学生对行列式计算技巧的训练.分教案 授课主题 第一章§1-§3 课次 2 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 4 教学目的要求 会计算二阶和三阶行列式；会计算排列逆序数；了解阶行列式的定义. 教学重难点 二三阶行列式的对角线法则;阶行列式的定义. 教学内容纲要 备注 §1二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式1　2　二阶行列式的定义二阶行列式的值等于主对角元乘积减副对角元乘积．例1　3　三阶行列式例2计算三阶行列式例3求解方程§2　全排列及其逆序数一、全排列与逆序定义2.1由个不同元素排成一列，称为这个元素的一个全排列（或简称级排列)．个不同元素的所有不同的排列共有种．规定一个排列次序：称为标准序。在1、2、……、所构成的任一排列中，若某两个元素的排列次序与标准顺序不同，就称为一个逆序。一般地，个自然数的一个任意排列记作，若第个位置上的元素的左边有个元素比大，就说元素的逆序是。一个排列中所有逆序的和，称为这个排列的逆序数，记作．因此排列的逆序数就是：　　　　　例1　求排列32514的逆序数．例2　求排列的逆序数解：级排列的标准序为排列的逆序数为．逆序数为奇数的排列称为奇排列，而逆序数为偶数的排列称为偶排列。例1中的排列就是一个奇排列；排列561423也是一个偶排列．易知：个不同的级排列中，奇排列和偶排列各占一半．§3　阶行列式的定义定义3.1由个元素排成行列，构成的运算式称为阶行列式，简记为，其中称为行列式的元素，为的一个排列，为排列的逆序数． 知识导入在中学，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.提问1在中学时我们已知要得到一个线性方程组的一组确定解的条件是什么？提问2例1的方程组有几个方程？提问3用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？讨论所有n级排列中逆序数最大的排列的逆序数是多少？ 从上面定义可知，阶行列式的运算式中，一般项由个位于不同行不同列的元素相乘而得，符号由排列的逆序数的奇偶性决定．特别规定，一阶行列式．注意行列式记号不要与绝对值记号混淆．在行列式中，将所组成的对角线称为的主对角线，这些元素称为主对角元。而所组成的对角线则称为的副对角线.除了主对角线元素外其它元素都为零的行列式称为对角行列式.例5证明　阶对角行列式EMBEDEquation.3；EMBEDEquation.3称主对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为下（上）三角形行列式.例6　证明，． 请同学们理解逆序数的求法 课后作业 P25-261,2.分教案 授课主题 第一章§4-§6 课次 2 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 4 教学目的要求 掌握行列式的性质并利用性质计算行列式. 教学重难点 行列式的性质及计算 教学内容纲要 备注 §4　对换1　对换的概念定义4．1在一个排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．若对换的是相邻的两个元素，则称为相邻对换．2　对换的性质定理1一个排列任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证先证相邻对换的情形；再证一般对换的情形．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．证由定理1.1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是逆序数为零的偶排列，故推论成立。3　定理2　阶行列式也可定义为，其中为排列的逆序数.§5行列式的性质一、行列式的基本性质把行列式的行、列互换所得到的行列式称为的转置行列式，记作，若记　则．性质1行列式与它的转置行列式相等，即.证将的转置行列式记作，则．由定义知于是由定理1.2推出：．由性质1可知，行列式中行与列具有对等的地位，对行成立的性质，对列也成立，反之亦然。以下我们仅讨论行的性质，然后引申到列即可．性质2行列式两行（列）互换，行列式的值变号．以表示第行，表示第列，则表示交换两行，表示交换两列．由性质2即可得到下面的推论推论若行列式中有两行（列）元素对应相等，则的值为零．性质3用数乘以行列式，等于将数乘到的某一行（列）中所有的元素上。证按定义，，则EMBEDEquation.3．推论1行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.第行（列）乘以，记为（）；第行（列）提出公因子，记为（或）。推论2若行列式有一行（列）的元素全为零，则其值为零.性质4若行列式有两行元素对应成比例，则其值为零.下面的性质称为“拆行”：性质5若的某一行（列）的元素都可表为两数之和，则以下等式成立：证按定义，=EMBEDEquation.3．性质5把行列式某一行（列）的各元素倍加到另一行的对应元素上去，行列式的值不变．．行列式性质2、3、5涉及到行列式的三种运算：换行（列）、倍乘、倍加，即，，和，，。二、运用性质计算行列式利用行列式的性质可有效地简化行列式的计算．如利用性质把行列式化成上三角行列式，便可直接得到行列式的值。例7　计算．对于元素排列有某些明显规律的行列式，可根据其特点采用一些计算技巧，常用的如建立递推和用数学归纳法等．例8计算行列式．例9计算行列式例10　设　，　　　　　，　　，证明　　．证对作运算，把化为下三角形行列式：，对作运算，把化为下三角形行列式：，于是，对的前行作运算，再对后列作运算，就可把化为下三角形行列式故　　．例11　计算阶行列式§6　行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式定义1在阶行列式中任取一个元素，划去所在的第行、第列，剩下来的阶行列式称为元素的余子式，记作；记称为元素的代数余子式．例如　在中，元素的余子式是，而它的代数余子式是．引理如果阶行列式的第行除外的其余元素都为零，则这个行列式等于与其代数余子式的乘积，即 黑板演示一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现,且为奇数次邻换实现提问n元排列共有n!个，其中奇、偶排列的个数相等，各有多少个？提问如何计算行列式？讨论具有怎样特点的行列式可用定义计算？讨论适用递推和数归法计算的行列式具有什么特点？提问行列式中各项的元素如何取得的? 。证先证最简单的情况：设，这是例10中时的情况，由例1.6的结论，即有．又因，故得　．再证一般的情况，设的第行除外的其余元素都为零：将的第行依次与上面的行逐行对换，再将第列依次与左面的列逐列对调，共经次对调，将调到了第1行第1列的位置上，所得的行列式记为，则，而在中的余子式仍然是在中的余子式。利用已证的结果有，因此．定理3阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即　，或　　　．证任选的第行，把该行元素都写作个数之和：　+　+，由引理即得　。按第列展开可类似证明．这个定理称为行列式按一行（列）展开法则．它为行列式计算提供了又一种思路：将阶行列式的计算转化为阶行列式的计算，这称为降阶．按定理3计算例7例12　证明范德蒙行列式其中记号表示全体同类因子的乘积．推论　行列式某一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零．即或　　　　注　例13设元的余子式和代数余子式依次记作,求 讨论此处证明为何不作2次的对调实现？ 课后作业 P26-284（2）（4）、　5（4）、　7(2)(4)(6)分教案 授课主题 第一章§7 课次 1 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 2 教学目的要求 掌握克拉默法则 教学重难点 克拉默法则及其逆否命题 教学内容纲要 备注 §4　克莱默（Cramer）法则一　Cramer法则（法则）设线性方程组，其系数行列式　　　　　，用常数向量替换的第列所得的阶行列式记作，即　,　（）．若，则线性方程组存在唯一解：　　　　　　例14　解线性方程组　　　　例15　设曲线，试求系数．解将在四个点的坐标代入得，关于的线性方程组其系数行列式是，转置得，是一个四阶范得蒙行列式，得．于是由克莱默法则知，方程组有唯一解，再分别计算：，　，　，　故于是所求曲线方程为　　 提问何谓齐次线性方程组？ 。（法则）的逆否命题是：定理4　如果线性方程组（1）的系数行列式,则（1）一定有唯一解．定理　如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式一定为零．二、齐次线性方程组如果线性方程组（1）的常数项都等于零，即称为齐次线性方程组。利用克莱默法则容易得到下面的定理：定理5若齐次方程组（2）的系数行列式，则它只有零解。其逆否命题是：定理6若齐次方程组（2）有非零解，则它的系数行列式一定为零．事实上，齐次线性方程组（2）有非零解它的系数行列式为零．例16　问取何值时，齐次线性方程组　有非零解？Cramer法则只能应用于方形的方程组，且系数行列式不能为零．在计算时需要计算个阶的行列式，当较大时计算量通常很大。因此Cramer法则的主要意义是在理论上，它明确指出了方程组的解与系数之间的关系，并给出了一种新颖的“块状处理”的模式． 讨论命题与逆否命题等价问题 课后作业 P2810（1）、　11单元教案 知识单元主题 第二章　矩阵及其运算 学时 10 教学内容（摘要） §1　矩阵　§2　矩阵的运算　§3　逆矩阵　§4　矩阵分块法 教学目的要求 1、理解矩阵的概念，了解零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等矩阵的特点。2、熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算规律。3、理解可逆矩阵的概念、性质、以及矩阵可逆的重要条件，理解伴随矩阵的概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。4、知道分块矩阵及其运算规律，掌握分块对角矩阵的计算。 教学重点难点 1.矩阵的计算2.矩阵的按行，列分块难点：逆矩阵的求法；分块矩阵的运算 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 教学后记 对一般分块矩阵只做了解，只掌握分块对角矩阵的计算，其它可弱化分教案 授课主题 第一章§1-§2 课次 2 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 4 教学目的要求 1、理解矩阵的概念，了解零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等矩阵的特点。2、熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算规律。 教学重难点 矩阵与矩阵的乘法 教学内容纲要 备注 第二章矩阵及其运算前一章讨论的Cramer法则，对于线性方程组不是方形的或其系数行列式等于零，便不能用了，但它的那种集成化处理的思想方法还是可以借鉴的。由此可以引向线性代数更重要的概念——矩阵。矩阵是许多学科使用频率很高的一个集成化的数学工具，凡涉及到多个方面相互关联的多元数量关系，往往可用矩阵来进行整体描述和处理。本章主要学习矩阵的基本代数运算——加法、数乘、乘法、转置、（方阵）取行列式、（可逆矩阵）求逆，以及矩阵的分块及分块矩阵的基本代数运算。§1矩阵一、矩阵的定义定义2.1由个数排成行、列，并加上括号，这样排成的数表：称为一个行列矩阵，简称EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3矩阵，通常记为或。有时也记作或，其中称为矩阵的(第行、第列的)元素。二、一些常用的特殊矩阵个元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为.只有一行的矩阵称为行矩阵：.只有一列的矩阵称为列矩阵:，行数等于列数（即）的矩阵称为阶方阵。下面是几种特殊的方阵：若时，即,则称为阶下三角矩阵．若时，即，则称为阶上三角矩阵．若时，即则称它为对角矩阵．它既是上三角阵，也是下三角阵，可以记作。若为阶对角矩阵，且主对角元素全相等，即，则称为阶纯量矩阵。特别地，若，即，则称为阶单位矩阵．当且仅当，是同型矩阵（即行数相等、列数也相等）、且它们的对应元素相等（即）时，则称矩阵与矩阵相等，记作．§2矩阵的运算一、矩阵的加法定义2.2设矩阵和，那么矩阵与的和记作，规定其和为根据定义容易验证矩阵的加法满足下列运算律（都是同型矩阵）：（1）交换律：；（2）结合律：；若，则存在矩阵，满足．称为的负矩阵．由此可以定义矩阵的减法为。二、数与矩阵相乘（“数乘”）：定义2.3设矩阵，是一个数，规定与矩阵的乘积为矩阵的数乘满足下列运算律（设为同型矩阵，为数）：（1）交换律：；（2）结合律：；（3）第一分配律：；（4）第二分配律：.矩阵的加减运算以及数乘统称为矩阵的线性运算．例1设，，求．三、矩阵的乘法定义2.4设是一个矩阵，是一个矩阵，则规定矩阵A和矩阵B的乘积是一个矩阵，其中上述定义表明，乘积矩阵的第行第列元素，是的第行的个元素与的第列的个元素一一对应相乘的乘积之和。因此只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，这两个矩阵才可乘，我们称为左乘，或右乘。例2　设，，求.矩阵的乘法应注意以下几点：1.任意两个矩阵未必可乘，应首先考察矩阵的规格，以确定是否可乘以及乘积的规格．2.交换律一般不成立．一般来说；即使是同阶矩阵相乘，交换律一般也不成立。例如设，B=，容易验证。而如果成立，则说矩阵与可交换。3.消去律一般不成立，即由，不能断定或。例如，因此，即使，一般由也不能推出．但矩阵的乘法仍满足以下运算律（假设运算都可行）：（1）结合律：；（2）左分配律：；右分配律：；（3）与数乘可交换：。对单位矩阵E，容易验证，可见单位矩阵E在矩阵乘法的运算中的作用类似于数的运算中“1”的作用。由于数量矩阵EMBEDEquation.3故当它乘方阵时便有EMBEDEquation.3和．利用矩阵的乘法，可以将线性方程组表示成矩阵形式并简记为，其中，，。即为线性方程组的系数矩阵，称X为未知数（变元）向量，为常数向量．而矩阵称为线性方程组的增广矩阵．例3若A，B，C都为同阶的对角矩阵，，容易验证ABC仍为对角矩阵，且ABC=．推广之，有限个同阶对角矩阵的乘积还是对角矩阵，其主对角元就是各个对角矩阵对应的主对角元相乘积。有了矩阵的乘法，可以定义阶方阵的幂：定义2.5设是阶方阵，当为正整数时，的幂运算规定为：．．从定义知，就是个的连乘，显然只有方阵才有幂。由于矩阵乘法符合结合律，所以方阵的幂满足以下运算律（其中为正整数）：，，注　对两个阶方阵、来说，一般．因此，一些熟知的的乘法公式一般不再成立，如、，等等。但只要与可交换，则这些公式就都成立了。例4设，求（为正整数）。解：逐次相乘　　=EMBEDEquation.3=，　　=EMBEDEquation.3=，　……………………………………………………于是猜测：=下用数学归纳法证明之：当，上已见结论成立。假设时结论成立，则时：=EMBEDEquation.3=所以对任意的的正整数，均有=。四、矩阵的转置定义2.6把矩阵的行、列互换，得到一个矩阵，称为的转置，记为，即：．转置也是矩阵的一种代数运算，满足下述运算律（设运算是可行的）：（1）；（2）；（3），(是数)；（4）。证：我们仅证明（4）：设，记，，，则有，，。故．若，即有，则称为对称矩阵；若，即有，则称为反对称矩阵；对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，而反对称矩阵的主对角线上所有元素均为零，其余元素以主对角线为对称轴对应相反．例5　设列矩阵满足为阶单位矩阵，，证明是对称矩阵，且．五、方阵的行列式定义2.7由n阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记作或det。对方阵取行列式，是施加于方阵的一种运算，且满足下列运算律（、为阶方阵，为数）：（1）；（2）；（3）。例6设，其中是行列式中元素的代数余子．试证证：记，据第一章的性质8，有：EMBEDEquation.3，（），故，类似地亦可证有．本例中的方阵，是由方阵所唯一确定的，称为的伴随矩阵．六、共轭矩阵设称为的共轭矩阵． 提问矩阵与行列式的本质区别？提问对角线上的元素行列标特点？提问数乘行列式如何乘的？说明为何称为矩阵的线性运算？提问同学们所学的运算还有哪种不满足交换律？提醒同学注意此处公式2，再次强调数乘行列式和矩阵的区别. 课后作业 P53－56　3、　4（4）、7、　9分教案 授课主题 第二章§3-§4 课次 2 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 4 教学目的要求 1、理解可逆矩阵的概念、性质、以及矩阵可逆的重要条件，理解伴随矩阵的概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。2、知道分块矩阵及其运算规律，掌握分块对角矩阵的计算。 教学重难点 分块矩阵及其运算规律 教学内容纲要 备注 §3　逆　矩　阵1、可逆矩阵的概念定义2.8对于阶方阵，若存在一个同阶方阵，能使，则称方阵可逆，称是的逆矩阵．的逆矩阵记为．注1　若方阵可逆，则的逆矩阵是唯一的．事实上，若、都是的逆矩阵，由、，便可推出，所以的逆矩阵唯一．2、矩阵可逆的充要条件以及求逆阵的公式定理2.1方阵可逆的充分必要条件是．证：必要性：设可逆，即存在，由，知．充分性：设，由例2.5知有．因，便可导出，于是由定义知可逆，且得求逆公式：．若，称为非奇异的，即“可逆”等价于“非奇异”．推论设、是同阶方阵，若有（或），则、皆可逆，且、互为逆矩阵．3、逆矩阵的性质（1）若可逆，则亦可逆，且；（2）若可逆，数，则亦可逆，且；（3）若、同阶且皆可逆，则亦可逆，且；（4）若可逆，则亦可逆，且；注2　若可逆，则由可推出；即对可逆矩阵，消去律成立．当时，定义：，（其中为正整数）当、为整数（正或负）时、均成立．　　例1　求二阶矩阵的逆矩阵．例2　设，求．例3　设求矩阵使其满足　　例4　设求．结合加法、数乘和乘法三种运算，可定义方阵的多项式：设有阶方阵和关于的次多项式，定义矩阵的次多项式为，易见仍是一个阶方阵．注3矩阵的任意两个多项式是可交换的，即．的计算方法：（1）如果，从而．（2）如果为对角矩阵，则从而　　　　　例5若方阵A满足，证明可逆，并求其逆。证由及与可交换得：，即，由定理2.推论知，可逆，且有．§4矩阵分块法把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小矩阵的运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。一、矩阵的分块定义2.9用一些纵、横虚线将矩阵分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵，各个小矩阵称为的子块．例如其中，，，．也可以按行分块：，或按列分块：．二、分块矩阵的运算对分块矩阵进行运算时，可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理，但应保证运算的可行．1、分块矩阵的加法、数乘和转置设矩阵、是两个同型矩阵，且分块法一致，即：，其中每一与的规格都对应相同，则规定加法为；设为数，则规定数乘为；规定转置为．2.、分块矩阵的乘法设是矩阵，是矩阵．若将分为个子块，将分为个子块，且的列与的行分块法一致，则规定与的乘法为其中，．例1　设，，求．三、分块对角阵设是阶矩阵，若的一个分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，即，其中是阶小方阵（阶数可不同），，，而其余的非主对角子块都为零矩阵，那么称为的分块对角矩阵．例如：若记，则，，．注1分块对角阵有以下性质（1）若，则　；（2）若每一，则有．证　由知存在，由便得．　　例2　设，求．例3设，其中皆为可逆方阵（不必同阶），求证可逆，并求．对矩阵分块时，应特别重视按行和按列分块：矩阵按行分块，矩阵按列分块　注1　　．例4　设．线性方程组简记为，其中，，．也可记为．四、克拉默法则的证明 课题引入：矩阵与数相仿，有加、减、乘三种运算，矩阵的乘法是否也和数一样有逆运算呢？提醒:类比记忆此处公式3和矩阵乘积转置公式.板书：对C=AB相应矩阵进行按行列分法，及左行右列口诀. 课后作业 P53－5611（3）、　12（4）、13（2）　　　　26、　28、　29（1）、　30（2）单元教案 知识单元主题 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 学时 8 教学内容（摘要） §1　矩阵的初等变换§2　矩阵的秩§3　线性方程组的解 教学目的要求 1、掌握矩阵的初等变换，并会用初等行变换求矩阵的逆；2、理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵秩的原理，掌握用初等变换求矩阵秩的方法，知道矩阵的秩与标准形关系；3、掌握齐次与非齐次线性方程组有解的条件；4、熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法。 教学重点难点 矩阵的初等变换；用初等行变换求矩阵的逆；矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩；用矩阵的初等行变换解线性方程组。难点：矩阵的初等变换；　矩阵秩的概念；　线性方程组有解的条件 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 教学后记 加强初等变换矩阵乘法关系这一部分内容的教学。部分同学对初等（行）变换求逆矩阵的原理理解不够.分教案 授课主题 第三章§1 课次 2 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 4 教学目的要求 掌握矩阵的初等变换，初等矩阵；理解初等变换与矩阵乘法关系. 教学重难点 理解初等变换与矩阵乘法关系，部分学生对初等（行）变换求逆矩阵的原理理解不够. 教学内容纲要 备注 第三章矩阵的初等变换与线性方程组§1矩阵的初等变换一、分析用消元法解线性方程组的过程方程组（1）的增广矩阵二、初等变换的概念定义3.1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调两行（对调、两行，记为），称为对调变换；（2）用数乘某一行中所有元素（第行乘记为），称为倍乘变换；（3）把某一行所有元素的倍加到另一行的对应元素上（第行的倍加到第行上记为），称为倍加变换．将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义（将记号换成）．矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换．初等变换都存在着逆变换，如变换的逆变换就是其本身；变换的逆变换为；变换的逆变换为；定义3.2如果矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，则称矩阵与行等价．记为；如果矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，则称矩阵与列等价．记为；如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，则称矩阵与等价．记为．注1　等价关系具有下面三条性质：1．反身性：；2．对称性：若有，则必有；3．传递性：若有、，则必有．容易验证矩阵之间的初等变换满足上面等价关系的三条性质。三、利用初等行变换解线性方程组（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）上面矩阵对应方程组，取为自由未知量，并令，即得其中是任意常数．行阶梯形矩阵的特点：可划一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，称为非零首元．行最简形矩阵的特点：行阶梯形，非零首元为1，且非零首元所在的列的其他元素都为0．注2　对于任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．初等变换的主要作用是化简矩阵而保持其等价性(这在用矩阵解线性方程组中很重要)。化简矩阵的主要过程是：首先通过初等行变换把化成行阶梯形矩阵，然后继续用初等行变换把化成行最简形矩阵。此后如果再用初等列变换，还可将进一步化成标准形.注3　对于任何矩阵总可以经过有限次初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形　此标准形由三个数完全确定，其中就是行阶梯形矩阵的非零行的行数．所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的一个．例1设，把化成行最简形．二初等矩阵一、初等矩阵的概念定义3.3单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵（初等方阵）．1、对调两行或对调两列由单位矩阵的第、j行（列）对调而得到的初等矩阵，记作2、以数乘某行或某列由单位矩阵第行（列）乘而得到的倍乘初等矩阵，记作；3、倍加变换得倍加初等矩阵由单位矩阵的第行的k倍加到第行而得到（也就是由单位矩阵E的第列的k倍加到第列而得到）的初等矩阵，记作（）（）注1　初等矩阵皆可逆，且它们的逆阵仍为同类初等阵。由于，。二、初等矩阵的应用容易验证：导致的第，行对调；导致的第，列对调；导致的第行乘EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3；导致的第列乘EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3；导致的第行的倍加到第行；导致的第列的倍加到第列。定理1设是一个矩阵，对进行一次初等行变换，相当于在的左边乘一个相应的阶初等矩阵；对进行一次初等列变换，相当于在的右边乘一个相应的阶初等矩阵。定理2矩阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使得.推论1　方阵可逆推论2矩阵存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得.(此推论证明留给读者)注2　对可逆矩阵和同阶单位矩阵作同样的初等行变换，则把变成单位矩阵的同时，单位矩阵也就变成了．证　由定理2知，若，则（其中为初等矩阵，）由此推得　　．于是　．所以对和施行相同的初等变换，则变成了,变成了．例1设，求．注意：用初等行变换求的逆矩阵（或求解线性方程组）时，不必验证是否可逆，如果作变换时左边子块出现了全零行，则表明不可逆，此时需要另行讨论了。对于个未知数个方程的线性方程组，若可逆，则线性方程组的解为．由知：利用矩阵的初等行变换当将变成时，就变成，此即方程组的解．例2　设,，求线性方程组的解．　　例3　求解矩阵方程,其中.分析　学生思考：如何求？对矩阵作初等列变换，使　即可得.或者改为对作初等行变换，使即可得,　从而求得． 课题引入：对用消元法解线性方程组的三个手续抽象为对矩阵的初等变换.并从解方程的角度说明非零数乘的必要性. 课后作业 P79－813（2）、　4（1）、　5分教案 授课主题 第三章§2-§3 课次 2 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 4 教学目的要求 理解矩阵的秩，掌握线性方程组的解. 教学重难点 矩阵的秩，线性方程组解的判定定理 教学内容纲要 备注 §2　矩阵的秩一、矩阵秩的概念给定矩阵，它的标准形　由数完全确定，这个数就是行阶梯形矩阵的非零行的行数，便是本节要讨论的矩阵的秩．定义3.4在矩阵中，任取行与列,位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得的阶行列式，称为矩阵的阶子式．．定义3.5　设在矩阵中有一个阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于，那么称为矩阵的最高阶非零阶子式，数称为矩阵的秩．记作.注1（1）规定零矩阵的秩等于0．（2）在中当所有阶子式全为0时，则所有高于阶的子式也全为0．（3）若中有某个阶子式不为0，则；若中所有阶子式全为0，则．（4）若为矩阵，则．（5）.对于阶矩阵,当时，，当时，，故可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵．例1　例2　二、矩阵秩的求法定理3　若，则.定理3为我们提供了一个十分便捷的求秩方法：对于给定的矩阵，只要用初等变换把它变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的非零行的行数即是矩阵的秩．例3　并求的一个最高阶非零子式．例4　，求矩阵及矩阵的秩．　　例5　已知，求的值．三、矩阵秩的性质（归纳总结）1、若为矩阵，则．2、.3、若，则．4、若可逆，则.5、,特别地，.6.设与可加，则有．7．设与可乘，则．8．9．若为阶可逆阵，则．10．若是分块对角阵：，则有．例6　设为阶矩阵，证明．§3　线性方程组的解一、线性方程组的三种形式线性方程组的一般形式是这种形式称为联列方程形式．根据向量的线性运算，上述形式还可以写作：　并进一步记作　　它表达了一组向量之间的线性表示关系，因此这种形式称为方程组的向量形式．根据矩阵分块运算的法则，式又可进一步写作：并进而记为：　　　　上式就是一个矩阵方程，故称为矩阵形式．这三种形式，所记的是同一个对象，只是所用工具不同、表达视角不同而已。通过这三种形式，矩阵、向量组、方程组三者互相沟通了，这便于我们从不同的角度、运用不同的工具来剖析线性方程组的内涵。例如　若方程组的联列方程形式为，则其向量形式为，矩阵形式为．二、线性方程组的求解线性方程组的系数矩阵为记　　　称为方程组的增广矩阵．定理4.　元线性方程组（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解．定理的证明过程给出了解方程组的步骤．例1　求解齐次线性方程组例2　求解非齐次线性方程组解　对其增广矩阵作行初等变换，EMBEDEquation.3由此可知，，故此方程组无解．例3　求解非齐次线性方程组例4　设有线性方程组，问取何值时，方程组有唯一解；　无解；　有无穷多个解？并在有无限多解时求其通解．解法一这是方形的方程组，考虑克莱默法则常常较方便因此，当时，方程组有唯一解．当时，,此时，故方程组无解．当时，，此时，故方程组有无穷多个解，且其通解为解法二对增广矩阵作初等行变换，此时应小心防止出现增根或失根．　EMBEDEquation.3，于是当且时，方程组有唯一解；而当时方程组无解；当方程组有无穷多个解．如解法一．三、线性方程组解的存在性理论定理定理5　线性方程组有解．定理6　元齐次线性方程组有非零解．定理7　矩阵方程有解．定理8　设，则．定理9　矩阵方程只有零解． 概念辨析：子快，子式，余子式 课后作业 P79－80　　9（3）、　11、15、20、21单元教案 知识单元主题 第四章　向量组的线性相关性 学时 10 教学内容（摘要） §1　向量组及其线性组合§2　向量组的线性相关性§3　向量组的秩　§4　线性方程组的解的结构§5　向量空间　 教学目的要求 1、理解维向量、向量组的概念，掌握向量组与矩阵对应关系。2、理解向量组的线性组合、线性相关性、两向量组等价等概念。3、理解向量组的最大无关组与秩的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组。4、掌握齐次线性方程组的基础解系的求法，非齐次线性方程组通解的构造，系数矩阵秩与解向量集合秩之间的联系。 教学重点难点 向量组的线性相关性；用矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组；齐次线性方程组的基础解系的求法.难点：向量组的线性相关性；向量组的最大无关组的求法 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 教学后记 讲这一部分内容概念较多，要充分理解各概念间的联系，多留时间给学生思考分教案 授课主题 第四章§1-§2 课次 2 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 4 教学目的要求 1、理解维向量、向量组的概念，掌握向量组与矩阵对应关系.2、理解向量组的线性组合、线性相关性、两向量组等价等概念. 教学重难点 向量组的线性相关性 教学内容纲要 备注 §1向量组及其线性组合一、维向量1．维向量的概念定义4.1由个有次序的数所组成的数组称为维向量，其中称为向量的第个分量．个分量都是实数的向量称为维实向量，分量是复数的向量称为维复向量．本课程一般只讨论实向量．2、维向量的表示方法向量写成一行，称为行向量，通常记作或．全体维实向量的集合记作．向量写成一列，称为列向量，通常记为、、等．行的形式和列的形式不能混写．3、维向量的运算向量也是矩阵，规定行(列)向量按矩阵的运算规律进行运算．二．向量组的线性组合若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合叫做向量组．注1　一个矩阵对应一个维列向量组(也对应一个维行向量组．定义4.2　给定向量组，对于任何一组实数线性组合．称为这个线性组合的系数．给定向量组和向量，如果存在一组实数，使则向量是向量组的线性组合．也称向量能由向量组线性表示．　　易知：向量能由向量组线性表示有解．定理1　向量能由向量组线性表示的充要条件是三．向量组的等价性定义4.3　设有两个向量组及，若中每一个向量都能由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示．若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价．向量组中的每个向量都能由向量组线性表示(即对每个有数，使，从而　　　　这里，矩阵称为这一线性表示的系数矩阵．注2　若，则（1）的列向量组可由的列向量组线性表示,为这一表示的系数矩阵.（2）的行向量组可由的行向量组线性表示,为这一表示的系数矩阵.注3　矩阵与行(列)等价，则的行(列)向量组的行(列)向量组等价.向量组能由向量组线性表示就是矩阵方程有解．定理2　向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是,即.推论　向量组与向量组等价的充要条件例1　例2　．定理3　向量组能由向量组线性表示，则.证法一：向量组能由向量组线性表示，则存在矩阵,使.而,所以，即　证法二：根据定理2有　，而,　因此注意　向量组能由向量组线性表示，有矩阵,使.矩阵方程有解．例3　证明(　维单位坐标向量组能由维向量组线性表示的充要条件是．§2　向量组的线性相关性一、线性相关性的概念上一节依据向量的线性运算，定义了向量的线性组合和线性表示的概念，这使向量集中的向量相互之间具有了一种关系．这种立足于线性运算和线性表示基础上的关系，称为线性关系．定义4.4　给定向量组，如果存在不全为零的数使，则称向量组线性相关的，否则称它线性无关．　　注1　(1)含零向量的向量组必线性相关.　(2)一个向量线性相关(　．　(3)两个非零向量线性相关(．　　　　（4）能由其余个向量线性表示．　　　　（5）向量组线性无关当且仅当时有．向量组是否线性相关，就是齐次线性方程组是否有非零解．二、线性相关性的判定定理4　向量组线性相关　　　　　向量组线性无关．例4试讨论维单位坐标向量组的线性相关性．例5　试讨论向量组及向量组的线性相关性(　　例6　已知向量组线性无关(，试证向量组线性无关．三、线性相关性的性质定理5(1)若向量组线性相关(则向量组也线性相关；反之,若向量组线性无关(则向量组也线性无关.部分组线性相关(该向量组线性相关.向量组线性无关(任何部分组线性无关.　(2)个维向量组成的向量组(当维数小于向量个数时一定线性相关．特别地，个维向量一定线性相关．(3)设向量组线性无关(而向量组线性相关(则向量必能由向量组线性表示(且表示式是唯一的.　例7设向量组线性相关(向量组线性无关,证明(1)　能由线性表示；(2)　不能由线性表示． 复习：矩阵的线性运算.矩阵按行列分块和左行右列口诀 课后作业 P108－1123、　4分教案 授课主题 第四章§3-§4 课次 2 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 4 教学目的要求 理解向量组的最大无关组与秩的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组;掌握齐次线性方程组的基础解系的求法，非齐次线性方程组通解的构造，系数矩阵秩与解向量集合秩之间的联系. 教学重难点 向量组的最大无关组的求法. 教学内容纲要 备注 §3　向量组的秩秩是线性代数中最深刻的概念之一．向量组的秩，标示了它的“档次”，秩越大的向量组，功能就越强．一、向量组的最大无关组及向量组秩的概念定理5（1）指出：线性无关向量组的任何部分组必无关，但一个线性相关向量组的部分组可能无关，也可能相关．例如向量组中，线性相关，线性无关．由于单独一个非零向量是线性无关的，因此一个向量组只要不全是零向量，就必定含有无关的部分组．问题在于：它最多可以含有几个线性无关的向量？定义4.5　设有向量组，如果在向量组中能选出个向量满足　　(1)　向量组线性无关；(2)　向量组中任意个向量（如果存在个向量的话）都线性相关．那么向量组称为向量组的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）,最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩,记作.注1　只含零向量的向量组没有最大无关组，规定其秩为0．二、向量组的最大无关组及向量组秩的求法定理6　矩阵的秩等于它的列向量组的秩(也等于它的行向量组的秩．注2　向量组的矩阵的最高阶非零子式所在的列是的列向量组的一个最大无关组,所在的行是的行向量组的一个最大无关组.三、最大无关组的性质（1）不唯一性：向量组的最大无关组一般不是唯一的．（2）等量性：一个向量组的所有最大无关组所含向量的个数必相等（唯一确定的）．（3）等价性：一个向量组与它的任一最大无关组等价，并且它的不同最大无关组之间亦彼此等价．例1全体维向量构成的向量组记作，求的一个最大无关组及的秩．四、最大无关组的等价定义推论（定理3的推论）设有向量组是向量组的一个部分组，且满足　　(1)　向量组线性无关；(2)　向量组的任一向量都能由向量组线性表示；那么向量组便是向量组的一个最大无关组．例1　设齐次线性方程组　　　　　　　　　的全体解向量构成的向量组为，求的秩．　　例2　设矩阵,求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．　　五、向量组秩的有关定理定理1　设向量组含有个向量，则向量组是线性无关组的充要条件．定理2　记,向量组能由向量组线性表示的充要条件是定理3　若向量组可以由向量组线性表示，则.推论　等价的向量组等秩．例3　设向量组能由向量组线性表示,且它们的秩相等,证明向量组与向量组等价.§4　线性方程组的解的结构当线性方程组相容时它有解，将它的所有解组成的集合记作　称为这个方程组的解集．本节讨论其结构．一、齐次线性方程组设有齐次线性方程组　　若为的解，则称为方程组的解向量．　　1、齐次线性方程组解向量的性质性质1　若为（1）的解，则也是（2）的解．性质2　若为（1）的解，为实数，则也是（2）的解．2、齐次线性方程组解的结构设是齐次线性方程组解的集合，是的一个最大无关组(那么：　　（1）方程的任一解都可由线性表示；（2）的任何线性组合　都是方程的解；因此就是方程的通解．定义　齐次线性方程组（1）的解集的最大无关组称为它的基础解系．　　（1）由通解求基础解系　设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，不妨设的前个列向量线性无关．于是　　　　，可得方程组（1）的通解，，而（2）由基础解系写出通解在得到的方程组以后，令自由未知数取以下个数组：由（2）依次可得EMBEDEquation.DSMT4　EMBEDEquation.DSMT4,.合并起来即得的基础解系：.定理7设矩阵的秩,则元齐次线性方程组的解集的秩.例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.例2解线性方程组例3设，证明　．例4　设元齐次线性方程组与同解，证明．例5　证明　．二、非齐次线性方程组若，便是非齐次的，称与之对应的齐次方程组为导出方程组（“导出组”）．1、非齐次线性方程组的解与其导出组的解的关系（1）非齐次线性方程组的任意两个解之差是导出组的解；（2）非齐次线性方程组任一解与其导出组任一解之和仍是非齐次方程组的解．证（1）设为的任意两个解，则，由于EMBEDEquation.3，故是的解．（2）设任取分别满足：，则，所以是的解．注给定线性方程组，设，是其任一解，它的导出组的基础解系为，则的通解为．例6　已知3元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，是它的三个解，其中、，求的通解．解由条件知方程组相容，且有，，记，易见，故线性无关．由知：是导出组的解．又，故可作的基础解系，于是的通解为例7　求解方程组 课后作业 P108－11213(1)、　14(2)、　1522(1)、　28(2)、　29分教案 授课主题 第四章§5 课次 1 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 2 教学目的要求 了解向量空间　. 教学重难点 向量空间的定义. 教学内容纲要 备注 §5　向量空间前面讨论了中向量的线性运算、向量组的线性相关性等，而对向量关系更广泛地讨论和应用常需要完备的向量组，这就是本节所要讨论的——向量空间．一、向量空间的概念定义4.6设为的一个非空子集，如果满足：（1）对加法运算是封闭的，即（2）对数乘运算是封闭的，即；则称集合为（关于向量的线性运算构成实数域上的）向量空间．向量集合对加法和数乘运算封闭常常称它满足完备性．容易验证以前所提及的向量集合、、和都是向量空间．例1集合关于中的线性运算构成向量空间．例2集合不是向量空间．例3　齐次线性方程组的解集是一个向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）．例4　非齐次线性方程组的解集不是向量空间．　　例5　设为两个已知的维向量，集合是一个向量空间．这个向量空间称为由向量所生成的向量空间．一般地，由向量组所生成的向量空间为．例6　设向量组与向量组等价，记，，证明.二、子空间定义4.7设是向量空间的一个子集,如果关于中的线性运算，也能构成向量空间，则称是的一个子空间．三、向量空间的基与维数定义4.8设是一个向量空间，是中的一组向量，如果满足：(1)线性无关；(2)中的向量都可以由线性表示；则称向量组是的一个基，称为向量空间的维数，并称为维向量空间，记作．　　注(1)如果向量空间没有基,那么的维数为，维向量空间只含一个向量0．(2)若把向量空间看作向量组(则向量空间的基就是向量组的最大无关组(向量空间的维数就是向量组的秩.(3)若向量组是向量空间的一个基，则可表示为四、向量坐标如果在向量空间中取定一个基，那么中任一向量可唯一地表示为数组称为向量在基中的坐标．在维向量空间中取单位坐标向量组为基(则向量可表示为　　　　　　　　　　，可见向量在基中的坐标就是该向量的分量．向量组叫做中的自然基．例7　设　　　　例8　在中取定一个基,再取一个新基，设，．求用表示的表示式(基变换公式)，并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式)． 可再次解释线性运算慨念 课后作业 P108－11239、　　40单元教案 知识单元主题 第五章相似矩阵及二次型 学时 12 教学内容（摘要） §1向量的内积、长度及正交性§2方阵的特征值与特征向量§3相似矩阵§4对称矩阵的对角化§5二次型及其标准型§6用配方法化二次型成标准型§7正定二次型 教学目的要求 1.理解向量内积、矩阵特征值、特征向量的概念，理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可对角化的充要条件.2.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，了解二次型及二次型的秩、标准型、规范形等概念，会用矩阵表示二次型，会用正交变换法和配方法化二次型为标准型.3.了解惯性定理，理解正定二次型、正定矩阵、合同矩阵的概念，掌握正定矩阵的性质及其判别法. 教学重点难点 求解方阵的特征值和特征向量；二次型的正定性的判定.难点：向量的施密特正交化；相似矩阵的对角化；二次型正定性的判定. 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 教学后记 在二次型及其标准型方面要引导学生自己去找规律，加强同上一节课的联系.分教案 授课主题 第五章§1-§2 课次 2 教学方法手段 多媒体课件教学辅以板书推演 学时 4 教学目的要求 理解向量内积、矩阵特征值、特征向量的概念. 教学重难点 矩阵特征值、特征向量的概念;向量的施密特正交化. 教学内容纲要 备注 第五章相似矩阵及二次型§1向量的内积、长度及正交性我们规定此后所有的向量都专指列向量，行向量作为列向量的转置．一、内积的定义及性质定义5.1设有维向量，　，令　　　　　　　．称为向量与的内积．说明：内积是一种运算，其结果是一个实数,它是向量数量积的推广.若都是列向量,.内积的性质():；；；；二、向量的长度（范数）及性质定义5.2令长度（或范数）．当时，称为单位向量．向量长度具有的性质（1）非负性　（2）齐次性　；（3）三角不等式　．三、正交向量组的概念及求法1　正交向量组EMBEDEquation.DSMT4．若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．定理1　则线性无关．例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求一个非零向量两两正交．　　2.向量空间的规范正交基定义3　设维向量是向量空间的一个基，如果两两正交且都是单位向量，则称规范正交基．例如　　和都是的一个规范正交基．注　，它是向量在规范正交基中的坐标的计算公式．　　3　求规范正交基的方法（施密特正交化）一组两两正交的，这样一个问题，称为把．：取……再单位化　就是的一个规范正交基．注,称为施密特正交化的过程.EMBEDEquation.DSMT4向量组例2试用施密特正交化过程把这个向量组规范正交化.例3,使两两正交.四、正交矩阵与正交变换正交不仅是向量空间的一种度量关系，而且与矩阵的性质也有密切关系．定义5.4如果阶矩阵满足（即），则称为正交矩阵，简称正交阵．正交阵的性质：（1）正交阵可逆，其逆阵即其转置，且仍为正交阵；（2）正交阵的行列式为；（3）正交阵之积仍为正交阵；（4）若阶方阵为正交阵，则的行（列）向量组构成的规范正交基．证（1）、（2）、（3）的证明都很容易，留给读者作为练习．下证（4）：设为阶正交阵，将的列向量记为：，则．由正交阵的定义得：EMBEDEquation.3则有　　　　　　　，故是的一个正交规范基．对的行向量类似可证．例4　验证矩阵是正交矩阵．　　定义5.5若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换．正交变换的性质：正交变换保持向量的长度不变．§2　方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值、特征向量的概念及其计算定义5.6设是阶方阵，若有数和非零列向量，满足等式则称为方阵的特征值，为的对应于特征值的特征向量．为求的特征值和特征向量，将（1）式写成这是关于的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是其系数行列式即　　　　　　　　（3）式的左端展开是一个关于的次多项式，称为的特征多项式，记作，（3）式是关于的次方程，称为的特征方程．据代数基本定理，这个方程在复数域上有且仅有个根，称为特征根，记作，它们就是所求的矩阵的特征值．由此可知阶方阵在复数范围内有且仅有个特征值．求出特征值以后，将这些特征值逐一代入齐次方程（2），解出的非零解向量，就是属于该特征值对应的全部特征