上交所债券利率期限结构与两因子Vasicek模型

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 42 卷 　第 5 期 2003 年 10 月 复 旦 学 报 (自然科学版) Journal of Fudan University (Natural Science) Vol. 42 No. 5 Oct . 2003 　　文章编号 :042727104 (2003) 0520773206Ξ 上交所债券利率期限结构与 两因子 Vasicek 模型 范龙振 (复旦大学 管理学院 , 上海 　200433) 摘 　要 : 以上交所债券价格隐含的利率期限结构数据作为分析对象 ,利用主成份分析法分析发现 ,至少需要两 个状态变量 ,利率模型才可能反映利率期限结构的变化 ,因此利用 Kalman 滤波法及极大似然估计法 ,估计了连 续时间的两因子 Vasicek 模型. 发现此利率模型可以很好解释 1 年期、2 年期、3 年期利率的相对变化 ,模型下的 利率变化与实际利率的变化一致. 但对 4 年期、5 年期利率的拟合有一定的误差 ,主要现在 1998 年利率变化 幅度较大时. 这种差别可能有两个方面原因. 一种可能是 1998 年左右一段时间 ,市场没有准确预期利率将来的 下降走势 ,导致 4 年期、5 年期利率的市场观测值过高 ;另一种可能是模型不是一个异方差模型 ,并且模型下的 风险金是常数 ,不能反映风险金的变化. 而在 1998 年左右 ,市场利率波动较大 ,投资者承受的市场风险也较大 , 投资者对长期债券可能更高的风险金 ,从而导致长期债券的收益率较高. 关键词 : 两因子 Vasicek 模型 ; 利率期限结构 ; 上海股票交易所 ; Kalman 滤波 中图分类号 : F 830. 91 　　　　文献标识码 : A Vasicek 模型[1 ]是关于利率期限结构的一个均衡定价模型 ,它反映了债券的风险金及投资者关于将来 利率变化的预期. 在 Vasicek 模型下 ,债券及很多利率衍生证券的价格有很简单的分析表达式. 第一个 Vasicek 是一个单因子利率模型 ,而由于现实中利率的变化很难用单因子描述 ,后来人们把单因子模型推 广到多因子 Vasicek 模型 ,多因子 Vasicek 模型同样可以非常简便地评价债券的价格与风险. 虽然后来出 现了很多更为复杂的利率模型 ,如 CIR[2 ] ,Affine[3 ]等 ,但由于 Vasicek 模型在定价债券价格和风险方面的 简便性 ,Vasicek 模型仍是一个非常重要的利率模型. 在我国 ,以交易所形式交易国债开始于 1991 年. 上海股票交易所从 1991 年开始交易国债 ,后来 , 1996 年深圳交易所也开始了国债交易 ,银行间国债交易市场也在 1996 年后形成. 国债市场是资本市场的 一个重要组成部分. 国债交易的一个重要作用是提供了一个基准市场利率期限结构. 通过国债交易价 格 ,可以准确地了解短期、中期和长期利率及其变化. 利率不仅直接决定了国债价格 ,而且也对其他金融 资产的价格变化有重要影响. 由于交易所国债市场还较小 ,债券品种较少 ,多是中期债券 ,提到当前的市 场利率 ,人们还习惯于以银行储蓄存款利率作. 银行存款利率包括 1 年以下期 ,1、2、3、5 年期存款利 率 ,但从 1991 年以来 ,银行储蓄存款利率的历次调整中 ,1、2、3、5 年期利率如果都换算成年实质利率 (ef2 fective rate annually) ,它们几乎没有差异. 而从 1991 年至现在 ,我国利率的变化之大 ,超出了世界上很多 发达国家市场 ,因此银行利率存款既不能反映人们对利率变化的预期 ,也不能反映长期存款与短期存款在 利率风险之间的差别. 与银行储蓄存款利率不同 ,交易所债券市场的债券价格是由投资者交易债券形成 的价格 ,是一个市场化的价格 ,其价格变化反应了利率的变化 ,利率变化的预期 ,以及不同债券的风险. 从 中央银行对利率的管理角度来看 ,中央银行对存贷款利率的规定对债券市场利率有很大的约束作用 ,但随 着利率市场化的改革 ,以及债券市场规模的扩大 ,交易活跃程度的提高 ,投资者的理性 ,交易所国债市场隐Ξ 收稿日期 : 2003205222 作者简介 : 范龙振 (1967 —) ,男 ,博士 , 副教授. © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 含的利率期限结构将很大程度上代表当前的市场利率. 事实上 ,国债交易隐含的利率与银行存款利率一 直有很大的差异 ,债券市场利率表现出非常明显的期限结构. 作为投资者 ,自然要关心国债隐含的利率期限结构及其变化 ,从而制定有效的投资和风险管理策略 ; 政策制订者也要研究、了解当前的债券利率期间结构及其变化 ,从而制定相应的政策 ,影响利率的变化和 走向 ;研究利率的期限结构及其变化还可以揭示经济变量和利率变化的关系. 由于国债市场和利率的重 要作用 ,国外有大量的关于债券市场的实证分析和市场利率变化模型的研究. 研究思路主要有两种. 一 种是研究利率变化的经济学解释 ,如经济学中的预期假设能否解释利率期限结构及其变化 ,利率变化与经 济变量的关系等[4、5 ] . 另一种思路是怎样利用符合金融理论的利率模型描述利率期限结构及其变化[628 ] . 不同到期日利率虽然不同 ,但有很强的内在联系 ,其变化具有很强的相关性 ,利率模型是从金融理论下反 映这种相互联系以及利率的变化规律 ,其研究具有很强的实用价值 ,是债券价格和风险评价的基础. 1 　两因子 Vasicek 模型 不同到期日的利率虽然不同 ,但其变化具有很强的关联性 ,一般认为它们受某个或几个共同变量的影 响 ,这些变量成为状态变量. 由主成份分析法分析知道 ,描述上交所债券市场利率期限结构的利率模型应 该是一个两因子模型 (主成份分析法分析结果略去) . 下面试图利用两因子 Vasicek 模型描述上交所债券 市场的利率期限结构. 首先对两因子 Vasicek 模型进行分析. 在两因子 Vasicek 模型下 ,短期利率与状态变量具有关系 rt = A 0 + F1 t + F2 t , (1) 其中 rt 代表短期利率 , A 0 为常数 , F1 t , F2 t是决定利率取值的两个状态变量. 在风险中性概率 Q 下 ,状态 变量的变化服从均值回复过程为 d F1 t F2 t = - k1 　0 　0 - k2 F1 t F2 t d t + σ1 0 0 σ2 d w 1 t d w 2 t , (2) 其中参数 k1 , k2 分别代表状态变量的均值回复速度 ,参数σ1 ,σ2 代表状态变量的年波动率. 在风险中性 概率下 ,状态变量的无条件均值为 0 ,因此 A 0 是风险中性概率下短期利率的长期平均值. 在现实概率 P 下 ,短期利率的变化服从过程 d F1 t F2 t = - k1 　0 0 - k2 F1 t F2 t d t + σ1 0 0 σ2 d “w 1 t d “w 2 t + λ1λ2 d t = λ1λ2 d t + - k1 　0　0 - k2 F1 tF2 t d t + σ1 0 0 σ2 d “w 1 t d “w 2 t = k1 00 k2 λ1k1λ2 k2 - F1 t F2 t d t + σ1 0 0 σ2 d “w 1 t d “w 2 t . (3) 在现实概率 P 下 ,状态变量的条件期望和条件方差为 E ( Ft + h Ft) = λ1 k1 λ2 k2 + exp ( - k1 h) exp ( - k2 h) F1 t F2 t - λ1 k1 λ2 k2 , (4) var ( Ft + h Ft) = σ21 1 - e - 2 k1 h 2 k1 0 0 σ22 1 - e - 2 k2 h 2 k2 . (5) 　　给定短期利率与状态变量的关系 ,以及利率的风险金 ,长期利率的取值及其变化由风险中性下短期利 率的过程决定. 时间 T 到期的面值为 1 的不付息债券的价格为 477 复 旦 学 报 (自然科学版) 　　　　　　　　　　　　　　　　第 42 卷 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net P ( T - t)t = EQt [exp ( - ∫Tt rsd s) ] = EQt [exp ( - ∫ T t ( A 0 + F1 s + F2 s) d s) ]. 经计算 ,期限为τ的即期利率的取值为 y (τ)t = A 0 + 1 - e - k1τ k1τ F1 t + 1 - e - k2τ k2τ F2 t - σ21 k21 [1 - 2 1 - e - k1τ k1 + 1 - e - 2 k1τ 2 k1τ ] - σ22 k22 [1 - 2 1 - e - k2τ k2τ + 1 - e - 2 k2τ 2 k2τ ] 　　τ = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 . (6) 2 　两因子 Vasicek 模型的估计方法———Kalman 滤波法 我们可以观测到的只有 1、2、3、4、5 年期利率 ,短期利率和两个状态变量都是不可观测的. 要根据利 率期限结构的观测值估计两因子 Vasicek 模型的参数 ,一种自然的选择方法就是 Kalman 滤波法. 在 Kalman 滤波法下 ,可观测变量是 1 至 5 年期利率 ,两个状态变量是 F1 t , F2 t . 记　C (τ)0 = A 0 - σ21 k21 [1 - 2 1 - e - k1τ k1 + 1 - e - 2 k1τ 2 k1τ ] - σ22 k22 [1 - 2 1 - e - k2τ k2τ + 1 - e - 2 k2τ 2 k2τ ] , C (τ)1 = 1 - e - k1τ k1τ , 　　C (τ) 2 = 1 - e - k2τ k2τ , 则 y (τ)t = C (τ) 0 + C (τ) 1 F1 t + C (τ) 2 F2 t . (7) 记 　　　Y t = y (1)t y (2)t … y (5)t , 　C0 = C (1)0 C (2)0 … C (5)0 , 　C1 = C (1)1 C (1)2 C (2)1 C (2) 2 … … C (5)1 C (5) 2 , 　Ft = F1 t F2 t , 　et = e (1) t e (2) t … e (5) t , 用向量形式表达可观测变量与状态变量的关系为 Y t = C0 + C1 Ft + et . (8) 　　从理论上讲 ,利率完全由状态变量的取值决定 ,但这儿有 5 个可观测利率 ,仅有 2 个状态变量 ,必须引 入误差项. 误差项可以认为是观测值的随机误差 ,或者从交易价格求利率过程中造成的随机误差 ,记为 et ,其数学期望为 0 ,方差为　var ( et) = H. 记 　　　D = λ1 k1 λ2 k2 , 　Φ= exp ( - k1 h) exp ( - k2 h) , 　ηt = η1 t η2 t , 状态变量的变化可表达为 F1 + h = D + Φ[ Ft - D ] +ηt + h , (9) ηt + h是随机误差项 ,其数学期望为 0 ,方差为 var (ηt + h) = var ( Ft + h Ft) = σ21 1 - e - 2 k1 h 2 k1 0 0 σ22 1 - e - 2 k2 h 2 k2 . 由于在 Vasicek 模型下 ,利率仍服从正态分布 ,利用 Kalman 滤波法及极大似然估计法估计 Vasicek 模型的 有关参数是一种最优的估计方法. 参数估计的基本思路如下 ,关于 Kalman 滤波的详细估计方法见文献 577第 5 期 　　　　　　　　　　　范龙振 :上交所债券利率期限结构与两因子 Vasicek 模型 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net [9 ]. F^ 的初值及初始条件方差取它的无条件均值及无条件方差 ,即 F^0 = D , 　　vec P^0 = [ I - (Φ á Ф) ] - 1vec ( Q) , F^t 的预测方程为 Ft| t - h = D + ΦõF^t - h - D」, (10) 预测值的条件方差为 Pt| t - h = ΦP^t - hΦ′+ Q t . (11) 记 　　　U t = Y t - C0 - C1 Ft| t - h , 　　V t = C1 Pt| t - hC1′+ H , 则 U t 服从正态分布 ,其似然函数为 - 2ln L t = ln V t + U t′V - 1t U , (12) 参数的选取应该满足 min { parameters} 6t 2ln L t . (13) 在 Kalman 滤波法中 ,状态变量估计值的递推算法为 : 令 Kt = Pt | t - hC1′V - 1t , 　　L t = I - Kt C1 , 则估计值为 F^t = Ft| t - h + Kt u t , 估计值方差的递推算法为 P^t = L t Pt| t - h . 3 　估计结果及其讨论 考虑到 1997 年以前很多国债实行保值贴补 ,其利率形成机制不同于无保值贴补的国债 ,利用 Kalman 滤波法对利率期限结构的观测值进行拟合时 ,本文拟合 1998 年以后的利率期限结构 ,估计出参数的取值 如表 1 . 表 1 中最后一列给出了模型的拟合程度量 ,它是 Kalman 滤波法中参数极大似然估计的对数似然 函数的 2 倍. A 0 反映了风险中性下短期利率的期望值 ,取值为 4 . 02 %. k1 ,σ1 ,λ1 决定了第 1 个状态变量 的变化 , k2 ,σ2 ,λ2 决定了第 2 个状态变量的变化. 从它们的参数取值可以看出 ,第 1 个状态变量具有较小 的均值回复速度参数 k1 ,平均需要 6 年完成一次回复过程 ,较小的波动率参数 ,负的风险金参数. 负的风 险金参数与国外大部分实证结果是一致的. 第 2 个状态变量具有较大均值回复速度 ,平均 1 . 2 年就可以 完成一次回复过程 ,同时具有较大的波动率 ,第 2 个状态变量具有正的风险金参数. 两因子 Vasicek 模型 能否较好地描述利率期限结构的变化呢 ? 本文首先根据 1 年期和 2 年期利率的样本数据 ,以及估计出的 参数 ,求出两状态变量的取值 ,状态变量在样本期内的变化过程如图 1 所示 ,图 1 明显地表明状态变量 1 变化比较平稳 ,状态变量 2 波动幅度很大. 然后再由状态变量的取值 ,求出利率模型下利率的期限结构. 在两因子 Vasicek 模型下 ,利率期限结构的取值如图 2 . 与观测到的利率期限结构相比较 ,发现利率期限 结构的观测值与模型下的利率期限结构具有非常一致的形状. 为了仔细比较两者的差异大小 ,图 3 (a) 给 出了两因子 Vasicek 模型下的 3 年期利率与 3 年期利率观测值的比较图 ,可以发现 ,两者几乎是一样的 ,说 明 1 年期、2 年期、3 年期利率的相对变化可以用两因子 Vasicek 模型较好地描述. 图 3 (b) 给出了 4 年期利 率的观测值与模型下的 4 年期利率 ,两者的差别主要集中在 1998 年利率大幅下降的时候 ,模型给出的 4 年期利率低于实际观测值. 图 3 (c) 给出了 5 年期利率的观测值与模型下 5 年期利率的取值. 两者的差别 相对较大 ,差别也主要集中在 1998 年的一段时间 ,模型给出的利率也低于实际观测到的利率. 对于 4 年 期、5 年期利率在 1998 年的这种差别进行分析 ,可能的解释如下. 一种解释是 ,1998 年 1 年期利率有一个 明显的下降过程 ,市场的预期没有反应出利率的大幅度下降 ,从而导致较高的 4 年期和 5 年期利率. 另一 种解释是投资者可能对将来利率的走向具有正确的预期 ,但 1998 年利率波动幅度较大 ,投资者要求更高 的风险金 ,从而导致 4 年期、5 年期利率较高 ,但风险金的变化在本模型下无法较好地反映 ,因为模型不是 一个异方差模型 ,同时模型中的风险金也是常数. 677 复 旦 学 报 (自然科学版) 　　　　　　　　　　　　　　　　第 42 卷 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 表 1 　两因子 Vasicek模型的参数估计值 Tab. 1 　Parameters estimated in two2factor Vasicek model k1 k2 σ1 σ2 λ1 λ2 A 0 2ln L - 0. 169 1 0. 801 1 0. 007 8 0. 038 9 - 0. 002 5 0. 002 1 0. 040 2 2 935. 6 图 1 　状态变量的动态变化 (样本期 :1998. 0122002. 04) Fig. 1 　Dynamic change of state variables (line1 ,2 are two stata variables) 图 2 　模型下的利率期限结构 (样本期 :1998. 0122002. 04) Fig. 2 　Yield curves implied in model (line1 ,2 ,3 ,4 ,5 are 12year , 22year ,32year , 42year , 52year rates respectively) 图 3 　模型下的 3 ,4 ,5 年期利率与利率观测值的比较 (样本期 :1998. 0122002. 04) Fig. 3 　3、4、52year rates in model and observed (line 1 is observed rate , line 2 is model implied rate) (a) 3 年期 ; (b) 4 年期 ; (c) 5 年期 本文以上交所债券价格隐含的利率期限结构数据作为分析对象 ,在利用主成份分析法发现需要两个 状态变量才能描述上交所债券市场利率期限结构的基础上 ,估计了两因子 Vasicek 模型 ,主要结论如下. (1) 用两因子 Vasicek 模型对 1998 年以来利率期限结构数据进行研究 ,发现此利率模型可以很好解 777第 5 期 　　　　　　　　　　　范龙振 :上交所债券利率期限结构与两因子 Vasicek 模型 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 释 1 年期、2 年期、3 年期利率的相对变化 ,模型下的利率变化与实际观测到的利率的变化一致. 但对 4 年 期、5 年期利率的拟合有一定的误差 ,差别主要表现在 1998 年利率变化幅度较大的时候. (2)利率模型下的利率期限结构与利率期限结构观测值的差别可以从两个方面来解释. 一种可能是 , 1998 年左右一段时间 ,市场没有准确预期利率将来的下降走势 ,导致 4 年期、5 年期利率的市场观测值过 高 ;另一种可能是 ,模型不是一个异方差模型 ,并且模型下的风险金是常数 ,不能够反映债券回报率中风险 金的变化. 而在 1998 年左右 ,市场利率波动较大 ,投资者承受的市场风险也较大 ,投资者对长期债券可能 要求更高的风险金 ,从而导致长期债券的收益率较高. 　　参考文献 : [1 ] 　Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure [J ] . Journal of Financial Economics , 1977 , 5 :1772188. [2 ] 　Cox J C , Ingersoll , Ross. An intertemporal general equilibrium model of asset prices[J ] . Economet rica , 1985 , 53 :3632384. [3 ] 　Duffie D , Kan R. A yield2factor model of interest rates [J ] . M athem atical Finance , 1996 , 6 (2) :3792406. [4 ] 　Fama E. Term2structure forecasts of interest rate , inflation and real returns [J ] . Journal of Monetary Eco2 nomics , 1990 , 25 : 59276. [5 ] 　Fama E , Bliss R. The information in long2maturity forwards rates [J ] . 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Model ing the Term2structure of Yields in the SSE with Two2factor Vasicek Model FAN Long2zhen ( School of M anagement , Fudan U niversity , S hanghai 200433 , China) Abstract : With the data of term structures in the Shanghai Stock Exchange from January , 1991 to April , 2002 , mak2 ing use of principal component analysis approach , it is found at least two factors are needed to model the term structure changes in the SSE. With Kalman filter and maximum likelihood estimation approaches , two2factor continuous2time Vasicek model is estimated to model the term structures. It is found that two2factor Vasicek model can model the rela2 tive changes of one2year , two2year , three2year interest rates quite well , but there exist some errors to model the 42 year , 52year interest rates , especially in 1998. One possible explanation is that the market did not expect the decline of short interest rate accurately in 1998 , and so market 42year and 52year rates are higher than model2implied rates. An2 other explanation is that the Vasicek model can not model the change of risk premiums of bond returns , and perhaps the risk premium changes cause such modeling errors. Keywords : two2factor Vasicek model ; term2structure model ; the Shanghai stock exchange ; Kalman filter 877 复 旦 学 报 (自然科学版) 　　　　　　　　　　　　　　　　第 42 卷